Lösung von Gleichungen vierten Grades Carolin Dick

Transkript

1 Lösung von Gleichungen vierten Grades 1

2 Lösung für x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0: 2

3 Geschichtlicher Hintergrund 1539: Cardano erhält die Formel zur Lösung kubischer Gleichungen 1540: Cardanos Schüler Ferrari findet eine Lösung für Gleichungen vierten Grades der Form: x 4 + ax 2 + bx + c = : Ferrari wird Dozent für Mathematik in Mailand 1545: Veröffentlichung der Ars Magna 3

4 Ferraris Lösungsweg: Beispiel aus der Ars Magna: Problem von Zuanne de Tonini da Coi (Ars Magna, Kapitel XXXIX, Problem V): Beispiel. Teile 10 in drei proportionale Teile. Das Produkt des ersten und des zweiten Teils ergebe 6. Entspricht der quartischen Gleichung: x 4 + 6x = 60x 4

5 Ferraris Lösungsweg: Beispiel aus der Ars Magna: x 4 + 6x = 60x Quadratische Ergänzung der linken Seite: = 60x + 6x 2 x x x Mit s + a + b 2 = s + a 2 + 2bs + 2ab + b 2 gilt: x b 2 = x bx b + b 2 s a b x b 2 = 2b + 6 x x + 12b + b 2 Die rechte Seite ist ein Quadrat, falls die Diskriminante verschwindet: b b + b 2 = 0 b b b = 450 s a b 5

6 Ferraris Lösungsweg: Beispiel aus der Ars Magna: x 4 + 6x = 60x Lösung von b b b = 450 nach Cardanischer Formel b 1 = Einsetzen in x b 2 = 2b + 6 x x + 12b + b 2 führt zu: x b 1 2 = 2b x b

7 Ferraris Lösungsweg: Beispiel aus der Ars Magna: x 4 + 6x = 60x Wurzel über x b 1 2 = 2b x b nach: x b 1 = ± x 2b b Ab hier wird in der Ars Magna nur noch darauf verwiesen, dass noch eine quadratische Gleichung gelöst werden muss. 7

8 Ferraris Lösungsweg: Beispiel aus der Ars Magna: x 4 + 6x = 60x Für die Lösung gilt also: x 2 ± 2b 1 + 6x ± 30 2b b = 0 x 1,2 = 1 2 (± 2b b ± x 3,4 = 1 2 (± 2b b ± 30 2b b ) 30 2b b ) 8

9 Theorie Ein Kegelschnitt ist über das Nullstellengebilde ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 definiert. Diese Gleichung lässt sich auch als x y 1 2a c d c 2b e d e 2f x y 1 = 0 schreiben Bsp.: Kreismatrix 2 0 α 0 2 β α β 2γ, Einheitsparabel

10 Theorie Die Determinante der symmetrischen 3x3-Matrix verschwindet genau dann, wenn der zugehörige Kegelschnitt in zwei Geraden zerfällt. Für beliebige λ geht der zu M λ = A + λb gehörende Kegelschnitt durch die Schnittpunkte von A und B 10

11 Theorie Schritt 1: Ausgangsgleichung: z 4 + rz 3 + sz 2 + tz + u = 0 Eliminierung des kubischen Terms durch Substitution: x = z + r 4 x4 + ax 2 + bx + c = 0 11

12 Beispiel Ausgangsgleichung: z 4 4z 3 7z z + 20 = 0 Substitution: x = z 4 z = x x4 13x = 0 12

13 Theorie Schritt 2: Betrachte Schnitt von Kreis und Einheitsparabel: Kreis: (x m x ) 2 +(y m y ) 2 = r 2 Einheitsparabel: x 2 = y Schnitt: x m y x 2 2m x x + m 2 y + m 2 x r 2 = 0 Gleichungen vierten Grades können also als Schnitt zweier Kegelschnitte dargestellt werden Um zur zu lösenden Gleichung zu gelangen wählt man: m x = b 2, m y = 1 a 2, r = m x 2 + m y 2 c 13

14 Beispiel Ausgangsgleichung: z 4 4z 3 7z z + 20 = 0 Substitution: x = z 4 z = x x4 13x = 0 Also a = 13, b = 0, c = 32 Wähle: m x = 0, m y = 7, r = 17 14

15 Theorie Schritt 3: Kreismatrix A = 2 0 α 0 2 β α β 2γ mit α = 2m x, β = 2m y, γ = m x 2 + m y 2 + r 2 Einheitsparabelmatrix B =

16 Beispiel Ausgangsgleichung: z 4 4z 3 7z z + 20 = 0 Substitution: x = z 4 z = x x4 13x = 0 Also a = 13, b = 0, c = 32 Wähle: m x = 0, m y = 7, r = 17 Kreismatrix A = , Einheitsparabelmatrix B =

17 Theorie Schritt 3: M λ = A + λb geht durch die Schnittpunkte von A und B. Wähle λ so, dass M λ in zwei Geraden zerfällt, also det M λ = 0 Dies ist der Fall, wenn λ die folgende kubische Gleichung erfüllt: λ β λ 2 + β 2 2β 4γ λ + α 2 + β 2 4γ = 0 17

18 Beispiel Kreismatrix A = , Einheitsparabelmatrix B = det M λ = 0 λ λ λ + 68 = 0 λ 1 = 1, λ 2 = , λ 3 = Wähle λ 1 = 1: M λ =

19 Theorie Schritt 4: Zerlege M λ in zwei Geraden, also finde p = λ μ τ T mit M p = 0 τ μ τ 0 λ μ λ 0, so dass (M λ +M p ) Rang 1 hat. Da die Determinante aller 2x2-Minoren einer Rang-1-Matrix verschwinden, muss gelten: τ 2 = a b b c, a d μ2 = d f, c e λ2 = e f Wähle die Vorzeichen ebenso, dass eine Rang-1-Matrix entsteht. 19

20 Beispiel M λ = τ 2 = = 0, μ2 = = 0, λ2 = = 41 Für λ = 41 besitzt die Matrix (M λ +M p ) = Rang

21 Theorie Schritt 4: Sobald die Matrix (M λ +M p ) Rang 1 hat, können die Geraden, in die der Kegelschnitt M λ zerfällt abgelesen werden. Wähle ein Element (M λ +M p ) i,j das ungleich Null ist. Die i-te Zeile sind dann die homogenen Koordinaten der Gerade g, die j-te Spalte die homogenen Koordinaten der Gerade h. 21

22 Beispiel (M λ +M p ) = Wähle (M λ +M p ) 2,2 = 2 0 g = , h =

23 Theorie Schritt 5: Schnitt der Geraden g 1 h 1 g = g 2 (g 1 x + g 2 y + g 3 = 0)und h = h 2 (h 1 x + h 2 y + h 3 = 0)mit der g 3 h 3 Einheitsparabel y = x 2 : g 1 x + g 2 x 2 + g 3 = 0und h 1 x + h 2 x 2 + h 3 = 0 Löse beide Gleichungen nach x auf Resubstitution: x = z + r 4 23

24 Beispiel g = , h = Schnitt mit Einheitsparabel: x = 0 x 1,2 = ± , 2x = 0 x 3,4 = ± z 1,2 = 1 ± , z 3,4 = 1 ±

25 Geschichtlicher Hintergrund 1539: Cardano erhält die Formel zur Lösung kubischer Gleichungen 1540: Cardanos Schüler Ferrari findet eine Lösung für Gleichungen vierten Grades der Form: x 4 + ax 2 + bx + c = : Ferrari wird Dozent für Mathematik in Mailand 1545: Veröffentlichung der Ars Magna 1548: Duell zwischen Tartaglia und Ferrari, bei dem Ferrari als Gewinner hervorgeht : Ferrari steht im Dienst des Kardinals von Mantua 1564: Ferrari wird Dozent für Mathematik an der Universität von Bologna 1565: Ferrari stirbt am 5. Oktober in Bologna 25

26 Literatur: The Rules of Algebra (Ars Magna), Gerolamo Cardano, tranlated by T.Richard Witmer Originaltext Ars Magna, Gerolamo Cardano: Quartische Gleichungen in der Ars Magna aus moderner Sicht: Biographie über Lodovico Ferrari: Originaltext Opera Omnia, Gerolamo Cardano, Biographie Ferraris: Auszüge aus Etüden, Jürgen Richter Gebert Mathevital, Gleichungen 4. Grades als Schnitt von Kreis und Parabel Perspectives on Projective Geometry, Jürgen Richter-Gebert 26