Grenzwerte von Folgen

Transkript

1 Grenzwerte von Folgen Wolfgang Kippels 6. März 209 Inhaltsverzeichnis Vorwort 3 2 Einleitung 3 3 Definition und Lehrsätze 3. Definition des Grenzwertes Grenzwertlehrsätze Übungsaufgaben 5. Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Lösungen 7 5. Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe

2 5.6 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe

3 Vorwort Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe. Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend beschriebenen Generationenvertrages : Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen (oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die nachfolgende Generation weiter. Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine kleine an die folgende Adresse: Vielen Dank! 2 Einleitung Dieses Skript stellt keinen Lehrgang dar. Hier sollen nur Zusammenhänge dargestellt werden, die als bekannt vorausgesetzt werden. Der Schwerpunkt liegt auf Übungsaufgaben und deren Lösungen. 3

4 3 Definition und Lehrsätze 3. Definition des Grenzwertes g heißt Grenzwert der Folge a n > 0 n 0 N n n 0 : g a n < Im Klartext liest sich das so: g heißt Grenzwert der Folge a n genau dann, wenn für alle positiven Zahlen gilt: es existiert immer eine Natürliche (positive) Zahl n 0, so dass für alle Natürlichen Zahlen n, die mindestens so groß wie n 0 sind, der Abstand zwischen g und a n kleiner als ist. Es gilt diese Schreibweise: 3.2 Grenzwertlehrsätze g heißt Grenzwert der Folge a n g a n Unter der Bedingung, dass die jeweiligen Teilgrenzwerte existieren, gelten folgende Lehrsätze: () (a n ± b n ) a n ± (2) (a n b n ) a n (3) a n n b n n b n b n

5 Übungsaufgaben. Aufgabe Weisen Sie folgenden Grenzwert mit Hilfe einer -Umgebung nach:.2 Aufgabe 2 3n 2 n Weisen Sie folgenden Grenzwert mit Hilfe einer -Umgebung nach:.3 Aufgabe 3 n 2 2n 5 2 Weisen Sie folgenden Grenzwert mit Hilfe einer -Umgebung nach:. Aufgabe 5 0n 5 2n 5 Weisen Sie folgenden Grenzwert mit Hilfe einer -Umgebung nach:.5 Aufgabe 5 5 3n 2 0 Weisen Sie folgenden Grenzwert mit Hilfe einer -Umgebung nach:.6 Aufgabe 6 2 3n 3 0 Weisen Sie folgenden Grenzwert mit Hilfe einer -Umgebung nach:.7 Aufgabe 7 2n 3n 0 Weisen Sie folgenden Grenzwert mit Hilfe einer -Umgebung nach: 8n 2n + 5

6 .8 Aufgabe 8 Berechnen Sie den Grenzwert der Folge so weit vorhanden mit Hilfe der Grenzwertlehrsätze: 2n 9 3n....9 Aufgabe 9 Berechnen Sie den Grenzwert der Folge so weit vorhanden mit Hilfe der Grenzwertlehrsätze: 6n 2 + 3n 3n 2 + 3n Aufgabe 0 Berechnen Sie den Grenzwert der Folge so weit vorhanden mit Hilfe der Grenzwertlehrsätze: n n n 2 n.... Aufgabe Berechnen Sie den Grenzwert der Folge so weit vorhanden mit Hilfe der Grenzwertlehrsätze: 2n 3 n n 2 2n....2 Aufgabe 2 Berechnen Sie den Grenzwert der Folge so weit vorhanden mit Hilfe der Grenzwertlehrsätze: 2n Aufgabe 3 Berechnen Sie den Grenzwert der Folge so weit vorhanden mit Hilfe der Grenzwertlehrsätze: 2n + 5n 3 3n 2 + 5n 0n Aufgabe Berechnen Sie den Grenzwert der Folge so weit vorhanden mit Hilfe der Grenzwertlehrsätze: 6n 3 n 2 3n 2 + 3n 2n... 6

7 5 Lösungen Bei Aufgabe bis 7 kommt es darauf an, dass die Rechnung aufgeht mit n auf der größeren Seite des Zeichens <, also mit n >... oder < n. Ist das der Fall, dann ist der Beweis erbracht. 5. Aufgabe Nachzuweisen ist: 3n 2 n Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist. 3 3n 2 n + 5 < 3(n + 5) n + 5 3n 2 n + 5 < 3n + 5 3n + 2 n + 5 < 7 n + 5 < Zähler und Nenner ist positiv 7 < (n + 5) (Faktor positiv) n < (n + 5) : (Teiler positiv) 7 < n < n n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht. 7

8 5.2 Aufgabe 2 Nachzuweisen ist: n 2 2n 5 2 Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist. 2 n 2 2n 5 < 2(2n 5) 2n 5 n 2 2n 5 < n 0 n + 2 2n 5 < 8 2n 5 < Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird die weitere Untersuchung auf alle n > 2 eingegrenzt. In dem Bereich ist der Zähler negativ, der Nenner positiv. Beim Auflösen des Betrages muss also das Vorzeichen geändert werden. 8 < (2n 5) 2n 5 8 < (2n 5) : 8 < 2n < 2n : 2 8 < n n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht. 8

9 5.3 Aufgabe 3 Nachzuweisen ist: 5 0n 5 2n 5 Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist n 5 2n < 5(5 2n) 5 2n 5 0n 5 2n < 75 0n 5 + 0n 5 2n < n < Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird die weitere Untersuchung auf alle n > 7 eingegrenzt. In dem Bereich ist der Zähler positiv, der Nenner negativ. Beim Auflösen des Betrages muss also das Vorzeichen geändert werden n < (5 2n) (Der Faktor ist negativ!) 70 > (5 2n) : 70 > 5 2n > 2n : ( 2) < n n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht. 9

10 5. Aufgabe Nachzuweisen ist: 5 3n 2 0 Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist n 2 < 5 3n 2 < 5 < (3n 2) 3n 2 5 < (3n 2) : 5 < 3n < 3n : 3 5 < n n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht. 0

11 5.5 Aufgabe 5 Nachzuweisen ist: 2 3n 3 0 Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist n 3 < 2 3n 3 < Der Nenner des Bruches ist stets negativ, der Zähler positiv. Da noch vor dem Bruch ein Minuszeichen steht, ist der Betragsinhalt positiv. 2 < ( 3n 3) (Achtung! Nenner negativ.) 3n 3 2 > ( 3n 3) : 2 > 3n > 3n : ( 3) < n n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht.

12 5.6 Aufgabe 6 Nachzuweisen ist: 2n 3n 0 Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist. 2n 3n 0 < ( 3n 0) 2n 3n 0 3n 0 < 2n + 0 2n + 3n 0 < 3n 0 < Der Nenner des Bruches ist stets negativ, der Zähler positiv. Daher kehrt sich beim Auflösen des Betrages das Vorzeichen um. 3n 0 < ( 3n 0) (Negativer Nenner!) > ( 3n 0) : > 3n > 3n : ( 3) < n n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht. 2

13 5.7 Aufgabe 7 Nachzuweisen ist: 8n 2n + Es muss gezeigt werden, dass die Ungleichung g a n < für alle n ab einem Startwert n 0 erfüllt ist. 8n 2n + < ( 2n + ) 8n 2n + 2n + < 8n 8n + 2n + < 0 2n + < Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird die weitere Untersuchung auf alle n > 5 eingegrenzt. In diesem Bereich ist der Zähler und der Nenner negativ. Beim Auflösen des Betrages bleibt also das Vorzeichen erhalten. 0 2n + < ( 2n + ) (Nenner negativ!) 0 > ( 2n + ) : 0 > 2n + 0 > 2n : ( 2) 0 2 < n n steht auf der größeren Seite des Ungleichungszeichens. Der Beweis ist erbracht. 3

14 5.8 Aufgabe 8 Zu bestimmen ist: 2n 9 3n Da weder im Zähler noch im Nenner ein Teilgrenzwert existiert, muss der Bruch erst umgeformt werden, bevor man die Quotientenregel anwenden kann. Wir klammern im Zähler und im Nenner n aus und kürzen anschließend dadurch. Da stets n 0 ist, ist das möglich. 2n 9 3n n (2 ) 9 n n ( 3 ) n 2 9 n 3 Quotientenregel n ( ) 2 9 n ( ) Summenregel 3 n 2 9 n n n n ( 3) n 9 3n 2 9 ( 3) Konstantenregel Grenzwerte einsetzen

15 5.9 Aufgabe 9 Zu bestimmen ist: 6n 2 + 3n 3n 2 + 3n 0 Da weder im Zähler noch im Nenner ein Teilgrenzwert existiert, muss der Bruch erst umgeformt werden, bevor man die Quotientenregel anwenden kann. Wir klammern im Zähler und im Nenner n 2 aus und kürzen anschließend dadurch. Da stets n 0 ist, ist das möglich. 6n 2 + 3n 3n 2 + 3n 0 n 2 (6 + 3 ) n n 2 n 2 (3 + 3 ) 0 n n 2 Kürzen n n Quotientenregel n n ( ) n n ( ) Summenregel 0 n n 2 6n 2 + 3n 3n 2 + 3n n n Konstantenregel/Produktregel n n n n n Grenzwerte eins. n n n

16 5.0 Aufgabe 0 Zu bestimmen ist: n n n 2 n Da weder im Zähler noch im Nenner ein Teilgrenzwert existiert, muss der Bruch erst umgeformt werden, bevor man die Quotientenregel anwenden kann. Wir klammern im Zähler und im Nenner n 2 aus und kürzen anschließend dadurch. Da stets n 0 ist, ist das möglich. ( n n n 2 + ) 3 n n 2 n 2 n n ( ) 2 n + 3 n n 2 n n n n 2 n ( n + 3 n 2 ) ( ) n + 3 n n 2 n + 3 n n n n 6

17 5. Aufgabe Zu bestimmen ist: 2n 3 n n 2 2n Da weder im Zähler noch im Nenner ein Teilgrenzwert existiert, muss der Bruch erst umgeformt werden, bevor man die Quotientenregel anwenden kann. Wir klammern im Zähler und im Nenner n 3 aus und kürzen anschließend dadurch. Da stets n 0 ist, ist das möglich. n 3 (2 ) n 2 2n 3 n n 2 2n n 3 ( n 2 n 2 n 3 ) 2 n 2 2 n n 2 n ( ) 3 2 n ( 2 ) 2 n n 2 n 3 2 n n 2 2 n 2 n 3 2 n n 2 n n n n n 2n 3 n n 2 2n n Der Nenner ist Null. Das bedeutet, der Bruch ist nicht definiert, der gesuchte Grenzwert existiert nicht! 7

18 5.2 Aufgabe 2 Zu bestimmen ist: 2n Da im Nenner kein Teilgrenzwert existiert, muss der Bruch erst umgeformt werden, bevor man die Quotientenregel anwenden kann. Wir klammern im Zähler und im Nenner n 2 aus und kürzen anschließend dadurch. Da stets n 0 ist, ist das möglich. 2n n 2 n 2 n 2 (2 + 5 n 2 ) ( n n ) n 2 n 2 ( n 2 ) n n ( 2 ) n ( ) n 2 8

19 Weitere Lösungen folgen später. Hier sind wenigstens schon mal die Ergebnisse: 5.3 Aufgabe 3 5. Aufgabe 2n + 5n 3 3n 2 + 5n 0n 3 2 6n 3 n 2 3n 2 + 3n 2n 0 9