Lissajous-Kurven INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Friedrich Buckel. Text Nummer: Stand: 28.

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1 Lissajous-Kurven Tet Nummer: 50 Stand: 8. März 06 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 55 Lissajous-Figuren Vorwort Lissajous-Figuren sind Kurven, die man sehr gut durch physikalische Eperimente erzeugen kann. Dazu muss man zwei Schwingungen überlagern, die nicht im gleichen Takt schwingen. Das kann man mit einem Fadenpendel machen, aber noch besser an einem Oszilloskop. Siehe dazu mit vielen Abbildungen. Inhalt Vorschau Beispiele Formenübersicht 0 Wichtige Aufgaben

3 55 Lissajous-Figuren Lissajous-Figuren Vorschau Lissajous-Figuren entstehen, wenn man zwei zueinander senkrechte Schwingungen überlagert, also je eine Sinusschwingung entlang der -Achse und eine entlang der y-achse. Man kann also die allgemeinen Gleichungen z. B. so aufstellen: und y t a sin t t a sin t mit, Man erhält die Kurven auch durch die vereinfachten Gleichungen: und y t a sin t t a sin t mit, a 0, t 0 a 0, t 0 a Die Formen der Kurven hängen ab vom Amplitudenverhältnis a, vom Frequenzverhältnis bzw. k in der vereinfachten Form sowie von der Phasendifferenz bzw. der beiden Schwingungen. Durch Variation dieser Kenndaten kann man beliebig viele unterschiedliche Figuren erzeugen, dazu gehören dann auch so banale Kurven wie Strecke, Kreis, Parabelbogen, Ellipse und natürlich dann alle die faszinierenden Kurvenbilder, die man so in der Literatur findet. Eine Lissajous-Figur ist eine geschlossene Kurve, wenn das Frequenzverhältnis eine rationale Zahl ist. Gleiche Frequenzverhältnisse ergeben bei verschiedenen Werten die gleichen Kurven. Ist die Kurve nicht geschlossen, bewegt sie sich dicht im Rechteck mit den Eckpunkten,,, E a a. Wie in diesem Beispiel: sint t und y t sin t Hier habe ich t0;50 verwendet. Je größer man das Intervall macht, desto dichter wird das Rechteck von der Kurve belegt. (MatheGrafi!)

4 55 Lissajous-Figuren Beispiele Beispiel t sint und yt sint für t 0; Zunächst werde ich den Bewegungsablauf durch die Berechnung einiger Kurvenpunkte zeigen. Dabei kann man sich unter t die Zeit vorstellen. Ich berechne eine Punktfolge P(t): t = 0: 0 sin0 0 0 y0 sin0 0 t : y sin t : sin y sin 0 0 t : t : sin 0 0 y sin 0 sin sin y sin sin t : 5 5 t : y sin sin y sin 0 0 sin t : : sin 0 0 y sin 0 t y sin Das Frequenzverhältnis ist, also ist die Kurve geschlossen. Die Amplituden sind beide, also verläuft E die Kurve im Rechteck,,, Berechnung einer epliziten Kurvengleichung: Die Formel sint sint cost hilft weiter: y sint sint cost () Aus sin t cos t cos t sin t Damit wird () zu Aus sint folgt Das setzt man in () ein: y sint sin t () sint. () y mit dem Definitionsbereich D ;. Durch Quadrieren folgt das Ergebnis: y bzw. y P0 A0 0 P B P C 0 P D P A0 0 5 P E P F 0 P G P A0 0

5 55 Lissajous-Figuren 5 Diese Gleichung gehört nicht zu einer Funktion, denn man sieht, dass die Zuordnung y nicht eindeutig ist. Man kann jedoch aus () zwei Ersatzfunktionen angeben: f f Im Tet 50 (Differentialgeometrie) wird die Gleichung für den Krümmungskreis an der Stelle = hergeleitet. Hier die entsprechenden Zeilen: Ableitungen: t cos, t sin y(t) cos. yt 8sin Krümmung: y y y / / 6 cos sin 8 sin cos cos 6 cos Die Stelle = gehört zum Parameterwert t =, denn t sin t sin t t 6 cos sin 8 sin cos / / cos 6 cos Also ist der Krümmungskreisradius: r 8 Und der Krümmungskreismittelpunkt: M Gleichung des Krümmungskreises: 6 y 6

6 55 Lissajous-Figuren 6 Beispiel t sint und yt sint für t 0; Zunächst werde ich den Bewegungsablauf durch die Berechnung einiger Kurvenpunkte zeigen. Ich berechne eine Punktfolge P(t): Die Schwingung beginnt für t = 0: 0 0undy(0) sin : P0 S0 Nach einer Viertelperiode, also für t, befindet sich der Pendelpunkt dort:, sin y sin sin Nach einer halben Periode, also für t, befindet sich der Pendelpunkt dort:, sin 0 0 y sin sin : P A P S 0 Nach t erreichen wir diesen Punkt: 5 sin y sin sin P B Nach einer ganzen Periode, also für t, befindet sich der Pendelpunkt dort: sin 0 0, y sin sin : Der Pendelpunkt schwingt also von A über S nach und wieder zurück. Diese Lissajous-Kurve ist also genau dieser Parabelbogen. Erstellung der epliziten Kurvengleichung: Aus sin t folgt sin t () Die zweite Gleichung kann man auf zwei Arten umformen: Mit der Verschiebungsformel sin cos erhält man y sint t cost (), Das erreicht man auch mit dem Additionstheorem: sina b sinacosbcosasinb, nämlich sin t sin t cos cos t sin cos t 0 Eine weitere Formel für den doppelten Winkel lautet: cost sin t y sin t sin t Setzt man hier () ein, erhält man y P S 0, also gilt Ergebnis: y D ; Die Kurve ist also ein abgeschlossener Parabelbogen. mit dem Definitionsbereich

7 55 Lissajous-Figuren Beispiel t sin t und yt sint für t 0; a) Ich berechne hier nur den Startpunkt der Schwingung: und Der Startpunkt ist also S0. Noch ein weiterer Punkt: sin y0 sin y sin sin Das ergibt A b) Zu welchem Parameterwert t gehören die beiden Hochpunkte? Bedingung: y sint sint Substitution: u t ergibt (Das ist aber keine Etremwertbedingung!) sin u Eine Lösung ist u Rücksubstitution: t t t Das ergibt dann Hochpunkt: sin,85 H,85 für t. Der linke Hochpunkt entsteht durch die Symmetrie H,85 8 für t. 8 8 cos t sin t c) Ableitungen: t t cost 8 sint Tangentensteigungen: Krümmung: y' y" y t t cos t cos t t y t t t y t d) Eigentliche Berechnung der Etrempunkte (waagrechte / senkrechte Tangenten): Bedingung für waagrechte Tangenten: Im Intervall 0; muss dazu gelten: t t t 8 Oder: t t t 8 5 Oder: t t t Oder: t t t 8 y 0 cos t 0 Dazu berechnet man nun die Kurvenpunkte und die Krümmungskontrolle:

8 55 Lissajous-Figuren 8 Zugehörige Kurvenpunkte: sin 8 t :, H,85 sin Hinreichende Bedingung: y( ) 8sin 8sin 0 Maimum. 8 8 sin 8 0,65 t : 0, sin sin Hinreichende Bedingung: T 0,65 y( ) 8sin 8sin 0 Minimum. 8 8 Die beiden anderen Etrempunkte erhält man durch Spiegelung an der y-achse. Bedingung für senkrechte Tangenten: t 0 cos t 0 t oder t Zugehörige Kurvenpunkte: t : sin P sin sin Hinreichende Bedingung: t : sin 0 Maimum (für ) also Rechtspunkt. sin P sin sin Hinreichende Bedingung: sin 0 Minimum (für ) also Linkspunkt. Die Abbildung zeigt die Hochpunkte, Tiefpunkte, den Rechtspunkt und den Linkspunkt. e) Ferner enthält sie zwei Tangenten, die wir jetzt berechnen wollen: Aufgabe: Berechne die Gleichungen der Tangenten zu t = 0 und t). Kurvenpunkte und Tangenten: t 0 : sin S 0 sin Tangentensteigung: Tangente in S: t : cos y' 0 cos 0 y 0 y sin sin sin Tangentensteigung: Tangente in A: cos cos cos cos y' y y Das ergibt A

9 55 Lissajous-Figuren 9 Beispiel t sin t und yt sint für t 0; Beispiel 5 t sintund yt sint für t 0; 5 Beispiel 6 t sintund yt sint für t 0; Beispiel t sin5t und yt sint für t 0;

10 55 Lissajous-Figuren 0 Formenübersicht In den Spalten haben wir konstantes Frequenzverhältnis / In den Zeilen die relative Phasendifferenz der beiden Schwingungen zueinander. : : : : : 0 5 asin(t) y asin(t) a sin(t) asint y asint y asint y a sint a sin(t) asin(t ) y asin t

11 55 Lissajous-Figuren Abbildungen für das Frequenzverhältnis n :n (Amplitudenverhältnis :) φ : φ : φ : oder oder 6 oder oder 6 oder oder 8 9 Wie kann man aus diesen Daten eine Kurvengleichung erstellen? Man geht z. B. von diesen Gleichungen aus: und yt a sin t für t 0; t a sin t Um die Kurve mit der Phasendifferenz und dem Frequenzverhältnis : zu erhalten, wähle ich z. B. und und erhalte: und yt a sint für t 0; t a sin t Die Größe der Kurve hängt davon ab, wie ich a und a wähle. Sie sie gleich groß, liegt die Kurve in einem Quadrat der Seitenlänge a, sind sie verschieden, dann liegt sie in einem Rechteckt und ist gegenüber der Quadrat-Darstellung gestreckt: Ich habe alle Abbildungen mit MatheGrafi erstellt und dabei a = a =,5 gewählt.

12 55 Lissajous-Figuren (a) t sin t und yt sint (b) t sin t und yt sint Hier: Gleiche Form nur vergrößert. (c) t sin t und yt sint Wenn man so verändert, dass das Frequenzverhältnis gleich bleibt, ändert sich die Kurve nicht: (d) t sin0t und yt sin5t Hier: Gleiche Schaubilder Zum Schluss noch eine Figur, die keine geschlossene Kurve ist, weil das Frequenzverhältnis nicht rational ist: (d) t sin t und y t sin t Hier habe ich t0;50 verwendet. Je größer man das Intervall macht, desto dichter wird das Rechteck von der Kurve belegt. (MatheGrafi!)

13 55 Lissajous-Figuren Wichtige Aufgaben Stelle die Koordinatengleichungen für diese Kurven für t 0; auf: a) asin t y asin t b) asin t y asin t Berechne auch die Etrempunkte (in - und y-richtung) und zwar aus der Parametergleichung. Anleitung findet man auf Seite 6 unten. Die Lösungen beginnen auf der nächsten Seite.

14 55 Lissajous-Figuren Lösung für a) asin t () y asin t () In der Formelsammlung steht dies: sin sin sin Damit folgt aus (): y asint a sin t Aus () folgt: Dies setzt man ein: Nach Kürzen erhält man: sin t a y a a a a y a Im Beispiel war a = 5 : y y Nun muss aber der Definitionsbereich eingeschränkt werden, denn die Lissajousfigur hat ja einen linken Endpunkt L,5,5 und einen rechten Endpunkt R,5,5. Die Kurve wird für das Intervall 0; genau zweimal durchlaufen. Für t = 0 beginnt man im Ursprung, für t erreicht man den Hochpunkt (s. u.), für t = den Punkt R. Für 6 t von bis t wird die ganze Kurve rückwärts, also von R nach L durchlaufen. Für t von bis t wird dann der Bogen von L bis zum Ursprung nochmals durchlaufen. Der Definitionsbereich für die Kurve in Koordinatendarstellung lautet also D,5 ;,5. Berechnung der Etrempunkte für,5sin t y,5sin t,5sint,5sint t,5cos t t Ableitungen:, y(t),5 cos t y t t t 6 t t 5 5 t t 6 Bedingung für die y-richtung: y(t) 0 cost 0 t t 6 Jetzt erst hat t das ganze Intervall 0; durchlaufen. 9 t t 5 t t 6 6 6,5sin 6,5 Kurvenpunkte: y y 6,5sin,5sin 0 H,5,5 6,5 6 6 Kontrolle:,5sin,5 y,5sin 0 6 y,5sin,5 6 T,5,5 Die Werte 5 und führen ein zweites Mal zu H und T. 6 6 Kontrolle:

15 55 Lissajous-Figuren 5 Sehr wichtig für das Verständnis dieser Theorie sind die Werte t und t 5 Man sollte sich jetzt nochmals ins Gedächtnis zurückrufen, dass diese Kurve auch die 6 Gleichung y hat. Diese ganzrationale Funktion. Grades hat genau zwei 5 Etrempunkte, und zwar mit waagerechter Tangente. Beschränkt man diese Kurve jedoch auf den Definitionsbereich D,5 ;,5 (s. o.), dann hat die Kurve zwei Randetrempunkte, die aber keine waagerechte Tangente haben. Bei ganzrationalen Funktionen würde man das so beweisen: Gilt am rechten Rand f' R 0, dann liegt ein rechter Randtiefpunkt vor, gilt am linken Rand f' L 0, dann liegt ein rechter Randhochpunkt vor. y t 0 und y t 0 nicht Tiefpunkt mit waagerechter Tangente, sondern minimaler y-wert mit eventuell schräger Tangente. Bei Parameterkurven bedeutet die Bedingung Rechnen wir nach:,5sin,5 y,5sin,5 Entsprechend folgt: 9,5sin,5 y,5sin,5 Kontrolle: y,5sin 0 minimaler y-wert. Und das ist der rechte Randtiefpunkt R,5,5 Kontrolle: 9 y,5sin 0 maimaler y-wert. Und das ist der links Randhochpunkt L,5,5 t t 0 cos t 0 t5 Bedingung für die -Richtung: Kurvenpunkte:,5sin,5 y,5sin,5 9,5sin,5 y,5sin,5,5sin 0 maimaler -Wert. Kontrolle:,5sin 0 minimaler -Wert. Kontrolle: Man erhält so den rechten Randpunkt (also den Kurvenpunkt mit maimaler -Koordinate) und den linken Randpunkt (also den Kurvenpunkt mit minimaler -Koordinate). Es ist Zufall, dass bei dieser Kurve diese beiden Kurvenpunkte Etrempunkte in -Richtung und in y-richtung sind.

16 55 Lissajous-Figuren 6 Lösung für b) Gegeben: asin t y asin t. Schritt: Zerlegung mit der Formel sin sincos cossin : sin t sin t cos cos t sin cos t 0. Schritt: Zerlegung von Man findet jedoch cost cos t sin t cos t. cos t cos t. Es gibt dazu eine fertige Formel, doch die steht nicht überall. cos t cos t cos t Diese wende ich so an: Nochmals angewandt: cost 8 cos t 8 cos t cos t cos t cos t cos t (Siehe auch Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik).. Schritt: Umformung von (): y a 8cos t 8cos t (). Schritt: Jetzt muss man sin und cos aus () und () eliminieren. Dazu muss man nun erst noch () so umformen, dass sin statt cos auftritt. Ich ersetze also cos t sin t y a8 sin t 8 sin t y a 8 sin t sin t 8 sin t Neu sortieren: y a 86sin t 8sin t 88sin t y a 8sin t 8sin t () : asin t Also heißt jetzt unsere Parametergleichung: y a 8sin t 8sin t 5. Schritt: Elimination von sin(t): Aus () folgt: sin t a In (): y a8 8 a a bzw. y 8 8 a a a Für a =,5: y 0,5,,5 Wer Kurven. Grades kennt, konnte ahnen, dass eine solche Kurve hier vorliegt. Sie hat genau wie in Aufgabe a) den Definitionsbereich D,5 ;,5. Und man kann genauso die Etrempunkte wie dort berechnen. Ich habe die zugehörenden t-werte eingetragen, die Koordinaten sind,, R,5,5, L,5,5, T0,5 H,68,5.