ANALYTISCHE GEOMETRIE

Transkript

1 matheskript ANALYTISCHE GEOMETRIE und ANALYSIS 5 PFLICHT- und WAHLBEREICH.. Klasse P FHR Q Jens Möller

2 Ausarbeitungen nach dem pdf-skript von Guenter Rau, WS Tübingen Jens Möller WS Überlingen tel

3 PFLICHTEIL ANALYSIS ABLEITUNGEN Bilden Sie jeweils die erste Ableitung. Ganzrationale Funktionen f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) 6 f ( ) f( ) Gebrochenrationale Funktionen 5 f( ) f( ) f( ) 6 f( ) f( ) f( ) 6 7 f( ) f( ) f( ) 6 8 f( ) f( ) f( ) 6 Eponentialfunktionen 9 f ( ) e f( ) e f ( ) e f( ) e f ( ) e f( ) e f ( ) e f( ) e Trigonometrische Funktionen f ( ) sin f( ) cos f ( ) sin( ) f( ) 6 cos( )

4 5 f ( ) cos( ) f( ) ( ) sin( ) sin( ) 6 f ( ) cos f ( ) sin sin 7 f ( ) cos f( ) sin 8 f ( ) cos f( ) ( ) sin sin Vermischte Funktionen 9 f ( ) sin f( ) cos f ( ) e f( ) e f ( ) e f( ) e f ( ) e sin f( ) e cos f ( ) e e f( ) e e

5 STAMMFUNKTIONEN Geben Sie jeweils eine Stammfunktion an. Ganzrationale Funktionen ( ) ( ) f F d f ( ) F( ) d 5 5 f F d ( ) ( ) ( ) f F( ) d Vermischte Aufgaben 5 f ( ) sin F( ) sin d cos f ( ) e F( ) e d e, 5e 6 f sin F sin d cos 7 ( ) ( ) f F d d ( ) 8 ( ) ( ) f ( ) cos, 5 F( ) cos, 5 d sin, 5 9 f e F e d e ( ) ( )

6 Stammfunktionen mit bestimmten Eigenschaften f ( ) und F( ) F( ) c F () c c F () f ( ) e und F( ) F( ) e c F ( ) e c c F ( ) e BESTIMMTE INTEGRALE Ganzrationale Funktionen d 6 d d d Gebrochenrationale Funktionen d d d 8 8

7 Eponentialfunktionen 9 e d e e e e 5, 5, 5, 5, e d e e e ln e d e e e ln ln ln e d e e e Vermischte Aufgaben e d e e e sin d cos cos cos 5 e d e e e 5

8 SCHAUBILDER INTERPRETIEREN Welcher Funktionsterm gehört zu dem folgenden Schaubild? Begründen Sie Ihre Entscheidung. I f( ) II f( ) III f ( ) IV f( ) I f( ) II f ( ) III f ( ) IV f( ) I f( ) e II f( ) e III f ( ) e IV f( ) e 6

9 I f( ) sin II f( ) sin III f ( ) sin IV f( ) sin π π π π π 5 I f( ) cos II f( ) cos III f ( ) cos IV f ( ) cos π π π π π 6 Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. Begründen Sie, ob die gemachten Aussagen über das Schaubild K der Funktion f richtig oder falsch sind. K besitzt Tangenten mit der Steigung. Im Schnittpunkt mit der -Achse hat K einen Hochpunkt. K hat an der Stelle = einen Wendepunkt mit der Tangentensteigung. f ' 7

10 7 In der Abbildung ist das Schaubild G' der Ableitungsfunktion g' einer Funktion g gegeben. Machen Sie eine Aussage über Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Schaubildes der Funktion g und begründen Sie Ihre Antwort. g' 8 Gegeben ist das Schaubild einer Funktion f. Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion f. Geben Sie einen Näherungswert für f ( ) an. f 6 9 Gegeben ist die Funktion f durch f ( ). Zwei der folgenden Schaubilder können nicht das Schaubild von f sein. Welche zwei Schaubilder sind das? Geben Sie jeweils eine Begründung an. 8

11 I 6 II 6 III 6 9

12 LÖSUNGEN f III ( ) f ( ) I ist die waagerechte Asmptote f( ) Tp f( ) Tp f ( ) e e ist die waagerechte Asmptote f ( ) e Zwei TYPEN f ( ) e

13 f ( ) sin Die Sinuskurve ist um nach oben verschoben. = sin π π π π MERKE sin sin sin sin sin 5 f ( ) cos Die Cosinuskurve ist um nach oben verschoben und hat eine um den Faktor verkürzte Periode. MERKE = cos π π π π cos cos cos cos cos 6 (a) Die Aussage ist richtig, weil f zweimal den Wert annimmt. (b) Die Aussage ist falsch, weil f bei = einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus hat. Für einen HP müsste der Vorzeichenwechsel aber von plus nach minus sein. (c) Die Aussage ist richtig, weil f bei = einen maimalen Wert hat.

14 7 Das Schaubild von f hat an der Stelle =,5 einen Tiefpunkt, weil die Ableitung dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von minus nach plus hat. Das Schaubild von f hat an der Stelle = - einen Sattelpunkt, weil die Ableitung dort eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat. Das Schaubild von f hat an der Stelle = und an der Stelle = - jeweils einen Wendepunkt, weil die Ableitung dort ein Etremum hat. 8 f siehe Tangentensteigung ( ) f 6 f ' 9 f ( ) Das Schaubild muss bei = die -Achse schneiden. Daher scheidet das Schaubild II aus. Der Funktionswert muss für gegen streben. Daher scheiden die Schaubilder II und III aus. Die Funktion wird also durch das Schaubild I dargestellt.

15 BEZIEHUNGEN zwischen FUNKTION und STAMMFUNKTION HP Stammfunktion F = Kurvenschar 8 6 WP mit größter negativer Steigung f TP N(+/-) TP N(-/+) Beispiel: 6 5 f( ) 6 5 F( ) f( ) d c SCHEMA WP mit WP mit SP mit SP mit Stammfkt F HP TP negativer positiver steigender fallender Steigung Steigung Umgebung Umgebung Funktion f N.St. mit Übergang +/- N.St. mit Übergang -/+ TP HP TP auf der -Achse HP auf der -Achse

16 GLEICHUNGEN Faktorisieren (Ausklammern) 5 Bruchgleichungen Lösen mit Substitution LÖSUNGEN 5 ( ) / / 5 / kreuzweise multipl. / ( ) /

17 / Definitionsmenge = \ { } Lösungsmenge = entfällt. Wenn eine Lösung nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, dann entfällt diese. 5 / 6 Definitionsmenge = \ { ; } Lösungsmenge = ;. MERKE Wenn eine Lösung nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, dann entfällt diese ( )( ) ( ) ,, / 5, 5, 7 keine Lösung SUBSTITUTION 8 SUBSTITUTION u u u / RÜCKSUBSTITUTION / entfällt u u6 u / / SUBSTITUTION u/ 8 RÜCKSUBSTITUTION / 8 entfällt 5

18 PFLICHTAUFGABEN ANALYSIS Tangenten Zeigen sie, dass die Gerade g: das Schaubild der Funktion f mit f ( ) e berührt. Geben Sie die Koordinaten des Berührpunktes an. (mittel) Gegeben ist die Funktion f durch f ( ) 7 e. Welche Steigung hat die Tangente an das Schaubild von f an der Stelle =? (leicht) Gegeben ist die Funktion f durch f ( ) sin. (leicht) Welche Steigung hat die Tangente an das Schaubild von f an der Stelle =? Gegeben ist die Funktion f durch f ( ). Das Schaubild ist K. Die Tangente und die Normale im Punkt / ( ) N f bilden zusammen mit der -Achse ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. (mittel) 5 Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade g: das Schaubild der Funktion f mit f ( ) e berührt. Geben Sie die Koordinaten des Berührpunktes an. (mittel) 6 Gegeben sind die beiden Funktionen f und g durch f ( ) und g ( ) e. Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder der beiden Funktionen auf der -Achse orthogonal schneiden. (mittel) 7 Gegeben sind die beiden Funktionen f und g durch f ( ) und g ( ). Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder der beiden Funktionen bei = berühren. (leicht) 8 Die Gerade g geht durch die Punkte A(-/) und B(/-). Prüfen Sie, ob g eine Normale an das Schaubild K der Funktion f mit 5, f ( ) e ist. (schwer) 6

19 9 Gegeben ist die Funktion f durch f ( ). Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an das Schaubild von f an der Stelle =. (leicht) Gegeben ist die Funktion f durch f( ). (leicht) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an das Schaubild von f an der Stelle =. Gegeben ist die Funktion f durch f ( ). Das Schaubild von f hat einen 6 Wendepunkt. Ermitteln Sie eine Gleichung der Wendetangente. (leicht) Etrem- und Wendepunkte Gegeben ist die Funktion f durch f ( ). Ihr Schaubild ist K. 8 Ermitteln Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte von K. (leicht) Gegeben ist die Funktion f durch f ( ), 5. Ihr Schaubild ist K. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte von K, die eine waagrechte Tangente haben. (leicht) Gegeben ist die Funktion f durch f ( ). Ihr Schaubild ist K. Ermitteln Sie die Koordinaten des Etrempunktes von K. Um welche Art von Etrempunkt handelt es sich? (leicht) 5 Gegeben ist die Funktion f durch f ( ). Ihr Schaubild ist K. Ermitteln Sie die Koordinaten der Etrempunkte von K. Welchen Abstand haben diese Punkte voneinander? (leicht) 6 Gegeben ist die Funktion f durch f( ) e 5,. Ihr Schaubild ist K. Ermitteln Sie die Koordinaten des Etrempunktes von K. Zeigen Sie, dass K keine Wendepunkte hat. (mittel) 7

20 LÖSUNGEN g : und f ( ) f ( ) e e f () e und g () f() g () B/ f ( ) 7 e f ( ) e f ( ) m e f ( ) sin f ( ) cos f ( ) cos f ( ) f( ) f ( ) m t: ( ) 8 mnormale n: ( ), 5 FLÄCHE 5 85, A 85FE, g: und f( ) f ( ) e e f () e und g() f () g() B / 6 f () und g() e f() g() f ( ) und g( ) e f( ) g( ) 7 f () und g() f () g() f () und g() f () g() 8

21 8 ( ) 6 mnormale ( ) 5, 5, 5, mtangente, 5 f ( ), 5e, 5e, 5 e f () P / liegt auf K und auf g. Also ist die Gerade g eine Normale von der Kurve K. 9 f ( ) f( ) f () und f () t: f( ) f( ) f () und f () t: f( ) f( ) f( ) WP/ 6 f ( ) t: ( ) f ( ) f( ) f( ) 8 f ( ) ( ) mit f TP ( ) / mit f HP ( ) / mit f( ) HP / 9

22 f ( ), 5 f( ) f( ) 6 f ( ) ( ) und SP /, 5 und HP / 8 / 8 f( ) f( ) f( ) 8 f ( ) 8 8 f ( ), 5 TP/ f( ) f( ) f( ) f ( ) / / / TP und HP und d f( ) e f( ), 5e f( ), 5 e 5, 5, 5, 5, 5, f ( ), 5 e e ln f ( ) e. kein Wendepunkt TP ln / ln /, /, TP ln ln TP 8 6 T

23 7 Gegeben ist die Funktion f durch f( ), 5 e, 5. Ihr Schaubild ist K. Ermitteln Sie die -Koordinate des Wendepunktes von K. Flächenberechnungen 8 Gegeben ist die Funktion f durch f ( ) 8. Ihr Schaubild ist K. 8 Das Schaubild K begrenzt mit der -Achse eine Fläche mit dem Inhalt A. Berechnen Sie A. 8 9 Gegeben ist die Funktion f durch f ( ). Ihr Schaubild ist K. Gegeben ist außerdem die Funktion g durch g ( ) 5. Ihr Schaubild ist G. Zeigen Sie, dass sich K und G bei = schneiden. Die Schaubilder K und G begrenzen zusammen mit dem Koordinatenachsen im. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt A. Berechnen Sie A. Gegeben ist die Funktion f durch f ( ) e e. Ihr Schaubild ist K. Das Schaubild K begrenzt zusammen mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück mit dem Inhalt A. Berechnen Sie A. Steckbriefaufgaben [ungewöhnlich schwer, kann weggelassen werden] Gegeben ist die Funktion f durch f ( ). Ihr Schaubild ist K. 8 Eine nach unten geöffnete Parabel. Ordnung ist smmetrisch zur -Achse und schneidet K im Punkt P(-/). Die Parabel und K schließen zwischen = - und = eine Fläche mit dem Inhalt 9,6 ein. Ermitteln Sie eine Gleichung der Parabel. Gegeben ist eine Funktion f mit dem Funktionsterm f ( ) b c. Zwei der dargestellten Kurven können nicht das Schaubild von f sein. Begründen Sie, welche dieses sind.

24 Geben Sie den Term der Funktion an, deren Schaubild mit der mittleren Kurve übereinstimmt. a Das Schaubild der Funktion f mit f ( ) ae a b hat den Hochpunkt H(/). Berechnen Sie a und b. Gegeben sind die beiden Funktionen f und g durch f ( ) und g( ) Ihre Schaubilder sind K und G. Zeigen Sie rechnerisch, dass K und G keine gemeinsamen Punkte haben. Beschreiben Sie die gegenseitige Lage der beiden Schaubilder.

25 LÖSUNGEN 7 f( ), 5 e f( ), 5e f( ), 5e, 5, 5, 5 5, 5, f ( ), 5e e w ln 8 f ( ) FLÄCHE 8 A 8d FE f ( ) und g( ) 5 f () 86 und g() 56 f() g() Nullstelle f ( ) 8 / FLÄCHE ( ) ( ) A g d f d FE 6 5 f ( ) e e e e Nullstelle FLÄCHE e ln ln ln A e e d e e FE

26 f ( ) und g( ) a b wegen Smmetrie 8 P / g( ) a b ab b a INTEGRAL ( ) ( ), 8 A g f d a b d 8 a 5 8a 8 b b 8, 5 8a a 8, 8 8a 8a, 8 8, 8 5 8a a, 8, 6a 8 a, 5 P ba, 5 b g ( ) Die. Kurve schneidet die -Achse bei = und kann daher nicht die Funktion f darstellen. Die dritte Kurve strebt für immer größer werdendes gegen +, also nach oben. Die gesuchte Kurve muss aber wegen des Minuszeichens vor der höchsten Potenz nach unten streben. Die mittlere Kurve hat folgenden Funktionsterm f ( ) 5 f ( ) 6 a a f ( ) ae ab f( ) e a f ( ) a a f () ab b b f ( ) e

27 g ( ) 7 f g 7 7 Widerspruch Also gibt es keine Schnittpunkte, K und G sind in -Richtung parallel verschoben. K G

28 PFLICHTAUFGABEN VEKTOREN Geraden Gegeben sind die zweipunkte A(/-/-) und B(5//-). Die Gerade g geht durch A und B. Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an. Die Gerade g geht durch die Punkte A(9/7/) und B(5//). In welchem Punkt schneidet g die Ebene? Gegeben sind die beiden Geraden g: s Welche besondere Lage haben die beiden Geraden? Welchen Punkt haben beide Geraden gemeinsam? und h: 5 t. Die Gerade g geht durch die Punkte A(-//-) und B(//). Die Gerade h geht durch den Ursprung des Koordinatensstems und ist parallel zu g. Geben Sie eine Gleichung der Geraden h an. 5 Gegeben sind die beiden Geraden g: s und h: 5 t. Zeigen Sie, dass sich die beiden Geraden rechtwinklig schneiden und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes an. 6 Gegeben ist die Gerade g: t. Ermitteln Sie die Koordinaten der beiden Punkte auf g, die von A(-//) den Abstand haben. 6

29 7 Zeigen Sie, dass die Gerade g: t u 5 für jedes u R die Achse schneidet. 8 Gegeben ist die Gerade g: 6 t mit u R. 5 u Bestimmen Sie u, so dass g durch den Punkt P(8//) geht. 9 Gegeben sind die beiden Geraden g : 7 s und h : t. 8 Zeigen Sie, dass sich die beiden Geraden in der Ebene senkrecht schneiden. Geben Sie Koordinaten des Schnittpunktes an. Die Gerade g enthält die Punkte A(-/5/) und B(/6/). Die Gerade h scheidet die Achse bei und ist parallel zu g. In welchem Punkt schneidet h die Ebene? Ebenen und Geraden Die Gerade g geht durch den Punkt P(/-/5) und verläuft orthogonal zur Ebene E: 5. Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an. Die Gerade g: t 5 gemeinsam. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes. Welche besondere Lage haben g und E? und die Ebene E: 8 haben einen Punkt Zeigen Sie, dass die Gerade g: t u 5 für jedes u R die Achse schneidet. 7

30 Gegeben ist die Gerade g: t u. 5 Wie muss u gewählt werden, damit die Gerade g keine Punkte mit der Ebene E: gemeinsam hat? Kann g zu E orthogonal sein? 5 Gegeben ist die Ebene E: 6. Fällen Sie das Lot vom Punkt P(//8) auf E und berechnen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes F. Wie weit ist P von E entfernt? Vermischtes 6 Gegeben ist das Spurdreieck einer Ebene. Geben Sie eine Gleichung dieser Ebene an Welche besondere Lage hat die Ebene E:? 8 Gegeben ist die Gerade g: t. Prüfen Sie, ob es einen Punkt in der Ebene gibt, der auf g liegt und zum Punkt A(/-/) den Abstand d = 5 hat. Geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Punktes an. 8

31 LÖSUNGEN g: t 9 g: 7 t t t, 5 S / / die Geraden stehen senkrecht aufeinander. Da die Komponente von beiden Richtungsvektoren jeweils gleich Null ist, verlaufen beide Geraden parallel zur Ebene. EBENENGLEICHUNG (= Parallelebene mit Abstand ) SCHNITTPUNKT s t 9 s t s 5 t s 5 t t stimmt S/ / s s g: t h: t 5 die Geraden stehen senkrecht aufeinander. I s t II s 5 t III s t I III s s einsetzeniniii t t Kontrolle für die II. Zeile: 5 5 stimmt SCHNITTPUNKT S/ 5/ 9

32 6 BEWEGLICHER PUNKT g: t P t/ t/ t und A / / ABSTAND t t t 6t t 7 g: t u 5 / / / / t P 8 und P 5 Die Achse liegt in der Ebene mit der Gleichung. g 5t t, 5 S /, 5u/ Da beim Schnittpunkt die und Koordinaten gleich Null sind, liegt S auf der Achse. Für jedes beliebige u erhält man daher einen Punkt auf der Achse t t P in g einsetzen 6 t 6 5 u 5u u ERGEBNIS g: 6 t 5 9 SCHNITTPUNKT s t 69t t 7 s t S/ / ( ) stimmt 8 s t Da die Komponente gleich Null ist, liegt der Schnittpunkt in der Ebene. senkrechter Schnitt.

33 g : 5 s und h : t h: t t t S6/ / g: t 5 t t ( 5 t) 8 6 t 8 t D5 / / g: t u 5 Die Achse liegt in der Ebene mit der Gleichung. g 5t t, 5 S /, 5u/ Da beim Schnittpunkt die und Koordinaten gleich Null sind, liegt S auf der Achse. Für jedes beliebige u erhält man daher einen Punkt auf der Achse. u 8u u u, 5 ORTHOGONALITÄT (die Vektoren müssen parallel sein) k u k u 8 Widerspruch Es gibt keine Gerade g, die zur Ebene E orthogonal ist. 6 5 Lot : t E 8 6( 6t) ( t) ( 8t) t F / / d LE

34 6 E : Die Ebene verläuft parallel zur Achse und geht durch den Ursprung. 8 g: t t P/ / ABSTAND d AP 5 5 LE P ist der gesucht Punkt.

35 WAHLBEREICH ANALYTISCHE GEOMETRIE VEKTORRECHNUNG Aufgaben mit kleinem Umfang Gegeben ist die Gerade g: t und der Punkt P(-/6/). Welcher Punkt auf g hat von P den geringsten Abstand? Wir groß ist dieser Abstand? Gegeben sind die drei Punkte A(8//), B(/8/) und C(6//). Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist. Durch den Punkt D wird das Dreieck ABC zu einem Quadrat ergänzt. Das Quadrat ABCD ist die Grundfläche einer Pramide mit der Spitze S(7/7/5). Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche der Pramide. Machen Sie eine Zeichnung. Auf der Geraden g: 8 t gibt es zwei Punkte, die vom Ursprung den Abstand haben. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte. Gegeben sind die drei Punkte A(//), B(/5/) und C(//). Zeigen Sie, dass ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist. Ergänzen Sie das Dreieck durch den Punkt D zu einem Rechteck. Das Rechteck ABCD ist die Grundfläche eines schiefen Prismas mit der Deckfläche A 8/ / 6 BCD. Geben Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte der Deckfläche an. Berechnen Sie das Volumen des Prismas. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Seitenfläche A BBA. Zeichnen Sie das Prisma.

36 5 Das Spurdreieck der Ebene E: bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung eine dreiseitige Pramide. Berechnen Sie das Volumen dieser Pramide. Wie weit ist der Ursprung von E entfernt? Welchen Flächeninhalt hat das Spurdreieck? 8 6 Gegeben ist die Gerade g: t. Berechnen Sie die Koordinaten der Spurpunkte dieser Geraden. Welchen Winkel bildet die Gerade mit der Ebene? 5 7 Gegeben ist die Gerade g: 6 t. 7 Zeigen Sie, dass der Punkt P(//5) nicht auf g liegt. Welche beiden Punkte auf g haben von P den Abstand 7? 6 8 Gegeben ist die Gerade g: t. Zeigen Sie, dass der Punkt P(8/6/-7) auf g liegt. Welche beiden Punkte auf g haben von P den Abstand? 9 Gegeben sind die drei Punkte A (//), B(//) und C(6/-/). Zeigen Sie, dass ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist. Das Dreieck ABC liegt in der Ebene E. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Ebene. Der Punkt S(/7/8) bildet zusammen mit dem Dreieck ABC eine dreiseitige Pramide. Berechnen Sie das Volumen dieser Pramide. a Die Gerade g geht durch S und verläuft in Richtung. Alle Punkte auf g bilden zusammen mit dem Dreieck ABC eine dreiseitige Pramide mit dem gleichen Volumen. Berechnen Sie a.

37 Die Gerade g geht durch die Punkte A(/7/) und B(-6/-5/6). In welchen Punkten schneidet g die Ebene und die Ebene? Welchen Abstand haben diese beiden Punkte? Lösungen H : 6 5 HILFSEBENE Hg ttt5 9t9 t F / 5/ d PF 8 Lösungen AB 6 8 und BC 8 6 gleichschenklig 8 8 D A BC 6 6 D/ 6 / VOLUMEN QUADRATECKE Das Quadrat liegt parallel zur Ebene, die Pramidenhöhe ist senkrecht dazu. hpr 5 LE V VE OBERFLÄCHE Die Mitte des Quadrates ist M 7/ 7/ alle Seitendreiecke sind gleichschenklig. Seitenmitte von AB ist / / F FS LE A 65 FE Oberfl Grundfl A 65 6 FE S h D A M C F B 5

38 Lösungen BEWEGLICHER PUNKT auf g: 8 t ABSTAND VOM URSPRUNG P t/ 8t/ t d t 8 t t quadrieren t 8 t t t t 6 6t t 59 6t t 5 t 6t t 7t t / / / / / P 5 und P Lösungen RECHTWINKLIGKEIT 8 8 BA und BC 9 VIERTE ECKE 8 D A BC D8/ / / / / / A 8 6 B 5 6 gehe jeweils zwei nach hinten und 6 nach oben. / / / / C 6 D 6 6 C' B' VOLUMEN V Gh 8 6 D' A' VE C B D 6 A

39 FLÄCHE A 8 sin 7, 57 5, FE [Bestimme den Winkel zuvor mit der Cosinus-Formel.] Lösungen 5 E: 8 6 VOLUMEN Gh 86 V und G FE V 96VE ABSTAND VOM URSPRUNG D d A B C 9 FLÄCHE DES SPURGERADENDREIECKS A d V 96 9 V A 6. 6 FE d Lösungen 6 8 g: t. SPURPUNKTE g 8t t S / / g t t S 8/ / 9 g t t S / / WINKEL ZWISCHEN GERADE UND EBENE sin 6, 6 7

40 Lösungen 7 5 g: 6 t. 7 PUNKTPROBE für P / 5 / 5 t, 5 6 t t, 5 Widerspruch P g 5 7 t 5 BEWEGLICHER PUNKT auf g: 6 t 7 ABSTAND VOM PUNKT P / / 5 P 5t/ 6t/ 7 t d 5 t 5 t t 7 quadrieren 5t 5t t 7 5 t t 5 t t t t t 9 t t t t / / / / / P und P Lösungen 8 6 g: t. PUNKTPROBE für P8/ 6/ t 5 6 t t 5 stimmt P g 7 t 5 8

41 6 BEWEGLICHER PUNKT auf g: t ABSTAND VOM PUNKT P8/ 6/ 7 P 6 t/ t/ t d 6t 5 t t quadrieren 6t 5 t t t 6 t 5 9 t 9 t t t t 9 t t t t / / / / / P 6 und P 7 Lösungen 9 A (//), B(//) und C(6/-/). AB und AC EBENENGLEICHUNG E : 6 s t 5 n E : 6 66 ABSTAND AB C D d LE A B C 6 7 G h VOLUMEN V 8, 67VE 6 6 9

42 Alle Punkte auf g bilden zusammen mit dem Dreieck ABC eine dreiseitige Pramide mit dem gleichen Volumen, d.h. g muss parallel zur Ebene ABC verlaufen (SCHERUNG). Das wiederum heißt, dass der Richtungsvektor von g und der Normalenvektor von E senkrecht aufeinander stehen müssen. a a 6 GERADE g: 7 t 6a66 a 8 Lösung t S / / 8 g: 7 t t S6 / / ABSTAND d , 8 LE

43 WAHLBEREICH ANALYTISCHE GEOMETRIE Umfangreichere Aufgaben AUFGABE ) Die Punkte A(//), B (//-), C(/6/) und D(-//) sind die Ecken der Grundfläche eines schiefen Prismas. Die Punkte A//, B, C/6/5und D sind die Ecken der Deckfläche des Prismas. Geben Sie die Koordinaten der Punkte B und D an. ) Zeichnen Sie das Prisma in ein Koordinatensstem ein. ) Weisen Sie nach, dass die Grundfläche ABCD des Prismas ein Rechteck ist. ) In welchem Punkt durchstößt die Kante BC die Ebene? Die Grundfläche ABCD wird durch die Ebene in zwei Teilflächen zerteilt. Eine Teilfläche ist ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. 5) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Grundfläche ABCD liegt.

44 LÖSUNGEN ) 6 A //, B / /, C /6/5 und D / / REZEPT Gehe jeweils nach oben. D' ) ZEICHNUNG A' D C' B' A C ) RECHTECK AB DC und BC AD und 9Winkel Aus der Parallelität von gegenüberliegenden Seiten und dem rechten Winkel folgt, dass ABCD ein Rechteck ist. B S ) BC: t t t, 5 S, 5/ 5/ FLÄCHE VON ABS (Das Dreieck ist Teil des Rechtecks, also rechtwinklig.) A, 5 6, 5 8FE, 5) E: 87 7 Die Rechnung bitte selbst durchführen.

45 AUFGABE 5, ) Gegeben ist die Gerade g: t. Die Punkte A(//), B(6/6/) und C(//) liegen in der Ebene E. Die Gerade h geht durch A und B. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S und den Schnittwinkel α der Geraden g und h. ) Welche besondere Lage hat die Gerade g im Koordinatensstem? Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S von g mit der Ebene. ) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E. Veranschaulichen Sie die Ebene E in einem Koordinatensstem, zeichnen Sie außerdem die Geraden g und h ein. ) Der Punkt Q (-//6) liegt auf g. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks AQC. LÖSUNGEN ) GERADEN SCHITTPUNKT 5, g: t und h: s 5, t s s s s t s einsetzen t t, 5 KONTROLLE, 5, 5 ( ) stimmt S / / 6

46 WINKEL 9 cos 9, ) BESONDER LAGE Da beim Richtungsvektor von g die Koordinate gleich Null ist, verläuft g parallel zur Koordinatenebene mit der Gleichung. Da der Stützpunkt von g in der Ebene liegt, liegt die ganze Gerade in der Ebene. 5, g: t t t, 5 S6 / / ) Q KOORDINATENGLEICHUNG DER EBENE E : s t C E: : g h : E 6 ZEICHNUNG h = A ) 6 B C und Q liegen in der Ebene. Wähle CQ als Basis des Dreiecks. Dann ist A die Spitze des Dreiecks. h Komponente von A h LE CQ A 7, FE

47 AUFGABE ) Die Ebene E enthält die Punkte A(//), B(//5) und C(6//). Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E. ) Veranschaulichen Sie E mithilfe ihrer Spurgeraden in einem Koordinatensstem. ) Die Gerade g geht durch A und B. In welchem Punkt schneidet g die Ebene? Unter welchem Winkel schneidet g die Ebene? ) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. 5) Der Punkt Q liegt in der Ebene. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes Q so, dass die Winkel BAQ und CAQ rechte Winkel sind. LÖSUNGEN ) EBENENGLEICHUNG E: Die Rechnung bitte selbst durchführen. ) : E 6 6 ZEICHNUNG ) g: t t t,5 S5/,5/ WINKEL sin, 8 9 ) 5

48 FLÄCHE A(//), B(//5) und C(6//) A a b ABAC nicht kürzen!! A 6 6 FE 5) Setze Qa/ b / a BAQ 9 AB AQ b a b 6 a b a CAQ 9 AC AQ b a 86 a a,5 ab a,5einsetzen b b Q,5/ / B A Q C S 6

49 AUFGABE ) Gegeben sind die drei Punkte A(/6/,5), B(/8/) und C(//). Berechnen Sie den Umfang und den Winkel β des Dreiecks ABC. Das Dreieck ABC wird durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ergänzt. Berechnen Sie die Koordinaten von D. ) Das Dreieck ABC liegt in der Ebene E. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene und veranschaulichen Sie diese durch Spurgeraden in einem Koordinatensstem. ) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABCD. ) Das Viereck ABCD ist die Grundfläche eines geraden Prismas mit der Deckfläche A'B'C'D' mit A'(/9/5,5). Geben Sie die Koordinaten der fehlenden Punkte der Deckfläche an. Zeichnen Sie das Prisma und berechnen Sie dessen Volumen. LÖSUNGEN ) UMFANG U 8, 5 8, 5, 76 LE WINKEL 8 5, 8, 5 cos, 85 85, 8, 5 7, 5 5 VIERTE ECKE D A BC 6 D/ /, 5 5, 5, ) 7

50 EBENE 8 n 5, E : :, 5 : E ZEICHNUNG 8 6 ) FLÄCHE PARALLELOGRAMM 8 8 A a b 6 FE 5, 5, ) / /, / / / / / /, A B C 7 7 D REZEPT nach rechts und nach oben gehen. VOLUMEN V ( ab) c 6 C' D' C B' 7 8 A' VE D B 8 A 8

51 ANALYTISCHE GEOMETRIE VEKTORAUFGABE 5. Gegeben sind die Punkte A(//), B(/6/), C(//6) und S(//) sowie die Gerade g: 6 t. 6 Die Gerade h geht durch C und S. Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes und den Schnittwinkel von g und h. Zeichnen Sie beide Geraden in das vorgegebene Koordinatensstem ein. (9 P). Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt. (5 P). Das Dreieck ABC liegt in der Ebene E. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene und veranschaulichen Sie die Ebene mithilfe ihrer Spurgeraden. (6 P). Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pramide mit der Spitze S. Berechnen Sie das Volumen der Pramide. ( P) 5. a Zeigen Sie, dass die Gerade k: t mit tr für jedes a R die Achse schneidet. Wie muss a gewählt werden, damit die Gerade k keine Punkte mit der Ebene E: gemeinsam hat? (6 P) 9

52 LÖSUNGEN 5. 9 Gerade h: s 9 s SCHNITT I t s gh II 6 t s III 6 t 6 s I II t t t t einsetzen in I s s s Kontrolle für die nicht benutzte Zeile: stimmt SCHNITTPUNKT C/ / 6 WINKEL 6 9 cos DREIECK A(//), B(/6/), C(//6) CA CB cos 8, CA 9 und CB 9 gleichschenklig FLÄCHE A 9 9 sin 8, 9 9, 8 FE. EBENENGLEICHUNG CA CB n 8 5

53 E : 6 6 : : E ZEICHNUNG 8 8. ABSTAND S(//) zur Ebene ABC AB C D 66 d Höhe A B C 66 VOLUMEN V A h 9, 8 VE 5. a k: t. Die Achse liegt in der Ebene mit der Gleichung. k t t T / / Da beim Schnittpunkt die und -Koordinaten gleich Null sind, liegt T auf der Achse. Für jedes beliebige a erhält man daher einen Punkt auf der Achse. Die Gerade k soll parallel zur Ebene E sein. Das h S bedeutet, dass die Richtungsvektoren aufeinander C senkrecht stehen müssen. a na g (/6/) 8 5 a a 5 a 8 5

54 WAHLTEIL ANALYSIS Aufgaben mit kleinem Umfang Die Parabel p geht durch die Punkte P (/), P (/) und P (-/). Ermitteln Sie eine Gleichung der Parabel p. Begründen Sie, weshalb das Schaubild K der Funktion f mit f ( ) e und die Parabel p nicht mehr als zwei gemeinsame Punkte haben können. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden gemeinsamen Punkte zwischen K und p auf zwei Dezimalen genau. Gegeben ist die Funktion f durch f ( ) e mit dem Schaubild K. Das Schaubild G der Funktion g mit g ( ) a Berechnen Sie den Wert von a. schneidet K im Ursprung orthogonal. Gegeben ist die Funktion f durch f ( ) e. Das Schaubild ist K. Die Parabel P mit der Gleichung -Achse. Berechnen Sie a und b. a bschneidet die -Achse bei 8 und berührt K auf der Gegeben ist die Funktion f durch f( ) e,. Das Schaubild ist K. Die Funktion p mit p( ) a b c hat das Schaubild H. Das Schaubild H berührt K auf der -Achse und geht durch den Punkt Q (8/-). Ermitteln Sie a, b und c. Zeichnen Sie K und H. Das Schaubild H ist im Bereich < < 8 eine Näherung für K. An welcher Stelle weicht H am stärksten von K ab? Wie groß ist diese Abweichung? 5

55 56 ( ) 5 Gegeben ist die Funktion f durch f( ). Das Schaubild ist K. Untersuchen Sie K auf Etrem- und Wendepunkte. Das Schaubild K, die -Achse und die Gerade mit der Gleichung = u (mit u > ) begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A(u). Berechnen Sie A(8) und geben Sie den Term A(u) an. Ermitteln Sie lim A( u). u 56 ( ) 6 Gegeben ist die Funktion f durch f( ). Das Schaubild ist K. Die Punkte A(/), B(u/) und C(u/f(u)) sind Eckpunkte eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt A(u). Geben Sie einen Term für A(u) an. Für welchen Wert von u ist A(u) maimal? Wie groß ist dieser maimale Wert? 7 Gegeben sind die Funktion f durch f ( ) 6 und die Funktion g durch g ( ) aae. Die Schaubilder sind K und G. Ermitteln Sie a so, dass sich K und G im Ursprung orthogonal schneiden. 8 Gegeben ist die Funktion f durch f ( ) e. In welchem Punkt hat das Schaubild von f eine waagrechte Tangente? Um welche Art von Etrempunkt handelt es sich? Zeigen Sie, dass das Schaubild keine Wendepunkte hat. 5

56 LÖSUNGEN Bei bekannten Nullstellen Ansatz mit Produktform machen g ( ) a P ( / einsetzen ) a g ( ) f ( ) e SCHNITTPUNKTE Drehsinn g( ) Rechtskrümmung f ( ), 5e Linkskrümmung Da sich die Krümmungen bei beiden Kurven nicht S ändern, gibt es maimal Schnittpunkte. SCHNITTPUNKTE MIT HILFE DES TRs S g ( ) f( ) e e 5 5 e Mit dem CASIO-RECHNER f-99de PLUS ist jede Gleichung mithilfe des SOLVERs lösbar. Dazu geht man folgendermaßen vor: Die Gleichung 5 e wird zunächst im Displa eingegeben, dann wird shift solve gedrückt und anschließend ein geeigneter Schätzwert eingegeben. Solve for X = -,5 (Schätzwert) S, 6/, 66 Ebenso erhält man den rechten Schnittpunkt bei, /, S g( ) a a a g( ) aa f ( ) e f( ) e Bedingung für senkrecht schneiden g( ) aa f ( ) e a a g( ) 5

57 a b a b 6 f ( ) e f( ) e Bedingungen () f() e erfüllt 5 () f() b a b a N( 8/ ) einsetzen a 6 Berührpunkt auf der -Achse p( ) a b c p( ) a b 6 f( ) e f( ), e,, H Bedingungen p () f() c 5 K p( ) f( ) b,, 8 Zwischenerg. p ( ) a, 8 Q( 8/ ) eins. 6 a 6, 6 a,, a 6 8 Mini-Ma-Aufgabe Das Schaubild H ist im Bereich < < 8 eine Näherung für K. An welcher Stelle weicht H am stärksten von K ab? Wie groß ist diese Abweichung? d( ) g( ) f( ), 8 e, e d( ),, e,, 8 8,, d ( ),, e Lösung mit dem SOLVER Ma 5, 7 /, ) 55

58 5 56 ( ) f( ) f( ) 5 5 Etrempunkt / : HP Nachweis f f( ) Wendepunkt 7 WP Fläche 8 A( 8) f d mittr 9 FE u ( ) u ( ) / Au ( ) f d d u u u u Au ( ) u u 8 u lim A( u), 67 FE. u u 6 56 ( ) f( ) Mini-Ma-Aufgabe Au ( ) gh ( u) f ( u) 56 ( u) 8( u) ( u) u u ( u) A C B 5 8 ( u u ) Au ( ) u u u u u 56u 8 A( u) 5 5 u u u u A( u) 56u 56u 8 u 6u 8 u Nachweis für Maimum ist sehr aufwendig. 8( ) ( ) Ama( ) FE ma 56

59 7 f ( ) 6 6, 5 f ( ), 5 8 g ( ) aae g( ) ae Ermitteln Sie a so, dass sich die Kurven im Ursprung orthogonal (senkrecht) schneiden. 5 Bedingungen: g() f () a a ist erfüllt. g( ) a a f ( ) (, 5) 8 f ( ) e f( ) e f( ), 5 e. In welchem Punkt hat das Schaubild von f eine waagrechte Tangente? f ( ) e ln ln, 9 Um welche Art von Etrempunkt handelt es sich? f ( ), 5e HP, 9/, 77 f ( ), 5e es kann keinen Wendepunkt geben. 57

60 Aufgaben mit größerem Umfang AUFGABE ) Gegeben ist die Funktion f durch f ( ) 8. Das Schaubild ist K. 6 Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Etrempunkte und des Wendepunktes von K. ) Zeichnen Sie K. k ) Das Schaubild G der Funktion g mit g ( ) e bschneidet K im Ursprung orthogonal. Ermitteln Sie die Parameter k und b. (Teilergebnis: k =,5 und b = - ) ) Zeichnen Sie G. Die Gerade mit der Gleichung = und die Schaubilder K und G begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt. 5) Das Schaubild G wird parallel zur -Achse verschoben, so dass sich das verschobene Schaubild und K bei = schneiden. Berechnen Sie den Schnittwinkel der beiden Schaubilder in diesem gemeinsamen Punkt. 58

61 LÖSUNGEN ) 6 6 Funktion ( ) f 8 f ( ) f( ) 6 8 Etrempunkte f ( ) 6 HP 6, /, 5 TP, 69 /, 5 Nachweis mit f " 8 Wendepunkte f ( ) WP/ ) ZEICHNUNG 8 ) orthogonal schneiden im Ursprung 6 k g ( ) e b g( ) ke k Bedingungen g() f() b b g() k k f ( ) ( ) 5 5, g ( ) e 6 ) FLÄCHE 5, 5, A e d e d, 78 FE 6 6 5) Kurve nach unten verschieben um g e e 5,, ( ) ( 5 ) ( ) g*( ) e ( e ) g*( ) e e 5, 5, 5, WINKEL m m 5e, tan, 57 9, 85 m m, 5e g( ), 5e m f( ) 6 m 59

62 AUFGABE. k Das Schaubild der Funktion g mit g ( ) a e geht durch die beiden Punkte A (/-5) und B (5/). Ermitteln Sie den Funktionsterm von g.. Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) e e. Ihr Schaubild ist K. Untersuchen Sie K auf Achsenschnittpunkte und Etrempunkte.. Zeichnen Sie K.. Gegeben ist eine weitere Funktion h durch h ( ) e 5,. Ihr Schaubild ist H. Zeichnen Sie H in das vorhandene Koordinatensstem ein. Die Schaubilder K und H schließen zwischen = und = ln(7) eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt eakt. 5. Die Gerade ist parallel zur Geraden mit der Gleichung = +. Die Gerade berührt das Schaubild H in einem Punkt P. Wie lautet die Gleichung der Normalen n im Punkt P von H? 6

63 LÖSUNGEN. g ( ) a e k A / 5 5a a 6 B 5/ 6 e 5k B 5k e 6 ln 5k ln6 : 5 k ln6, 58 5, 58 g ( ) e 6 P. 5 A f ( ) e e f( ) e e f( ) e e f ( ) e e e e Nullprodukt / und Y/, 5 e ln 6 N ln 6 EXTREMPUNKT f ( ) e e e e ln TP ln/, 5. ZEICHNUNG. h ( ) e 5, h( ) e ln 7 ln 7 FLÄCHE 5. A e, 5 e e d e, 5 e d5, 9 FE h( ) e ln P ln /, 5 NORMALE im Punkt P, 5 ( ln) n:, 5 6

64 AUFGABE b ) Gegeben ist eine Funktion durch f ( ) ab e. Für welche Werte von a und b schneidet das zugehörige Schaubild die -Achse bei - und hat in diesem Schnittpunkt eine Tangente, die parallel zur Geraden g mit der Gleichung = - ist? ) Gegeben ist die Funktion f durch f ( ) e. Ihr Schaubild ist K. Zeichnen Sie K. Das Schaubild K schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt. ) Die Gerade mit der Gleichung = u schneidet g mit = - in P und K in Q. Für welches u ist die Strecke PQ am längsten, wenn vorausgesetzt wird, dass P höher liegt als Q?. Ihr Schaubild ist H. 8 ) Gegeben ist die Funktion h durch h ( ) Zeichnen Sie H in das vorhandene Koordinatensstem ein. Das Schaubild H begrenzt unterhalb der -Achse mit der -Achse eine Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt. 5) Zeigen Sie, dass sich K und H in einem Punkt auf der -Achse berühren. 6

65 LÖSUNGEN ) ( ) b b h abe h( ) b e Y / a b h b b und b () a b a b a und a h ( ) e oder h ( ) e 6 ) f ( ) e f( ) e f( ) e N ln/ FLÄCHE, A e d 96 FE ln 5 ) Mini-Ma-Aufgabe du ( ) u ( ) fu ( ) u e u u d( u) e d( u) e u P Q d( u) e u u und d( ) u ma ) h ( ) A d6 5FE, 5) f () und h() f () und h() 8 8 Berührpunkt B( / ) 6

66 AUFGABE ) Das Schaubild der Funktion p mit Ermitteln Sie die Parameter b und c. ( ) hat den Hochpunkt H(/,5). 8 p b c ) Das Schaubild der Funktion g mit g ( ),5 5 berührt das Schaubild K der 8 k Funktion f mit f ( ) a e in einem Punkt auf der -Achse. Berechnen Sie die Parameter a und k. ) Zeichnen Sie K. ) Die Normale an K im Punkt Q(/ Q ), das Schaubild K und die -Achse begrenzen ein Flächenstück. Berechnen Sie dessen Inhalt. 5) Die Gerade mit der Gleichung = 6, das Schaubild K, die -Achse und die Gerade mit der Gleichung = u begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A(u). Ermitteln Sie A(u) und geben Sie den Grenzwert lim A( u) an. u 6

67 LÖSUNGEN ) p( ) b c p( ) b 8 H /, 5, 5, 5 b c und, 5 b b, 5 b, 5, 5, 5c c p 8 ( ) ) g ( ),5 5 g( ),5 8 k k f ( ) ae f( ) k e g() 5 f() 5a a 6 g(),5 f(),5 k k,5 = 6 6 K f( ) 6,5 e 5 = u ) ZEICHNUNG H ) NORMALE 5 6 5, 5, A 6 e d 5 d 7, 75 FE 5) 58, u Au ( ) 66 5, 5, u 5u, 5u, e d e e e lim A( u) u 65

68 AUFGABE 5 ) Gegeben ist die Funktion f mit e f ( ). Ihr Schaubild ist K. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von K mit den Koordinatenachsen. Zeigen Sie, dass K keine Etrem- und Wendepunkte hat. Zeichnen Sie K. ) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die begrenzt wird von K, der -Achse und der Geraden h:. ) Das Schaubild der Funktion g mit g ( ) a b c schneidet die -Achse bei = und = 5. Außerdem schneidet das Schaubild von g das Schaubild K auf der -Achse. Ermitteln Sie den Funktionsterm g(). Zeichnen Sie das Schaubild von g. ) Das Schaubild K und das Schaubild von g begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt. 5) Die Gerade mit der Gleichung = u (mit ) schneidet die Gerade h im Punkt P und das Schaubild von g im Punkt R. Berechnen Sie u so, dass der Abstand zwischen P und R maimal wird. Berechnen Sie den maimalen Abstand. LÖSUNGEN 5 ) f ( ) e f( ),5 e f( ),5e f ( ) e ln N(,77/) und Y(/) ( ),5 f e keine Etrempunkte ( ),5 f e keine Wendepunkte 66

69 ) K h g 6 FLÄCHE A f( ) d 9, 59 FE ) 77, g a b c a ( ) 5 Y( / ) a 5 5 a a 5 8 g ( ) ) Die obere Grenze findet man als Näherung durch 8 e 5 5 8, , A f g d FE ( ) ( ), 5) Mini-Ma-Aufgabe 8 du ( ) hu ( ) gu ( ) u u u u u d( u) u d( u) d( u) u u, 5 und d(, 5) uma, d d(, 5), 5 LE ma 67

70 AUFGABE 6 ) Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) e. Ihr Schaubild ist K. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von K mit den Koordinatenachsen. Zeigen Sie, dass K keine Etrem- und Wendepunkte hat. Zeichnen Sie K. ) Zeigen Sie, dass die Gerade t: das Schaubild K im Schnittpunkt mit der -Achse berührt. Zeichnen Sie t in das vorhandene Koordinatensstem ein. Begründen Sie, dass t und K keine weiteren gemeinsamen Punkte haben. ) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die begrenzt wird von K, der -Achse und der Geraden t. ) Gegeben ist die Funktion g durch g ( ). Ihr Schaubild ist G. Untersuchen Sie G auf Etrem- und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild G. Zeigen Sie, dass sich K und G auf der -Achse rechtwinklig schneiden. 5) Die Gerade mit der Gleichung = u (mit < < ) schneidet G im Punkt P und K im Punkt R. Berechnen Sie u so, dass der Abstand zwischen P und R maimal wird. Berechnen Sie den maimalen Abstand. LÖSUNGEN 6 ) f ( ) e f( ) e f( ) e f ( ) e ln,5 N(,77 / ) und Y( / ) ( ) f e keine Etrempunkte ( ) f e keine Wendepunkte 68

71 G K ) und f ( ) und f ( ) Berührpunkt ( ) ( ) f ( ) e Linkskurve keine weiteren Schnittpunkte mit Tangente. ) 77, A f d f d 55 FE ( ) ( ) ( ), ) g ( ) g ( ) / ; / 8 ; / TP HP WP g() und f () g() f () ist erfüllt. t 5) Mini-Ma-Aufgabe u d( u) g( u) f( u) u ue u u e u d( u) u e d( u) u e u ( ) d u u e u Lösung mit dem SOLVER. u, und d(, ) u, d d(, ), 68 LE ma ma u 69

72 AUFGABE 7. Gegeben ist die Funktion f durch f( ) 6e. Das Schaubild ist K. Zeigen Sie, dass K die -Achse bei ln6 schneidet. Zeigen Sie, dass K keine Etrem- und Wendepunkte hat.. Zeichnen Sie K in das vorhandene Koordinatensstem ein.. Die Gerade g geht durch die Punkte A(/5) und B(/). Prüfen Sie rechnerisch, ob g eine Normale an das Schaubild K ist. Zeichnen Sie g in das vorhandene Koordinatensstem ein.. Das Schaubild K, die Gerade g und die -Achse begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A. Berechnen Sie A. 5. Die Parabel p geht durch die Punkte /, / / P 5 P und P 5. Ermitteln Sie eine Gleichung der Parabel p. Begründen Sie, weshalb das Schaubild K und die Parabel p nicht mehr als zwei gemeinsame Punkte haben können. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden gemeinsamen Punkte zwischen K und p auf zwei Dezimalen genau. (8 P) ( P) (7 P) (5 P) (7 P) 7

73 LÖSUNGEN 7. Funktion f ( ) 6 e Ableitrungen f ( ) e f( ) e 6 Nullstelle f ( ) 6e e 6 ln ln 6 ln 6 7, 7 Etrempunkte f( ) e es gibt keine Etrempunkte. Wendepunkte f( ) e es gibt keine Wendepunkte. 6 Krümmung f( ) e die Kurve hat eine Rechtskrümmung. 6. ZEICHNUNG 8 p 6 A S K N 5 5 B 7

74 . GERADE m( ) 5 ( ) g: 5 Kurvensteigung () f e Bedingungen für NORMALE g( ) 5 und f ( ) 5 g( ) f ( ) 5 ist erfüllt. Aus () und () folgt, dass g eine Normale von K ist. g() f () ist erfüllt.. FLÄCHE 77, 55, A 6 e d,, 5 6, 7 FE 5. ANSATZ p a, wobei / p a 5 P 5 einsetzen und die Nullstellen sind. 5a5 a5 a p 5 oder ausmultipliziert p, 5 5 K ist eine Rechtskurve mit f ( ) und die Parabel ist eine Linkskurve mit p ( ). Daher kann es höchstens zwei Schnittpunkte geben. SCHNITTPUNKTE (mit dem Solver bestimmen) /, /, S 5 und S