Grenzwerte und Stetigkeit

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1 Grenzwerte und Stetigkeit Gegeben sei eine Funktion z = f(,) von zwei Variablen. Außerdem sei ( 0, 0 ) eine vorgegebene Stelle der -Ebene. Wir interessieren uns für das Verhalten der Funktion bzw. der Funktionswerte, wenn wir uns in der Nähe dieser Stelle ( 0, 0 ) befinden. Genauer interessieren wir uns dafür, ob der Grenzwert lim f(,) (,) ( 0, 0 ) eistiert oder nicht. Dieser Grenzwert bedeutet, dass die Stellen (, ) der betrachteten Stelle ( 0, 0 ) beliebig nahe kommen, ( 0, 0 ) selbst aber nicht erreichen. Für solche (,), die der Stelle ( 0, 0 ) immer näher kommen, wird untersucht, ob die zugehörigen Funktionswerte f(,) sich ebenfalls einem bestimmten Wert annähern. Der Einfachheit halber nehmen wir im Folgenden an, dass die betrachtete Stelle ( 0, 0 ) der Nullpunkt ist, also ( 0, 0 ) = (0,0). Im Eindimensionalen haben wir auch schon Grenzwerte von Funktionen für 0 betrachtet. Dort gab es aber im Wesentlichen nur zwei Möglichkeiten, wie sich der Stelle 0 nähern konnte: von links oder von rechts. Im Zweidimensionalen gibt es aber unendlich viele Möglichkeiten, wie sich (,) der Stelle ( 0, 0 ) nähern kann. Dem Nullpunkt kann man sich zum Beispiel auf folgende Arten nähern: Näherung entlang der -Achse, d.h. = 0 wird festgehalten und geht gegen Null, Näherung entlang der -Achse, d.h. = 0 wird festgehalten und geht gegen Null, Näherung entlang einer Geraden mit der Gleichung = t mit fest gewähltem t R, Näherung entlang einer Spirale,. = t Wenn die einzelnen Grenzwerte übereinstimmen, für alle möglichen Arten, wie man sich der Stelle (0, 0) nähern kann, dann kann man schlussfolgern, dass auch der Gesamtgrenzwert lim (,) (0,0) f(,) eistiert. Nun ist es aber leider so, dass man natürlich nicht alle Möglichkeiten untersuchen kann, sich der Stelle (0, 0) zu nähern. Ist die Aufgabe gestellt, zu untersuchen, ob der Grenzwert lim (,) (0,0) f(,) eistiert, empfehlen wir daher, zunächst die folgenden einfachereren Grenzwerte zu berechnen: 1. Berechne den Grenzwert bei Näherung entlang der -Achse. Setze dafür = 0 und bilde dann f(,0). Berechne dann den Grenzwert lim f(,0). 0

2 2. Berechne den Grenzwert bei Näherung entlang der -Achse. Setze dafür = 0 und bilde dann f(0,). Berechne dann den Grenzwert lim f(0,) Berechne den Grenzwert entlang einer Geraden = t mit einem festen Parameter t R. Setze dafür = t und bilde f(,t). Berechne dann den Grenzwert lim f(,t). 0 Hat man diese einzelnen Grenzwerte ermittelt, lassen sich folgende Schlussfolgerungen ziehen: Falls die einzelnen Grenzwerte nicht übereinstimmen oder einer von ihnen gar nicht eistiert, dann kann man mit Sicherheit sagen, dass der Gesamtgrenzwertlim (,) (0,0) f(,) nicht eistiert. Falls die einzelnen Grenzwerte alle eistieren und übereinstimmen, dann besteht zumindest die Chance, dass auch der Gesamtgrenzwert lim (,) (0,0) f(,) eistiert, mit Sicherheit kann man das aber noch nicht sagen (denn wir haben ja noch nicht jede Art der Näherung untersucht). In diesem Fall muss man sich etwas anderes einfallen lassen, um die Eistenz des Grenzwertes nachzuweisen oder zu widerlegen. Zum Beispiel hilft manchmal der Übergang zu Polarkoordinaten. Das heißt, man setzt = r cos(ϕ) und = rsin(ϕ), bildet dann f(rcos(ϕ),rsin(ϕ)) und untersucht dann den Grenzwert für r 0. Eistiert dieser und ist er unabhängig von ϕ, so lässt sich sagen, dass auch der Ausgangsgrenzwert eistiert. (Siehe dazu auch Beispiel (b) auf Seite 3.) Einige Beispiele sollen alles verdeutlichen. Beispiele: (a) Zu untersuchen ist, ob der Grenzwert lim (,) (0,0) f(,) eistiert, wobei f(,) = Wie oben empfohlen berechnen wir zunächst die Grenzwerte, wenn man sich dem Nullpunkt entlang der -Achse, entlang der -Achse bzw. entlang der Geraden = t (t R) nähert. Grenzwert entlang der -Achse. Wir setzen = 0 und bilden f(,0): f(,0) = = 0 2 = 0. Davon betrachten wir nun den Grenzwert für 0. Da aber f(,0), wie wir sehen, gar nicht mehr von abhängt, ist dieser Grenzwert leicht bestimmt: limf(,0) = lim 0 =

3 Grenzwert entlang der -Achse. Wir setzen = 0 und bilden f(0,): f(0,) = = 0 2 = 0. Davon betrachten wir nun den Grenzwert für 0. Da aber f(0,), wie wir sehen, gar nicht mehr von abhängt, ist dieser Grenzwert leicht bestimmt: limf(0,) = lim 0 = Grenzwert entlang einer Geraden mit der Gleichung = t, wobei t R beliebig aber fest gewählt. Wir setzen = t und bilden f(,t): f(,t) = t 2 +(t) 2 = t 2 (1+t 2 ) 2 = t 1+t 2. Davon betrachten wir nun den Grenzwert für 0. Da aber f(,t), wie wir sehen, gar nicht mehr von abhängt, ist dieser Grenzwert leicht bestimmt: t limf(,t) = lim t = t 2 1+t 2. Wir sehen, dass die einzelnen Grenzwerte entlang den Geraden = t für jedes t unterschiedlich sind. Demzufolge können wir für den Gesamtgrenzwert schlussfolgern: lim f(, ) eistiert nicht. (,) (0,0) (b) Zu untersuchen ist, ob der Grenzwert lim (,) (0,0) f(,) eistiert, wobei f(,) = 2(2 2 ) Wir berechnen zunächst wieder die Grenzwerte gegen den Nullpunkt entlang einiger Geraden. Grenzwert entlang der -Achse. Wir setzen = 0 und bilden f(,0): f(,0) = 2 0 (02 2 ) = 0 2 = 0. Davon ist nun der Grenzwert für 0 zu berechnen. Da der Ausdruck aber gar nicht mehr von abhängt, ist das sehr einfach: limf(,0) = lim 0 = Grenzwert entlang der -Achse. Analog wie eben erhält man auch hier limf(0,) = 0. 0

4 Grenzwert entlang einer Geraden = t, wobei t R beliebig aber fest gewählt. Wir setzen = t und bilden f(, t): f(,t) = 2t2 (t ) 2 +t 2 2 = 2t(t2 1) 4 (1+t 2 ) 2 = 2t(t2 1) 1+t 2 2. Davon ist nun der Grenzwert für 0 zu berechnen: 2t(t 2 1) limf(,t) = lim 2 = 2t(t2 1) 0 = t 2 1+t 2 Die einzelnen Grenzwerte stimmen alle überein. Es besteht also zumindest die Chance, dass auch der Gesamtgrenzwert lim (,) (0,0) f(,) eistiert, mit Sicherheit können wir das aber noch nicht sagen. Um herauszufinden, ob er wirklich eistiert, hilft hier eine geeignete Abschätzung weiter. Für alle, R gilt offenbar Daraus folgt und damit schließlich und auch ( 2 2 ) = f(,) = (2 + 2 ) = 2 für alle, R mit (,) (0,0). Der Grenzwert von 2 für (,) (0,0) lässt sich leicht bestimmen: lim 2 = 0. (,) (0,0) Wegen der obigen Abschätzung sowie f(,) 0 für alle, folgt mit dem Einschließungskriterium (Sandwichsatz) lim (,) (0,0) f(,) = 0 und somit auch lim f(,) = 0. (,) (0,0)

5 Stetigkeit Besteht die Aufgabe darin, zu untersuchen, ob eine vorgegebene Funktion f(, ) in einem gewissen Punkt ( 0, 0 ) stetig ist, dann ist folgendes zu tun: Untersuche, ob der Grenzwert lim (,) (0, 0 )f(,) eistiert. Wie das geht, haben wir oben ausführlich geklärt. Falls der Grenzwert nicht eistiert, kann man bereits mit Sicherheit sagen, dass die Funktion im Punkt ( 0, 0 ) nicht stetig ist. Falls der Grenzwert eistiert, so muss man ihn noch mit dem Funktionswert f( 0, 0 ) an der Stelle ( 0, 0 ) vergleichen: Beispiele: Gilt lim (,) (0, 0 )f(,) = f( 0, 0 ), das heißt stimmt der Grenzwert mit dem Funktionswert überein, so ist die Funktion stetig im Punkt ( 0, 0 ). Gilt lim (,) (0, 0 )f(,) f( 0, 0 ), das heißt stimmt der Grenzwert mit dem Funktionswert nicht überein, so ist die Funktion nicht stetig im Punkt ( 0, 0 ). (a) (vgl. Übungsaufgabe 17.9 (a)) Zu untersuchen ist, ob folgende Funktion im Punkt (0,0) stetig ist: {, falls (,) (0,0), f(,) = , falls (,) = (0,0). Zunächst ist zu untersuchen, ob lim (,) (0,0) f(,) eistiert. Wir erinnern uns, dass Grenzwert bedeutet, dass die Punkte (, ) dem Nullpunkt immer näher kommen, ohne ihn aber genau zu erreichen. Das heißt, für f(,) muss der Ausdruck eingesetzt werden und nicht etwa 0. Also ist der Grenzwert lim (,) (0,0) zu berechnen. Im Beispiel (a) von Seite 2 hatten wir schon einmal genau diesen Grenzwert untersucht und festgestellt, dass er nicht eistiert. Damit können wir sofort schlussfolgern, dass die Funktion f(,) nicht stetig im Punkt (0,0) ist. (b) Zu untersuchen ist, ob folgende Funktion im Punkt (0,0) stetig ist: {, falls (,) (0,0), f(,) = , falls (,) = (0,0). Als erstes ist wieder zu untersuchen, ob der Grenzwert lim (,) (0,0) f(,) eistiert, also der Grenzwert lim. (,) (0,0) Im Beispiel (b) von Seite 3 hatten wir nachgewiesen, dass dieser Grenzwert eistiert und hatten sogar seinen Wert berechnet: lim f(,) = lim = 0. (,) (0,0) (,) (0,0) 2 + 2

6 Nun müssen wir diesen Grenzwert mit dem Funktionswert f(0,0) vergleichen. Aus der Definition von f(,) lesen wir ab, dass f(0,0) = 1 ist. Grenzwert und Funktionswert an der Stelle (0,0) stimmen also nicht überein. Die Funktion ist somit nicht stetig. (c) (vgl. Übungsaufgabe 17.9 (b)) Zu untersuchen ist, ob folgende Funktion im Punkt (0,0) stetig ist: {, falls (,) (0,0), f(,) = , falls (,) = (0,0). Es handelt sich fast um die gleiche Funktion wie im letzten Beispiel, nur der Funktionswert an der Stelle (0,0) wurde abgeändert. Für den Grenzwert an der Stelle (0,0) gilt wieder: lim f(,) = lim = 0. (,) (0,0) (,) (0,0) Dieses Mal ist aber f(0,0) = 0, der Funktionswert stimmt also mit dem Grenzwert überein. Das heißt, die Funktion ist stetig im Punkt (0,0).