Spiralen DEMO. Text Nr Stand 9. März 2016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.

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1 Spiralen Text Nr Stand 9. März 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 5435 Spiralen Vorwort Es gibt eine ganze Reihe von spiralähnlichen Kurven. Einige davon habe ich für diesen Text ausgewählt. Die Methoden für die Berechnungen werden im Text 540 Differentialgeometrie besprochen. Die Integralberechnungen sind teilweise sehr schwer und für Studenten sehr wichtig. Inhalt Archimedische Spirale 3. Gleichungen 3. Waagerechte und senkrechte Tangenten, Extrempunkte 4.3 Schnittpunkte der Spirale mit der x-achse 5.4 Steigungswinkel im ersten Schnittpunkt mit der x-achse 5.5 Sektorenfläche nach einem Umlauf 5.6 Länge des dargestellten Bogens 6.7 Einschub: Berechnung von x dx 7 Hyperbolische Spirale 8 3 Logarithmische Spirale 0

3 5435 Spiralen 3 Archimedische Spirale. Gleichungen Ihre Gleichung lautet: mit a 0 und r a 0 Die Abbildung zeigt zwei solche Spiralen, für a = 0,5 (rot) und a = (blau). r 0,5 und r Der Definitionsbereich ist 0 ;. Für das Intervall 0 ; erzielt man einen Umlauf von der x-achse bis wieder O zu ihr. Information: Der Abstand zwischen zwei Windungen EM ist konstant a, hier also genau. Die untere Abbildung hat einen größeren Maßstab, sodass man mehr Umläufe sehen kann. Die Archimedische Spirale hat auch eine Parametergleichung: x r cos a cos D y r sin a sin oder so : at cos t x t at sin t Wer zuerst den Text über Kurven in Parameterdarstellung gelesen hat, ist vielleicht etwas irritiert, denn dort wurde der Parameter t statt verwendet. Jetzt sind x und y selbst Funktionen von t.

4 5435 Spiralen 4. Waagrechte und senkrechte Tangenten, Extrempunkte Ableitung: x t Bedingung für waagerechte Tangente: t cos t cost tsint x t tsin t s in t t cos t y(t) 0 sin t t cos t 0 In der von TI Nspire erstellten Tabelle rechts erkennt man außer dem Ursprung noch 4 weitere Punkte im Intervall t0;4. Bedingung für senkrechte Tangenten: xt 0 cost tsint 0 Hier gibt es für das Intervall t0;4 genau vier Punkte. Die Abbildung zeigt 4 waagrechte und 4 senkrechte Tangenten in den berechneten Berührpunkten. Man könnte noch überprüfen, ob ein Hochpunkt ( y(t) 0 ) oder ein Tiefpunkt ( y(t) 0 ) vorliegt, oder ein Rechtspunkt (Maximum für x, wenn x(t) 0 ist) oder ein Linkspunkt (Minimum für x, wenn x(t) 0 ist). Wie liegen die Extrempunkte der Kurve? Da muss man zunächst einmal feststellen, dass der t-wert der Extrempunkte von a unabhängig ist. Hier ist a. Man könnte dann vermuten, dass die Extrempunkte im Abstand t auftreten. Es sei t eine Lösung der Gleichung y(t) 0 sint tcost 0. Ist dann t auch eine Lösung dieser Gleichung: sint t cost 0? Probe durch Einsetzen: sint t cost sint t cost sint tcost cost Das ist also nicht der Fall.

5 5435 Spiralen 5.3 Schnittpunkte der Spirale mit der x-achse? Bedingung: yt 0 at sint 0. Lösung: t = 0,. Lösung sint 0 t n n Also ist der Ursprung doppelte Nullstelle (Berührpunkt mit der x-achse). Dann weiter alle Punkte mit t als Vielfachem von. Das ergibt diese x-koordinaten: xn an cosn Ist n ungerade, dann ist cosn, ist n gerade: Also x 0; a ; a ; 3a : 4a N ; usw. O cos n.4 Steigungswinkel im ersten Schnittpunkt mit der x-achse rechts vom Ursprung? Für die Tangentensteigung gilt: dy y t sint tcost dy sin cos 0 (t ) dx x t cos t t sin t dx cos sin 0 O tan arctan 80,96 Gleichung der Tangente in N 0 3 : y0 x y x.5 Sektorenfläche, welche die positive x-achse mit der Spirale nach Umlauf begrenzt? Für das Intervall 0; macht die Kurve einen Umlauf. Die vom Radius dabei überstrichene (schraffierte)fläche hat den Inhalt F d d 8 FE Formel siehe Text 540 Seite 48/50???

6 5435 Spiralen 6.6 Länge des dargestellten Bogens? mit s r r' d r a r' a für s a a d a d d a. a x x Der Formelsammlung wird entnommen: x a dx ar sinh a x a x Also x dx ar sinh x x Auf der nächsten Seite zeige ich, wie man dieses Integral berechnet! s arsinh 4 0,63 LE 0 Wissen: Hier tritt als Stammfunktion von x a eine Funktion auf, die arsinh heißt, gelesen Area sinus hyperbolicus. Sie ist die Umkehrfunktion der Funktion y sinh x, die Sinus hyperbolicus heißt. Und diese wiederum ist definiert durch diese Gleichung: x x e e sinhx. Daneben gibt es noch die Funktionen cosh und tanh. Und weil zwischen ihnen Beziehungen bestehen, die an sin, cos und tan erinnern, tragen Sie diese Namen. Siehe dazu auch die folgende Seite.

7 5435 Spiralen 7.7 Einschub: Berechnung von x dx Vorkenntnisse: Man benötigt die hyperbolische Funktion sinh(x) ( sinus hyperbolicus ) Zusammen mit der Schwesterfunktion cosh(x) gilt diese Formel () () (3) cosh x sinh x bzw. sinh t cos t Also ist cosh t sinh t Ihre Ableitungen sind: sinh' x coshx und cosh' x sinhx Die Umkehrfunktion zu sinh(x) ist arsinh(x) (Area Sinus hyperbolicus). Für diese Funktion gibt es auch einen logarithmischen Funktionsterm: Nun zur Integration: ar sinh(x) ln x x (4) Wenn man sich die Wurzel ansieht und mit () vergleicht, dann erkennt man, dass man eine Substitution mit x sinh t dy sinh' t dt cosh t dt versuchen könnte x dx sinh t cosh t dt cosh t cosh t dt Partielle Berechnung des letzten Integrals: u' v dt uv uv' dt u' cosh t u sinh t v cosh t v ' sinh t cosh t cosh t dt sinh t cosh t sinh t dt Ersetzen nach (): sinh t cos t cosh t cosh t dt sinh t cosh t cosh t dt cosh t cosh t dt sinh t cosh t t cosh t dt Jetzt behandelt man diese Zeile wie eine Gleichung und addiert cosh t dt cosh t cosh t dt sinh t cosh t t : cosh t cosh t dt sinh t cosh t t. Das heißt doch aber: x dx sinh t cosh t t Rücksubstitution: Ergebnis: sinh t bzw. unter Beachtung von (4): x und t arsinhx (Umkehrung). cosh t sinh t x x dx x x arsinh x x dx x x ln x x

8 5435 Spiralen 8 Hyperbolische Spirale: r. Oft wird sie so angegeben: a a r cos Berechnung von Punkten: x rcos a sin y rsin a Rechts der Screenshot meines CAS-Rechners TI Nspire. Die Vektorfunktion hat 7 Punkte berechnet, die im Schaubild eingetragen sind. Vermutung: Die Kurve hat für 0 bzw. x die waagerechte Asymptote y = 5. Beweis: Zuerst braucht man Dann dieser Grenzwert cos lim x lim5 0 0 denn Zähler, und Nenner 0. sin Re gel von cos lim y 5 lim 5 lim 5 5, 0 0 de L'Hospital 0 wobei die Regel von de L Hospital angewandt worden ist: WISSEN: Diese Voraussetzung ist erfüllt: Zähler 0 und Nenner 0. Dann ändert sich der Grenzwert nicht, wenn man Zähler und Nenner getrennt ableitet, also keine Quotientenregel. Wir haben also gezeigt: Für 0 geht x und Allgemein gilt: Die hyperbolische Spirale r Asymptote: y. a 5 r 0, y 5 hat für 0 die waagerechte a

9 5435 Spiralen 9 Die Kurve erreicht den Ursprung O nicht. Denn dazu muss gehen: cos lim x lim 0, denn der Zähler schwankt zwischen - und, der Nennert a geht jedoch gegen Unendlich. Analog folgt: sin lim y lim 0 a Berechnung der Fläche eines Kurvensegments mit der Formel (Text 540): F r d 5 F d 5 d,5,5,5 6,5

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13 5435 Spiralen 3 k 3. Logarithmische Spirale: r( ) a e mit a,k \ 0 Die rechte Abbildung zeigt eine Schar logarithmischer Spiralen, und zwar für die Kurvenparameter t 0,;0,;...; (statt k) und zwar für das Intervall 0; mit a =. /4 Unten die Spirale r e für 4 ;4,. Man kann dafür auch diese Parameterdarstellung angeben: k x t ae cos k y t ae sin Die Name logarithmische Spirale kommt aus der Berechnung des Winkels aus dem Radius: r x y ae cos ae sin ae cos sin a e k k k k r k r e k ln a a Zugleich hat man mit der Gleichung Eigenschaft: r ln k a r k a e die Gleichung in Polarkoordinaten. Mit jeder Windung wächst der Radius um einen konstanten Faktor: k k k k k k r ae ae e a e e e r Also: r e r k Dabei ist e 535,5 ein so großer Faktor, da mit k noch potenziert wird, dass die Spirale schnell in die Weite geht. Folgerung: Will man möglichst anschauliche logarithmische Spiralen erzeugen, sollte k sehr viel kleiner als sein. Man erkennt dies an der rechten oberen Abbildung.

14 5435 Spiralen 4 Diese Eigenschaft kann man auch so interpretieren: Die logarithmische Spirale kann durch eine zentrische Streckung auf sich selbst abgebildet werden. Beweis: Vergrößert man um ein Vielfaches von, dann kommt man zu k. t k Dazu gehört dann der Radius rk e ttk e t tk e e Also erhält man rk e tk r tk Der Streckfaktor ist somit e. Die Abbildung zeigt Streckungen in Richtung y = -x. OC c OD und OB c OC, OA c OB mit einem Streckfaktor c. Steigung der logarithmischen Spirale: Darunter versteht man den Faktor k. Man kann k so berechnen: k Aus ra e folgt durch Ableiten: k r' ae k

15 5435 Spiralen 5 Berechnung der Bogenlänge für einen Bogen dieser Kurve: t s x y d t Zuerst muss man die Ableitungen mit der Produktregel berechnen: t t t t x t t e cos e sin y t e sin e cos t s e t cos sin e t sin cos d 0 t t sin t sin t sincos cos s e t cos t sin cos 0 t t s e t cos sin sin cos d e t d 0 0 t t e t t s t e d t e t t 0 0 Beispiel: Der für t 0,5 dargestellter Bogen hat die Länge /4 s e,89 LE d

16 5435 Spiralen 6 Unter dem Namen logarithmische Spirale findet man auch diese Kurve: r lna Für die Abbildung ist a, also r. Dargestellt ist das Intervall 0,0 50 Für geht ln, was zur waagrechten Asymptote nach links führt.

17 5435 Spiralen 7 4. Andere Spiralen Es gibt zahlreiche Kurven, die eine Spiralform aufweisen, 4 t Beispiel : r,t für 0; und t 0. Zunächst transformiere ich in eine Parameterdarstellung: 4 cos x rcos t a) Schnittpunkte mit der x-achse: Bedingung: yt 0 sin 0. Dies ergibt: 0,, 3. 4 sin t und y t r sin x-koordinaten: x0, x, x 4 t 4 t 4. t Ergebnis: N 0 falls t 0, N 0, N 3 0 t t t. b) Allgemeine Tangentensteigung. Ableitungen mit der Quotientenregel: cos sin t cos sin t cos x 4 x 4 4 t t t t sin cos t sin y t 4 y( ) 4 t y' cos t sin 4 y( ) t x sint cos 4 t cos t sin t tan sin t cos tan t Entweder multipliziert man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs, oder man erweitert den Doppelbruch mit t, dann kann man beide Nennerklammern kürzen. sin Dann kürzte ich den Bruch noch durch cos, was zu tan geführt hat. cos c) Tangenten an die Scharkurven im linken Schnittpunkt mit der x-achse, also bei x : Tangentensteigung: t tan t y'( ) t tan t 4 y 0 t x y t x4 t Tangentengleichung: Beobachtung: Diese Tangentenschar geht durch den Punkt Q0 4. (Siehe Abb. auf der nächsten Seite.)

18 5435 Spiralen 8 Die Abbildung zeigt die Kurvenschar. Dargestellt sind die Kurven für t 0;;;3;4;5 und zwar für 0;. Die Tangenten im linken Schnittpunkt mit der x-achse gehen alle durch Q0 4. d) Die Kurve K O hat die waagerechte Asymptote y = 4. Beweis: 4cos lim x lim " " 0 0 t Aber 4sin sin lim y lim 4 lim t 0 t sin x Denn man sollte diesen Grenzwert kennen: lim. x x Dieser wurde bereits benötigt, als man die Ableitung von sin(x) berechnet hat. Q