3 Terme faktorisieren und Binomische Formeln 15

Transkript

1 3 Terme faktorisieren und Binomische Formeln Terme faktorisieren Fachlicher Inhalt Faktorisieren ist die Umwandlung einer Summe oder Differenz in ein Produkt, also die Umkehrung des Ausmultiplizierens. Hierzu gibt es mehrere Möglichkeiten: Ausklammern einer gemeinsamen Variablen oder Zahl Ausklammern eines Terms Anwendung der binomischen Formeln Walter Czech: 5-Minuten-Grundlagentraining Mathematik Klasse Didaktisch-methodische Hinweise Gemeinsamer Faktor a wird ausgeklammert: a + a y = a ( + y) In der Analysis spielt das Faktorisieren z.b. bei der Suche nach Nullstellen von Funktionen eine Rolle, denn nach der Faktorregel wird ein faktorisierter Funktionsterm genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Beispiel: 3 4 = 0 ( 4) = 0 ( )( + ) = 0 Ein Produkt wird genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist: L = {0; ; } Ausklammen von : Oftmals ist es rechnerisch zweckmäßig aus einem Term auszuklammern. Beispiel: 3 = ( 3 + ) = ( 3 ) Hilfestellungen: Häufig wird beim Lösen von Gleichungen der Art = fehlerhaft so weitergerechnet: = : = Richtig: Durch darf nur geteilt werden, wenn 0 ist. Es ist also zu prüfen, ob = 0 auch eine Lösung ist. Und dies trifft zu. Also: L = {0; } Noch geschickter: = + = 0 ( + ) = 0 = 0 =. Das Faktorisieren erfordert ein geschultes Auge. Beispiele: Hier muss man erkennen, dass man den Faktor e 0,5 ausklammern kann: (0,5 0,5 0,5 + ) e 0,5 0,5 + ( 0,5) e 0,5 = e 0,5 ((0,5 0,5 + ) 0,5 + ( 0,5)) Hier muss man erkennen, dass nicht faktorisiert werden kann: 3 Hinweise: Das Anlegen einer Lernkartei ist hilfreich und schafft Wissen im Überblick. Abwechslungsreich und motivierend kann das Faktorisieren auch mit Lernspielen eingeübt werden. Vorlagen für Lernspiele in []. 3 Terme faktorisieren und Binomische Formeln 5 Aus dem Werk 0834 "5-Minuten-Grundlagentraining Mathematik Klasse " Auer Verlag

2 Binomische Formeln Fachlicher Inhalt Binomische Formeln helfen, bestimmte Terme rasch und ohne viel Rechenarbeit zu vereinfachen. Es gilt: (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b)(a b) = a b Didaktisch-methodische Hinweise Für die Schüler ist nicht immer einsichtig, warum folgende Schreibweise falsch ist: (a + b) = a + b Die Erfahrung zeigt, dass bei dieser Schreibweise gerne das doppelte Produkt vergessen wird. Hinweise: Das Anlegen einer Lernkartei ist hilfreich. Abwechslungsreich und spielerisch kann mit Übungsspielen das routinierte Umgehen mit den binomischen Formeln eingeübt werden. Vorlagen für Übungsspiele in []. Literatur [] Czech, W.: 66 Spielideen Mathematik. Auer Verlag (Bestell-Nr ) Walter Czech: 5-Minuten-Grundlagentraining Mathematik Klasse 6 3 Terme faktorisieren und Binomische Formeln Aus dem Werk 0834 "5-Minuten-Grundlagentraining Mathematik Klasse " Auer Verlag

3 Walter Czech: 5-Minuten-Grundlagentraining Mathematik Klasse. Prüfen Sie, ob mithilfe einer binomischen Formel faktorisiert werden kann und geben Sie gegebenenfalls die Faktorzerlegung an. a) 4 b) c) d) + y + y 3. Faktorisieren Sie so weit wie möglich. a) 6ab 3ac + 3a b) a ( + 4) 4 c) d) 7 e) 3 + f) 84. Entscheiden Sie: wahr oder falsch? a) 6 = ( + 4)( 4) b) = ( + 8) c) = ( + 8) 4. Achtung Fallen! Vergleichen Sie jeweils folgende Paare ähnlich aussehender Terme und entscheiden Sie, ob und wie jeder Term bearbeitet werden kann. a) ( + 3y) = ( 3y) = b) y + y = + y y = c) (3) = (3 ) = d) = 3 3 = 3 Terme faktorisieren und Binomische Formeln 7 Aus dem Werk 0834 "5-Minuten-Grundlagentraining Mathematik Klasse " Auer Verlag

4 Terme in der Oberstufe 5. Ermitteln Sie die Nullstellen des Funktionsterms durch Faktorisieren. a) f() = 0,5 + b) f() = c) f() = In + In Terme in der Oberstufe 8. Gegeben sind die Funktionen f und g mit Definitionsmenge R und f() = 0, bzw. g() = +. Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte ihrer Graphen. Walter Czech: 5-Minuten-Grundlagentraining Mathematik Klasse Terme in der Oberstufe 6. Bestimmen Sie die Lösungsmenge. 8( ) 6( ) = ; R 7. Ermitteln Sie die maimale Definitionsmenge D des Terms in R. ( + )( 4) Terme in der Oberstufe 9. Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich. (4 + )( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 4 0. Gegeben sind die Funktionen f und g mit Definitionsmenge R + und f() = + In bzw. g() = In + In. Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte ihrer Graphen. 8 3 Terme faktorisieren und Binomische Formeln Aus dem Werk 0834 "5-Minuten-Grundlagentraining Mathematik Klasse " Auer Verlag

5 9. : = 0,5 = 50 % : 4 = 0,5 = 5 % 3: = 0,5 =,5 % 8 4: 6 = 0,065 = 6,5 % 5: 3 = 0,035 = 3,5 % 6: = 0,035 = 3,5 % 3 0. Lara irrt sich. Preis (P) nach Senkung um 0 %: P 0,8 Preis nach Erhöhung um 0 %: (P 0,8), = P 0,96 Preissenkung um 0 % mit nachfolgender Preiserhöhung um 0 % führen nicht zum alten Preis.. ursprünglicher Preis: Dann gilt: + 0,5 = 7,60,5 = 7,60, also = 4.. ursprünglicher Preis: Dann gilt: 075 = 46,5, also = A: ,9 = 804,44 ; 804,44 804,44 0, = 643,55 oder kürzer: 676,9 0,8 = 643,55 B: , = 540,8 ; 540, ,8 0,9 = 643,55 oder kürzer: 676 0,8,9 = 643,55 C: 676 0,96 = 648,96 Händler A und B machen beide das günstigste Angebot. 3 Terme faktorisieren und Binomische Formeln Seite 7. a) 4 = ( )( + ) b) = ( 3) c) = ( + ) d) + 5 y + 5 y = + y 5. a) wahr b) falsch c) wahr 3. a) 6ab 3ac + 3a = 3a(b c + ) b) a ( + 4) 4 = a ( + 4) ( + 4) = ( + 4)(a ) = ( + 4)(a + )(a ) c) = + + = ( + ) d) 7 = e) 3 + = ( ) ( ) = ( )( ) f) 8 4 = (9 )(9 + ) = (3 )(3 + )(9 + ) 4. a) ( + 3y) = 4 + 6y ( 3y) = y b) y + y = ( y) + y y = + y y c) (3 ) = 9 (3 ) = d) = = 6 Anwendungen von Termen in der Oberstufe Seite 8 5. a) 0,5 + = 0 0,5 + = 0, also = 0 4 = b) = 0 5(4 ) = 0, also = 0 4 = 5 4 = 0,5 c) ln + ln = 0 ln ( + ln ) = 0, also = 4 = e Walter Czech: 5-Minuten-Grundlagentraining Mathematik Klasse 54 Lösungen Aus dem Werk 0834 "5-Minuten-Grundlagentraining Mathematik Klasse " Auer Verlag

6 6. 8( ) 6( ) = =, also L = {} 7. ( + )( 4) = 0, also = = und D = R /{ ; } 8. 0, = + 0,5 3 + = 0 0,5( 4 + 4) = 0 0,5( ) = 0, also = 0 = ; gemeinsame Punkte: S (0 0); S ( 0) 9. (4 + )( + ) ( + ) ( + ) (4 + )( + ) (4 + ) = = ( + ) ( + ) ( + ) 0. + ln = ln + ln = ln ln = 4 = ln = = e 4 = e gemeinsame Punkte: S 0 ; S (e ) e Grundlagen Binomische Formeln Seite 9. a) b) c) + y = + y + y 4 = + = ,5 = ( +,5) 3. ( + )( ) ( ) + ( 0,5) = ,5 = 0, = = 4 4 Binomische Formeln in der Oberstufe Seite 0 5. Nullstellen: 4; 4 maimaler Definitionsbereich: R \ { ; } 6. h() = 4 ( + ) 4 8 ( ) = = =,5 + 0, ( + ) = + = ( )( + + ) 3 + = = 3 = 4 3, also L = 4 3 Walter Czech: 5-Minuten-Grundlagentraining Mathematik Klasse 8. f( + h) = ( + h) 4( + h) + 3 = 4 + 4h + h 8 4h + 3 = h f( h) = ( h) 4( h) + 3 = 4 4h + h 8 + 4h + 3 = h 9. a) Zur Funktion f gehört der Graph, der die -Achse in den Punkten ( 0) und ( 0) schneidet. b) 4 + = ( + ) ( 4)( + ) = ( + ) ( + ) 4 8 = = 0 3 ( ) = 0 = 0 = 4 = ; Schnittpunkte: S (0 ), S ( 0,5), S 3 ( 0,5) 4 Bruchterme und Bruchgleichungen Bruchterme kürzen und zusammenfassen Seite 3. ( ) liegt nicht auf dem Graphen G f. Aus dem Werk 0834 "5-Minuten-Grundlagentraining Mathematik Klasse " Auer Verlag Lösungen 55