Computational Geometry, MU Leoben

Transkript

1 Computational Geometry, MU Leoben Computational Geometry Lehrveranstaltung: Darstellende Geometrie I, Übungen SS Übungsleiterin: S. Prabitz-Hallama Das Drehparaboloid Stoffgebiet: Kurven und Flächen 1

2 2 Aufgabenstellung Gegeben ist die Fläche Φ mit der Gleichung z = x 2 + y (1) Um welche Fläche handelt es sich? Was lässt sich über die ebenen Schnitte von Φ sagen? Geben Sie eine Parameterdarstellung der Fläche an! 1 Typ der Fläche Φ Die implizite Form der Flächengleichung (1) lautet x 2 + y 2 z + 1 = 0 (2) Die linke Seite ist ein Polynom 2. Grades in x, y, z; es handelt sich daher bei Φ jedenfalls um eine algebraische Fläche 2. Ordnung. 1 Um die genaue Gestalt der Fläche Φ zu ermitteln, bestimmen wir zunächst ihren Schnitt mit einer beliebigen waagrechten Ebene ε : z = d (3) (3) eingesetzt in die Flächengleichung (2) liefert: x 2 + y 2 = d 1 Das ist die Gleichung des Grundrisses der gesuchten Schnittkurve. Sofern d 1, handelt es sich dabei um einen im Koordinatenursprung O zentrierten Kreis mit Radius r = d 1. Da die Schnittebene ε parallel zur Grundrissebene im Abstand d liegt, ist die eigentliche Schnittkurve ein dazu kongruenter Kreis in ε mit dem Mittelpunkt M(0/0/d). Das gilt für jedes d 1; deshalb haben wir das Resultat 1. Die Fläche Φ ist eine Drehfläche mit der z-achse als Rotationsachse. Zu den Drehflächen siehe Skriptum Darstellende Geometrie I, Kap. V! Um den Meridian 2 der Drehfläche Φ zu bestimmen, haben wir diese mit einer Ebene durch ihre Rotationsachse zu schneiden. Dazu können wir etwa die Aufrissebene π 2 : x = 0 (4) 1 Zu den Begriffen algebraische Fläche und Ordnung einer algebraische Fläche siehe Skriptum Darstellende Geometrie I, Kap. III. 2 Meridian = Schnitt mit einer Ebene durch die Drehachse.

3 Darstellende Geometrie I, Übungen, SS 2011: Gabelstück 3 wählen. Durch Einsetzen von (4) in (2) erhalten wir y 2 = z 1. Das ist die Gleichung einer (in π 2 liegenden) Parabel m mit der z-achse als Achse, dem Scheitel A(0/0/1) und dem Parameter p = 1 2 (Figur 1). Resultat 2. Bei der Fläche Φ handelt es sich um ein Drehparaboloid, dessen Drehachse die z-achse und dessen Scheitel der Punkt A(0/0/1) ist. Figur 2 zeigt eine schattierte Ansicht der Fläche und ihre in der yz-ebene liegende Meridianparabel m. Figur 1. Die Meridianparabel m des Drehparaboloids mit ihrem Scheitel A und ihrem Brennpunkt F ; AF = p 2 = 1 4. Figur 2. Eine schattierte Ansicht des Drehparaboloids. 2 Ebene Schnitte von Φ 2.1 Schnitte parallel zur Drehachse Aufgrund der Rotationssymmetrie können wir uns darauf beschränken, Φ mit einer Ebene π parallel zur Aufrissebene zu schneiden. Die Gleichung einer solchen Ebene lautet π : x = c, was nach Einsetzen in (2) die Gleichung des Aufrisses der gesuchten Schnittkurve liefert y 2 z + c = 0

4 4 bzw. y 2 = z (c 2 + 1) Es handelt sich daher beim Aufriss der Kurve um eine Parabel mit der z-achse als Achse, dem Scheitel (0/0/c 2 +1) und dem Parameter p = 1 2. Da die Schnittebene parallel zur Aufrissebene liegt, ist die Schnittkurve selbst eine dazu kongruente Parabel; ihr Scheitel ist C(c/0/c 2 + 1). Alle solchen Parabeln sind untereinander kongruent (p hängt ja nicht von c ab), liegen außerdem in zueinander parallelen Ebenen, haben zueinander parallele Achsen und sind in Richtung der positiven z-achse geöffnet. Daher folgt: Resultat 3. Die Fläche Φ entsteht durch (krumme) Parallelverschiebung einer ihrer Meridianparabeln. Φ ist daher nicht nur eine Drehfläche sondern auch eine Schiebfläche. 2.2 Schnitte schräg zur Drehachse Wir wollen nun den Schnitt l von Φ mit einer beliebigen, nicht zur Drehachse parallelen Ebene ε bestimmen. Wegen der Rotationssymmetrie können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit voraussetzen, dass ε normal zur Aufrissebene liegt. Eine solche Ebene besitzt eine Gleichung der Form: ε : z = ky + d Wir setzen wieder in (2) ein und erhalten als Gleichung des Grundrisses der gesuchten Schnittkurve l: x 2 + y 2 ky d + 1 = 0 Die Ergänzung der Glieder in y auf ein vollständiges Quadrat ergibt x 2 + (y k 2 )2 = k2 4 + d 1 Der Grundriss von l ist also ein Kreis mit Mittelpunkt M(0/ k 2 /0) und Radius r := k 2 k d 1 > 0 gilt. Die Schnittkurve l selbst ist daher eine Ellipse! 4 + d 1, sofern Resultat 4. Die Schnitte des Drehparaboloids Φ mit Ebenen schräg zur Drehachse sind stets Ellipsen, die Kreise als Grundrisse besitzen. Anmerkung: Da der Grundriss l der Schnittkurve l von Φ mit einer schrägen Ebene ein Kreis ist, liegt l auch im Schnitt von Φ mit jenem Drehzylinder Ψ, der l als Normalschnitt besitzt (Figur 3).

5 Darstellende Geometrie I, Übungen, SS 2011: Gabelstück 5 Figur 3. Schnitt schräg zur Achse. 3 Parameterdarstellungen der Fläche Φ 3.1 Parametrisierung als Drehfläche Wir gehen bei x und y zu Polarkoordinaten v, u über: x = v cos(u) y = v sin(u) Dann folgt aus der Flächengleichung (2): z = x 2 + y = v Damit erhalten wir als Parameterdarstellung von Φ: x(u, v) y(u, v) z(u, v) = v cos(u) v sin(u) v (5) Bei dieser Parameterdarstellung von Φ ergeben sich als u-linien (u läuft, v = v 0 = const.) die horizontalen Schnitte (= Parallelkreise von Φ, siehe Abschnitt 1) und als v-linien (v läuft, u = u 0 = const.) die ebenen Schnitte durch die Drehachse (= Meridianparabeln von Φ). Das Netz aus u- und v-linien bzgl. dieser Parametrisierung ist in Figur 4 dargestellt.

6 6 3.2 Parametrisierung als Schiebfläche Setzen wir x := u, y := v, dann folgt z = u 2 + v Als eine zweite Parameterdarstellung von Φ haben wir also: x(u, v) y(u, v) z(u, v) = u v u 2 + v (6) Als u-linien (u läuft, v = v 0 = const.) stellen sich die Schnitte von Φ mit Ebenen parallel zur xz-ebene ein, also eine Schiebschar von Parabeln (siehe Abschnitt 2.1). Analog erhalten wir als v-linien (v läuft, u = u 0 = const.) Schnitte mit Ebenen parallel zur yz-ebene, also eine zweite Schiebschar von Parabeln. Figur 5 zeigt das Netz der Parameterlinien bzgl. dieser zweiten Parametrisierung. Figur 4. Parametrisierung als Drehfläche. Figur 5. Parametrisierung als Schiebfläche.