Quadratische Gleichungen Teil 1. Nach diesem reichhaltigen Übungsmaterial sollte man fit sein. Wenig Theorie und viel Training. Datei Nr.

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1 ALGEBRA Quadratische Gleichungen Teil Nach diesem reichhaltigen Übungsmaterial sollte man fit sein Wenig Theorie und viel Training Datei Nr. Stand. August 8 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 VORWORT Diese Datei ist ein Trainingstet ohne viel Theorie. Es werden sehr viele quadratische Gleichungen gelöst und verschiedene Methoden angewandt. Der Leser muss erkennen, dass es ganz unterschiedliche Formen bzw. Typen von Gleichungen gibt. Zu jedem Gleichungstyp gehört eine spezielle Methode. Wenn man den Typ erkennt und die zugehörige Methode weiß, kommt man schneller ans Ziel, wie wenn man stur eine Lösungsformel anwendet! Diese Merkmale und die zugehörigen Methoden sollte man daher gründlich lernen! Hierin zeigt sich später der flotte Rechner, der mit Übersicht ans Werk geht. Wer die Theorie der quadratischen Gleichungen ausführlicher studieren will, sollte die Datei 8 lesen. Dort geht es um quadratische Funktionen und deren Nullstellen (u. v. a.). Übersicht über die Tete zu quadratischen Gleichungen und ähnlichem 9 Quadratische Ergänzung Vorübungen zu Quadratische Gleichungen Sehr ausführlich (Dieser Tet!) Quadratische Gleichungen Alle Übungsaufgaben aus kompakt! Quadratische Gleichungen Lernprogramm! Quadratische Gleichungen Tetaufgaben 5 Quadratische Gleichungen Lernblatt: Das Wichtigste zum Lernen 6 Quadratische Gleichungen Quadratische Ergänzung, Übungsaufgaben Gleichungen. und. Grades, die auf quadratische Gleichungen führen. Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen. Übungsaufgaben zu 5 Wurzelgleichungen 6 Wurzelgleichungen Übungsaufgaben zu 5 6 Gleichungen höheren Grades 7 Diverse Gleichungen Methodentraining 7 Abiturtraining: Wiederholung der wichtigsten Gleichungsaufgaben

3 Inhalt Übersicht über quadratische Gleichungen Lösen reinquadratischer Gleichungen 5 Erweiterte reinquadratische Gleichungen 7 Trainingsblatt (Aufgaben und ) 8 Die quadratische Gleichung a b c 9. Lösung von mit quadratischer Ergänzung (. Methode) 9 Trainingsblatt (Aufgabe ). Herleitung der Mitternachtsformel, b b ac a. Wie wendet man die Mitternachtsformel an? (5 Musterbeispiele). 7 weitere Musterbeispiele zur Mitternachtsformel mit Hinweisen auf Besonderheiten, die vorkommen 7 Tabelle der Quadratzahlen zum Auswendiglernen 8 Trainingsblatt (Aufgabe bis ).5 Herleitung der p-q-formel für die Gleichung, p q p p q.6 Beispiele zur p-q-formel 5 $ Sonderformen quadratischer Gleichungen 7 Trainingsblatt (Aufgaben und ) 8 Lösungen der Aufgaben -

4 Quadratische Gleichungen Dies sollte man sich merken: Übersicht über quadratische Gleichungen Eine Gleichung heißt quadratisch, wenn man sie auf diese NORMALFORM bringen kann: Beispiel: a b c Hier ist a =, b = - und c =. Die Lösungen sind und, denn wenn man sie in die linke Seite einsetzt (die Probe machen), erhält man das Ergebnis. Dazu gibt es (einige Seiten später) eine Lösungsformel. Ist b = ist, liegt ein wichtiger Sonderfall vor. Diese Gleichungen nennt man dann reinquadratisch. z. B.: a c kürzer kürzer: 9 kürzer kürzer 5 8 kürzer a c Für reinquadratische Gleichungen gibt es eine einfache Lösungsmethode, die anschließend gezeigt wird. Mit einer ganz ähnlichen Methode kann man sogenannte erweiterte reinquadratische Gleichungen lösen. Beispiele dafür sind: oder Ist c =, dann liegt eine quadratische Gleichung ohne Absolutglied vor. Ziel: a bc c kürzer kürzer kürzer kürzer a bc Auch für diese Gleichungen gibt es ein spezielles, einfaches Lösungsverfahren. Wir werden ein Lösungsverfahren für die allgemeine quadratische Gleichung a b c lernen, aber auch spezielle Lösungsverfahren für die reinquadratische Gleichung a c und für die quadratische Gleichung ohne Absolutglied a b.

5 Quadratische Gleichungen 5 Lösung reinquadratischer Gleichungen Vorkenntnisse über Wurzeln: Wenn man eine positive oder negative Zahl quadriert, entsteht eine positive Zahl. Die Quadratwurzel macht eine Quadrierung wieder rückgängig, das Ergebnis ist aber stets eine positive Zahl oder. Das Ergebnis einer Wurzel ist also nie negativ! Beispiel: Wenn man aber wird rückgängig gemacht durch, wird rückgängig gemacht durch rückgänig machen will, entsteht 9 und nicht -!! Um dies allgemein auszudrücken muss man folgende Schreibweise kennen: Falsch ist:, denn das Rechenergebnis muss ja eindeutig sein. Man darf aber auch nicht schreiben, denn man sieht ja einer Variablen kein Vorzeichen an. Bei negativen wäre das Ergebnis also falsch. Damit das Ergebnis wie verlangt eine positive Zahl ist, braucht man Betragsstriche. Beispiel Zieht man auf beiden Seiten die Wurzel, ergibt das links und rechts. Die Folgegleichung lautet also. Und diese Gleichung hat Lösungen, denn es gibt genau zwei Zahlen, die den Betrag haben, nämlich und -. Und so sollte man das aufschreiben: Vorsicht: Falle!!! Die meisten lassen nach kurzer Zeit die mittlere Gleichung mit dem Betrag weg. Dann sieht die Kurzlösung so aus: Das geht in Ordnung! Das ist aber nicht in Ordnung! Lässt man die zweite Zeile weg, dann muss auch der Rechenbefehl wegbleiben. Denn das Ergebnis dieses Befehls Ziehe die Wurzel ist nicht!!! Denn und sind falsche Aussagen. Die neue zweite Gleichung folgt nämlich NICHT durch Ziehen der Wurzel aus der ersten. Man sollte am Ende noch die Lösungsmenge anschreiben: L= ; oder L=.

6 Quadratische Gleichungen 6 Beispiel : Beispiel : Beispiel 6: Beispiel,, L= L= Beispiel 5: Da ein Quadrat nie negativ sein kann, besitzen diese Gleichungen keine Lösung. L= L= Beispiel 7 : d.h. 6 9 *),, L L *) Anmerkung: Man kann aus teilweise die Wurzel ziehen, denn man kann so in ein Produkt zerlegen, dass ein Faktor eine Quadratzahl ist, aus dem man also die Wurzel ganzzahlig ziehen kann:

7 Quadratische Gleichungen 7 Erweiterte reinquadratische Gleichungen Die Gleichungen: und haben dieselbe Bauart (Form): Links steht ein quadratischer Term und rechts eine Zahl. Schüler neigen dazu, bei der rechten Gleichung die. binomische Formel zur Anwendung bringen. Dann erhält man 6 9, also 65. Davon wird dringend abgeraten, denn der Rechenaufwand für die Lösung wird dann größer. Wir lösen die erweiterte reinquadratische Gleichung mit denselben Schritten wie die (einfache) reinquadratische Gleichung und beachten dabei, dass folgendes gilt: und analog dazu Beispiel : Beispiel 8:. Schritt: Wurzel ziehen:. Schritt: Betrag auflösen:,. Schritt: Ordnen: 5, ; L= ; 5 Lösungsmenge: L= Beispiel 9: Beispiel : 9 -,, ; L= ; L= Beispiel : Beispiel : Ein Quadrat wird nie negativ! L= L=

8 Quadratische Gleichungen 8 Trainingsblatt Aufgabe 9 b) c) 5 e) f) 8 g) h) 6 c) Aufgabe b) 6 e) f) Lösungen am Ende der Datei.

9 Quadratische Gleichungen 9 Die allgemeine quadratische Gleichung a +b +c = Es gibt drei Methoden:. Quadratische Ergänzung Seite 9. Allgemeine Lösungsformel (Mitternachtsformel) Seite.6 p-q-formel. Seite. Lösung mit quadratischer Ergänzung (. Methode) Einführungsbeispiel () Mit der Methode quadratische Ergänzung wird die quadratische Gleichung in die Form () gebracht, also in eine erweiterte reinquadratische Gleichung. (Siehe ) Die Umwandlung benötigt Schritte. Dabei wird eine Quadratzahl ergänzt, sodass man durch erzeugen kann. Rückwärtsanwendung der. binomischen Formel das Binom Aus (): () folgt durch Subtraktion von : Als Binom schreiben (. binomische Formel) () Hier alles ganz ausführlich: Gegeben ist:. Schritt: Absolutglied nach rechts, also beidseitig :. Schritt: Ziel erkennen: ist doppeltes Produkt Also wird der Koeffizient halbiert und von das Quadrat = in () addiert: () () ()... Ziel: (). Schritt: Zusammenfassen: (). Schritt: Erweiterte reinquadratische Gleichung lösen: Empfehlung: Die Heftlösung so aufschreiben: Platz zur Ergänzung frei lassen: Ziel links: Quadratzahl ergänzen: halbieren und dann das Quadrat von ergänzen: Beide Seiten zusammenfassen Erweiterte reinquadratische Gleichung lösen: (Die Betragszeile kann man weglassen.) L ; auf beiden Seiten!

10 Quadratische Gleichungen. Wie wendet man die Mitternachtsformel, b b ac an? a Musterbeispiel : -8 7 Vergleicht man diese Gleichung mit der allgemeinen Form a b c, sollte man erkennen, dass a =, b = -8 (das Minuszeichen gehört dazu) und c = 7 ist. Diese Werte setzt man in die Lösungsformel ein und erhält:. Lösung: Lösung: 8 6 Lösungsmenge: ; 7 Musterbeispiel :, L=. 8 Vergleicht man diese Gleichung mit der allgemeinen Form erkennt man, dass a =, b = 8 und c = ist. Die Lösungsformel, b b ac ergibt dann: a a b c, , Hinweise zu den Berechnungen: kann man teilweise ziehen. Dazu braucht man eine Quadratzahl als Teiler von : Am Ende zerlegt man den Bruch in zwei Brüche und kürzt jeden von ihnen. Die Lösungsmenge L= 5 ; 5 kann man auch kürzer schreiben: 5 L=.

11 Quadratische Gleichungen () Löse: 8 5 Trainingsblatt Aufgaben Verwende eine Lösungsformel, schreibe die Lösungsmenge auf b) 78 e) (5) Ziehe teilweise die Wurzeln: b) 55 e) (6) Besondere Gleichungen: b) 5 e) (7) Nutze die günstige Form der Gleichung: g) j) c) 7 f) 8 c) f) 669 c) 57 f) b) c) 5 5 e) 68 f) h) 8 i) 7 k) 7 5 l) (8) Ändere die folgenden Gleichungen, um auf eine günstigere Form zu kommen: g) 6 8 b) 6 68 e) 5 6 h) (9) Löse wie gegeben: 9 b) () Beseitige einige Brüche: 68 c) f) 6 i) 9 7 c) b) c) 8 7 e) f) 5 8

12 Quadratische Gleichungen 5.6 Beispiele zur p-q-formel Ich löse jetzt einige Gleichungen sowohl mit der p-q-formel wie auch mit der Mitternachtsformel. Auf diese Weise kann man die Lösungswege vergleichen: Beispiel : --5= --5= p= - und q = - 5. a,b, c 5 führt zu Beispiel :, p p q, b b ac a , 5, +5+= Beide Formeln sind hier gut anwendbar. +5+= p = 5 und q =. a,b 5,c, p p q, b b ac a führt zu,, Beispiel : Jetzt zeigt die p-q-formel bereits leichte Schwächen, denn sie zwingt zum Bruchrechnen, was nichts Schlimmes ist, was aber Fehler provoziert = : = Denn die p-q-formel verlangt. a = 5, b = 9 und c = -. dass den Koeffizienten hat Die p-q-formel liefert dann: Die Mitternachtsformel liefert DAGEGEN , 5, Die p-q-formel eignet sich hier weniger. Das ist der Grund, warum ich die p-q-formel nicht empfehle.

13 Quadratische Gleichungen 6 Beispiel : Auch hier keine p-q-formel verwenden: 5 Für die p-q-formel : 5 Mitternachtsformel: 5 5 p 5 p, q 6,,,, b b ac a p p 5 5 q liefert, Und jetzt? In der Oberstufe erweist sich die p-q-formel als besonders unhandlich, vor allem dann, wenn Formvariable ins Spiel kommen, also bei Gleichungen Wie in 6 8t t, t Die p-q-formel erfordert diesen Aufwand: Zuerst Division durch t: t t t t, t t t t t t t Dennoch empfehlen viele Lehrer nur die p-q-formel.

14 Quadratische Gleichungen 7 Sonderformen quadratischer Gleichungen Übersicht: Die allgemeine Lösungsformel der Gleichung a b c ist die Mitternachtsformel und lautet:, -b b - ac a Diese wendet man in zwei Fällen NICHT an, weil dies zu umständlich wäre.. Fall: Reinquadratische Gleichungen (b=): Sie wurden in und bereits besprochen! a c Beispiel : Beispiel : Beispiel : - -6,, L. Fall: Gleichungen ohne Absolutglied (c = ): 9 9 L, da ein Quadrat nie L negativ sein kann. a b Beispiel : Beispiel : Beispiel : 5 Wenn das Absolutglied Null ist (also fehlt ), dann kann man ausklammern: 5 Jetzt liegt ein sogenanntes Nullprodukt vor. Wissen: Ein Produkt ist genau dann, wenn ein Faktor Null ist. Der. Faktor ist, also ist die. Lösung in solche Fällen stets =. Der. Faktor ist die dann Klammer, die man auch setzt und berechnet: 5 = L ; L ; L ; Merke: Fehlt in einer quadratischen Gleichung das Absolutglied (weil c = ist), dann ist die Anwendung einer Lösungsformel zu umständlich. Man geht dann so vor wie gezeigt, d.h. man klammert aus und erhält ein Nullprodukt. Die erste Lösung ist in diesem Fall immer die Zahl.

15 Quadratische Gleichungen 8 Trainingsblatt Aufgabe Bestimme die Lösungsmengen diese Gleichungen 5 b) 6 e) 7 b) 5 8 e) 69 c) f) 9 Aufgabe 5 c) f)