Potentialfelder und ihre Bedeutung für Kurvenintegrale

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1 Potentialfelder und ihre Bedeutung für Kurvenintegrale Gegeben sei ein Vektorfeld v, entweder im Zweidimensionalen, also von der Gestalt ( ) v1 (x,y), v 2 (x,y) oder im Dreidimensionalen, also von der Gestalt v 1 (x,y,z) v(x,y,z) = v 2 (x,y,z). v 3 (x,y,z) Das Vektorfeld heißt Potentialfeld, wenn eine reellwertige Funktion Φ existiert, deren Gradient gerade v ist, für die also gilt Φ = v. Eine solche Funktion Φ heißt dann zugehörige Potentialfunktion. Das ist zumindest die Definition eines Potentialfeldes. Um zu überprüfen, ob ein vorgegebenes Vektorfeld ein Potentialfeld ist, bietet es sich an zu testen, ob die sogenannte Integrabilitätsbedingung erfüllt ist. Wie überprüft man, ob ein Vektorfeld Potentialfeld ist? Was zu tun ist, um die Integrabilitätsbedingung zu überprüfen, erklären wir einzeln für den zwei- bzw. dreidimensionalen Fall. Für ein zweidimensionales Vektorfeld v(x, y) ist zu überprüfen, ob die Ableitung der ersten Komponente nach y übereinstimmt mit der Ableitung der zweiten Komponente nach x, ob also gilt v 1 y = v 2 x. Für ein dreidimensionales Vektorfeld v(x, y, z) ist zu überprüfen, ob seine Rotation gleich dem Nullvektor ist, ob also gilt 0 rotv = 0. 0 Ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt, dann handelt es sich bei v um ein Potentialfeld, andernfalls nicht. Beispiele: (a) Es ist zu überprüfen, ob das zweidimensionale Vektorfeld ( ) y 2 e xy +3 (1+xy)e xy ein Potentialfeld ist. Wir prüfen, ob die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist: v 1 y = 2ye xy +y 2 e xy x = (2y +xy 2 )e xy, v 2 x = yexy +y(1+xy)e xy = (2y +xy 2 )e xy. Die partiellen Ableitungen v 1 und v 2 stimmen überein, das heißt die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt. Somit ist v ein y x Potentialfeld. 1

2 (b) Gegeben ist das dreidimensionale Vektorfeld 2y 2 3z 3 v(x,y,z) = 4xy 5. 9xz 2 +z Wir berechnen die Rotation dieses Vektorfeldes: ( v3 rotv = y v 2 z, v 1 z v 3 x, v 2 x v 1 y = ( 0 0, 9z 2 ( 9z 2 ), 4y 4y ) = (0,0,0). Die Rotation ist überall gleich dem Nullvektor. Das heißt, die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt. Somit ist v ein Potentialfeld. (c) Es ist zu untersuchen, ob ( y 2 e xy +3y (1+xy)e xy ein Potentialfeld ist. Dazu überprüfen wir, ob die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist: ) ) v 1 y = 2ye xy +y 2 e xy x+3 = (2y +xy 2 )e xy +3, v 2 x = yexy +y(1+xy)e xy = (2y +xy 2 )e xy. Die partiellen Ableitungen v 2 und v 1 stimmen nicht überein, das heißt, die Integrabilitätsbedingung ist nicht erfüllt. Somit handelt es sich nicht um ein x y Potentialfeld. Wie wird eine zugehörige Potentialfunktion ermittelt? Angenommen, wir haben festgestellt, dass es sich bei v um ein Potentialfeld handelt. Dann lautet die nächste Frage, wie eine zugehörige Potentialfunktion Φ ermittelt werden kann. Auch hier beschreiben wir das Vorgehen einzeln für den zwei- bzw. dreidimensionalen Fall, obwohl das Prinzip dasselbe ist. Angenommen, v = v(x, y) ist ein zweidimensionales Potentialfeld. Für die Potentialfunktion Φ muss dann die Bedingung Φ = v erfüllt sein. Mit anderen Worten muss die Ableitung von Φ nach x gleich v 1 (x,y) sein, die Ableitung von Φ nach y muss mit v 2 (x,y) übereinstimmen. Wir kümmern uns als erstes um die erste Bedingung. Da die Ableitung von Φ nach x gleich v 1 (x,y) sein muss, erhalten wir Φ selbst durch Integrieren von v 1 (x,y) nach x. Dabei wird y als Konstante angesehen. Durch das Integrieren kommt eine Integrationskonstante rein, die noch von y, aber nicht mehr von x abhängen darf: x Φ = v 1(x,y) Φ = v 1 (x,y) dx = V x 1 (x,y)+c(y). (1) Mit V x 1 (x,y) ist dabei eine (beliebige aber fest gewählte) Stammfunktion von v 1 (x,y) bzgl. x gemeint. Φ ist noch nicht vollständig bestimmt, denn C(y) kennen wir noch 2

3 nicht. Nun muss aber andererseits auch gelten, dass die Ableitung von Φ nach y gleich v 2 (x,y) ist. Verwenden wir die in (1) erhaltene Darstellung von Φ, muss also gelten: y Φ = y V x 1 (x,y)+c (y)! = v 2 (x,y). Stellen wir dies nach C (y) um und integrieren anschließend nach y, erhalten wir C(y). Achtung: Die Integrationskonstante, die bei dieser Integration reinkommt, hängt nicht mehr von x ab, da C(y) ja nicht von x abhängen darf. Den erhaltenen Ausdruck für C(y) setzen wir dann in (1) ein und bekommen die gesuchte Potentialfunktion Φ. Ist v ein dreidimensionales Potentialfeld, ist ebenfalls eine Funktion Φ gesucht, für die Φ = v gilt. Mit anderen Worten muss die Ableitung von Φ nach x gleich v 1 (x,y,z) sein, die Ableitung vonφnachy muss mitv 2 (x,y,z) übereinstimmen und die Ableitung von Φ nach z muss gleich v 3 (x,y,z) sein. Aus der Bedingung Φ = v x 1(x,y,z) folgt, dass wir Φ selbst erhalten, indem wir v 1 (x,y,z) nach x integrieren. Die Integrationskonstante darf dieses Mal aber noch von zwei Variablen abhängen, nämlich von y und z: x Φ = v 1(x,y,z) Φ = v 1 (x,y,z) dx = V x 1 (x,y,z)+c(y,z). (2) MitV x 1 (x, y, z) bezeichnen wir wieder eine (beliebige aber fest gewählte) Stammfunktion von v 1 (x,y,z) bzgl. der Variablen x. Die zweite Bedingung an Φ ist es, dass die Ableitung nach y gleich v 2 (x,y,z) sein soll. Also leiten wir den in (2) erhaltenen Ausdruck für Φ nach y ab und setzen die Ableitung gleich v 2 (x,y,z): y Φ = y V x 1 (x,y,z)+ y C(y,z)! = v 2 (x,y,z). Diese Gleichung stellen wir nach C(y,z) um und integrieren anschließend nach y, y wodurch sich C(y,z) ergibt. Die Integrationskonstante, die bei dieser Integration reinkommt und die wir mit D(z) bezeichnen, darf noch von z, aber nicht mehr von x oder y abhängen. Den für C(y, z) erhaltenen Ausdruck setzen wir in (2) ein. Anschließend nutzen wir die dritte Bedingung, nämlich dass die Ableitung von Φ nach z gleich v 3 (x,y,z) sein soll, um den noch immer unbekannten Summanden D(z) zu berechnen. Wir betrachten zwei Beispiele zur Berechnung der Potentialfunktion, die das Vorgehen verdeutlichen werden. Beispiele: (a) Für das Vektorfeld ( y 2 e xy +3 (1+xy)e xy hatten wir bereits festgestellt, dass es sich um ein Potentialfeld handelt (vgl. Beispiel (a) von Seite 1). Nun soll eine zugehörige Potentialfunktion ermittelt werden. Dazu arbeiten wir zunächst die erste Bedingung Φ = v x 1(x,y) ab, das heißt, wir integrieren die erste Komponente von v nach x, um die Vorschrift für Φ zu erhalten. Die Integrationskonstante darf noch von y, aber nicht mehr von x abhängen. Es ergibt sich: (y Φ = 2 e xy +3 ) dx = ye xy +3x+C(y). (3) ) 3

4 Diesen Ausdruck leiten wir nun nach y ab und setzen die Ableitung gleich v 2 (x,y), also der zweiten Komponente von v. y Φ = y (yexy +3x+C(y)) = e xy +xye xy +C (y)! = (1+xy)e xy. Diese Gleichung wird nach C (y) umgestellt. Anschließend integrieren wir nach y, um C(y) zu erhalten. C (y) = 0 C(y) = 0 dy = K, K R. Die Integrationskonstante K darf weder von x noch von y abhängen. Setzen wir den erhaltenen Ausdruck für C(y) in (3) ein, so ergibt sich die allgemeine Potentialfunktion Φ(x,y) = ye xy +3x+K, K R. Für jede Zahl K R erhält man eine spezielle Potentialfunktion. (b) Wir betrachten Beispiel (b) von Seite 2. Dort hatten wir nachgewiesen, dass das dreidimensionale Vektorfeld 2y 2 3z 3 v(x,y,z) = 4xy 5 9xz 2 +z ein Potentialfeld ist. Es soll eine zugehörige Potentialfunktion ermittelt werden. Dazu arbeiten wir zunächst die erste Bedingung Φ = v x 1(x,y,z) ab: x Φ = 2y2 3z 3 Φ = (2y 2 3z 3 ) dx = 2xy 2 3xz 3 +C(y,z). (4) Dieser Ausdruck ist nun nach y abzuleiten und gleich v 2 (x,y,z), also der zweiten Komponente von v, zu setzen. y Φ = y (2xy2 3xz 3 +C(y,z)) = 4xy + y C(y,z)! = 4xy 5 Umstellen nach C(y,z) und Integrieren nach y liefert: y C(y,z) = 5 C(y,z) = y ( 5) dy = 5y +D(z). Die Integrationskonstante darf noch von z, aber nicht mehr von x oder y abhängen. Setzen wir den erhaltenen Ausdruck für C(y,z) in (4) ein, ergibt sich Φ = 2xy 2 3xz 3 5y +D(z). (5) Das leiten wir nun nach z ab und setzen die Ableitung gleich v 3 (x,y,z), also der dritten Komponente von v. z Φ = z (2xy2 3xz 3 5+D(z)) = 9xz 2 +D (z)! = 9xz 2 +z Durch Umstellen nach D (z) und Integrieren nach z ergibt sich D (z) = z D(z) = z dz = 1 2 z2 +K, K R. 4

5 Einsetzen in (5) liefert die allgemeine Potentialfunktion Φ(x,y,z) = 2xy 2 3xz 3 5y z2 +K, K R. Für jede Zahl K R erhält man eine spezielle Potentialfunktion. Welche Bedeutung haben Potentialfelder für Kurvenintegrale? Ist ein Vektorfeld v ein Potentialfeld, dann ist ein Kurvenintegral 2. v ds stets wegunabhängig. Das heißt, der Wert des Kurvenintegrals hängt nur vom Anfangspunkt Art C und vom Endpunkt der Kurve C ab, aber nicht vom genauen Verlauf der Kurve. Sind also ein Anfangspunkt P 1 und ein Endpunkt P 2 gegeben, so ist es vollkommen egal, ob man die Verbindungsstrecke der beiden Punkte oder einen Kreisbogen oder einen Streckenzug oder irgendeine andere Verbindungskurve der beiden Punkte betrachtet, der Wert des Kurvenintegrals über dem Vektorfeld v wird stets der gleiche sein. Ist v ein Potentialfeld, so gibt es außerdem eine (häufig) elegantere Möglichkeit, den Wert des Kurvenintegrals zu ermitteln, als die sonst durchzuführenden vier Schritte abzuarbeiten, nämlich: S1: Bestimme eine zugehörige Potentialfunktion Φ des Potentialfeldes. S2: Ist P 1 (x 1,y 1,z 1 ) der Anfangspunkt und P 2 (x 2,y 2,z 2 ) der Endpunkt der Kurve C, dann gilt für den Wert des Kurvenintegrals 2. Art: C v ds = Φ(x 2,y 2,z 2 ) Φ(x 1,y 1,z 1 ). Kurz gesagt erhält man den Wert des Kurvenintegrals, indem man Φ(Endpunkt) Φ(Anfangspunkt) rechnet. Für Kurvenintegrale im Zweidimensionalen gilt die Formel natürlich auch, nur entfällt da die z-komponente. Beispiele: (a) Wir betrachten erneut das Vektorfeld aus Beispiel (a) auf der Seite 1, also ( ) y 2 e xy +3 (1+xy)e xy, sowie Kurven C mit dem Anfangspunkt (0,3) und dem Endpunkt (2,0). Gesucht ist der Wert des Kurvenintegrals entlang solcher Kurven. Wir hatten bereits die allgemeine Potentialfunktion für dieses Potentialfeld ermittelt: Φ(x,y) = ye xy +3x+K, K R. Zur Berechnung des Kurvenintegrals nutzen wir die oben (im Schritt S2) angegebene Formel: v ds = Φ(2,0) Φ(0,3) = (0 e K) (3 e K) = 3. C Diesen Wert besitzt das Kurvenintegral für jede Kurve mit dem Anfangspunkt (0, 3) und dem Endpunkt (2,0), unabhängig davon, was dazwischen passiert. Die Konstante K in der Potentialfunktion hat keinen Einfluss auf den Wert, wir brauchen also zur Berechnung des Kurvenintegrals nicht die allgemeine Potentialfunktion, sondern es genügt eine spezielle. 5

6 (b) Wir betrachten erneut das Vektorfeld v(x,y,z) = 2y 2 3z 3 4xy 5 9xz 2 +z aus Beispiel (b) auf Seite 2. Gesucht ist der Wert des Kurvenintegrals entlang einer beliebigen VerbindungskurveC vom PunktP 1 (1,1,1) zum PunktP 2 (2,2,2). Wir hatten bereits die allgemeine Potentialfunktion für dieses Potentialfeld ermittelt: Φ(x,y,z) = 2xy 2 3xz 3 5y z2 +K, K R. Für den Wert des Kurvenintegrals ergibt sich v ds = Φ(2,2,2) Φ(1,1,1) = 40 ( 5.5) = C Bemerkung: Aus unseren bisherigen Überlegungen folgt: Ist v ein Potentialfeld und C eine geschlossene Kurve, also eine Kurve, bei der Anfangs- und Endpunkt übereinstimmen, dann gilt für das Kurvenintegral 2. Art von v entlang C: v ds = 0. C 6