9. Faktorisieren (ausklammern) Rückführung binomischer Ausdrücke in die binomischen Formeln wie beispielsweise

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Gerhard Bösch
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1 Themenerläuterung Das Thema Bruchgleichungen verlangt von dir die Bestimmung der Lösungsmenge eines Gleichungsterms in dem die Variable auch im Nenner vorkommt. Als erstes musst du einen Hauptnenner aufstellen. Über diesen Hauptnenner legst du dann den Definitionsbereich des Gleichungsterms fest. Danach musst du alle Elemente der Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren und dann die einzelnen Elemente kürzen. Dies führt dazu dass alle Nenner der Gleichung verschwinden. Du erhältst in der Regel eine quadratische Gleichung die du dann nach auflösen musst zur Berechnung der Lösungsmenge. Die Auflösung nach erfolgt nach demselben Prinzip wie unter "Gleichungen" bereits geübt. Die wichtigsten benötigten Formeln 1. Kommutativgesetz (vertauschen von Variablen) 2. Distributivgesetz (ausmultiplizieren) Faktor mal Klammer Klammer mal Klammer. Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) 4. Addition / Subtraktion 5. Multiplikation / Division binomische Formel binomische Formel binomische Formel und zusätzlich 9. Faktorisieren (ausklammern) Rückführung binomischer Ausdrücke in die binomischen Formeln wie beispielsweise

2 Übungsaufgaben im Stil der Abschlussprüfung Aufgabe A1 \ 2;0#; % ;& Aufgabe A2 ' ² Aufgabe A \ ;0#; % & 1 \ ;#; 0;15# ²) Aufgabe A4 - - \ 4;0#; 2;1# Aufgabe A5. / \ 2#; 4# Aufgabe A6 ² \ 1;1#; % ) ' & Aufgabe A \ ;1#; 05;#

3 Lösung A1 Detaillierte Lösung Lösungsschritte 1. Aufschreiben der einzelnen Nenner und Faktorisieren der Nenner die faktorisierbar sind (schreibe dies wie nun folgt genauso auf) Nenner 1 (nicht faktorisierbar) 2 Nenner 2 (nicht faktorisierbar) Nenner (faktorisierbar) Bildung des Hauptnenners Der Hauptnenner muss alle Einzelnenner beinhalten. Wie du aus der Auflistung unter 1. leicht erkennst ist der Nenner 1 im Nenner enthalten. Auch der Nenner 2 ist im Nenner enthalten. Somit ist Hauptnenner 2. Ermittlung des Definitionsbereichs Hierzu musst du untersuchen für welche Werte von der Hauptnenner null wird. Dazu verwendest du den Satz vom Nullprodukt der besagt dass ein Produkt immer dann null wird wenn eines seiner Faktoren null wird. Der Hauptnenner in diesem Beispiel mit 2 besteht aus den beiden Faktoren und 2. Also wird das Produkt 2 dann null wenn einmal 0 ist denn und wenn 2 ist denn Die so ermittelten Werte gehören nicht zum Definitionsbereich und sind deshalb auszuschließen. Du musst hierfür schreiben \2; 0 Gesprochen heißt dieser Ausdruck Der Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme von 2 und Multiplikation des Gleichungsterms mit dem Empfehlung wenn du dies aufschreibst schreibe alle Einzelnenner in der faktorisierten Form. Du siehst dann einfacher welche Kürzungen du vornehmen kannst. Also Jetzt kannst du kürzen 2 übrig bleibt Ausmultiplizieren nach den Klammer- und Multiplikationsregeln Zusammenfassen ; 2; 1 7. Alle Elemente auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens nach links bringen

4 8. Restgleichung für die Mitternachtsformel vorbereiten 0 9. Auflösung über die Mitternachtsformel " # $ " & " # $ $ ; 10. Lösungsmenge aufschreiben ' ; " #% $ 11. Prüfung ob Elemente der Lösungsmenge nicht durch den Definitionsbereich ausgeschlossen sind (in diesem Beispiel nicht der Fall) Sollte dies jedoch zutreffen so gehört der entsprechende Wert nicht zur Lösungsmenge. Lösung A ² Nenner 1 Nenner 2 ² Nenner 0 für 0 und \; ausmultiplizieren ; (Vorbereitung */ Formel) & 2 0 */-Formel & " $ #% 2 & " $ $ #% & & " $ $ $ # & " $ $ $ ; Wegen ist '. / die einzige Lösung. Lösung A ² 9 1 Nenner 1 Nenner 2 ² 9 0 für und. \; 1 ausmultiplizieren ; ausklammern

5 2 0 Satz vom Nullprodukt 0; ' 0; 15 Lösung A Nenner Nenner 2 2 Nenner für 0 und 4. \4; 0 $ ausmultiplizieren ; (Vorbereitung */ Formel) 2 0 */-Formel " # 2 2; 1 ' 2; 1 Lösung A5 " # " #% " Nenner 1 2 Nenner Nenner für 2. \2 & ausmultiplizieren ; 12; */-Formel 4 " " 0 4 ' 4 Aufgabe A ² Nenner 1 1 Nenner Nenner für 1 und 1. \1; 1

6 ausmultiplizieren Klammern auflösen ; % 0 */-Formel " # % " # % ; 1 Wegen 1 ist '. % /. " #% " & Lösung A7 $ $ $$ Nenner Nenner Nenner für 1 \1 $ $ ausmultiplizieren Klammern auflösen zusammenfassen ; */-Formel " # $ ; 05 ' 05; " # $ $ " #% $ " &

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