5. Implizit definierte und inverse Funktionen

Transkript

1 5. Implizit definierte und inverse Funktionen für Donnerstag, von Carla Zensen Stelle ein paar Personen die Frage: Welches x löst 2+x=4 und du wirst folgende Antworten erhalten: Ingenieur zückt seinen Taschenrechner, rechnet ein bisschen und meint schließlich: 1, Physiker: In der Größenordnung von Der Hacker bricht in den NASA-Supercomputer ein und lässt den rechnen. Soziologe: Weiß ich nicht, aber gut, dass wir darüber geredet haben... Politiker: Ich verstehe ihre Frage nicht... Mathematiker wird sich einen Tag in seine Stube verziehen und dann freudestrahlend mit einen dicken Bündel Papier ankommen und behaupten: Das Problem ist lösbar, und die Lösung ist sogar eindeutig! Willkommen im Kapitel über implizite Funktionen :-)! Hier geht es darum, die (eindeutige) Lösbarkeit oder Auflösbarkeit von Funktionen und Gleichungen zu zeigen. Klingt natürlich erst einmal ziemlich theoretisch, ist aber ein wichtiges Mittel, um viele Rechnungen überhaupt erst zu rechtfertigen. 5.1 Implizite Funktionen Theorie Grundlegendes Problem: Kann man eine Funktion f(x,y)= darstellen als f(x, g(x))=? Eine explizite Auflösung ist hier nicht unbedingt verlangt! Funktioniert oft nur in der Umgebung eines Punktes (x,y ) mit f(x,y ) = (lokale Lösbarkeit) In diesem Kapitel ist folgender Satz zentral: Satz über implizite Funktionen: f C 1 (U V, R q ); U R p, V R m f(x,y ) = D y f(x,y ) invertierbar Dann gibt es offene Umgebungen U 1 U, V 1 V von x, y und genau ein g C 1 (U 1,V 1 ) mit graphg = f 1 () (U 1 V 1 ) x U 1 : f(x,g(x)) = weiter gilt x U 1 : Dg(x) = ((D y f)(x,g(x))) 1 (D x f)(x,g(x)) D y f(x,y ) = (f1,...,fq) (y 1,...,y m) ist die Jakobi-Matrix im Punkt P Dg(x) ist folgendermaßen zu verstehen: D y f = (D y1 f,...,d ym f) und D x f = ( D x1 f,...,d xp f ) sind Matrizen mit y 1,...,y m als Variablen, nach denen aufgelöst wird und x 1,...,x p die restlichen. Um sich eine Anwendung besser vorstellen zu können, betrachten wir ein Beispiel im Fall p=m=1. Der Satz vereinfacht sich hierfür zu: Satz über implizite Funktionen f : R 2 R: f C 2 (U V ), U,V R f(x,y ) = (D 2 f)(x,y ) Dann gilt: offene Umgebungen U 1 U, V 1 V von x, y und genau ein g mit f(x,g(x)) = x U 1 1

2 und es gilt g (x) = (D 1f)(x,g(x)) (D 2 f)(x,g(x)) Praxis Wir untersuchen typische Fragestellungen. Gegeben ist eine Fuktion f(x, y) =, die wir gerne nach y = g(x)auflösen würden, sodass gilt: f(x,g(x)) =. Der Satz über implizite Funktionen ist lokal definiert, also versuchen wir, allgemein an einem Punkt (x,y ) aufzulösen und geben dann ein Intervall an, in dem der Punkt maximal liegen darf, sodass der Satz tatsächlich gilt. a) Wie testet man, ob der Satz über implizite Funktionen anwendbar ist? Rezept: Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein: Gilt f C 1 (U V )? Gilt f(x,y ) =? Gilt D y (x,y ) invertierbar? (Reduziert sich für U V R 2 auf: Gilt (D 2 f)(x,y )?) Beispiel: Ist die folgende Funktion in der Umgebung des Punktes (,,1) nach x,y,z auflösbar? Überprüfen der Voraussetzungen: f(,,1) = sin + + e 1 = f : R 3 R f(x,y,z) = sin x + xy + e z2 1 = f C 1, da Verkettung von unendlich oft differenzierbaren Funktionen. D 1 f(x,y,z) = cos x + y D 1 f(,,1) = 1 D 2 f(x,y,z) = x D 2 f(,,1) = D 3 f(x,y,z) = 2ze z2 D 3 f(,,1) = 2 e Nach dem Satz über implizite Funktionen existieren Funktionen g(x,y) und h(y,z), sodass f(x,y,g(x,y)) = in der Umgebung von (x,y) = (,) bzw. f(h(y,z),y,z) = in der Umgebung von (y,z) = (,1). Die Funktion kann also in (,,1) nach x oder z aufgelöst werden, aber nicht nach y! b) Wie berechnet man den Gradienten einer Auflösung? Rezept: Einen Gradienten erhält man nur, wenn nach einer eindimensionalen Variablen y R aufgelöst wird. Die Formel für den Gradienten in einem Punkt (x,y ) T = (x,1,x,2,...,x,p,y ) T folgt aus dem Satz: 1 g(x ) = (D y f(x,y )) (D 1f(x,y ),...,D p f(x,y )) T Beispiel: Nun betrachten wir die Auflösung der obigen Funktion nach z im Punkt (,,1): f(x,y,g(x,y)) =. Es soll nun der Gradient im Punkt (,,g(,)) angegeben werden. Dazu verwenden wir die oben angegebene Formel: ( g(,) = Dg(,) = (D 3 f(,,1)) 1 (D 1 f(,,1),d 2 f(,,1)) = 2 1 e) 2 ( ) 1 = 1 2 ( ) e

3 c) Wie berechnet man höhere Ableitungen? Da man nun eine Formel für die erste Ableitung für die Auflösung g(x) kennt, kann man diese einfach noch einmal ableiten (auch hierzu ist keine explizite Auflösung nötig!) Da alles andere den Rahmen der Klausur sprengen würde, soll hier nur der einfachste Fall, nämlich für f : R 2 R, (x,y) f(x,y) = und Auflösung nach y vorgeführt werden (Beispiel in der Übung): g (x) = ( xf)(x,g(x)) ( y f)(x,g(x)) g (x) = d dx g (x) = ( yf) 2 2 xf 2 y f 2 xyf x f + 2 yf ( x f) 2 ( y f) 3 (x,g(x)) d) Wie stellt man fest, ob ein Gleichungssystem lösbar ist? Rezept Betrachte ein m-dimensionales Gleichungssystem, das von q+p=n Variablen abhängt und folgendermaßen geschrieben wird: Dieses kann man verstehen als eine Funktion f : R q R p R m, die nun nicht mehr nur nach R abbildet. f 1 (x 1,...,x q,y 1,...,y p ) = f 2 (x 1,...,x q,y 1,...,y p ) =. f m (x 1,...,x q,y 1,...,y p ) = f 1 f 2. (x) = f m Auch hier ist der Satz für implizite Funktionen unter den geforderten Bedingungen anwendbar. Die Fragestellung Ist das Gleichungssystem nach p Variablen y 1,y 2,...,y p auflösbar? bedeutet: P ist Lösung des Gleichungssystems Die Funktion f : R q R p R m ist in P stetig differenzierbar (f1,...,fm) Die Matrix D y=(y1,...,y p) T f(p) = (y 1,...,y p) ist invertierbar. Beispiel aus unserer Klausur (Prof. Warzel, SS9) Der Punkt P=(1,1,-2) ist eine Lösung des Gleichungssystems. Dieses soll in einer Umgebung von P lokal nach x und y aufgelöst werden. Die Invertierbarkeit welcher Matrix muss dazu überprüft werden? f 1 (t,x,y) = log x + y 2 t 4 = f 2 (t,x,y) = x 2 + yt 2 + t 2 = Gesucht ist die Jakobi-Matrix von f im Punkt P, wenn man nach dem Vektor (x,y) T = (1,1) T auflöst: D (x,y) f = (f ( ) ( ) 1,f 2 ) Dx f = 1 D y f (P) = (x, y) D x f 2 D y f Beachte: Hier kann man natürlich keinen Gradienten finden! 3

4 5.2 Untermannigfaltigkeiten Das Verhältnis einer UMF des R n zum R n ist in etwa vergleichbar mit dem Verhältnis eines Untervektorraums aus der Linearen Algebra zu einem Vektorraum. Def.: reguläre Punkte Für f C 1 (U, R m ), U R p und m p heißt x U regulärer Punkt, falls der Rang von Df(x) maximal ist, also rang Df(x) = m Def.: p-dimensionale Untermannigfaltigkeit Für p {1,...,n} heißt M R n p-dim. UMF des R n, falls x M Umgebung W x R n von x und f C 1 (W x, R n p ) mit f 1 () reguläre Punkte und f 1 () = M W x Um zu testen, ob eine Menge M eine UMF des R n ist, wenn man eine Funktion f C 1 (W x, R n p ) betrachtet, muss man also folgendes sicherstellen: M R n f 1 () sind reguläre Punkte ( das Urbild der impliziten Funktion f(x) = ist eine Menge regulärer Punkte auf M rang Df(x) ist maximal) 5.3 Existenz der inversen Funktion Eine Diffeomorphismus ist eine bijektive stetig differenzierbare Abbildung, deren Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist. f ist ein lokaler Diffeomorphismus, wenn x U Umgebung U x U von x mit f : U x f(u x ) Diffeomorphismus. Satz über Umkehrfunktionen f C 1 (U, R n ), U R n offen, ist genau dann ein lokaler Diffeomorphismus, wenn x U : Df(x) invertierbar. Das ist ein Kriterium, um herauszufinden, ob eine Abbildung bijektiv ist! Beispiel: Ebene Polarkoordinaten f : R + R f(r,φ) = (r cos φ,r sin φ) besitzt eine differenzierbare Umkehrfunktion, denn det Df(r,φ) = det (f ( ) 1,f 2 ) cos φ r sin φ = = r > (r, φ) sin φ r cos φ 4

5 6. Vektoranalysis 6.1 Gradient, Divergenz und Rotation Definition: Differentialoperatoren U R n offen, k N Gradient grad : C k (U) C k 1 (U, R n ) f gradf =: f Divergenz n div : C k (U) C k 1 (U, R) v div v := j v j =: v j=1 Rotation 1. Fall: n=2 rot : C k (U, R 2 ) C k 1 (U, R) v rotv := 1 v 2 2 v 1 2. Fall: n=3 2 v 3 3 v 2 rot : C k (U, R 3 ) C k 1 (U, R 3 ) v rotv := 3 v 1 1 v 3 =: v 1 v 2 2 v 1 div v= bezeichnet man auch als quellenfrei man definiert den Laplace-Operator durch f = div gradf = n j=1 2 j f = f für f C(R) Aufpassen, das ist nicht das selbe wie graddiv f mit f C(R m, R n )! Für nichtskalare Funktionen kann man den Laplace-Operator auch als f = (div gradf 1,...,div gradf m ) auffassen. 6.2 Rechenregeln Nabla-Kalkül U R n offen, f 1, f 2 C 2 (U), v 1, v 2 C 1 (U, R n ) (f 1 + f 2) = f 1 + f 2 (v 1 + v 2) = v 1 + v 2 f C 2 (U), v j C 2 (U, R n ) ( f) = ( v) = ( v) = ( v) v Nabla-Kalkül für n=3 U R 3 offen, f 1, f 2 C 2 (U), v 1, v 2 C 1 (U, R n ) (v 1 + v 2) = v 1 + v 2 (v 1 v 2) = v 1(v 2 ) (v 1 )v 2 + (v 2 )v 1 v 2 ( v 1) (v 1 v 2) = (v 1 )v 2 + (v 2 )v 1 + v 1 ( v 2) + v 2 ( v 1) (fv) = f( v) + ( f) v 5

6 Exemplarisch sollen zwei Beweise vorgeführt werden (weitere in Hausaufgaben und ZÜ SS9, S. Warzel): 1. Z.z.: (fv) = ( f) v + f v Beweis: (fv) = n j=1 j (fvj) = n j=1 (vj jf + f jvj) = ( f) v + f v 2. Z.z.: ( v) = Es ist praktisch, bei solchen Aufgaben eine Darstellung durch Epsilon-Tensoren zu benutzen. Das Kreuzprodukt im R 3 ist hierbei folgendermaßen definiert: a b = e i ǫ ijk a jb k i und die wichtigste weitere Formel zur Umrechnung von Epsilon-Tensoren und Kronecker-Deltas ist: jk 3 ǫ ijk ǫ klm = δ il δ jm δ imδ jl k=1 Beweis: ( v) = e i ǫ ijk jv k = ǫ ijk i jv k = ǫ jik i jv k = i ijk ijk jk = ijk ǫ jik j iv k = ( v) ( v) 6.3 Eigenschaften von Vektorfeldern Ein Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Raumpunkt einen Vektor zuordnet Kurvenintegrale Das Kurvenintegral von v C 1 (U, R n ) entlang C 1 ([, 1], R n ) ist v(x)dx = 1 v((t)) (t)dt Das Kurvenintegral heißt wegunabhängig, falls v(x)dx = v(x)dx für beliebige stückweise stetig diffbare Kurven : [, 1] U mit () = () und (1) = (1) Gradientenfelder Kann man v C k+1 (U, R) schreiben als v = f, f skalare Funktion (Sprechweise: Potential), so heißt v Gradientenfeld. Wichtige Eigenschaft eines Gradientenfeldes v = f (Beweis durch Einsetzen der Definitionen für die Rotation und Satz von Schwarz): rot v = rot grad f = Fall n=1: v=f Stammfunktion von f ist Potential für Gradientenfelder v = f gilt Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals: ( f)(x)dx = f((1)) f(()) Beweis: l.s.= 1 f((t)) (t) = 1 d f((t))dt =r.s. dt Haben also alle Vektorfelder ein Potential? Im Allgemeinen gilt dies nicht. 6

7 6.3.3 Konservative Vektorfelder Ein Kraftfeld v C 1 (U.R n ) heißt konservativ, falls v(x)dx := v(x)dx = für beliebige stückweise stetige, geschlossene Kurven : [, 1] U () = (1) Für v C 1 (U.R n ), U R n sind äquivalent 1. v konservativ 2. v(x)dx wegunabhängig 3. f C 1 (U) : v = f Potential und Vektorpotential U R n heißt sternförmig, falls x U : x U t [, 1] : x + t (x x ) U (U konvex U sternförmig) Es gilt immer: Die Umkehrung aber nur bedingt: v = f v = v = w v = v C 1 (U, R 3 ), U R 3 offen, sternförmig 1. v = f C 2 (U) : v = f 2. v = w C 2 (U, R 3 : v = w allgemein für v C 1 (U, R n ), U R n offen, sternförmig (Lemma von Poincaré): jv k k v j = für alle j, k {1,..., n} f C 2 (U) : v = f f = (f + const.) w = (w + f) statt sternförmig reicht hier auch einfach wegzusammenhängend Wie berechnet man ein Potential? Um die Existenz zu zeigen, kann man mit obigem Satz unter den entsprechenden Voraussetzungen v berechnen. Angenommen, wir haben ein Vektorfeld v. Um zu zeigen, dass es sich hierbei um ein Gradientenfeld handelt, reicht es aber auch, ein zugehöriges Potential einfach nur anzugeben, hierfür gibt es verschiedene Methoden. Exemplarisch soll ein Potential für das Vektorfeld auf 2 verschiedene Methoden gefunden werden. v(x, y, z) = (yz + 2x, xz 2y, xy) 1. sukzessive Integration: Ein Potential findet man durch Verwendung der Gleichung v 1 x1 f f = v 1dx 1 + c(y, z) v = f v 2 = x2 f f = v 2dx 2 + c(x, z) v 3 x3 f f = v 3dx 3 + c(x, y) f(x, y, z) = xyz + x 2 + c(y, z) = v 1dx 1 + c(y, z) d d f(x, y, z) = xz + =! xz 2y = v dy dy 2 c(y, z) = y 2 + c(z) f(x, y, z) = xyz + x 2 y 2 + c(z) d dz f(x, y, z) = xy + d dz c(z)! = xy = v 3 c(z) = c f(x, y, z) = xyz + x 2 y 2 + c 7

8 2. Formel: nach Hausaufgabenblatt 1, Aufgabe 57, kann ein Potential durch folgende Formel konstruiert werden: f(x, y, z) = z v 3(,, t)dt + y v 2(, t, z)dt + x v 1(t, y, z)dt diese Methode funktioniert nur, wenn alle Verbindungslinien des Integrationsbereichs im Definitionsbereich liegen, also z.b. wenn (,,), (x,,), (x,y,), (x,y,z) im Definitionsbereich liegen und dieser konvex ist. f(x, y, z) = z dt + y ( 2t)dt + x (yz + 2t)dt = y2 + xyz + x 2 + c 3. Wichtiger Spezialfall: Das Vektorfeld v : R 3 \ {} R 3, h : R + R hat die Form v(x) = h( x )x, so ist ein zugehöriges Potential gegeben (s. Hausaufgabe 1, Aufgabe 53c) durch f(x) = H(r) = rh(r)dr r = x Beispiel: Die Gravitationsbeschleunigung der Erde ist g = G M E rh(r)dr = 1 r 2 = 1 r Somit ist ein Potential gegeben durch Φ(x) = M E G x x x 3 h( x ) = 1 x 3 8