Analysis 2 - Übung 1

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1 Analysis - Übung 1 Felix Knorr 8 März Gegeben sei die Polynomfunktion f(x, y xy 10x Man bestimme die Gleichungen ihrer Schnittkurven mit den senkrechten Ebenen x x 0 bzw y y 0 sowie die Höhenlinien für z z 0 und skizziere alle drei Kurvenscharen Mittels eines Computeralgebrasystems ermittle man eine 3D-Darstellung der gegebenen Funktion Abbildung 1: f(x, y xy 10x z xy 10x x x 0 f(x z x 0 y 10x 0 y y 0 f(x z xy 0 10x z z 0 y z 0 x + 10 y z0 x Man berechne alle Ableitungen erster und zweiter Ordnung sowie die Jacobi-Matrix für die folgenden Funktionen: Nach Satz von Schwarz: f xy f yx, (Ist f m-mal stetig partiell differenzierbar in D, so sind alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung m unabhängig von der Reihenfolge der Differentiation (a x x 0 (b y y 0 (c z z 0 (Höhenlinien Abbildung : Beispiel 4 1

2 Jacobi Matrix Darunter versteht man eine m n Ableitungsmatrix bzw Funktionalmatrix einer differenzierbaren Funktion, die alle ersten partitielle Ableitungen enthält f 1 f 1 x 1 x n A f m f m x 1 x n f(x, y, z x sin yz + e x+y+z f x x sin yz + e x+y+z f y x z cos yz + e x+y+z f z x y cos yz + e x+y+z f xx sin yz + e x+y+z f yx xz cos yz + e x+y+z f zx xy cos yz + e x+y+z f xy xz cos yz + e x+y+z f yy x z sin yz + e x+y+z f zy x cos yz x yz sin yz + e x+y+z f xz xy cos yz + e x+y+z f yz x cos yz x yz sin yz + e x+y+z f zz x y sin yz + e x+y+z Jacobi-Matrix: A ( f x f y f z ( f x f y g(t g 1(t t sin t g (t e 3t 1 g 3 (t 1+t g 1 t t sin t + g 1 t cos t t g t g 3e3t t 9e3t f z ( x sin yz + e x+y+z x z cos yz + e x+y+z x y cos yz + e x+y+z sin t + t cos t + t cos t t sin t g 3 t t g 3 (1 + t t (1 + t (1 + t t t (1 + t 4 (1 + t 8t (1 + t 3 6t (1 + t 3 Jacobi-Matrix: h(x, y A g 1 t g t g 3 t ( ( x sin y h1 (x, y e x+y h (x, y x x sin y h x ex+y t sin t + t cos t 3e 3t t (1 + t y x cos y h y ex+y h 1 x y h 1 y x x cos y h x y h y x ex+y h 1 x sin y h x ex+y h 1 y x sin y h y 4ex+y

3 Jacobi-Matrix A x h x y h y x sin y x e x+y cos y e x+y 8 Gegeben sei die quadratische Form q( x q(x, y 4x +bxy+5y mit b R Wie lautet die zugehörige symmetrische Matrix A, sodaß q( x x A x T? Für welche Werte von b ist die Form positiv definit? Quadratische Form: Die quadratische Form aus Vektor x mit a ij a ji i, j ist q( x x T A x n i,j1 a ij x i x j Beispiele: n: q(x, y ( x y ( ( a b x ax b c y + bxy + cy n3: q(x, y, z ( x y z a b c x b d e y c e f z Definitheit: Eine (symmetrische Matrix A heißt x 1 x n und einer symmetrischen Matrix A n a 11 a 1n a n1 a nn ax + bxy + cxz + dy + eyz + fz Positiv Definit bei q( x > 0 x 0 (Positiv Semidefinit bei q( x 0 Negativ Definit bei q( x < 0 x 0 (Negativ Semidefinit bei q( x 0 Indefinit sonst, Hauptminorenkriterium: q( x x A x T ist positiv definit Alle Hauptminoren sind positiv q( x ist negativ definit q( x positiv definit ist A n a 11 a 1n a n1 a nn Pos def, wenn: A 11 > 0, a 11 a 1 a 1 a > 0,, a 11 a 1n > 0 a n1 a nn Laplace scher Entwicklungssatz (Determinanten berechnen: Sei A (a ij K n n : Entwicklung nach der i-ten Zeile: i n : deta n j1 a ija ij n j1 a ij( 1 i+j deta ij Entwicklung nach der i-ten Spalte: i n : deta n j1 a ija ij n j1 a ij( 1 i+j deta ij ( 1 i+j bildet ein Schachbrettmuster: Beispiel (Entwicklung nach erster Zeile(1 Zeile ausgeblendet: a 11 a 1 a 13 a 14 det a 1 a a 3 a 4 a a 3 a 4 a 1 a 3 a 4 a 31 a 3 a 33 a 34 +a 11 det a 3 a 33 a 34 a 1 det a 31 a 33 a 34 + a 41 a 4 a 43 a 44 a 4 a 43 a 44 a 41 a 43 a 44 }{{}}{{} 1 Spalte ausgeblendet Spalte ausgeblendet a 1 a a 4 a 1 a a 3 a 13 det a 31 a 3 a 34 a 14 det a 31 a 3 a 33 Bis Matrizen 3 3, dann trivial a 41 a 4 a 44 }{{} 3 Spalte ausgeblendet a 41 a 4 a 43 }{{} 4 Spalte ausgeblendet 3

4 (a Zylinder mit R und h5 (b Einheitskreis (Grundfläche, x,y-ebene Abbildung 3: Beispiel 108 q(x, y 4x + bxy + 5y ( x y ( ( ( 4 b x 4 b A b 5 y b 5 A ist poitiv definit, wenn det A > 0 und a > 0 a 4 a > 0 deta 4 5 b 100 b > > b 10 > b pos def b < Man gebe eine Parametrisierung für die Mantelfläche eines Drehzylinders mit dem Radius R und der z- Achse als Rotationsachse an Für welche Parameterwerte erhält man den Punkt P (R/, R/, 3π/4 auf der Zylinderoberfläche? Gesucht sind ferner die Parameterdarstellungen für folgende drei Kurven durch den Punkt P auf der Mantelfläche: eine Meridianlinie (dh Parallele zur Zylinderachse einen Breitenkreis Eine Schraubenlinie mit der Ganghöhe π In Abb 3 sieht man, dass 1 1 cos ϕ + sin ϕ R R R cos ϕ + R sin ϕ x(t x y(t R, R cos ϕ ϕ, h R sin ϕ, R, h R, 0 ϕ < π z(t h Paramter für Punkt P (R/, R/, 3π/4 berechnen: R cos ϕ R sin ϕ R cos ϕ sin ϕ 1 ϕ sin 1 1 π 4, h 3π 4 Meridianlinie (läuft parallel zur z-achse durch Punkt P, x und y sind konstant: x M (h R R, R, h R Breitenkreis (z (Höhe ist konstant, x und y sind variabel: h R cos ϕ x M (h R sin ϕ 3π, R R, 0 ϕ < π 4 4

5 Schraubenlinie mit der Ganghöhe π: (x,y,z sind variabel, durch Punkt P Schraubenlinie: R cos t s(t R sin t R cos t R t sin 1 1 π h t + c 4 Bei t π 4 muss z(t h t + c 3π 4 gelten Die Ganghöhe ist π Ganghöhe g πh π πh h 1 h t + c 3π 1 π 4 + c 3π 4 c 6π 8 π 8 c 5π 8 R cos h x S (h R sin h h + 5π, R, h R Gegeben sein die parametrisierte Kurve Abbildung 4: Median, Breitenlinie und Schraubenlinie x(t ( x(t y(t ( sin (t + π sin (3t für 0 t π (Lissajous-Figur Man skizziere die Kurve x(t Ferner berechne man mit Hilfe der Kettenregel die Ableitungen dy dx, sowie d y dx für y y(x In welchen Punkten hat die Kurve waagrechte bzw senkrechte Tangenten? Können Sie auch die Wendepunkte dieser Kurve bestimmen? dy dx dy dt dx dt d y dx d ( dy dx dx y t x t d dt y t dy dt 3 cos (3t x ( dy dt dx dx d ( dy 1 dt dx d ( x t dt t dy dt cos (t + π cos (3t 1 ( u 3 cos (t + π x t v dy dx 3 cos (3t cos (t + π ( u v v u v 9 sin (3t cos (t + π + 3 sin (t + π cos (3t 1 cos (t + π cos (t + π 9 sin (3t cos (t + π + 3 sin (t + π cos (3t cos 3 (t + π Waagrechte Tangente: Um die waagrechte Tangente zu bestimmen, muss die Ableitung dy dx, nullgesetzt werden (x-achse Und diese ( dy dx 3 cos (3t cos (t + π ist 0, wenn cos (3t 0, daher der Kosinus schwingt 3 mal in π (siehe Abb 6(c und der Kosinus ist 0 bei π + k π, da er dreimal schwingt, ist er null, bei π 6 + k π 3 π 6 + k π 6 π 6, 3π 6, 5π 6, 7π 6, 9π 6, 11π 6 5

6 Abbildung 5: Lissajous Figur (a Ableitung dy dx (b Ableitung dx dy (c Waagrechte Tangente (d Senkrechte Tangente Abbildung 6: Beispiel 109 Senkrechte Tangente: Um die senkrechte Tangente zu bestimmen, muss die Ableitung dx dy, nullgesetzt werden (y-achse Und diese ( dx dy cos (t + π 3 cos (3t ist 0, wenn cos (t + π 0, daher der Kosinus ist um π versetzt und entspricht dem Sinus (siehe Abb 6(d und dieser ist 0 bei π + k π π, π Wendepunkte: Dafür muss die zweite Ableitung 0 gesetzt werden und dies ist lt Wolfram Alpha bei t 1 n π ± 097 und t n π ± 04 und diese liegen etwa bei ±05 (Es müsst eig noch dritte Ableitung gemacht werden 110 Zeigen Sie, dass die Funktion x : R R 3 gemäß x(θ, ϕ (R + r cos θ cos ϕ x(θ, ϕ y(θ, ϕ (R + r cos θ sin ϕ, mit 0 θ π, 0 ϕ π z(θ, ϕ r sin θ als Parametrisierung der Oberfläche eines Torus angesehen werden kann Erklären Sie diese Darstellung anhand einer geeigneten Skizze Wie lautet die Jacobi-Matrix dieser Funktion? In Abb 7 sieht man den Torus aufgeschnitten, man sieht, dass bei 0 bzw π ein Kreis in x-z-achse entsteht(abb 8, bei π bzw 3π ein Kreis in y-z-achse Die Höhe in Richtung z ist immer sin θ ist Zusammengefasst bis jetzt: x(θ,? r cos θ? y(θ,? r cos θ? z(θ,? r sin θ Nun muss aber noch das x bzw das y verschwinden (abwechselnd, dafür wird ein zusätzlicher Winkel ϕ benötigt und zwar so: Das x soll bei π und 3π verschwinden cos ϕ Das y soll bei 0 und π verschwinden sin ϕ 6

7 (a Torus mit R, r1 (b 0 ϕ π 4 Abbildung 7: Beispiel 110a (a Querschnitt bei 0 bzw π (b Querschnitt bei π bzw 3π (c Kugel (d Zeiger Abbildung 8: Beispiel 110a Nun sieht die Matrix folgendermaßen aus: x(θ, ϕ r cos θ cos ϕ y(θ, ϕ r cos θ sin ϕ z(θ, ϕ r sin θ In Abb 8(c sieht man den aktuellen Stand Es fehlt noch das Loch in der Mitte Für dieses benötigt man quasi eine Zeiger, welcher die Länge R hat und zum Mittelpunkt und sich mitdreht (Abb 8(d Nun zusammengefasst: x(θ, ϕ cos ϕ cos θ cos ϕ (R + r cos θ cos ϕ y(θ, ϕ R sin ϕ + r cos θ sin ϕ (R + r cos θ sin ϕ z(θ, ϕ 0 sin θ r sin θ Jacobi-Matrix A x(θ, ϕ θ y(θ, ϕ θ z(θ, ϕ θ x(θ, ϕ ϕ y(θ, ϕ ϕ z(θ, ϕ ϕ r sin θ cos ϕ (R + r cos θ sin ϕ r sin θ sin ϕ (R + r cos θ cos ϕ r cos θ 0 7