DARSTELLENDE GEOMETRIE I

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1 DARSTELLENDE GEOMETRIE I VON DR. RUDOLF BEREIS Professor und Direktor des Instituts für Geometrie an der Technischen Universität Dresden Mit 361 Abbildungen AKADEMIE-VERLAG BERLIN 1964 h.

2 INHALT Hinweise für den Leser XIV I. Grundbegriffe 1. Fernelemente 1 2. Abbildungsverfahren und ihre Eigenschaften 2 3. Zentralprojektion 3 4. Parallelprojektion 6 II. Zugeordnete Normalrisse. Orthogonale Mehrtafel- Projektion 5. Das räumliehe kartesische Normalkoordinatensystem 7 6. Grund-, Auf- und Kreuzriß 9 Abbildung der Raumelemente im Grund- und Aufrißverfahren 7. Abbildung des Punktes Verschieben und Weglassen der Bildachse Abbildung einer Geraden allgemeiner Lage Neigungswinkel einer Geraden. Das Teilverhältnis dreier Punkte einer Geraden Abbildung von Geraden besonderer Lage Lage zweier Geraden zueinander Bestimmung einer Ebene Abbildung einer Ebene allgemeiner Lage Angittern von Geraden und Punkten einer Ebene Ausgezeichnete Geraden einer Ebene Ebene Perspektive Affinität Abbildung von Ebenen besonderer Lage 46 Seitenrisse 19. Einführung von Seitenrissen Die sechs Hauptrisse Eigentliche Seitenrisse 61 Schrägrisse 22. Einführung von Schrägrissen Allgemeines über Schrägrisse Schiefe Projektion auf die Aufrißebene Kavalierperspektive Schiefe Projektion auf die Grundrißebene Militärperspektive 73 Drehungen 28. Drehungen Gedrehter Seitenriß 79

3 X Inhalt III. Elementare Konstruktionsaufgaben in zugeordneten Normalrissen 30. Aufgaben der Lage und des Maßes Aufgaben der Lage und das Dualitätsprinzip des Raumes Aufgaben der Lage 32. Aufsuchen der Spuren einer Ebene Schnittgerade zweier Ebenen Schnittpunkt einer Geraden mit einer nicht inzidenten Ebene. 84 Aufgaben des Maßes 35. Länge (und Tafelneigungen) einer Strecke Winkel zweier Geraden 95 ^ 37. Wahre Gestalt einer ebenen Figur. Perspektive Affinität Normale zu einer Ebene. Abstand eines Punktes von einer Ebene Normalebene zu einer Geraden. Abstand eines Punktes von einer Geraden Gemeinlot und Abstand zweier zueinander windschiefer Geraden Winkel zweier Ebenen Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene 114 IV. Ebenflächig begrenzte Körper Polyeder 43. Polygone Polyeder. Bild eines Polyeders Konvexe Polyeder Die Platonischen Körper Das Tetraeder Das Hexaeder (Der Würfel) Das Oktaeder Das Dodekaeder. Das regelmäßige Fünf- und Zehneck Das Ikosaeder 136 Pyramiden 52. Grundbegriffe Ebener Schnitt einer Pyramide. Perspektive Kollineation Pyramidenstumpf. Netz, Abwicklung des Mantels einer Pyramide 143 Prismen 55. Grundbegriffe Ebener Schnitt eines Prismas. Perspektive Affinität Verebnung des Mantels eines schiefen Prismas 149 Durchdringung ebenflächig begrenzter Körper 58. Konstruktionsprinzipien Durchdringung zweier Pyramiden Durchdringung von Pyramide und Prisma Durchdringung zweier Prismen Dachausmittlungen 166

4 Inhalt ^ XI V. Schattenkonstruktionen 63. Allgemeines über Schattenkonstruktionen Schlagschatten von Punkten und Geraden bei Parallelbeleuchtung Eigen- und Schlagschatten ebener Figuren bei Parallelbeleuchtung Schatten ebenflächig begrenzter Körper bei Parallelbeleuchtung 182 VI. Planimetrische Behandlung der Kegelschnitte Mittelpunktskegelschnitte (Brennpunktseigenschaften) 67. Definition und Gleichung von Ellipse und Hyperbel. Bezeichnungen Punktweise Konstruktion von Ellipse und Hyperbel Tangenten einer Ellipse (Hyperbel) Gemeinsame Definition von Ellipse und Hyperbel Krümmungskreise einer Ellipse (Hyperbel) Die Evolute einer Ellipse (Hyperbel) 202 Die Parabel (Brennpunktseigenschaften) 73. Definition und Gleichung einer Parabel. Bezeichnungen Punktweise Konstruktion der Parabel Tangenten einer Parabel Krümmungskreise einer Parabel Gemeinsame Definition von Ellipse, Hyperbel und Parabel Affine Eigenschaften der (nicht zerfallenden) Kegelschnitte 78. Perspektive Affinität und Parallelprojektion Die Ellipse als perspektiv-affines Bild eines Kreises Perspektive Affinität zwischen einer Ellipse und ihren Scheitelkreisen Normalriß eines Kreises ' Ergänzende Betrachtungen über die Hyperbel Ergänzende Betrachtungen über die Parabel 232 VII. Kegelflächen 84. Grundbegriffe Kegel zweiter Ordnung 237 Drehkegel 86. Drehkegel Tangentialebene, Umriß und Flächennormale Schnitt einer Geraden mit einem Kegel 244 Ebene Schnitte eines Drehkegels 89. Zerfallende Kegelschnitte Nichtzerfallende Kegelschnitte Konstruktive Durchführung eines elliptischen Schnittes eines Drehkegels Ebener Schnitt eines Drehkegels und Perspektive Kollineation Verebnung des Mantels eines Drehkegels Verebnung eines Kegels mit elliptischem Schnitt Verebnung eines Kegels mit hyperbolischem Schnitt 268

5 xn Inhalt 96. Verebnung eines Kegels mit parabolischem Schnitt Besondere Kurven auf Drehkegelmänteln 277 Ebene Schnitte eines schiefen Kreishegels 98. Schnittkriterien Elliptischer Schnitt eines schiefen Kreiskegels Hyperbolischer Schnitt eines schiefen Kreiskegels Parabolischer Schnitt eines schiefen Kreiskegels Verebnung des Mantels eines schiefen Kreiskegels Anwendungen 288 VIII. Zylinderflächen 104. Grundbegriffe Zylinder zweiter Ordnung 291 Drehzylinder 106. Drehzylinder i Tangentialebene, Umriß und Flächennormale Schnitt einer Geraden mit einem Drehzylinder Ebener Schnitt eines Drehzylinders und Perspektive Affinität Konstruktive Durchführung eines ebenen Schnittes eines Drehzylinders Schrägriß eines Drehzylinders Verebnung des Mantels eines Drehzylinders Rektifikation des Kreises Konstruktive Durchführung der Verebnung eines Drehzylindermantels 306 Der schiefe Kreiszylinder 115. Der schiefe Kreiszylinder Ebene Schnitte eines schiefen Kreiszylinders Verebnung des Mantels eines schiefen Kreiszylinders 315 Abbildung von Kegel und Zylinder 118. Normal- und Schrägrisse von Kegeln und Zylindern in allgemeiner Lage Konstruktionen von Drehkegeln und Drehzylindern aus gegebenen Stücken 322 IX. Die Kugel 120. Grundbegriffe Potenz an der Kugel Die Kugel in zugeordneten Normalrissen Polarsystem einer Kugel Ebener Schnitt einer Kugel Schnitt einer Geraden mit einer Kugel Konstruktion einer Kugel aus gegebenen Stücken Schrägriß einer Kugel Konstruktion von Kegelschnitten aus gegebenen Bestimmungsstücken mittels räumlicher Betrachtungen 343 X. Drehflächen 129. Grundbegriffe Beispiele von Drehflächen Eine Drehfläche in zugeordneten Normalrissen 358

6 Inhalt XIII Ebene Schnitte von Drehflächen 132. Schnitt einer Drehfläche mit einer aufrißparallelen Ebene Schnitt einer Drehfläche mit einer erstprojizierenden Ebene e (e nicht parallel zu n 2 ) Schnitt einer Drehfläche mit einer zweitprojizierenden Ebene e (e nicht parallel zu Jij) Schnitt einer Drehfläche mit einer allgemein liegenden Ebene. 372 XI. Drehflächen zweiter Ordnung 136. Singulare Drehflächen zweiter Ordnung 373 Reguläre Drehflächen zweiter Ordnung 137. Das Drehellipsoid Das Drehhyperboloid Das einschalige Drehhyperboloid Das Polarsystem eines einschaligen Drehhyperboloides Die Berührungskorrelation Hyperboloidräder Das Drehparaboloid 391 Drehflächen zweiter Ordnung mit geneigter Achse 144. Eiförmiges Drehellipsoid Linsenförmiges Drehellipsoid Einschaliges Drehhyperboloid Zweischaliges Drehhyperboloid Drehparaboloid 403 XII. Die Kreisringfläche (Torus) 149. Grundbegriffe Ebener Schnitt eines Torus Der Torus als Rohrfläche Torus mit geneigter Achse Parallelkurven 413 XIII. Durchdringung krummer Flächen 154. Allgemeines Verfahren zur Konstruktion der Durchdringungskurve zweier krummer Flächen 422 Spezielle Fälle von Durchdringungen 155. Durchdringung zweier Drehflächen, deren Achsen einander schneiden (Kugel- und Ebenenverfahren) Durchdringung zweier Drehflächen mit parallelen Achsen (Ebenenverfahren) Durchdringung von Drehflächen mit windschiefen Achsen Durchdringung von Kegel- und Zylinderflächen (Pendelebenenverfahren) Durchdringung von Kugel mit schiefem Kreiskegel und Kreiszylinder 471 Literaturverzeichnis 481 Sachwortverzeichnis 483