Wurzelgleichungen. W. Kippels 26. Oktober Inhaltsverzeichnis. 1 Vorwort 3. 2 Grundlagen 4
|
|
- Michael Scholz
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Wurzelgleichungen W. Kippels 6. Oktober 018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 Grundlagen 4 3 Übungsaufgaben Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Musterlösungen zu den Übungsaufgaben Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe
2 4.8 Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe
3 1 Vorwort Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe. Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend beschriebenen Generationenvertrages : Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen (oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die nachfolgende Generation weiter. Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine kleine an die folgende Adresse: Vielen Dank! 3
4 Grundlagen Beim Lösen mathematischer Probleme stößt man gelegentlich auch auf Gleichungen, die eine oder auch mehrere Quadratwurzeln enthalten. Diese Gleichungen nennt man Wurzelgleichungen. Hier ein Beispiel: 5 + 5x 1 = x Im folgenden möchte ich Strategien vorstellen, wie man solche Gleichungen lösen kann. Die erste Idee, die mancher vielleicht hat, lautet: Man müsste die Gleichung quadrieren, dann ist die Wurzel weg. Leider klappt das nur, wenn man auf diese Weise die Binomischen Formeln missachtet: 5 + 5x 1 = x ( ) 5 + (5x 1) = x Leider ist das falsch. Es gibt nämlich keine Formel, die lauten würde: (a + b) = a + b. Richtig hingegen ist: (a + b) = a + ab + b. Beachtet man diese Formel, erhält man: 5 + 5x 1 = x ( ) x 1 + (5x 1) = x Das hilft also nicht weiter. Es ist immer noch eine Wurzel da. Abhilfe ist jedoch möglich, wenn man vor dem Quadrieren dafür sorgt, dass die Wurzel allein auf einer Seite steht: 5 + 5x 1 = x 5 5x 1 = x 5 ( ) 5x 1 = x 10x + 5 Jetzt haben wir eine normale Quadratische Gleichung 1 erhalten, die keine Wurzel mehr enthält. Diese kann nun gelöst werden: 5x 1 = x 10x + 5 5x = x 15x + 6 x 1/ = 15 ( ± 15 ) 6 = 15 ± = 15 ± 11 x 1 = 4 = x = 6 = 13 1 Eine Anleitung zum Lösen Quadratischer Gleichungen (einschließlich Übungsaufgaben mit Lösungen) ist hier zu finden: 4
5 Offenbar haben wir die Lösungsmenge L = {; 13}. Führen wir sicherheitshalber einmal eine Probe durch. Beginnen wir mit x 1 = x 1 = x = = Nanu, was ist denn da passiert? Die Probe geht nicht auf! Haben wir etwa einen Rechenfehler gemacht? Führen wir vor weiteren Überlegungen erst noch die Probe mit x = 13 durch x 1 = x = = = 13 Erstaunlicherweise(?) geht diesmal die Probe auf, haben wir uns doch nicht verrechnet? Sehen wir uns das Ergebnis der Probe mit x 1 = einmal genau an. Wenn vor der Wurzel ein Minuszeichen gestanden hätte, dann würde die letzte Zeile lauten: 5 3 = Das wäre richtig. Im Schritt, in dem wir die Gleichung (und damit auch die Wurzel) quadriert haben, wäre dieses Minuszeichen vor der Wurzel wegquadriert worden. Zeile 3 hätten wir also sowohl mit einem Pluszeichen, als auch mit einem Minuszeichen vor der Wurzel erhalten. Wir haben also durch das Quadrieren eine Gleichung erhalten, die mehr Lösungen als die Originalgleichung hat. Dieser Schritt war nämlich keine sogenannte Äquivalenzumformung. Was lernen wir daraus? Bei der Lösung von Wurzelgleichungen erhalten wir möglicherweise mehr Lösungen, als tatsächlich die Wurzelgleichung erfüllen. Daraus ergibt sich folgender Merksatz: Man muss nach dem Lösen einer Wurzelgleichung stets eine Probe machen. 5
6 3 Übungsaufgaben Hier sind einige Übungsaufgaben zu Wurzelgleichungen zusammengestellt. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der Gleichungen! Denken Sie daran, dass vor Festlegung der Lösungsmenge die Proben erforderlich sind! Die durchgerechneten Lösungen zu diesen Aufgaben finden Sie im nächsten Hauptkapitel. 3.1 Aufgabe 1 3. Aufgabe + 3x = 5x 6 7x + 15 = x Aufgabe Aufgabe 4 x + + 4x 7 = 5 x x + 4 5x + 1 = x x Aufgabe 5 5x x 3 = x Aufgabe Aufgabe 7 4 3x x + 1 = 4 3x x x + 1 x 33 x 4x = Aufgabe 8 5x + 4 x 1 = 6
7 3.9 Aufgabe 9 x 1 + 6x + 3 = 11x Aufgabe Aufgabe Aufgabe 1 x 6 x + 7 = 0 x 3 x = x x + 5 = 3.13 Aufgabe 13 x + 4 = x Aufgabe Aufgabe 15 30x 16 x + = x 5 x = 3 x 3 + x 3.16 Aufgabe 16 5x x 5 1 = 3 7
8 4 Musterlösungen zu den Übungsaufgaben Hier finden Sie die durchgerechneten Lösungen zu allen Aufgaben. 4.1 Lösung Aufgabe 1 + 3x = 5x 6 3x = 5x 8 ( ) x 1 = 66 Probe mit x 1 = 1,3: x 1 = 1,3 ist keine Lösung! 3x = 5x 80x x + 0 = 5x 83x + 66 : 5 0 = x 83 5 x p-q-formel x 1/ = ± x 1/ = ± = 1,3 x = = + 3x = 5x ,3 = 5 1, ,96 = 0,6 + 1,4 0,6 Probe mit x = : x = ist eine Lösung! + 3x = 5x = = 4 + = 4 Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {} 8
9 4. Lösung Aufgabe 7x + 15 = x In dieser Aufgae haben wir sogar zwei Wurzeln! Leider ist es nicht möglich, beide Wurzeln gleichzeitig in einem Schritt zu eliminieren. Da eine Wurzel allein auf einer Seite steht, kann jedoch quadriert werden, um die linke Wurzel loszuwerden. 7x + 15 = x ( ) 7x + 15 = (x 5) + 10 x x + 15 = x x 5 x 0 5x 55 = 10 x 5 : 5 x 1 = x 5 ( ) x x + 1 = 4 (x 5) x x + 1 = 8x 0 8x + 0 x 10x + 1 = 0 p-q-formel x 1/ = 5 ± 5 1 x 1/ = 5 ± x 1 = 3 x = 7 Probe mit x 1 = 3: x 1 = 3 ist eine Lösung. 7x + 15 = x = = = Probe mit x = 7: x = 7 ist (auch) eine Lösung. 7x + 15 = x = = = Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {3; 7} 9
10 4.3 Lösung Aufgabe 3 x + + 4x 7 = 5 x x 4x 7 = 3 x ( ) Probe mit x = 4,5: 4x 7 = 9 1x + 4x 4x = 4x 36x + 81 : 4 0 = x 9x x 1/ = 9 81 ± x 1/ = 9 ± 0 x = 4,5 p-q-formel x + + 4x 7 = 5 x 4, ,5 7 = 5 4,5 6, = 0,5 6, ,5 Es gibt keine Lösung für die Gleichung, die Lösungsmenge lautet: L = { } 10
11 4.4 Lösung Aufgabe 4 x + 4 5x + 1 = x x + 9 Hier haben wir gleich 4 Wurzeln! Durch Quadrieren kann man aber deren Zahl auf reduzieren. x + 4 5x + 1 = x x + 9 ( ) x + 4 x + 4 5x x + 1 = x + 16 x x x + 9 7x + 5 (x + 4) (5x + 1) = 7x + 5 (x + 16) (5x + 9) 7x x + x + 0x + 4 = 7x x + 18x + 80x x 5 10x + x + 4 = 0 10x + 98x ( ) 4 (10x + x + 4) = x + 98x (10x + 98x + 144) 40x + 88x + 16 = x + 98x x + 39x x 88x + 16 = 80 10x + 98x x x x 960 = 80 10x + 98x : ( 16) 19x + 60 = 5 10x + 98x ( ) 361x + 80x = 5 (10x + 98x + 144) 361x + 80x = 50x + 450x x 450x x 170x = 0 : 111 x 170 ( 111) x = 0 x x = 0 x 1 = 0 x = Probe mit x 1 = 0: = = = 4 3 Probe mit x = : = = 8 31 = Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {0} 11
12 4.5 Lösung Aufgabe 5 5x x 3 = x 5 Hier kann sofort quadriert werden. 5x x 3 = x 5 ( ) 5x (5x + 1) (4x 3) + 4x 3 = x 5 9x + 0x 15x + 4x 3 = 7x 3 ( ) 4 (0x 11x 3) = 49x + 4x x 44x 1 = 49x + 4x x 4x 9 31x 86x 1 = 0 : 31 x x 1 31 = 0 x 1/ = ± x 1/ = ± 961 x 1/ = ± Probe mit x 1 = 7 31 : x 1 = 7 31 x = 3 5x x 3 = x 5 5 ( ) ( ) = ( 31) = Da die Wurzeln alle keine (reelle) Lösung haben, ist x 1 = 7 31 Probe mit x = 3: Auch x = 3 erfüllt nicht die Gleichung. 5x x 3 = x = = keine Lösung. Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { } 1
13 4.6 Lösung Aufgabe 6 4 3x x + 1 = 4 3x x x + 1 Es sollt auffallen, dass der Nenner des Bruches annähernd identisch mit der linken Gleichungsseite ist. Nur das Rechenzeichen dazwischen ist anders. Multipliziert man nun die Gleichung mit dem (rechten) Nenner, dann löst die dritte Binomische Formel links alle Wurzeln auf. 4 3x x + 1 = 4 ( 3x + 4 4x + 1 ) = 4 3x x x x ( 3x x + 1 ) 3x x ((3x + 4) (4x + 1) ) = 4 3x (3x + 4 4x 1) = 4 3x ( x + 3) = 4 3x x + 1 = 4 3x x + 13 = 4 3x + 4 ( ) 16x 104x = 16 (3x + 4) 16x 104x = 48x x 64 16x 15x = 0 : 16 x = 0 x 1/ = 19 4 ± x 1/ = 19 4 ± x 1/ = 19 4 ± 16 4 x 1 = 3 x =
14 Probe mit x 1 = 3 4 : Probe mit x = 35 4 : 4 3x x 4 3x = 3x x = = = = 9 9 = 4 3x x 4 3x = 3x x = = = = Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { }
15 4.7 Lösung Aufgabe 7 x 33 x 4x = 5 x 33 x 4x = 5 x ( ) 33 x 4x = 5 10x + x 33 + x + 4x 0 = x 6x 8 : 0 = x 3x 4 x 1/ = 3 9 ± Probe mit x 1 = 1: x 1/ = 3 ± 5 x 1 = 1 x = 4 x 33 x 4x = ( 1) 4 ( 1) = Probe mit x = 4: x 33 x 4x = = Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { } 15
16 4.8 Lösung Aufgabe 8 5x + 4 x 1 = ( ) 5x + 4 x 1 = 4 ( ) 5x + 4 (5x + 4) (x 1) + x 1 = 16 7x x 5x + 8x 4 = 16 7x 3 10x + 3x 4 = 7x + 13 ( ) 4 (10x + 3x 4) = 49x 18x x + 1x 16 = 49x 18x x 1x = 9x 194x : 9 0 = x x x 1 = x 1/ = 97 9 ± x 1/ = 97 9 ± 88 9 x = Probe mit x 1 = 185: 9 5x + 4 x 1 = = = = 3 1 = 3 4 = Probe mit x = 1: 5x + 4 x 1 = = 9 1 = 3 1 = Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { }
17 4.9 Lösung Aufgabe 9 x 1 + 6x + 3 = 11x + 5 ( ) x 1 + (x 1) (6x + 3) + 6x + 3 = 11x + 5 8x + + 1x + 6x 6x 3 = 11x + 5 8x 1x 3 = 3x + 3 ( ) 4 (1x 3) = 9x + 18x x 1 = 9x + 18x + 9 9x 18x 9 39x 18x 1 = 0 : 39 Probe mit x 1 = 7 13 : x 6 13 x 7 13 = 0 x 1 = 7 13 x 1/ = 3 13 ± x 1/ = 3 13 ± x = 1 x 1 + 6x + 3 = 11x + 5 ( ) ( ) = 11 ( 13) = Keine der Wurzeln hat eine (reelle) Lösung. Daher gehört x 1 nicht zur Lösungsmenge. Probe mit x = 1: x 1 + 6x + 3 = 11x = = = 4 Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {1} 17
18 4.10 Lösung Aufgabe 10 Probe mit x 1 = 16: Probe mit x = 81: x 6 x + 7 = x x + 7 = 6 x ( ) 4x + 88x = 676x 676x 4x 388x = 0 : 4 x 97x = 0 x 1/ = ± x 1/ = ± x 1/ = ± 4 x 1/ = 97 ± 65 x 1 = 16 x = 81 x 6 x + 7 = = = = 0 0 = 0 x 6 x + 7 = = = = 0 0 = 0 Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {16; 81} 18
19 4.11 Lösung Aufgabe 11 x 3 x = + 3 x x = 3 x ( ) 4x 8x + 4 = 9 x 9x 4x 17x + 4 = 0 : 4 x 17 4 x + 1 = 0 x 1/ = ± 64 1 x 1/ = ± x 1/ = 17 8 ± x 1/ = 17 8 ± 15 8 x 1 = 1 4 x = 4 64 Probe mit x 1 = 1 4 : x 3 x = Probe mit x = 4: = 1 3 x 3 x = = 8 6 = Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {4} 19
20 4.1 Lösung Aufgabe 1 x x + 5 = ( ) x (x + 3) (x + 5) + x + 5 = 4 3x x + 5x + 6x + 15 = 4 3x x + 11x + 15 = 4 3x 8 x + 11x + 15 = 3x 4 ( ) 4 (x + 11x + 15) = 9x + 4x x + 44x + 60 = 9x + 4x x 44x 60 0 = x 0x 44 x 1/ = 10 ± x 1/ = 10 ± 1 x 1 = x = Probe mit x 1 = : x x + 5 = ( ) + 5 = = Probe mit x = : x x + 5 = = Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { } 0
21 4.13 Lösung Aufgabe 13 x + 4 = x ( ) x + 4 = x x x 35 x 31 = 1 x 1 ( ) x + 6x = 144 (x 1) x + 6x = 88x x x + 6x = 0 x 1/ = 113 ± x 1/ = 113 ± 108 x 1 = 5 x = 1 Probe mit x 1 = 5: x + 4 = x = Probe mit x = 1: x + 4 = x = Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { } 1
22 4.14 Lösung Aufgabe 14 30x 16 x + = x 30x + = 16 x ( ) 900x + 10x + 4 = 56x 56x 900x 136x + 4 = 0 : 900 x = 0 x 1/ = 17 5 ± x 1/ = 17 5 ± x 1/ = 17 5 ± x 1 = 1 5 x = 1 9 Probe mit x 1 = 1 : 5 30x 16 x + = = = = 0 5 Probe mit x = 1: 9 30x 16 x + = = = = 0 Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = { 1 5 ; 1 9 }
23 4.15 Lösung Aufgabe x 5 x = 3 x 3 + x ( ) 5 + x (5 + x)(5 x) + 5 x = 3 x (3 x)(3 + x) x 10 5 x = 6 9 x x = 9 x : 5 x = 9 x ( ) x + 5 x = 9 x + x 4 5 x + 9 = x = 0 ( ) 16 (5 x ) = x = x = 0 : ( 64) x = 0 Probe mit x = 0: x = x 5 x = 3 x 3 + x = = = 0 Aus dem Ergebnis der Probe ergibt sich die Lösungsmenge: L = {0} 3
24 4.16 Lösung Aufgabe 16 5x x 5 1 = 3 ( ) 5x x 5 1 = x x 5 = 10 ( ) 5x (5x + 1) (3x 5) + 3x 5 = 100 8x x 5x + 3x 5 = 100 8x x x 5 = 8x : 15x x 5 = 4x + 5 ( ) Probe mit x 1 = 7: 15x x 5 = 16x 416x x + x = x 394x x 1/ = 197 ± x 1/ = 197 ± x 1/ = 197 ± 190 x 1 = 7 x = 387 5x x 5 1 = = = = 3 9 = 3 Probe mit x = 387: 5x x 5 1 = = = = Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge: L = {7} 4
Wurzelgleichungen. W. Kippels 16. August 2014
Wurzelgleichungen W. Kippels 16. August 01 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Übungsaufgaben.1 Aufgabe 1.................................... Aufgabe....................................3 Aufgabe 3....................................
MehrSchranken von Folgen
Schranken von Folgen W. Kippels 26. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 2 Einleitung 2 3 Definitionen 3 4 Übungsaufgaben 3 4.1 Aufgabe 1................................... 3 4.2 Aufgabe 2...................................
MehrQuadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen Wolfgang Kippels 26. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 Lösungsverfahren 5 2.1 Lösung mit Formel.............................. 5 2.1.1 Beispiel 1:...............................
MehrÜbungen zur Linearen und zur Quadratischen Funktion
Übungen zur Linearen und zur Quadratischen Funktion W. Kippels 26. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 2 Die Aufgabenstellungen 3 2.1 Aufgabe 1:................................... 3 2.2 Aufgabe
MehrLösen linearer Gleichungssysteme
Lösen linearer Gleichungssysteme Wolfgang Kippels 26. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 2 Einleitung 3 3 Einsetzungsverfahren 4 4 Additions-/Subtraktionsverfahren 6 5 Gleichsetzungsverfahren
MehrGrenzwerte von Folgen
Grenzwerte von Folgen Wolfgang Kippels 6. März 209 Inhaltsverzeichnis Vorwort 3 2 Einleitung 3 3 Definition und Lehrsätze 3. Definition des Grenzwertes.......................... 3.2 Grenzwertlehrsätze..............................
MehrÜbungsaufgaben zur Linearen Funktion
Übungsaufgaben zur Linearen Funktion Wolfgang Kippels 26. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 2 Grundlagen 4 3 Aufgabenstellungen 4 3.1 Aufgabe 1................................... 4 3.2 Aufgabe
MehrBetrags-Gleichungen und -Ungleichungen
Betrags-Gleichungen und -Ungleichungen W. Kippels 26. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 2 Grundlagen zu Beträgen 3 2.1 Gleichungen mit Beträgen.......................... 3 2.2 Ungleichungen mit
MehrPartialbruchzerlegung
Partialbruchzerlegung W. Kippels 26. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 2 Prinzip der Zerlegung 3 2.1 Nenner mit einfachen Nullstellen...................... 3 2.2 Nenner mit mehrfachen Nullstellen.....................
MehrLösen von Bruchgleichungen
Lösen von Bruchgleichungen Wolfgang Kippels 26. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 2 Grundsätzliche Vorgehensweise 4 2.1 Hauptnennerbestimmung........................... 4 2.1.1 Ausklammern, Binomische
MehrBestimmung von Ableitungen
Bestimmung von Ableitungen W. Kippels 26. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 2 Einleitung 3 3 Ableitungen von grundlegenden Funktionen 3 4 Ableitungsregeln 3 4.1 Konstantenregel................................
MehrLösen von Gleichungen
Lösen von Gleichungen Wolfgang Kippels 26. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 Grundsätzliche Vorgehensweise 4 2.1 Termtyp.................................... 4 2.2 Teiltermtypen.................................
MehrÜbungsaufgaben zur Vektorrechnung
Übungsaufgaben zur Vektorrechnung Wolfgang Kippels. Oktober 8 Inhaltsverzeichnis Vorwort Einleitung Einfache Aufgaben. Aufgabe..................................... Aufgabe a................................
MehrFlächenberechnung mit Integralen
Flächenberechnung mit Integralen Wolfgang Kippels 28. April 208 Inhaltsverzeichnis Vorwort 2 2 Einleitung 2 3 Übungsaufgaben 3 3. Aufgabe................................... 3 3.2 Aufgabe 2...................................
MehrWurzelgleichungen. 1.1 Was ist eine Wurzelgleichung? 1.2 Lösen einer Wurzelgleichung. 1.3 Zuerst die Wurzel isolieren
1.1 Was ist eine Wurzelgleichung? Wurzelgleichungen Beispiel für eine Wurzelgleichung Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung bei der in mindestens einem Radikanten (Term unter der Wurzel) die Unbekannte
MehrQuadratische Funktion
Quadratische Funktion Wolfgang Kippels 6. Oktober 018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Zusammenstellung der Grundlagen 3.1 Nullstellen................................... 3. Scheitelpunkt.................................
MehrLineargleichungssysteme Einsetzungsverfahren
Lineargleichungssysteme Einsetzungsverfahren Wolfgang Kippels 21. Juni 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 2 Lineargleichungssysteme mit zwei Variablen 4 3 Einsetzungsverfahren bei mehr als zwei Variablen
MehrLogarithmen und Exponentialgleichungen
Logarithmen und Exponentialgleichungen W. Kippels 27. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 4 2 Definitionen 5 3 Gesetze 6 4 Logarithmen und Taschenrechner 6 5 Exponentialgleichungen 8 6 Übungsaufgaben
MehrPolynomdivision. W. Kippels 22. November Inhaltsverzeichnis. 1 Vorwort 3
Polynomdivision W. Kippels 22. November 218 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 2 Lösungsprinzip 4 2.1 Grundmuster einer Polynomdivision..................... 4 2.2 Spezielle Beispiele, Fallen.........................
MehrQuadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen Wolfgang Kippels 3. September 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Lösungsverfahren 1.1 Lösung mit Formel.............................. 1.1.1 Beispiel 1:............................... 1.1.2
MehrQuadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen Grundlage für das Lösen von Quadratischen Gleichungen ist die Lösungsformel, auch als p-q-formel bekannt. Diese Formel bezieht sich auf die Quadratische Gleichung in Normalform:
MehrVektorrechnung. Wolfgang Kippels 27. Oktober Inhaltsverzeichnis. 1 Vorwort 2. 2 Grundlagen der Vektorrechnung 3
Vektorrechnung Wolfgang Kippels 7 Oktober 018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Grundlagen der Vektorrechnung Beispielaufgaben 1 Lineare Abhängigkeit und Komplanarität 11 Aufgabe 1 1 Aufgabe Winkel zwischen
MehrTangente an eine Kurve
Tangente an eine Kurve Wolfgang Kippels 22. Februar 2019 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 2 Einleitung 3 3 Tangentenbestimmung im Berührpunkt 3.1 Problemdarstellung.............................. 3.2 Zusammenfassung...............................
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 4. Semester ARBEITSBLATT 5 WURZELGLEICHUNGEN
ARBEITSBLATT 5 WURZELGLEICHUNGEN Definition: Gleichungen, in denen eine Variable unter dem Wurzelzeichen auftritt, nennt man Wurzelgleichungen. Das Rechnen mit diesen Gleichungen können wir nach der Anzahl
MehrWurzelgleichungen: Analytische und graphische Lösungen. 1-E Mathematik, Vorkurs
Wurzelgleichungen: Analytische und graphische Lösungen 1-E Mathematik, Vorkurs Wurzelgleichungen Definition: Gleichungen, bei denen die Variable im Argument einer Wurzelfunktion auftritt, heißen Wurzelgleichungen.
MehrJ Quadratwurzeln Reelle Zahlen
J Quadratwurzeln Reelle Zahlen J Quadratwurzeln Reelle Zahlen 1 Quadratwurzeln Ein Quadrat habe einen Flächeninhalt von 64 cm. Will man wissen, wie lang die Seiten des Quadrates sind, so muss man herausfinden,
MehrNullstellen von Polynomen
Nullstellen von Polynomen W. Kippels 2. Februar 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Nullstellenbestimmung eines Polynoms 3 2.1 Nullstellenbestimmung für Polymome 1. und 2. Grades.......... 3 2.2 Nullstellenbestimmung
MehrDie Cramersche Regel
Die Cramersche Regel Wolfgang Kippels 22. Juni 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 2 Einleitung 3 3 Die Cramersche Regel in allgemeiner Form 3 4 Auflösen einer Determinante 4 4.1 Fall 1: Zweireihige Determinanten......................
MehrQuadratische Funktion
Quadratische Funktion Wolfgang Kippels. September 017 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Zusammenstellung der Grundlagen 3 3 Aufgaben 3.1 Aufgabe 1:................................... 3. Aufgabe :...................................
MehrQuadratische Ungleichungen
Quadratische Ungleichungen W. Kippels 7. Oktober 014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 Lösungsprinzip 3 3 Verdeutlichung an zwei Beispielen 5 3.1 Beispiel 1................................... 5 3. Beispiel...................................
MehrZahlen und Funktionen
Kapitel Zahlen und Funktionen. Mengen und etwas Logik Aufgabe. : Kreuzen Sie an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind:. Alle ganzen Zahlen sind auch rationale Zahlen.. R beschreibt die Menge aller natürlichen
MehrQuadratische Gleichungen Teil 1. Nach diesem reichhaltigen Übungsmaterial sollte man fit sein. Wenig Theorie und viel Training. Datei Nr.
ALGEBRA Quadratische Gleichungen Teil Nach diesem reichhaltigen Übungsmaterial sollte man fit sein Wenig Theorie und viel Training Datei Nr. Stand. August 8 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
MehrLösen von Textaufgaben
Lösen von Tetaufgaben W. Kippels 1. November 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 2 Einleitung 4 3 Grundsätzliche Vorgehensweise 4 4 Übungsaufgaben 8 4.1 Aufgabe 1................................... 8 4.2
MehrÜbungsaufgaben zur Vektorrechnung
Übungsaufgaben zur Vektorrechnung W. Kippels 9. Januar Inhaltsverzeichnis Aufgaben. Aufgabe..................................... Aufgabe a................................ Aufgabe b................................
MehrQuadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen Alle aufgezeigten Lösungswege gelten für Gleichungen, die schon vereinfacht und zusammengefasst wurden. Es darf nur noch + vorhanden sein!!! (Also nicht + und auch nicht 3 ; bitte
MehrIntegrationsübungen mit Lösungen
Integrationsübungen mit Lösungen Wolfgang Kippels 12. Juli 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 2 2 Einleitung 3 3 Aufgaben 4 3.1 Aufgabe 1................................... 4 3.2 Aufgabe 2...................................
MehrOnline Vorlesung Wirtschaftswissenschaft. Gleichungen verstehen, umstellen und lösen. Fernstudium-Guide präsentiert. Mathe-Basics
Fernstudium-Guide präsentiert Online Vorlesung Wirtschaftswissenschaft Mathe-Basics Gleichungen verstehen, umstellen und lösen Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der
MehrGebrochen Rationale Funktionen
Gebrochen Rationale Funktionen W. Kippels. September 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 2 Einführung 3 Polstellen und Lücken Asymptote 10 5 Übungsaufgaben 11 5.1 Aufgabe 1...................................
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 2. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN Bisher kennen wir bereits folgende Zahlenbereiche: N Natürliche Zahlen Z Ganze Zahlen Q Rationale Zahlen Bei
Mehr= T 2. Lösungsmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereiches D G, die die Gleichung zu einer Wahre Aussage machen.
Gleichungen Eine Gleichung ist eine Aussage, in der die Gleichheit zweier Terme durch Mathematische Symbol ausgedrückt wird. Dies wird durch das Gleichheitssymbol = symbolisiert G : = T 2 Definitionsmenge
MehrSchranken von Folgen
Schranken von Folgen W. Kippels 30. März 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 2 Übungsaufgaben 2 2.1 Aufgabe 1................................... 2 2.2 Aufgabe 2...................................
MehrPolynomgleichungen. Gesetzmäßigkeiten
Polynomgleichungen Gesetzmäßigkeiten Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable x nur in der 1. Potenz, so spricht
MehrCheck-1. (1/8) erstellt: (WUL); zuletzt geändert: (WUL)
Check-1 (1/8) erstellt: 01.06.2017 (WUL); zuletzt geändert: 06.06.2017 (WUL) Nullstellen Nullstellen Die Punkte einer Funktion die die x-achse durchstoßen oder berühren nennt man Nullstellen. Sie haben
MehrKomplexe Gleichungen
Komplexe Gleichungen Wolfgang Kippels 28. April 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 4 2 Grundlagen mit Beispiel 5 3 Übungsaufgaben 9 3.1 Lineare Gleichungen:............................. 9 3.1.1 Aufgabe
MehrAlgebraische Gleichungen
13 Algebraische Gleichungen H.Ra,J.M.Ra,Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, OI 10.1007/978-3-658-07788-4_, Sringer Fachmedien Wiesbaden 015.1 Lineare Gleichungen >Lehrbuch Kaitel
MehrEin Experte ist ein Mensch der in einem sehr kleinen Gebiet alle möglichen Fehler begangen hat.
Quadratische Gleichungen Ein Eperte ist ein Mensch der in einem sehr kleinen Gebiet alle möglichen Fehler begangen hat. Niels Bohr Dänischer Physiker, 885-96. Ziele Am Ende dieses Kapitels kannst du quadratische
MehrGleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen: Teil 1: Bruchgleichungen. Shareware-Datei ohne Lösungen. Datei Nr
Spezielle Gleichungen Klassenstufe 9 Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen: Teil : Bruchgleichungen Shareware-Datei ohne Lösungen Datei Nr. 0 April 00 Friedrich Buckel Internatsgymnasium
Mehr2.3 Logarithmus. b). a n = b n = log a. b für a,b 0 ( : gesprochen genau dann bedeutet, dass beide Definitionen gleichwertig sind) Oder log a
2.3 Logarithmus Bsp. Seite 84 mitte: Wie lange muss man Fr. 10 000.- zu 5,1% anlegen, um Fr. 16 000.- zu erhalten? Lösen Sie die Zinseszinsformel nach q n auf Aus q n erfolgt die Berechnung von n mittels
MehrDeterminanten. Wolfgang Kippels 28. April Inhaltsverzeichnis. 1 Vorwort 2. 2 Einleitung 3. 3 Die Matrix 3
Determinanten Wolfgang Kippels April Inhaltsverzeichnis Vorwort Einleitung Die Matrix Die Determinante einer Matrix Zweireihige Determinanten Mehrreihige Determinanten Beispiel : Eine dreireigige Determinante
MehrDie Kanten der Grundfläche mit je 7 cm sind die Katheten a und b des rechtwinkligen Dreiecks, die Hypotenuse c ist die gesuchte Bodendiagonale c.
Aufgabe 1 Schritt 1: Ansatz und Skizze Bei einem Würfel, bei dem ja alle Kantenlängen gleich sind, kannst du mit einer Raumdiagonale, einer senkrechten Kante und einer Decken oder Bodendiagonalen ein rechtwinkliges
MehrTeil 2. Mittelstufen-Algebra. Auf dem Niveau der Klasse 8 bis 10. Datei Nr
ALGEBRA mit dem CASIO ClassPad 00PLUS Teil Mittelstufen-Algebra Auf dem Niveau der Klasse 8 bis 0. Datei Nr. 70 Hier nur 5 Seiten als Demo Die Originaldatei gibt es auf der Mathe-CD Friedrich W. Buckel
MehrM 9.1. Quadratwurzeln. Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: Carina Mittermayer (2010)
M 9.1 Quadratwurzeln Wie wird definiert? Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: M 9.2 Reelle Zahlen Was sind irrationale Zahlen? Nenne vier
MehrM 9.1. Quadratwurzeln. Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: Carina Mittermayer (2010)
M 9.1 Quadratwurzeln Wie wird definiert? Wie bezeichnet man die Zahl unter der Wurzel? Für welche Zahlen ist die Wurzel definiert? Berechne: M 9.2 Reelle Zahlen Was sind irrationale Zahlen? Nenne vier
Mehr6 Gleichungen und Gleichungssysteme
03.05.0 6 Gleichungen und Gleichungssysteme Äquivalente Gleichungsumformungen ( ohne Änderung der Lösungsmenge ).) a = b a c = b c Addition eines beliebigen Summanden c.) a = b a - c = b - c Subtraktion
Mehrperfekt für Klassenarbeiten Videos zu jeder Übungsaufgabe alle Themen sehr übersichtlich alle Anforderungsbereiche StrandMathe GbR
perfekt für Klassenarbeiten Videos zu jeder Übungsaufgabe alle Themen sehr übersichtlich alle Anforderungsbereiche Unsere Übungshefte sind für alle Schülerinnen und Schüler, die keine Lust auf 300-seitige
MehrWurzelgleichungen 150 thematisch geordnete Wurzelgleichungen mit ausführlichen Lösungen
Wurzelgleichungen 50 thematisch geordnete Wurzelgleichungen mit ausführlichen Lösungen 6. erweiterte Auflage vom 6.09.005 Copyright by Josef Raddy .Wurzelgleichungen mit einer Wurzel a) b) + + c) + 7 d)
MehrKurze Motivation warum quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen sind die nächste Stufe nach den linearen Gleichungen und den gebrochen rationalen Gleichungen. Auch diese Art von Gleichungen gibt es in verschiedenen
MehrModul quadratische Gleichungen
Modul quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen sind die nächste Stufe nach den linearen Gleichungen und den gebrochen rationalen Gleichungen. Auch diese Art von Gleichungen gibt es in verschiedenen
Mehr1.9 Ungleichungen (Thema aus dem Gebiet Algebra)
1.9 Ungleichungen (Thema aus dem Gebiet Algebra) Inhaltsverzeichnis 1 Ungleichungen 2 2 Intervalle 2 3 Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen 3 4 Doppelungleichungen 5 4.1 Verfahren, um Doppelungleichungen
MehrDie Binomischen Formeln
Die Binomischen Formeln Wolfgang Kippels 12. Januar 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 3 1.1 Die Erste Binomische Formel........................ 3 1.2 Die Zweite Binomische Formel........................
MehrTerme und Aussagen und
1 Grundlagen Dieses einführende Kapitel besteht aus den beiden Abschnitten Terme und Aussagen und Bruchrechnung. Die Erfahrung zeigt, dass diese Dinge zwar in der Schule gelehrt und gelernt werden, dass
MehrDie Umkehrung des Potenzierens ist das Logarithmieren.
Die Umkehrung des Potenzierens ist das Logarithmieren. Gilt a x = b, a,b > 0, a 1, so heißt x der Logarithmus von b zur Basis a. Bezeichnung: x = log a (b). Manchmal lassen wir die Angabe der Basis auch
Mehr1.3 Gleichungen und Ungleichungen
1.3 Gleichungen und Ungleichungen Ein zentrales Thema der Algebra ist das Lösen von Gleichungen. Ganz einfach ist dies für sogenannte lineare Gleichungen a x = b Wenn hier a 0 ist, können wir beide Seiten
MehrReelle Zahlen (R)
Reelle Zahlen (R) Bisher sind bekannt: Natürliche Zahlen (N): N {,,,,,6... } Ganze Zahlen (Z): Z {...,,,0,,,... } Man erkennt: Rationale Zahlen (Q):.) Zwischen den natürlichen Zahlen befinden sich große
Mehrx 1 x S1 {x 1 x 2 }x S2
Blatt Nr.08 Mathematik Online - Übungen Blatt Division Terme und Gleichungen Nummer: 0 000007 Kl: 8X Aufgabe..: a + a 5a +. x x S + {x x }x S x x S {x x }x S {x x }x S x x S + {x x }x S In dieser Aufgabe
MehrÜbungsaufgaben mit Lösungen zu Lineargleichungssystemen
Übungsaufgaben mit Lösungen zu Lineargleichungssystemen Wolfgang Kippels 6. März 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Übungsaufgaben 3 2.1 Aufgabe 1................................... 3 2.2 Aufgabe
MehrMenge der irrationalen Zahlen C = {z z = a + bi; a, b R, i 2 = 1} Menge der komplexen Zahlen R C Somit ergibt sich: N N Z Q R C
1 Komplexe Zahlen 1.1 Übersicht N = {1, 2, 3,... } Menge der natürlichen Zahlen ohne 0 N = {0, 1, 2, 3,... } Menge der natürlichen Zahlen mit 0 N N Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Menge der ganzen Zahlen
MehrRechentrainer. "Schlag auf Schlag - Rechnen bis ichs mag" SILVIO GERLACH
Rechentrainer "Schlag auf Schlag - Rechnen bis ichs mag" SILVIO GERLACH EBOOK Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Vorwort... 5 Inhaltsverzeichnis... 7 Glossar mathematischer Begriffe... 9 Einleitung
MehrMusterlösungen Lehrbrief 01 Technik (Mathematische Grundlagen) Seite 1 von 7
Musterlösungen Lehrbrief 0 Technik (Mathematische Grundlagen) Seite von 7 Bei diesen, wie auch bei allen folgenden Musterlösungen, zeigen wir in der egel nur einen Weg zum Ziel. Alle anderen Wege, die
MehrBetrags-Gleichungen und -Ungleichungen
Betrags-Gleichungen und -Ungleichungen W. Kippels 16. August 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen zu Beträgen 2 1.1 Gleichungen mit Beträgen.......................... 2 1.2 Ungleichungen mit Beträgen.........................
Mehr1 Nullstellen quadratischer Funktionen
1 Nullstellen quadratischer Funktionen Dies ist die quadratische Funktion in Allgemeiner Form AF): fx) = a x 2 + b x + c mit a,b,c,x,f R und a 0. Nullstellen sind diejenigen x, für die f Null wird: f =
Mehr1.5. Prüfungsaufgaben zur Wurzelrechnung
.. Prüfungsaufgaben zur Wurzelrechnung Question 0a () Simplify. Use a common denominator and as few signs as possible. Reduce the surds as far as possible and make the denominator free of surds. a) 9 b)
MehrMonotonie von Folgen
Monotonie von Folgen W. Kippels 1. April 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Die Grundlagen 2 1.1 Die Definitionen................................ 2 1.2 Bedeutung der Definitionen......................... 2 1.3
MehrArbeitsblatt Gleichungen höheren Grades
Mathematik-Service Dr. Fritsch www.math-service.de Tel. 061/776 Arbeitsblatt Gleichungen höheren Grades 1. Lösen Sie folgenden quadratischen Gleichungen mittels quadratischer Ergänzung! (a) x x + = 0 (b)
MehrGleichungsarten. Quadratische Gleichungen
Gleichungsarten Quadratische Gleichungen Normalform: Dividiert man die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung durch a, erhält man die Normalform der quadratischen Gleichung. x 2 +px+q=0 Lösungsformel:
MehrÜbungen zur Linearen und zur Quadratischen Funktion
Übungen zur Linearen und zur Quadratischen Funktion W. Kippels 24. November 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Die Aufgabenstellungen 2 1.1 Aufgabe 1:................................... 2 1.2 Aufgabe 2:...................................
MehrLösen von quadratischen Gleichungen mit der pq-formel. Aufgabe & Lösung Erläuterungen
Thema Voraussetzungen Quadratwurzeln Lösen von quadratischen Gleichungen mit der pq-formel Aufgabe & Lösung Erläuterungen 1. Bestimme die Lösungen der Gleichung. Führe anschließend eine Probe durch. 1
Mehr(8a 2b) 2 (8a + 2b) 2 16ab. Bringen Sie den folgenden Term auf eine möglichst einfache Form:
Blatt Nr 2.0 Mathematik Online - Übungen Blatt 2 Klasse Blatt 2 Kapitel Terme Division Terme und Gleichungen Nummer: 0 200000 Kl: X Grad: 0 Zeit: 20 Quelle: eigen W Aufgabe 2..: (a 2b) 2 (a + 2b) 2. x
MehrBasistext Lineare Gleichungssysteme. Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten hat die allgemeine Form! #=%
Basistext Lineare Gleichungssysteme Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten hat die allgemeine Form! #=% Mit zwei Unbekannten gibt es die allgemeine Form:! #+% '=( Gelten mehrere dieser Gleichungen
MehrÜber das Rechteck weißt du, dass der Umfang 32 cm beträgt. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet 2 2.
Aufgabe 1 Schritt 1: Skizze und Ansatz Über das Rechteck weißt du, dass der Umfang 32 cm beträgt. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet 2 2. Da du außerdem das Verhältnis der Seitenlängen kennst,
MehrMünchner Volkshochschule. Planung. Tag 05
Planung Tag 05 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 108 Lösen von Gleichungen Höhere (algebraische) Polynomgleichungen 0 = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 (Ab n 4 [ n: Grad des Polynoms]
MehrGleichungen und Ungleichungen
Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme. Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen linke Seite = rechte Seite Grundmenge: Menge aller Zahlen, die wir als Lösung der Gleichung
MehrGleichungen und Ungleichungen
Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 3 Gleichungen und Ungleichungen 1 / 58 Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme.
MehrGleichungen und Ungleichungen
Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 3 Gleichungen und Ungleichungen 1 / 58 Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme.
MehrWiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen von Ungleichungen):
Prof. U. Stephan WiIng 1. Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Bitte lösen Sie die folgenden Aufgaben und prüfen Sie, ob Sie Lücken dabei haben. Bestimmen Sie jeweils die
MehrMathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl.
1 by Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl. 014 Übungskapitel Erforderlicher Wissensstand (->Stoffübersicht im Detail siehe auch Wissensleuchtturm der 5.Klasse) Verschiedene Lösungsmethoden von quadratischen
Mehr1 x. Eine kurze Erinnerung an die Definition der Betragsfunktion:
Wie rechne ich mit Ungleichungen? Die do s und don t s mit Beispielen aus der Miniklausur Lukas Steenvoort Addition und Subtraktion 1 ) Dies funktioniert ähnlich wie bei Gleichungen addieren wir denselben
Mehr