Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

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1 Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen Zusammengestellt von Caroline Schaepman, KSR Lernziele: - Eine Bruchgleichung erkennen und durch Multiplikation mit dem Hauptnenner umformen können; die Definitionsmenge und zutreffende Lösungen angeben können. - Wissen, warum eine Lösungskontrolle notwendig ist. - Bruchtermgleichungen von Hand auflösen können. - Bruchtermgleichungen mit Parametern nach einer Variablen auflösen können. - Einfache Tetaufgaben, die auf Bruchtermgleichungen führen, lösen können. A. Was ist eine Bruchtermgleichung? Eine Gleichung, bei der eine Variable im Nenner vorkommt, ohne dass man sie kürzen kann, heisst Bruchtermgleichung oder kurz : Bruchgleichung. Für das Auflösen einer Bruchgleichung geht man nach folgendem Ablauf vor:. Definitionsbereich (D) bestimmen. Zähler und Nenner faktorisieren, falls möglich!. kgv und damit Hauptnenner (HN) der vorkommenden Bruchterme bestimmen. Beide Seiten mit HN multiplizieren, damit die Nenner wegfallen und die Brüche verschwinden. Auflösen nach der Unbekannten (in der Regel: ). Lösung überprüfen, ob in D enthalten. Lösungsmenge (L) aufschreiben Beispiel : Die bestimmen, für die der oder die Nenner, in denen enthalten ist, Null ergibt 0, 0 D R\{-,} Dann beginnt das Auflösen der Gleichung : Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

2 Multiplikation mit dem Hauptnenner (HN) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Kürzen (dieser Schritt kann weggelassen werden, indem man direkt zum nächsten geht). Bei allen weiteren Aufgaben wird die kurze Variante aufgezeigt. ( ) ( ) Ausmultiplizieren 0 Kontrolle, ob D : D R\{-,}, also sind - und verboten; hier hat man erhalten, also gilt D L{} B. Aufgaben Bruchgleichungen Die folgenden Aufgaben sollen nach dem beschriebenen Ablauf gelöst werden. Sie sind in vier Schwierigkeitsgrade eingeteilt. Im Anschluss an alle Aufgaben dieser Aufgabensammlung finden Sie die Lösungen dazu. Einige davon sind ausführlich, d.h. Schritt für Schritt, aufgeführt. Sie sehen an der Aufgabenstellung, ob eine ausführliche Lösung eistiert oder nur eine Kurzlösung. Steht (AL) hinter der Aufgabe, so ist eine ausführliche Lösung vorhanden, ansonsten nur eine Kurzlösung. Diese Aufgaben werden empfohlen und sind fett gedruckt. Schwierigkeitsgrad : Die Variable kommt im Nenner alleine oder in einem Produkt vor. Schwierigkeitsgrad : Die Variable kommt im Nenner in einer Summe und/oder Differenz vor. Schwierigkeitsgrad : Die Variable kommt im Nenner in einer Summe und/oder Differenz vor und man kann einen gemeinsamen Faktor ausklammern. Schwierigkeitsgrad : Die Variable kommt im Nenner in einer Summe und/oder Differenz vor und man kann einen gemeinsamen Faktor ausklammern oder man muss die binomischen Formeln anwenden. Schwierigkeitsgrad.) a) d) g) j) (AL) b) e) 0 0 h) 0 k) (AL) c) f) i) 8 (AL) Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

3 Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen Schwierigkeitsgrad.) a) (AL) b) (AL) c) (AL) d) (AL) e) (AL) f) ) ( (AL) g) h) i) j) k) 8 l) Schwierigkeitsgrad.) a) (AL) b) 0 (AL) c) (AL) d) 8 e) 0 f) 8 8 g) h) i) 8 Schwierigkeitsgrad.) a) (AL) b) (AL) c) (AL) d) ² e) 0 ² f) ² 8 g) ² h) ²

4 C. Bruchgleichungen mit Parametern In einer Bruchgleichung können neben der Unbekannten weitere Unbekannte auftreten, nach denen die Gleichung aber nicht aufgelöst werden soll. Diese weiteren Unbekannten heissen Parameter ( Platzhalter ). Das berechnete soll mit Hilfe dieser Parameter angegeben werden. Das Vorgehen beim Auflösen ist gleich wie bei normalen Bruchgleichungen. p Beispiel : p Die bestimmen, für die der oder die Nenner, in denen enthalten ist, Null ergibt p 0 0 D R\{0} Dann beginnt das Auflösen der Gleichung : p p p p p p p p : p Multiplikation mit dem Hauptnenner (HN) D L{ ; p 0 } Bedingung(en) für den Parameter auflisten Aufgaben ) ) ) ) h h (AL) ) (AL) t t b p (AL) ) a p m m ) t t 0 t t t t ( c) c a ab ac bc a ab ac bc a b (AL) g h 8) g g (AL) Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

5 D. Tetaufgaben zu Bruchgleichungen Das Vorgehen beim Lösen von Tetaufgaben mit Bruchgleichungen ist dasselbe wie zum Lösen von allgemeinen Tetaufgaben:. Schritt: Aufgabe genau lesen und verstehen. Schritt: Genaue Wahl der Unbekannten. Schritt: Aufstellen der Gleichung. Wichtig: Masseinheiten aufschreiben!. Schritt: Lösen der Gleichung. Schritt: Prüfen der Lösung. Schritt: Antwortsatz Bei Tetaufgaben zu Bruchgleichungen gibt es drei Arten, die immer wieder auftauchen: Aufgaben, in denen eine Zahl gesucht wird: Zahlenterme Leistungsaufgaben Geschwindigkeitsaufgaben Aufgaben ) Ein Bruch hat den Wert. Welche Zahl muss man vom Zähler subtrahieren und zum 8 Nenner addieren, damit sein Wert wird? ) Ein leeres Schwimmbecken kann durch die Zuflussleitung in Stunden gefüllt werden. Ist das Becken voll, so dauert es 0 Stunden, um das Wasser wieder ablaufen zu lassen. Das Becken ist leer. Die Besitzerin will es füllen, vergisst jedoch, den Ablauf zu schliessen. Wie lange dauert es, bis das Schwimmbecken trotzdem voll ist? ) Zum Entladen eines Getreideschiffes benötigen zwei Fördergebläse drei Stunden. Das eine Gebläse arbeitet doppelt so schnell wie das andere. Wie viele Stunden benötigt jedes Gebläse alleine? ) In einem Braunkohletagebau haben zwei Bagger zusammen 8 Tage benötigt, um die Erde über der Braunkohle zu entfernen. Der kleinere der beiden schafft 0% der Leistung des grösseren. Wie viele Tage hätte jeder Bagger benötigt, wenn er jeweils allein gearbeitet hätte? ) Läufer A benötigt für eine km lange Strecke 0 Minuten mehr, als Läufer B für km braucht. Die Geschwindigkeit von A ist um. km/h grösser als die von B. Berechne die Laufzeit von A. Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

6 E. Lösungen aller Aufgaben Lösungen Aufgaben Bruchgleichungen Schwierigkeitsgrad a) 0 0, 0 0 D R\{0} : ( ) Kontrolle, ob D : DR\{0} L{-} b) 0 0, 0 0 D R\{0} : 0. Kontrolle, ob D :. DR\{0} L{.} Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

7 c) 0 0, 0 0 D R\{0} : Kontrolle, ob D : DR\{0} L{}. d) D R\{0} L{0.} e) D R\{0} L{} f) D R\{0} L{-} g) D R\{0} L{0.} h) D R\{0} L{} i) D R\{0} L{ } 8 j) D R\{0} L{-0} k) D R\{0} L{0.} Lösungen - Schwierigkeitsgrad a) 0 D R\{-} ( ) Kontrolle, ob D : DR\{-} L{} Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

8 b) 0 D R\{ } Kontrolle, ob ( ) ( ) ( ) 8 : D : L{} D R\{ } c) 0, 0 D R\{-,} ( )( ) ( ) ( ) : Kontrolle, ob D : D R\{-,} L{} Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 8

9 d) 0, 0 0 D R\{-,0} ( ) ( ) ( ) ( ) Kontrolle, ob D : D R\{-,0} L{-} e) 0 D R\{ } ( ) : Kontrolle, ob D : L{ } D R\{ } Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

10 f) ( ) 0 D R\{} für alle ( ) ( ) 0 0 wahre Aussage D R\{} ist die Gleichung erfüllt L D R\{}. g) D R\{} L{8} h) D R\{-} L{} i) D R\{} L{} j) D R\{-,} L{} k) D R\{ L{}, } l) D R\{, } L{} Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 0

11 Lösungen - Schwierigkeitsgrad a) 0, 0 0 D R\{-,} ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) : Kontrolle, ob D : D R\{-,} L{} b) 0 0, 0 D R\{-} 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) : Kontrolle, ob D : D R\{-} L{} Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

12 c) 0, 0 0 D R\{-,-} ( ) ( ) ( )( ) (( )( )) ( )( ) (( )( )) ( )( ) : Kontrolle, ob D : D R\{-,-} L{ }. d) D R\{} L{} e) D R\{} L{} f) D R\{8} L{} g) D R\{} L{8} h) D R\{} L{ } i) D R\{} LR\{} Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

13 Lösungen - Schwierigkeitsgrad a) 0, ( )( ) 0, D R\{-,} ( )( ) ( )( ) Kontrolle, ob D : D R\{-,} L{} b) 0, 0, ( )( ) 0 D R\{-,} daraus resultieren die selben. ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) : Kontrolle, ob D : D R\{-,} L{} Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

14 c) ( )( ) 0 0, dasselbe ergibt sich durch den zweiten Nenner D R\{ } ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) : Kontrolle, ob D : D R\{ } L{-}. d) D R\{-,} L{-} e) D R\{, } L{-} f) D R\{-,} L{} g) D R\{-,} L{ } h) D R\{, } L{-} Lösungen Aufgaben Bruchgleichungen mit Parametern Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

15 ) t t t 0 t D R\{t} t t t ( t), t 0 t t( t) ( t) t t t t t t t t t ( t ) : ( t ), t t t t L{ ; t 0, t } t ) h b h 0 D R\{0} h h b b, b 0 h b( h) h b bh b h b bh ( h b) bh : ( h b), h b bh h b bh L{ ; b 0, b h } h b Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

16 ) p p 0, p 0 p D R\{, p } p p ( p)( p) ( )( ) ( )( p) p p p p p p p p p ( p ) p : ( p ), p ( p )( p ) ( p ) p p p L{ ; p } ) D R\{} a L{, a } a ) D R L{, m 0, m } m( m ) Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

17 t t ) 0 t t t t t t t( t ) 0 t, t 0 0, t 0 ( t ) 0 0, t D R\{ t, 0 } t t t t t t 0 t t t( t ) t ( t ) 0 t ( t ), t 0 ( t )( t ) t(t ) 0 t t t t t 0 t t t t t ( t) t( t) : ( t ), t t L{ t ; t 0, t } ) a ( c) c ab ac bc a ab ac bc a b kein im Nenner Bedingungen für Parameter : a( a c) b( a c) ( a b)( a c) 0 a b, a c a( a b) c( a b) ( a b)( a c) 0 a b, a c a b 0 a b D R ( c) c ( a b)( a c) ( a b)( a c) ( c)( a c) ( c)( a c) a b ( a c)( a c) ( a b)( a c)( a c) a c ac c a c ac c a c a c ac c a c ac c ( a c) a ac ( a c) a ( a c) : ( a c), a c a L{ a; a b, a c, a c, a c } g 8) D R\{} L{, g h, g 0 } g h Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

18 Lösungen Tetaufgaben zu Bruchgleichungen ) Ein Bruch hat den Wert. Welche Zahl muss man vom Zähler subtrahieren und zum 8 Nenner addieren, damit sein Wert wird? Unbekannte : Zahl () Gleichung: 8 Auflösen : 8 ( ) ) (8 ) (8 : Lösung kontrollieren: 8 Die gesuchte Zahl lautet. ) Ein leeres Schwimmbecken kann durch die Zuflussleitung in Stunden gefüllt werden. Ist das Becken voll, so dauert es 0 Stunden, um das Wasser wieder ablaufen zu lassen. Das Becken ist leer. Die Besitzerin will es füllen, vergisst jedoch, den Ablauf zu schliessen. Wie lange dauert es, bis das Schwimmbecken trotzdem voll ist? Art der Tetaufgabe : Leistung und Arbeit. Unbekannte : Anzahl Stunden, welche das Füllen bei geöffnetem Zu- und Ablauf dauert. Das heisst, dass auf diese Art in einer Stunde / des Volumens des ganzen Beckens gefüllt wird. Gleichung: Auflösen : Lösung kontrollieren: In 0 Stunden füllt der Zulauf das Becken vier Mal ( 0 ). In 0 Stunden leert der Ablauf das Becken drei Mal ( 0 0). Total bleibt in 0 Stunden eine «Füllung» übrig. Der Füllvorgang dauert 0 Stunden. Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 8

19 ) Zum Entladen eines Getreideschiffes benötigen zwei Fördergebläse drei Stunden. Das eine Gebläse arbeitet doppelt so schnell wie das andere. Wie viele Stunden benötigt jedes Gebläse alleine? Art der Tetaufgabe : Leistung [ A L t ] A Hier zwei Leistungen : L stärkeres Gebläse t A L schwächeres Gebläse t Unbekannte : t Zeit [h] des stärkeren Gebläses Gleichung: (die ganze Arbeit ) Auflösen : Kontrolle :. L L t t t t : t. Das stärkere Gebläse braucht h0min, das schwächere Gebläse h, um die Arbeit alleine zu erledigen. ) In einem Braunkohletagebau haben zwei Bagger zusammen 8 Tage benötigt, um die Erde über der Braunkohle zu entfernen. Der kleinere der beiden schafft 0% der Leistung des grösseren. Wie viele Tage hätte jeder Bagger benötigt, wenn er jeweils allein gearbeitet hätte? Art der Tetaufgabe : Leistung [ A L t ] A Hier zwei Leistungen : L [d] grosser Bagger t A L 0. kleiner Bagger t Unbekannte : t Zeit [h] des grossen Baggers Gleichung: (die ganze Arbeit ) Auflösen : 0. Kontrolle : 8 8 L 8 L t t t 8 t t Der grosse Bagger braucht Tage, der kleine Bagger. Tage, um die Ar- beit alleine zu erledigen. 0. Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen

20 ) Läufer A benötigt für eine km lange Strecke 0 Minuten mehr, als Läufer B für km braucht. Die Geschwindigkeit von A ist um. km/h grösser als die von B. Berechne die Laufzeit von A. Art der Tetaufgabe : Geschwindigkeit Hier zwei Geschwindigkeiten: Läufer A Läufer B v t wobei s km v t h v t 0. Unbekannte : t Zeit [h] von Läufer A Gleichung: v. v Auflösen :. 0. ( 0.) ( 0.).( 0.) : (.). 0 ( )(.) 0,. Kontrolle : Bei Lösung benötigt Läufer A Stunden mit.km/h, B braucht. Stunden bei 0km/h Bei Lösung benötigt Läufer A. Stunden mit 0km/h, B braucht Stunden bei.km/h Beide Lösungen sind richtig! Siehe die Sätze bei «Kontrolle» Repetitionsaufgaben: Bruchtermgleichungen 0