Kreise DEMO. Text Nr Stand 22. September 2016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.

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1 Kreise Tet Nr Stand. September 016 DEO FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULATHEATIK

2 5050 Kreis Vorwort Der Kreis ist ein Standardthema im Schulunterricht. Daher kommt er in der Internetbibliothek der athematik-cd oft vor: In der Geometrie: Kreisinhalt und -Umfang 1151 Kreisteile Kreisfiguren In der Analytischen Geometrie: 111 Kreisgleichungen 11 Kreis und Gerade / Tangenten 113 Schnitt zweier Kreise, Kreisscharen 150 Affine Abbildung von Kreisen (Planung) 100 Inversion (Spiegelung am Kreis) In der Vektorrechnung: Kreis und Gerade In der Analysis: 1811 Wurzelfunktionen für Halbkreise 00 Wurzelfunktionen für Halbkreise In vorliegendem Tet wird der Kreis als algebraische Kurve betrachtet und untersucht. Es geht vor allem um verschiedene Gleichungsformen. DEO Inhalt 1 Vorschau 3 Details zu den Kreisgleichungen Quadratische Ergänzung für die ittelpunktsform. 3 Kreistangenten 8

3 5050 Kreis 3 1 Vorschau Die Koordinatengleichung für einen Kreis mit dem ittelpunkt dem Radius r lautet y y r y und. Speziell für den Ursprungskreis gilt: y r Parametergleichungen für den Ursprungskreis: t r cost und yt r sint In Vektorschreibweise: für t 0; t r cos t r sin t Bei beliebigem ittelpunkt : t r cost und y t y r sin t bzw. Es sind aber auch andere Parametergleichungen möglich. Beispiel: t, y t rcos t rcos t t m bzw. t rsin t y rsin t für D t ; y mit D Viertelkreis: 0; Die Gleichung mit Polarkoordinaten ist bei einem Ursprungskreis etrem einfach: Der Winkel ist beliebig, unterliegt also keiner Bedingung. Daher kommt er auch nicht in der Gleichung vor, sondern nur der Radius: r Das ist beispielsweise die Gleichung des Kreises um den Ursprung mit Radius. Auch dies führt zu einem Kreis: oder usw. r r a sint a cost 0 a,r a (a 0) a 0, r a (a 0) Für einen Kreis mit dem ittelpunkt, dessen Polarkoordinaten r = d und sind, wobei dann R der Kreisradius ist, lautet die Gleichung in Polarkoordinaten: (Siehe Seite 6). DEO r d cos d cos (d R )

4 5050 Kreis 1. Warum stellt um Details zu den Kreisgleichungen yy r einen Kreis y mit Radius r dar? Die Bedingung dafür, dass P y auf dem Kreis um liegt, lautet: Der Abstand dieses Punktes vom Kreismittelpunkt ist konstant. an nennt diesen Abstand den Radius r. Berechnung des Abstandes: d,p P y y y (Nach Pythagoras) Die Kreisbedingung lautet: P r oder auch P r yy r, was zu beweisen war. Und das ergibt: 9. Zeige, dass die Gleichung y 5y 0 einen Kreis darstellt. Berechne ittelpunkt und Radius. Die gezeigte ethode heißt Quadratische Ergänzung: Umordnen: y 5y () 9 5 Das Ziel ist erkennbar: y r (3) Die leeren Kästchen in () stellen Platzhalter für die zu ergänzenden Quadrate dar. Wenn man nämlich die Gleichung (3) ausquadriert, entsteht: Eingesetzt in (): y 5y Die links ergänzten Quadrate und mussten auch rechts ergänzt werden! ethode: an erhält die zu ergänzenden Quadrate kurz so, dass man den Koeffizienten von bzw. y halbiert und dann quadriert. Die Quadrate muss man auch rechts ergänzen! 5 50 Zusammenfassen: y Ergebnis: Der Kreis hat also den ittelpunkt, und den Radius r Übungsaufgaben dazu im Tet 111 DEO

5 5050 Kreis 5 3 Wurzelfunktionen als Ersatzfunktionen für die Kurve Die Gleichung + y = 5 stellt den Kreis um O (0I0) mit r = 5 dar. Löst man sie nach y auf und zieht die Wurzel, folgt bzw. y 5 y 5 y 5 an erhält also zwei Funktionen: y f 5 und 1 y f 5 Das Schaubild von f 1 stellt den oberen Halbkreis dar, das von f den unteren Halbkreis. Etwas komplizierter geht die Umrechnung, wenn der Kreismittelpunkt nicht im Ursprung liegt: Tipp: Wissen: u y 1 5 Jetzt keine binomische Formel anwenden. Damit vergibt man folgende günstige öglichkeit der Umformung: y 1 5 y 1 5 u y1 5 y1 5 y 1 5 ( 8 16) y f 1,() Das Pluszeichen gehört zum oberen Halbkreis, das inuszeichen zum unteren.. Parameterdarstellung: Warum stellt das Gleichungssystem 0 für t 0; t y t einen Ursprungskreis dar? an berechnet: Hierbei wurde diese Formel verwendet: sin t cos t 1 Also gilt DEO rcos t rsin t y r cos t r sin t r cos t sin t r 1 r y r, was einen Ursprungskreis darstellt. (trigonometrischer Pythagoras). Ist der ittelpunkt y, dann lautet die Parametergleichungen (t) r cos t y(t) y r sin(t) Die Kreisschar auf der Titelseite dieses Tetes habe ich so mit athegrafi erstellt: A ist in diesem Fall der variable Kreisradius, der dann unten für die Werte 1 bis 5 (Schritt 1) festgelegt worden ist.

6 5050 Kreis 6 5. Gleichung in Polarkoordinaten (a) Erklärung: für den Ursprungskreis Diese Gleichung ist so einfach, dass Anfänger dadurch verwirrt werden. Sie heißt nur r a, wobei a eine positive Zahl ist. Eine Gleichung mit Polarkoordinaten gibt an, wie der Radius, also die Länge der Strecke OP vom Winkel abhängt, den diese Strecke gegen die positive -Achse einschließt. Bei einem Ursprungskreis ist aber dieser Radius konstant, also unabhängig von, weshalb auch nicht in der Polarkoordinatengleichung vorkommt. Die Gleichung r = kann man also deuten als Gleichung des Kreises um 0 0 mit Radius. yy r (b). für den Kreis Bei Polarkoordinaten (O ist der Pol) nennt man die Strecke OP meist r und den Winkel, den diese Strecke mit der positiven -Achse bildet (meistens). Daher bezeichne ich den Kreisradius jetzt mit R. Die Strecke O zum Kreismittelpunkt nenne ich d. Sie bildet mit der positiven -Achse den Winkel. Es geht jetzt um das Dreieck OP. Der Winkel bei O ist. Der Kosinussatz lautet im Dreieck OP so: R r d rdcos Umstellen nach r: r dcos r d R 0 Dies ist eine quadratische Gleichung für r mit den Lösungen d cos d cos (d R ) DEO r Vereinfachungen: Im Radikanden wird ausgeklammert und daraus die Wurzel gezogen. Dann kann man im Zähler ausklammern und gegen den Nenner wegkürzen: d cos d cos (d R ) dcos d cos (d R ) r 1 Schließlich ersetze ich noch. Wegen cos cos ist cos cos, was vielleicht etwas einfacher in der Anwendung ist (weil jetzt am Anfang der Differenz steht). r d cos d cos (d R ) Ergebnis: Das sieht entsetzlich aus. Also folgen Beispiele:

7 5050 Kreis 7 Beispiel 1: Beispiel : Gegeben ist ein Kreis, dessen ittelpunkt durch die Polarkoordinaten d und gegeben ist. Sein Radius sei R = 3. Dann lautet die Kreisgleichung: r cos 16cos Ich berechne nachträglich die kartesischen Koordinaten des ittelkpunkts: d cos cos ,6 O 1 O 1 y dsin sin 30 3 Hinweis: Ob man vor der Wurzel + oder verwendet, ist egal. Beides ergibt den Kreis. Der Kreis in der Abbildung auf Seite 6 hat den ittelpunkt 3 1 und R =. Für die Gleichung r d cos d cos (d R ) uss man zuerst berechnen: d y und dann aus der Gleichung y 1 tan 3 1 Es folgt arctan 0,3 (Bogenmaß): 3 r 10 cos 0,3 10 cos 0,3 6. Ergebnis: DEO 30 O 1 6

8 5050 Kreis 8 3 Kreistangenten Bei Kreistangenten gibt es die einfache Regel, dass die Tangente auf dem Berührradius senkrecht steht. Damit kann man Tangentengleichungen schnell aufstellen. Beispiel 1: k: y 5 Ein Kreispunkt ist z. B. P3 0 0 undr 5. Steigung von OP : m OP y 3 Tangentensteigung: m T,P 1 3 m Tangente aus der Punktsteigungsform y y m y 3 y. Es gibt auch eine Formel für die Tangentengleichung: Es sei 1 1 OP : P y der Berührpunkt, dann lautet die Gleichung der Tangente: y y r 1 1 (Tet 11 Seite 15) 3 5 Sie führt zu. 3y 5 y 53 y Beispiel : k: 3 y 90 B6 1 Der Radius ist r 90 B liegt auf k, denn es gilt: Tangentengleichung in B:, der ittelpunkt ist 3 y 3 1 mb mt T: y 1 3( 6) y 3 19 Auch hierzu gibt es eine Tangentenformel: Aus 3 y 90 macht man 3 3 y y Setzt man B6 1 ein, folgt: y 90 also: 933y 90 :3 33y 30 y y 3 19 P B y r P DEO