Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie

Transkript

1 Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie Modul 12a: Fachdidaktische Bereiche juergen-roth.de/lehre/did_linalg_anageo/ Kapitel 4: Kegelschnitte 4.1

2 Inhalte Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie 0 Organisatorisches 1 Ziele und Inhalte 2 Algebraisieren des Anschauungsraums 3 Modellieren und Angewandte Mathematik 4 Kegelschnitte 5 Skalarprodukt Längen und Winkel messen Kapitel 4: Kegelschnitte 4.2

3 Schmitt (2015): Schnitte durch Würfel und andere Körper. mathematik lehren 190 Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie Kapitel 4: Kegelschnitte Ellipse, Hyperbel, Parabel Kapitel 4: Kegelschnitte 4.3

4 Schnittkurven einer Ebene mit einem Doppelkegel Ellipse Parabel Kreis Hyperbeln Kapitel 4: Kegelschnitte 4.4

5 Kegelschnitte Kapitel 4: Kegelschnitte 4.5

6 Ellipse Kapitel 4: Kegelschnitte 4.6

7 Ellipse Wittmann (2005): Ellipse, Hyperbel, Parabel Koordinatengeometrie ohne Vektoren. mathematik lehren 133, S Konstruktion Gärtnerkonstruktion Variation der Fadenlänge und der Brennpunkte Konzentrische Kreise: Konstruktion diskreter Punkte mit DGS Charakterisierung Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, die denselben Abstand zu zwei gegebenen Punkten (Brennpunkten) besitzen. Herleitung der Gleichung x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 Kegelschnitt Kapitel 4: Kegelschnitte 4.7

8 Gärtnerkonstruktion Kapitel 4: Kegelschnitte 4.8

9 Schreinerkonstruktion Kapitel 4: Kegelschnitte 4.9

10 DGS-Konstruktionen Kapitel 4: Kegelschnitte 4.10

11 DGS-Konstruktionen Kapitel 4: Kegelschnitte 4.11

12 Konstruktion diskreter Punkte einer Ellipse Kapitel 4: Kegelschnitte 4.12

13 Herleitung der Ellipsengleichung Kapitel 4: Kegelschnitte 4.13

14 Herleitung der Ellipsengleichung Für jeden Punkt P = (x y) einer Ellipse ist die Summe der Abstände l 1 und l 2 zu den Brennpunkten F 1 und F 2 gleich einer Konstanten l: F 1 P + F 2 P = l 1 + l 2 = l = konst. Geeignete Wahl eines Koordinatensystems Die Brennpunkte haben die Koordinaten F 1 = ( e 0) und F 2 = e 0. Für die große Halbachse a gilt: 2a = l 1 + l 2 = l Für die kleine Halbachse b gilt: a 2 = b 2 + e 2 Kapitel 4: Kegelschnitte 4.14

15 Herleitung der Ellipsengleichung Damit folgt für einen Punkt P = (x y) der Ellipse: l 1 + l 2 = F 1 P + PF 2 = x + e 2 + y 2 = 2a + x e 2 + y 2 Daraus ergibt sich: x + e 2 + y 2 = 2a x e 2 + y 2 2 x + e 2 + y 2 = 4a 2 4a x e 2 + y 2 + x e 2 + y 2 4xe 4a 2 = 4a x e 2 + y x 2 e 2 2a 2 xe + a 4 = a 2 x 2 2a 2 xe + a 2 e 2 + a 2 y 2 Kapitel 4: Kegelschnitte 4.15

16 Herleitung der Ellipsengleichung Damit folgt für einen Punkt P = (x y) der Ellipse: l 1 + l 2 = F 1 P + PF 2 = x + e 2 + y 2 = 2a + x e 2 + y 2 Daraus ergibt sich: x 2 e 2 2a 2 xe + a 4 = a 2 x 2 2a 2 xe + a 2 e 2 + a 2 y 2 a 4 a 2 e 2 = a 2 x 2 e 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 a 2 e 2 = x 2 a 2 e 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = x 2 b 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 1 = x2 a 2 + y2 b 2 Kapitel 4: Kegelschnitte 4.16