Kurven in der Ebene Darstellungsformen, Bogenlänge, Tangente

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1 Kurven in der Ebene Darstellungsformen, Bogenlänge, Tangente Wir betrachten Kurven in der -Ebene. Als erstes wollen wir uns damit beschäftigen, wie sich solche Kurven mathematisch beschreiben lassen. Dafür werden wir drei Möglichkeiten (Darstellungsformen kennenlernen. Die für uns wichtigste Darstellungsform wird die Parameterdarstellung sein. Für spezielle Kurven (Strecken, Kreise, Ellipsen wollen wir uns anschauen, wie eine geeignete Parameterdarstellung aussieht (siehe Seite. Anschließend soll es um die Berechnung der Bogenlänge einer ebenen Kurve (siehe Seite 9 und um die Bestimmung einer Gleichung der Tangente in einem vorgegebenen Punkt der Kurve (siehe Seite gehen. Darstellungsformen ebener Kurven. Parameterfreie Darstellung. Wird eine ebene Kurve durch eine Gleichung, in der die Variablen und vorkommen, beschrieben, dann spricht man von einer parameterfreien Darstellung der Kurve (denn neben und werden keine sonstigen Parameter zur Beschreibung der Kurve verwendet. Allgemein besitzt eine solche Gleichung die Gestalt F(, = mit einem gewissen, von und abhängigen Ausdruck F(, oder kann zumindest leicht in eine solche Gestalt überführt werden. Manchmal kann man auch eine parameterfreie Darstellung der Kurve in der Form = f( finden, mit einem gewissen, nur von abhängigen Ausdruck f(. In diesem Fall spricht man auch von einer epliziten Darstellung der Kurve, sie ist dann also der Graph einer Funktion f : R R. Hingegen spricht man im Falle der Darstellung F(, = von einer impliziten Darstellung der Kurve. Nicht jede Kurve, die sich durch eine implizite Darstellung beschreiben lässt, besitzt auch eine eplizite Darstellung, wie das nachfolgende Beispiel (b zeigt. Beispiele: (a Durch die Gleichung = wird bekanntermaßen die nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Koordinatenursprung als Scheitelpunkt beschrieben. Es handelt sich bei dieser Gleichung um eine eplizite Darstellung der Kurve. Durch Umstellen der Gleichung erhält man leicht eine implizite Darstellung, zum Beispiel =.

2 5 4 - (b Die Gleichung + = = beschreibt einen Kreis mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt und dem Radius. Es handelt sich bei dieser Gleichung um eine implizite Darstellung der Kurve. - - Es gibt keine eplizite Darstellung des ganzen Kreises (das ist auch klar, denn zu jedem-wert zwischen undgibt es zwei Punkte auf dem Kreis mit demselben -Wert, aber unterschiedlichen -Werten somit ist der Kreis kein Graph einer Funktion f : R R. Man kann höchstens mittels = 4 den oberen Halbkreis bzw. mittels = 4 den unteren Halbkreis in epliziter Darstellung beschreiben.. Parameterdarstellung. Die Darstellungsform, mit der wir uns hauptsächlich beschäftigen werden, ist die Parameterdarstellung einer Kurve. Dabei wird die Kurve mittels eines Parameters t sowie zwei Vorschriften (t und (t beschrieben. Für jeden Wert des Parameters t lässt sich aus diesen Vorschriften ein Punkt ((t, (t in der -Ebene berechnen. Die Kurve besteht letztlich aus allen auf diese Weise berechneten Punkten. Beim Notieren der Parameterdarstellung ist es üblich, die Vorschriften (t und (t in einem Vektor untereinander zu schreiben, also: (t = ( (t (t Zu beachten ist dabei der Unterschied zwischen dem fett gedruckten (damit ist der Vektor, bestehend aus - und -Komponente gemeint und dem normal geschriebenen (damit ist lediglich die -Komponente gemeint..

3 Wichtig: Zu einer vollständigen Beschreibung einer Kurve in Parameterdarstellung gehören nicht nur die Vorschriften (t und (t, sondern auch der sogenannte Parameterbereich, das heißt, es muss auch festgelegt werden, welche Werte der Parameter t annehmen kann. In unseren Anwendungen wird es sich dabei meist um ein Intervall [a,b] handeln, das heißt, die Kurve wird meist in der Form (t = ( (t (t, a t b beschrieben werden. In diesem Fall gilt: wird speziell t = a eingesetzt, erhält man den Anfangspunkt der Kurve, für t = b ergibt sich der Endpunkt der Kurve. Für jeden Wert t zwischen a und b ergibt sich ein weiterer Punkt auf der Kurve, der zwischen Anfangsund Endpunkt liegt. Die folgende Abbildung veranschaulicht das nochmal. ((t,(t für ein t zwischen a und b ((b,(b ((a,(a t wird größer Bemerkungen: Durch eine Parameterdarstellung erhält eine Kurve eine Orientierung (was auch schon daran ersichtlich ist, dass sie einen Anfangspunkt und einen Endpunkt besitzt. Aus diesem Grund ist in der obigen Abbildung am Endpunkt eine Pfeilspitze an der Kurve angebracht. Beim Zeichnen der Kurve ist zu beachten, dass es nicht etwa eine eigene t-achse gibt. Gezeichnet wird nach wie vor ins -Koordinatensstem und gezeichnet werden nur die Punkte ((t,(t. Beispiele: (a Für den Graph einer Funktion = f( erhält man eine Parameterdarstellung, indem man einfach (t = t und (t = f(t setzt, also ( t (t =. f(t So wird zum Beispiel durch die Parameterdarstellung ( t (t = t die nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Koordinatenursprung als Scheitelpunkt beschrieben. Wie weiter oben schon bemerkt, gehört zu einer vollständigen

4 Beschreibung der Kurve neben den Vorschriften (t und (t auch noch der Parameterbereich. Lässt man alle t R als Parameterwerte zu, wird die ganze Parabel beschrieben (in der folgenden Abbildung links dargestellt. Schränkt man jedoch den Parameterbereich ein, zum Beispiel auf das Intervall [, ], wird nur ein Teil der Parabel beschrieben (in der folgenden Abbildung rechts dargestellt. Dieser Teil hat dann den Anfangspunkt (, (entspricht t = und den Endpunkt (,4 (entspricht t =. Für einige Punkte auf der Parabel ist in der folgenden Abbildung der Wert für t angegeben, der zu dem jeweiligen Punkt führt t = 4 t = t =.5 t = t = - t = - t = (b Durch die Parameterdarstellung ( cos(t (t = sin(t, t wird ein Kreis mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt und dem Radius beschrieben. Der Parameter t entspricht dabei dem Winkel, den der Ortsvektor des zugehörigen Punktes mit der -Achse einschließt. Der Anfangspunkt ist (cos(,sin( = (,. Für wachsende t wird der Kreis dann in mathematisch positiver Richtung, das heißt, entgegen dem Uhrzeigersinn, durchlaufen, bis schließlich der Endpunkt ( cos(, sin( = (, erreicht ist (der erwartungsgemäß mit dem Anfangspunkt übereinstimmt. In der folgenden Abbildung ist der Kreis noch einmal dargestellt. Für einige Punkte ist der zugehörige Wert für t (also der Winkel angegeben. t = t = 4 t = - t = und t = - Will man nur einen gewissen Teil des Kreises darstellen, kann man die Parameterdarstellung selbst beibehalten, muss aber den Parameterbereich geeignet einschränken. So führen beispielsweise die Parameterbereiche t und t jeweils auf Viertelkreise, die in mathematisch positiver Richtung 4 4 durchlaufen werden. In den folgenden beiden Abbildungen sind diese Viertelkreise dargestellt. 4

5 t : 4 t 4 : Multipliziert man die -Komponente der Parameterdarstellung mit, also ( ( (t cos(t (t = =, t, (t sin(t dann wird nach wie vor derselbe Kreis beschrieben. Allerdings wird er dieses Mal in mathematisch negativer Richtung, also im Uhrzeigersinn, durchlaufen.. Mittels Polarkoordinaten. Neben den bisher betrachteten Darstellungsformen gibt es noch die Darstellung einer ebenen Kurve durch eine Gleichung in Polarkoordinaten, genauer: durch eine Gleichung in der Form r = r(ϕ. Im Prinzip ist auch das eine Parameterdarstellung mit ϕ als Parameter. Jedem Wert von ϕ wird ein Punkt zugeordnet, dessen Abstand zum Koordinatenursprung gleich r(ϕ ist und dessen Ortsvektor mit der -Achse den Winkel ϕ einschließt. Genau wie bei der Parameterdarstellung muss zur vollständigen Charakterisierung der Kurve neben der Vorschrift r(ϕ noch festgelegt werden, welche Werte ϕ annehmen kann. Oft werden das alle Werte innerhalb eines bestimmten Intervalls sein. Beispiele: (a Wir betrachten die Kurve, die sich mittels Polarkoordinaten durch r(ϕ = +cos(ϕ, ϕ darstellen lässt. Um uns eine Vorstellung darüber zu verschaffen, wie diese Kurve aussieht, berechnen wir r(ϕ für einige Werte für ϕ (die Werte für r(ϕ sind jeweils auf Nachkommastellen genau angegeben. ϕ 4 4 r(ϕ Für ϕ zwischen und erhält man dieselben Werte für r wie für ϕ zwischen und, nur in umgekehrter Reihenfolge. In der folgenden Abbildung ist die Kurve dargestellt. Für einige Punkte ist auch der zugehörige Winkel ϕ angegeben. Anhand des zu ϕ = gehörigen Punktes wird eemplarisch auch nochmal verdeutlicht, welche Bedeutung r(ϕ hat: der Abstand dieses Punktes zum Koordinatenursprung. 5

6 ϕ = ϕ = 4 ϕ = 4 ϕ = r( =.7 ϕ = ϕ = ϕ = und ϕ = Bei der Kurve handelt es sich um eine sogenannte Kardioide ( Herzkurve. Allgemein lassen sich Kardioiden durch die Gleichung r(ϕ = α(+cos(ϕ, ϕ beschreiben, mit einem Parameter α >. Die Kurve hat dann die Eigenschaft, dass die bei = α die-achse schneidet und bei = α sowie = α die-achse. In unserem Beispiel oben wurde die Kardioide für α = betrachtet. (b Ein Kreis mit dem Mittelpunkt (, besitzt eine sehr einfache Darstellung mittels Polarkoordinaten, r(ϕ ist in diesem Fall nämlich einfach gleich einer Konstanten, und zwar gerade gleich dem Radius des Kreises. In der Tat wird ja ein Kreis mit dem Mittelpunkt (, gerade dadurch charakterisiert, dass jeder Punkt des Kreises denselben Abstand zum Ursprung hat. Beispielsweise wird durch r(ϕ =, ϕ der Kreis mit dem Mittelpunkt (, und dem Radius beschrieben. Bemerkung: Für eine Kurve, die mittels Polarkoordinaten durch eine Gleichung r = r(ϕ beschrieben wird, lässt sich leicht eine Parameterdarstellung bestimmen, indem t = ϕ gesetzt wird und der Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten ausgenutzt wird: (t = ( r(tcos(t r(t sin(t So lautet zum Beispiel eine Parameterdarstellung unserer Kardioide aus Beispiel (a: ( (+cos(tcos(t (t =, t. (+cos(tsin(t. Wichtige Kurven und zugehörige Parameterdarstellungen Für einige Kurven sollte man sich merken, wie geeignete Parameterdarstellungen aussehen. Dazu gehören Geraden und (Verbindungs-Strecken, Kreise und Teile von Kreisen sowie Ellipsen und Teile von Ellipsen.

7 Strecken, Geraden Gegeben seien zwei Punkte A und B. Dann erhält man stets wie folgt eine Parameterdarstellung für die Verbindungsstrecke zwischen diesen beiden Punkten, also die Strecke mit dem Anfangspunkt A und dem Endpunkt B: (t = #» OA+t ( #» OB OA #», t. Mit #» OA und #» OB werden dabei die Ortsvektoren der Punkte A und B bezeichnet. Beispiel: Eine Parameterdarstellung der Verbindungsstrecke der beiden Punkte A(, und B(, 4 lautet: ( (( ( ( t (t = +t =, t. 4 +t B 4 A - Wenn wir für t die Einschränkung t weglassen und stattdessen alle t R zulassen, dann wird durch die Parameterdarstellung keine Strecke mehr, sondern eine (unbeschränkte Gerade beschrieben. Die Parameterdarstellung von Geraden ist uns auch schon länger bekannt (aus der Schule oder spätestens aus dem Kapitel über Lineare Algebra und Analtische Geometrie. Kreise, Teile von Kreisen Der Kreis mit dem Mittelpunkt M(m,m und dem Radius R > besitzt die parameterfreie Darstellung ( m +( m = R bzw. ( m +( m R = (in impliziter Form. Eine Parameterdarstellung dieses Kreises lautet ( m +Rcos(t (t =, t. m +Rsin(t Gemäß dieser Parameterdarstellung wird der Kreis dabei entgegen dem Uhrzeigersinn (im mathematisch positiven Sinn durchlaufen. Möchte man, dass er im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, erreicht man das, indem man die -Komponente durch m Rsin(t ersetzt. Möchte man, dass nicht der ganze Kreis, sondern nur ein Teil davon (etwa ein Viertel- oder ein Halbkreis beschrieben wird, muss man den Parameterbereich geeignet abändern. Beispiel: Durch die Parameterdarstellung ( +cos(t (t = +sin(t 7, t

8 wird der Kreis mit dem Mittelpunkt (, und dem Radius beschrieben. In der folgenden Abbildung ist dieser Kreis links dargestellt. Ändert man den Parameterbereich beispielsweise zu t t ab, wird nur der linke Halbkreis beschrieben (in der folgenden Abbildung rechts dargestellt. t : t : Ellipsen, Teile von Ellipsen Eine Ellipse, deren Smmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen und die den Smmetriepunkt (Mittelpunkt M(m,m hat, besitzt die parameterfreie Darstellung ( m + ( m α β = bzw. ( m α + ( m β = (in impliziter Form. Dabei ist α > die Länge der zur -Achse parallelen Halbachse und β > die Länge der zur -Achse parallelen Halbachse. Eine Parameterdarstellung dieser Ellipse lautet (t = ( m +αcos(t m +βsin(t, t. Dabei wird die Ellipse entgegen dem Uhrzeigersinn (im mathematisch positiven Sinn durchlaufen. Möchte man, dass er im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, erreicht man das, indem man die -Komponente durch m βsin(t ersetzt. Möchte man, dass nicht die ganze Ellipse, sondern nur ein Teil davon beschrieben wird, muss man den Parameterbereich geeignet abändern. Dabei ist aber zu beachten, dass der Parameter t bei der obigen Beschreibung der Ellipse, anders als beim Kreis, im Allgemeinen nicht den Winkel angibt, den der Ortsvektor des zugehörigen Punktes auf der Ellipse mit der -Achse einschließt. Wir wollen an dieser Stelle allerdings nicht näher auf die Bedeutung von t eingehen. Beispiel: Durch die Parameterdarstellung ( cos(t (t = sin(t, t. wird die Ellipse mit dem Smmetriepunkt (, sowie den Halbachsenlängen α = in -Richtung und β = in -Richtung beschrieben. 8

9 - - - Bogenlänge ebener Kurven Für Kurven, die durch eine eplizite parameterfreie Darstellung oder durch eine Parameterdarstellung oder mittels Polarkoordinaten beschrieben sind, findet man Formeln in der Formelsammlung, mit denen man die Länge der Kurven berechnen kann. Diese Formeln werden im Folgenden nochmal angegeben. Angenommen, die Kurve wird durch eine eplizite parameterfreie Darstellung = f(, a b (mit Grenzen für beschrieben. Dann lässt sich die Länge dieser Kurve nach der folgenden Formel berechnen: L = ˆ b a +f ( d. Beispiel: Wir betrachten die Normalparabel im Intervall [,], also die durch = f( =, beschriebene Kurve. Dann ist f ( =, sodass sich für die Bogenlänge ergibt: L = = ˆ ˆ = ( d d [ ln Das Integral 4 + d lässt sich dabei mit Hilfe einer geeigneten Formel aus der Integraltabelle der Formelsammlung berechnen. ] 9

10 Angenommen, die Kurve wird durch eine Parameterdarstellung ( (t (t =, a t b (t beschrieben. Dann lässt sich die Länge dieser Kurve nach der folgenden Formel berechnen: ˆ b ẋ(t L = +ẏ(t dt. a Mit ẋ(t und ẏ(t werden dabei die Ableitungen der - und der -Komponente der Parameterdarstellung bezeichnet. Beispiele: (a Wir wissen, dass für eine vorgegebene Zahl R > durch ( Rcos(t (t =, t Rsin(t der Kreis mit dem Mittelpunkt (, und dem Radius R beschrieben wird. Wir wollen die obige Formel benutzen, um die Bogenlänge zu berechnen. Die Ableitungen der Komponenten der Parameterdarstellung nach t lauten ẋ(t = Rsin(t und ẏ(t = Rcos(t. Daraus folgt ẋ(t +ẏ(t = R sin (t+r cos (t = R (sin (t+cos (t = R und somit, unter Beachtung von R >, L = ˆ ẋ(t +ẏ(t dt = ˆ R dt = Rt = R. Damit haben wir die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises bestätigt. (b Gesucht ist die Bogenlänge der Kurve mit der Parameterdarstellung ( t (t =, t. t Die Ableitungen der Komponenten der Parameterdarstellung nach t lauten Daraus folgt und somit L = ˆ ẋ(t = t und (t = t. ẋ(t +ẏ(t = 9t 4 +4t = t (9t +4 t (9t +4 dt =ˆ t 9t +4 dt = 7 (9t Beim zweiten Gleichheitszeichen war dabei zu beachten, dass für t [, ] tatsächlich t = t gilt. Das Integral t 9t +4 dt lässt sich mit der Substitution u = 9t +4 lösen.

11 Angenommen, die Kurve wird mittels Polarkoordinaten in der Form r = r(ϕ, α ϕ β beschrieben. Dann lässt sich die Länge dieser Kurve nach der folgenden Formel berechnen: ˆ β L = r(ϕ +ṙ(ϕ dϕ. Mit ṙ(ϕ wird dabei die Ableitung von r(ϕ nach ϕ bezeichnet. Beispiel: Wir betrachten die durch α r(ϕ = +cos(ϕ, ϕ beschriebene Kardioide. Es ist ṙ(ϕ = sin(ϕ und somit r(ϕ +ṙ(ϕ = (+cos(ϕ +( sin(ϕ = 4+8cos(ϕ+4cos (ϕ+4sin (ϕ = 8(+cos(ϕ. Also lässt sich die Bogenlänge wie folgt berechnen: L = ˆ r(ϕ +ṙ(ϕ dϕ = 8ˆ +cos(ϕ dϕ. Aus der Formel des doppelten Winkels für den Cosinus folgt ( ϕ +cos(ϕ = cos und somit L = ˆ ( ϕ 8 cos dϕ = ˆ ( ϕ 8 cos dϕ. Bei der Auflösung des Betrags ist zu beachten, dass cos( ϕ positiv ist für ϕ [, und negativ für ϕ (,]. Daraus folgt (ˆ L = 4 ( ϕ cos dϕ+ ˆ ( ϕ cos dϕ ( ( ϕ = 4 sin sin ( ϕ =. Gleichung einer Tangente an eine Kurve Schon aus der Schule wissen wir, wie wir eine Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion = f( an einer Stelle ermitteln können. Es soll nun, etwas allgemeiner, darum gehen, wie eine Gleichung der Tangente an eine Kurve bestimmt werden kann, die durch eine Parameterdarstellung beschrieben wird. Gegeben sei also eine Kurve durch eine Parameterdarstellung ( (t (t =, (t ggf. noch mit Grenzen für den Parameter t. Für einen Parameterwert t ist dann (t ein Punkt auf der Kurve. Die Aufgabe bestehe nun darin, eine Gleichung der Tangente an die

12 Kurve in diesem Punkt zu bestimmen. Die Tangente ist eine Gerade, das heißt die Gleichung wird die Form einer Geradengleichung haben, also (wir gehen hier von einer Parameterdarstellung aus von folgender Gestalt sein: ( T (s T(s = = a+sv, s R. T (s Den Parameter dieser Geradengleichung bezeichnen wir mit s statt mit t, damit es keine Verwechslung mit dem Parameter der Kurvengleichung gibt. Die Vorschriften für die - und die -Komponente der Tangente bezeichnen wir mit T (s und T (s. Zu bestimmen sind nun noch ein Punkt a, der auf der Tangente liegt, sowie der Richtungsvektor v. Wir wissen, dass der Kurvenpunkt (t auch auf der Tangente liegen muss, also wählen wir sinnvollerweise a = (t. Der Richtungsvektor v ist nichts weiter als der Ableitungsvektor der Parameterdarstellung der Kurve an der Stelle t, also v = ẋ(t = ( ẋ(t ẏ(t Der Ableitungsvektor ẋ(t entsteht also, indem die einzelnen Komponenten (t und (t abgeleitet werden, die Ableitungen an der Stelle t ausgewertet werden und in einem Vektor untereinander geschrieben werden. Zusammengefasst geht man also wie folgt vor, um eine Gleichung der Tangente an die Kurve an einer Stelle t (bzw. im Punkt (t zu ermitteln. Berechne den Funktionswert (t. Ermittle die Ableitungen ẋ(t und ẏ(t von den einzelnen Komponenten der Parameterdarstellung der Kurve an der Stelle t. Bilde daraus den Ableitungsvektor ( ẋ(t ẋ(t =. ẏ(t Die Gleichung der Tangente lautet dann: Beispiele:. T(s = (t +sẋ(t, s R. (a Gegeben sei der Kreis mit dem Mittelpunkt (, und dem Radius mit der Parameterdarstellung ( cos(t (t =, t sin(t (vgl. Beispiel (b von Seite 4. Wir wollen eine Gleichung der Tangente in dem Punkt des Kreises bestimmen, der zum Parameterwert t = gehört. Dazu arbeiten wir die oben beschriebenen Schritte nach und nach ab. Der zu t = gehörige Punkt auf dem Kreis ist ( ( cos( = sin( = (.

13 Der Ableitungsvektor der Parameterdarstellung der Kurve an einer Stelle t lautet ( sin(t ẋ(t =. cos(t Speziell an der Stelle t = ergibt sich ( ( sin( ẋ = cos( = (. Eine Gleichung der Tangente an den Kreis an der Stelle t = ( lautet also ( ( T(s = +s, s R. (bzw. im Punkt In der folgenden Abbildung sind der Kreis sowie die Tangente im Punkt ( = (, dargestellt. (, - - (b Gegeben sei die Kardioide, die sich durch folgende Gleichung mittels Polarkoordinaten beschreiben lässt: r(ϕ = +cos(ϕ, ϕ (vgl. Beispiel (a von Seite 5. Gesucht ist eine Gleichung der Tangente im Punkt (,, der auf der Kurve liegt (es handelt sich dabei um den Punkt, der zum Winkel ϕ = gehört. Wir hatten bereits weiter oben beschrieben, wie man aus der Darstellung einer Kurve mittels Polarkoordinaten eine Parameterdarstellung erhält: (t = ( r(tcos(t r(t sin(t = ( (+cos(tcos(t (+cos(tsin(t, t Der Parameter t entspricht dabei dem Winkel ϕ. Das heißt, der Punkt (, gehört zum Parameterwert t =, ist also gerade (. Zur Bestimmung einer Gleichung der Tangente in diesem Punkt arbeiten wir die oben beschriebenen Schritte nach und nach ab. Wie eben schon erwähnt, ist ( = (, (man kann das natürlich auch nochmal durch Einsetzen von t = in die Parameterdarstellung überprüfen.

14 Der Ableitungsvektor der Parameterdarstellung der Kurve lautet (unter Beachtung der Produktregel ( sin(tcos(t (+cos(tsin(t ẋ(t = sin. (t+(+cos(tcos(t An der Stelle t = ergibt sich ( ( ẋ =. Eine Gleichung der Tangente an die Kardioide an der Stelle t = ( = (, lautet also ( ( T(s = +s, s R (bzw. im Punkt bzw., indem wir ω = s setzen, ( T(ω = ( +ω, ω R. In der folgenden Abbildung sind nochmal die Kardioide sowie die Tangente im Punkt (, dargestellt. (,