Lösung - Serie 7. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. 1. MC-Aufgaben (Online-Abgabe)

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1 D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 016 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 7 1. MC-Aufgaben Online-Abgabe 1. Gegeben sind die Kurven K 1 links und K rechts, die beide für wachsenden Parameter t von aussen nach innen durchlaufen werden. Es bezeichnen k 1 t und k t die Krümmungen der beiden Kurven. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a k1 ist positiv b k ist negativ c t k1 t ist monoton wachsend d t k t ist monoton fallend Die erste Kurve krümmt sich nach links, also ist k 1 positiv. Analog krümmt sich die zweite Kurve nach rechts, also ist k negativ. Die Krümmungskreis wird bei beiden Kurven kleiner, d.h. der Krümmungsradius 1/ k wird beidesmal kleiner. Das heisst, beide Krümmungen k 1 und k sind im Absolutbetrag monoton wachsend. Da k negativ ist, muss dieses monoton fallend sein. Bitte wenden!

2 . Betrachten Sie die Bernoulli sche Spirale rt e t cost, e t sint. Bestimmen Sie, ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist: Der Ortsvektor rt eines Punktes auf der Spirale steht immer senkrecht auf seinem Tangentialvektor. a wahr b falsch Es gilt rt e t cos t e t sin t, e t sin t + e t cos t und damit e rt, ṙt t cos t e e t, t cos t e t sin t sin t e t sin t + e t cos t e t cos t cost sint + sin t + sint cost e t > 0, für alle t. 3. Was für eine Kurve stellt die Parametrisierung sin1 t rt cos1 t, t R dar? a Ein Kreis. Es gilt x t + y t sin 1 t + cos 1 t 1, was der Kreisgleichung des Einheitskreises entspricht. Der Term 1 t nimmt auch alle Werte in [ π, 0] an für t R, also wird der gesamte Einheitskreis gezeichnet. b c d e f Eine Ellipse. Eine Parabel. Eine Gerade. Ein anderes Objekt. Diese Parametrisierung ist mathematisch nicht zulässig. Siehe nächstes Blatt!

3 4. Es seien C, l 0, +. Die Bernoullische Spirale ist in Polarkoordinaten gegeben durch ϱ Ce lϕ, wobei ϕ R. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a Der Winkel zwischen den Ortsvektor rϕ eines Punktes auf der Spirale und seinem Tangentialvektor rϕ ist konstant. Richtig. Eine Parametrisierung der Bernoullischen Spirale Spira mirabilis wird durch { xϕ Ce rϕ lϕ cosϕ yϕ Ce lϕ sinϕ gegeben, und also { xϕ Cle rϕ lϕ cosϕ Ce lϕ sinϕ yϕ Cle lϕ sinϕ + Ce lϕ cosϕ Der Winkel α wird nach definition des Skalarproduktes folgenderweise berechnet: der unabhängig von ϕ ist. cosα rϕ rϕ rϕ rϕ C le lϕ C e lϕ C l e lϕ + C e lϕ l l + 1, b Die Differenz der x-koordinaten von zwei sukzessiven Schnittpunkten der Spirale mit der positiven x-achse ist konstant. Falsch. Sehen Sie bitte die Antwort c. c Der Quotient der x-koordinaten von zwei sukzessiven Schnittpunkten der Spirale mit der positiven x-achse ist konstant. Richtig. Die Gleichung yϕ Ce lϕ sinϕ 0, hat die Lösungen ϕ kπ, k Z. Die Schnittpunkte mit der positiven x-achse sind also Der Quotient ist also unabhängig von k und ist gleich xπk, 0 Ce lπk, 0, k Z. xπk xπk 1 Ce lπk cosπk Ce lπk 1 cosπk 1 eπl. d Die Evolute der Bernoullischen Spirale mit C l 1 ist die Kardiode. Falsch. Im Spezialfall C l 1 ist die Evolute der Bernoullische Spirale rϕ e ϕ cosϕ, e ϕ sinϕ durch die Kurve rϕ e ϕ sinϕ, e ϕ cosϕ gegeben. Insbesondere kriegen wir diese Evolute durch einer Drehung der Spirale von π im Gegenuhrzeigersinn. Bitte wenden!

4 5. Die maximale Krümmung der Kurve y ln 1 + e x ist a 1 3 7/ b 1 3 5/ c e 3/ d 1 e 1 7 Parameterdarstellung der Kurve: rt t, ln 1 + e t : xt, yt Es gilt rt e 1, t 1+e und rt e 0, t t 1+e t und damit erhält man die Krümmung kt ÿt ẋt ẍt ẏt ẋt + ẏt 3/ Mit e t 1+e t 1 + et 1+e t 3/ e t 1 + e t e t 1 + e t + e t 3/ e t + e t 1 + e t + e t 3/ y 1 + y 3/ mit yt : e t + e t u : y v : 1 + y 3/ u ẏ v y1/ ẏ erhalten wir Es folgt mit kt 0, dass kt v u u v v 1 + y3/ ẏ 3yẏ 1 + y 1/ 1 + y 3 ẏ 1 + y 3/ }{{} >0 1 3y 1 + y 1 3y 1 + y y 3y 0 1 y 0 et + e t 1 0 Setze z : e t, dann schreibt sich Es folgt 0 z + z 1 z 1 : z z 1 5 < 0 ist keine Lösung, da z e t > 0. Wir erhalten, dass 5 1 t 1 : ln z 1 ln Siehe nächstes Blatt!

5 die Maximalstelle von k ist, da k t { > 0 für t > t1 < 0 für t < t 1 Die maximale Krümmung von k ist somit wegen k t 1 e t1 + e t1 1 + e t1 + e t1 1 3/ 3 1 3/ e t1 + e t Gegeben ist die Parametrisierung der Kettenlinie γ : t t, cosh t, t R. a Bestimmen Sie die Krümmungsfunktion t kt der Kurve γ sowie den Radius r 0 und das Zentrum z 0 des Krümmungskreises an der Stelle t 0. b Dieser Kreis mit festem Radius r 0 rolle entlang γ ab. 1 Bestimmen Sie das Zentrum zt des Kreises mit Berührpunkt γt sowie den Geschwindigkeitsvektor der Kurve t zt zum Zeitpunkt t 0. Lösung: a Definiert man xt, yt : t, cosh t γt, so kann man die Krümmung durch die folgende Formel bestimmen: ẋtÿt ẏtẍt kt ẋt + ẏt. 3/ Wir haben γt 1, sinh t und γt 0, cosh t. Dann ist kt cosh t sinh t cosh t 3/ cosh t 1 3/ cosh t. Der Radius r 0 des Krümmungskreises an der Stelle t 0 ist also r 0 1 k0 1 1 cosh 0 1, und sein Zentrum z 0 ist durch die folgende Formel gegeben Evolute: z 0 γ0 + r 0 n0 n0, wobei n : t nt ẏt, ẋt der Normalenvektor ist, welcher aus einer Drehung von γt im Gegenuhrzeigersinn entsteht. Für n gilt: Somit ist nt sinh t, 1; nt sinh t + 1 cosh t. z 0 0, Falls Sie r 0 bei a nicht berechnet haben, können Sie r 0 1 annehmen. sinh0, 1 cosh0 0,. Bitte wenden!

6 b Das Zentrum zt des Kreises mit Radius r 0 und Berührpunkt γt wird parametrisiert wie folgt: zt γt + r 0 nt nt t tanh t, cosh t + 1 cosh t Der Geschwindigkeitsvektor dieser Kurve ist żt 1 1 sinh t cosh, sinh t t cosh t tanh t 1, sinh t. Somit ist ż0 tanh 0 1, sinh0 0, 0. sinh t, 1 t, cosh t + 1 cosh t. cosh t 1 cosh t 1, sinh t 3. Finden Sie eine Parameterdarstellung der Evolute der Kurve x cos t + cos t, y sin t + sin t. xt Lösung: Für eine ebene Kurve mit der Parameterdarstellung ist die Parameterdarstellung der yt Evoluten u1 t xt y x t t +y t x ty t x ty t. u t yt + x x t t +y t In unserem Fall sind Rechnen wir zuerst x ty t x ty t xt cos t + cost, yt sin t + sint x t sin t sint y t cos t + cost x t cos t 4 cost y t sin t 4 sint x t + y t x ty t x ty t sin t sint + cos t + cost sin t sint sin t 4 sint cos t 4 cost cos t + cost, sin t sint + cos t cost sin t sint + cos t cost 3 aus. Daher kriegen wir u1 t cos t + cost cos t + cost 3 u t sin t + sint + sin t sint cos t cos t. sin t sin t 4. Das Kartesische Blatt ist die Kurve C gegeben durch die Parameterdarstellung x wobei < t < 1 und 1 < t < +. t t 3 + 1, y t t 3 + 1, Siehe nächstes Blatt!

7 a Bestimmen Sie die Gleichung, d.h. eine implizite Darstellung, von C. b Bestimmen Sie die Schnittpunkte von C mit der ersten Winkelhalbierenden y x sowie die Tangenten in diesen Schnittpunkten. c In welchen Punkten sind die Tangenten parallel zu den Koordinatenachsen? Lösung: a Aus ergibt sich die Gleichung x 3 + y t 3 t t 6 t t 3 t xy x 3 + y 3 xy Aus xy t3 t 3 +1 schliessen wir t 3 1 xy± 1 4xy xy, woher wir den Parameter t wieder zurückbekommen können für xy 0. b Wir setzen x y in der impliziten Gleichung für C und erhalten x 3 + x 3 x x 0 x 3 x x 0 oder x 1. x, y 0, 0 entspricht dem Parameter t 0. x, y 1, 1 entspricht dem Parameter t 1 xy± 1 4xy 1/3. xy Einsetzen ergibt also t 1/ Die Tangentensteigung berechnet sich zu ẏt ẋt tt 3 +1 t 3t { t 3 +1 tt3 + 1 t 3t t 3 +1 t 3t t t 3t t t3 1 t 3 0, t 0 1, t 1. t 3 +1 Die Tangente durch x, y 0, 0 ist diejenige zu t 0, also y 0. Bitte wenden!

8 Da die Kurve C symmetrisch ist bezüglich y x, hat sie eine zusätzliche Tangente bei 0, 0, und zwar die y-achse x 0. Die Tangente durch x, y 1, 1 ist diejenige zu t 1, also für q 1 + 1, d. h. x + y 1 0. y x + q c Aus b wissen wir, dass die Tangenten durch 0, 0 gerade die Koordinatenachsen sind. Es gibt aber noch mehr: Wir setzen die Steigung gleich Null und erhalten ẏt ẋt t t3! 1 t 3 0 t 0 oder t 3. Das ergibt die Punkte x, y 0, 0 und 3 x-achse sind. 3, 3 4 3, wo die Tangenten horizontal, also parallel zur Da die Kurve symmetrisch ist bezüglich y x, sind die Tangenten in den Punkten x, y 0, 0 und 3 4 vertikal, d. h. parallel zur y-achse. 3, Eine Kanonenkugel wird vom Punkt 0, 0 aus mit Geschwindigkeit v unter einem Winkel ϕ [0, π ] gegenüber der positiven x-achse abgeschossen. Behandelt man die Kugel als Punktmasse und orientiert die Schwerkraft in Richtung der negativen y-achse, ist die Bewegung beschrieben durch: xt v cosϕt yt v sinϕt 5t. a Wie muss der Winkel ϕ bei vorgegebenem v gewählt werden, damit die Kugel möglichst weit fliegt, bevor sie auf dem Boden der x-achse auftrifft? Argumentieren Sie, warum es sich bei dem von Ihnen gefundenen Wert tatsächlich um ein Maximum handelt! b Wo landet die Kugel bei diesem Abschusswinkel, wenn v 100 ist? Lösung: a Wir bestimmen zuerst den Landepunkt xt, yt x, 0 für t > 0 in abhängigkeit des Abschusswinkels ϕ. Es gilt yt 0 5t v sinϕt t 1 5 v sinϕ. Folglich erhalten wir die Funktion x von ϕ gegeben durch x ϕ xt ϕ 1 5 v cos ϕ sin ϕ. Um das Maximum zu bestimmen, berechnen wir die erste Ableitung nach ϕ. Es gilt dx v dϕ ϕ 5 cos ϕ sin ϕ dx dϕ ϕ 0 cos ϕ sin ϕ ϕ π 4. Siehe nächstes Blatt!

9 Für ϕ < π dx 4 gilt dϕ ϕ > 0 und somit ist dort x ϕ monoton wachsend. Andererseits ist die Ableitung für ϕ > π 4 negativ und folglich x ϕ monoton fallend. Also handelt es sich beim Funktionswert dazwischen um ein Maximum. Alternativ berechnet man die zweite Ableitung von x ϕ x ϕ 4 5 v sin ϕ cos ϕ und setzt ϕ π 4 ein π x 4 5 v < 0. Das zeigt ebenfalls, dass x ein Maximum bei π 4 besitzt. b Wir berechnen x π