ANALYTISCHE GEOMETRIE

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1 matheskript ANALYTISCHE GEOMETRIE und ANALYSIS PFLICHTBEREICH Teil B. Klasse ABI 08 Jens Möller

2 Autor: Jens Möller Owingen Tel erweiterte Auflage Owingen, Oktober 07 Bestellung bei folgender Adresse matheskript Sonnenhalde Frickingen-Leustetten Tel [email protected]

3 PFLICHTTEILE H

4 ABI 00-H PFLICHTTEIL 00 H [mit Stochastik] Aufgabe [geändert] Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f( ). ( P) Aufgabe Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit f ( ) sin( ) an. ( P) Aufgabe Lösen Sie die Gleichung Aufgabe e e 8 0. Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) ; 0. Das Schaubild von f hat im Punkt P( / v ) die Tangente t. Ermitteln Sie eine Gleichung von t. Die Tangente t schneidet die -Achse im Punkt S. Bestimmen Sie die Koordinaten von S. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f sind wahr, falsch oder unentscheidbar? () f ist streng monoton wachsend für. () Das Schaubild von f hat mindestens einen Wendepunkt. () Das Schaubild von f ist symmetrisch zur y-achse. () Es gilt f ( ) 0 für alle [ ;]. y Schaubild von f ' - Begründen Sie Ihre Antworten. Aufgabe 6 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g: t ; t 0 und E : (5 P) - -

5 ABI 00-H Prüfen Sie nach, ob der Punkt A(/0/) auf der Geraden g liegt. Zeigen Sie: Die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E. Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes der Ebene E, welcher vom Punkt A den kleinsten Abstand hat. Aufgabe 7 [geändert] Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung einer Ebene, die durch die Punkt A 0//0 und B 0/0/6 geht und parallel zur Achse verläuft. Aufgabe 8 Gegeben sind im Raum eine Gerade g und ein Punkt A, der nicht auf g liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung des Abstandes A zu g. Aufgabe 9 [Stochastik] Eine Urne enthält rote und 9 schwarze Kugeln. a) Es werden Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der beiden Kugeln rot ist? b) Es wird eine der Kugeln gezogen, die Farbe festgestellt und die Kugel wieder in die Urne gelegt. Anschließend wird eine weitere Kugel der gleichen Farbe zusätzlich in die Urne gelegt und erneut eine Kugel gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die zuletzt gezogene Kugel rot? Aufgabe 0 [Stochastik] Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,6. HISTOGRAMM a) Berechnen Sie P X. b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Abbildung näherungsweise P X 6 und 5 P X. - -

6 ABI 00-H LÖSUNGEN... 6 f( ) f( ) ( P) F( ) cos ( ) ( P) 9 e e 8 0 mit u e u² u 8 0 u/ u 9 e 9 ln 9ln ebenso ln ln ; ln. Tangente: t: y( ) y 6 5. Nullstellen von t: 60 N(/0) () Wahr, wegen f ( ) 0 ist f im Intervall streng monoton wachsend. () Wahr, weil f bei = 0 ein Maimum hat. () Falsch, da f streng monoton wachsend ist. () Unentscheidbar, denn mit f ist auch jede bezüglich f verschobene Funktion eine Stammfunktion von f. f kann also unterhalb oder oberhalb oder sowohl unter- als auch oberhalb der -Achse liegen. 6. Punktprobe für A: Der Normalenvektor t 0 t t Ag 0 t von E ist das Doppelte des Richtungsvektors g orthogonal zu E. g ist das Lot von A auf E. (5 P) von g, also ist LOTFUSSPUNKT E g : ( t) ( t) ( t) t F(/0,5/) - -

7 ABI 00-H 7. Spurpunkte: S(0/0/ ), S(0//0), S(0/0/6) Achsenabschnittsform: E : 8. 6 VERFAHREN ZUR ABSTANDSBESTIMMUNG E : Die Hilfsebene H wird so gewählt, dass sie orthogonal zu g steht und A enthält: H n n, wobei n der Richtungsvektor von g ist. Dann wird H mit g geschnitten, : A man erhält den Lotfußpunkt F. Der Abstand AF ist gleich dem Abstand des Punktes A von g. SKIZZE Hilfsebene H d F g A 9. a) Pgenau eine rote Kugel Pr / s Ps / r b) Pletzte Kugel ist rot Pr / r Ps / r a) PX ,6 0,,8 0, 0,0078 b) PX und PX 0, 5 0,8 P X 6 P X P X 5 0, 0, 8 0,5 PX P X 5 5 0, 8 0,7 = 0 P - -

8 ABI 00-N PFLICHTTEIL 00 N [mit Stochastik] Aufgabe Bestimmen Sie für 0; die Lösungsmenge der Gleichung sin sin 0. Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit Aufgabe e f( ). e ( P) Geben Sie für die Funktion f mit Aufgabe Gegeben ist die Funktion f durch f ( ) 5 f( ) 6 e 0,5. eine Stammfunktion an. ( P) Geben Sie eine Gleichung der Asymptote an. Zeigen Sie, dass f streng monoton wachsend ist. Skizzieren Sie das Schaubild von f einschließlich der Asymptote. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung f einer Funktion f. Sind folgende Aussagen über die Funktion f wahr, falsch oder nicht entscheidbar? Begründen Sie Ihre Antworten. () An der Stelle 0 hat das Schaubild von f einen Hochpunkt. () Für 0 ist f ( ) 0. () Das Schaubild von f ist punktsymmetrisch zum Ursprung. () An der Stelle hat das Schaubild von f einen Wendepunkt. (6 P) - 5 -

9 ABI 00-N Aufgabe 6 Lösen Sie das Gleichungssystem Interpretieren Sie die Lösung geometrisch. Aufgabe 7 Gegeben sind die drei Punkte A( /- / ). B( / / 0) und C( / / ). Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig-rechtwinklig ist. Bestimmen Sie den Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist. Aufgabe 8 Die Gerade g geht durch die Punkte A( ) und B( -). Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g mit der Begründen Sie, dass S zwischen A und B liegt. Ebene. Aufgabe 9 [Stochastik] Ein Glücksrad wird für ein Glücksspiel verwendet. Es wird zweimal gedreht. Das zugehörige Baumdiagramm ist rechts abgebildet. BAUMDIAGRAMM a) Skizzieren Sie ein mögliches Glücksrad. b) Erscheint zweimal r, erhält man Euro, erscheint zweimal s erhält man Euro und erscheint zweimal b erhält man 8 Euro. Sonst erhält man nichts. Bei welchem Einsatz kann man durchschnittlich mit einem Gewinn von 50 Cent rechnen? LÖSUNGEN. Substitution: z sin z sin z² z0 z sin keinelösg - 6 -

10 ABI 00-N. f ( ) e e f ( ) e e ( P). 5 5 F( ) y ( P) 6. Asymptote: y 6 5 0,5 ( ) 0 monoton steigend f e - 5. () Wahr, weil f eine Nullstelle mit VZW von + nach hat. () Unentscheidbar, weil die Konstante c bei der Stammfunktion nicht festgelegt ist. () Falsch, weil f symmetrisch zur y-achse sein müsste. Außerdem müsste die Stammfunktion durch den Ursprung gehen, was laut () nicht gewährleistet ist. () Wahr, die Funktion f hat an der Stelle = einen Wendepunkt, weil f dort einen Hochpunkt hat. Der WP ist genauer betrachtet ein Sattelpunkt. f() (6 P) Lasse herausfallen und setze t. 6 9 t t 7t 8 8 7t (87 t) t t - 7 -

11 ABI 00-N Zusammenfassung ergibt die Schnittgerade: 8 t AB ² ² ² und BC ² ² ² gleichschenklig BA und BC D C BA D(5//) 8. g: t 0 0 t 0 t 0,75 S(,5//0) BEGRÜNDUNG, dass S zwischen A und B liegt: Die Gerade hat A als Stützvektor und AB als Richtungsvektor, so dass man für t = den Punkt B erhält. Weil der Parameter im Bereich 0 t liegt, muss der Punkt S zwischen A und B liegen. 9. GLÜCKSSPIEL a) Zum abgebildeten Baumdiagramm gehört ein Glücksrad mit den drei Sektoren rot, schwarz und blau. Aufgrund der gegebenen Wahrscheinlichkeiten kann das Glücksrad nebenstehendes Aussehen haben: b) Ereignisse rot / rot schw / schw blau / blau Auszahlungen 8 PX k 6 6 EX 8,5 6 6 E Gewinn E( Auszahlung) Einsatz 0,50, 5 Einsatz Einsatz 0,75-8 -

12 ABI 005-H PFLICHTTEIL 005 H [mit Stochastik] Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f ( ) e. ( P) Aufgabe f () cos. ( P) Bestimmen Sie die Stammfunktion der Funktion f mit Aufgabe Lösen Sie die Gleichung 5 0. Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f( ) ; 0. Geben Sie die Asymptoten des Schaubildes von f an. Skizzieren Sie das Schaubild von f. Ermitteln Sie eine Gleichung der Normalen im Punkt P( f ()). Aufgabe 5 Gegeben sind die Schaubilder der Funktionen f mit f ( ) e, ihrer Ableitungsfunktion f, einer Stammfunktion F von f und der Funktion g mit g( ). f a) Begründen Sie, dass nur Bild das Schaubild der Funktion f sein kann. b) Ordnen Sie die Funktionen f, F und g den übrigen Schaubildern zu und begründen Sie Ihre Entscheidung. ( ) Bild Bild y y - 9 -

13 ABI 005-H y Bild Bild y Aufgabe 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: Aufgabe (5 P) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, die den Punkt A( / / ) und die Gerade g: t 0 ; tr Aufgabe 8 Gegeben sind eine Ebene E und ein Punkt P, der nicht in E liegt. P wird an E gespiegelt. Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Bildpunkt P ' zu bestimmen. Fertigen Sie dazu eine Skizze an. enthält. Aufgabe 9 [Stochastik] In einem Behälter befinden sich 7 rote und 5 gelbe Kugeln. Es werden Kugeln mit Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln gelb ist. b) Wie viele gelbe Kugeln hätten sich in dem Behälter befinden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine gelbe Kugel zu ziehen, 5% betragen hätte? = 0 P

14 ABI 005-H LÖSUNGEN. Produktregel / Kettenregel: ( P) f ( ) e e ( ) e 5. Stammfunktion: F() 8sin c. ( P) 0. Gleichung: Substitution: 5 0 ( ) 0 0 z z z z / 0 z keine weiteren Lösungen 0; ;. f( ) Asymptoten: y und 0 (Polstelle ohne Zeichenwechsel) 8 f ( ) f () Normalensteigung m und y f() yy m( ) n: y 5 y 5 Skizze: y = a) Bild ist das Schaubild von f, weil f im Ursprung eine doppelt zählende Nullstelle besitzt und das Schaubild daher die -Achse im Ursprung berühren muss. b) f hat zwei Etrempunkte, daher hat f zwei Nullstellen (Bild ). Der Hochpunkt von f führt zum Wendepunkt von F, der Tiefpunkt (und Nullstelle) von f führen zum Sattelpunkt von F (Bild ). f hat bei = 0 eine Nullstelle, daher hat g wegen Division bei = 0 eine Polstelle (Bild ). (5 P) - -

15 6. ABI 005-H Kombiniere jeweils zwei Gleichungen und lasse jedes Mal herausfallen. Dann erhält man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten usw.,, P Lot g Ursprung O Geometrische Interpretation: Die Gleichungen stellen Ebenen (in Koordinatenform) dar, die sich in genau einem Punkt schneiden. Die Ebenen bilden also einen Trichter. 7. Parameterform æö æö æö E: = t 0 s + + ; t, sî ç ç ç èø èø èø Koordinatenform: E: 6 8. Zunächst stellt man die Gleichung der Lotgeraden g auf, die durch den Punkt P geht und den Normalenvektor der Ebene E als Richtungsvektor hat. Anschließend schneidet man das Lot g mit der Ebene E und erhält für den Lotfußpunkt den Parameter t F. Dieser Parameter wird verdoppelt und in die Geradengleichung eingesetzt. So erhält man die Koordinaten des gespiegelten Punktes P. oder: Man bestimmt den Lotfußpunkt F und berechnet anschließend den Ortsvektor für P : OP' OP PF 9. a) P mindestens eine gelbe Kugel P r r Skizze: / Ebene E F P' b) Pr / r P mindestens eine gelbe Kugel 7 7 0,5 n7 n7 9 0,9 n 7 00 n 7 n 7 0 n und n 7 ( entfällt) - -

16 ABI 005-N PFLICHTTEIL 005 N [mit Stochastik] Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f ( ) cos ² y. ( P) Aufgabe Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit f ( ) e an. ( P) Aufgabe Lösen Sie die Gleichung ² cos 0 und geben Sie für 0 die Lösungsmenge an. Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) e. Untersuchen Sie das Schaubild auf Asymptoten. Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Schaubild von f und der. Winkelhalbierenden im Bereich 0. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, falsch oder unentscheidbar? Begründen Sie Ihre Antworten. Schaubild von f 5 () f () f () () f ( ) f ( ) Aufgabe 6 Die Figur zeigt einen Würfel mit der Kantenlänge LE. Zeichnen Sie diesen Würfel und die Ebene E: unter Verwendung ihrer Spurgeraden in ein Koordinatensystem ein. Kennzeichnen Sie die Schnittfläche der Ebene mit dem Würfel.

17 Aufgabe 7 Gegeben sind zwei Geraden ABI 005-N 5 g : t und h : 8 s Zeigen Sie, dass die Geraden in einer Ebene liegen. Bestimmen Sie eine Gleichung von E. Aufgabe 8 Beschreiben Sie ein Verfahren, wie der Abstand zweier paralleler Geraden bestimmt werden kann. Aufgabe 9 [Stochastik] Ein Glücksrad wird für ein Glücksspiel verwendet. Ein Spieler stellt hierzu folgende Rechnung auf: E X a) Beschreiben Sie, wie das zugehörige Glücksrad aussehen könnte. b) Wie hoch müsste der Einsatz des Spielers sein, damit er mit einem durchschnittlichen Gewinn von 75 Cent rechnen kann? Aufgabe 0 [Stochastik] In einer Urne befinden sich rote, schwarze und blaue Kugeln. Es ergibt sich folgendes Baumdiagramm: a) Beschreiben Sie eine Situation, die zu diesem Baumdiagramm passt. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln gleichfarbig sind? = 0 P

18 ABI 005-N LÖSUNGEN. () ² f sin ( P). F( ) e ³ c ( P). ² 0 cos 0 und ;; ;. Asymptote: y Fläche: e A e d e e e 5. f () f () ist wahr, weil f () 0 und f () ist. f () f() ist falsch, weil die Steigung positiv, der Drehsinn aber negativ ist. 6. E 6 : Zeichnung 5 E: t s 5 E:

19 ABI 005-N Die Ebene E ist zunächst einmal eine Ebene, die g enthält und parallel zu h verläuft. Punktprobe für ( / 8 /7) P : 8 (7) d.h. g und h liegen in einer Ebene. q.e.d. 8. Man nimmt den Stützpunkt der. Geraden und fällt das Lot auf die. Gerade. Dies geschieht mit einer Hilfsebene H, deren Normalenvektor der Richtungsvektor der Parallelen ist und deren fester Punkt der Stützpunkt der. Geraden ist. Dann wird H mit der. Geraden geschnitten und man erhält den Lotfußpunkt. Der Abstand der Parallelen ist der Abstand zwischen dem Stützpunkt und dem Lotfußpunkt. 9. GLÜCKSRAD a) Aufgrund der gegebenen Rechnung könnte das Glücksrad Sektoren mit den Wahrscheinlichkeiten,, 8 und 8 haben. Diese entsprechen den Mittelpunktswinkeln 80, 90, 5 und 5. b) EX 6,5 8 8 E Gewinn E( Auszahlung) Einsatz 0,75, 5 Einsatz Einsatz,50 0. URNE a) Zum angegebenen Baumdiagramm passt folgende Situation: In einer Urne befinden sich l Kugeln, davon 6 rote, schwarze und blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, da die Wahrscheinlichkeiten beim. Zug anders sind als beim l. Zug. b) / / / P beide Kugeln gleichfarbig P r r P s s P b b

20 ABI 006-H PFLICHTTEIL 006 H [mit Stochastik] Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit Aufgabe f sin. ( P) ( ) 8 ( ) Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit Aufgabe [geändert] Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion f( ) an. ( P) f ( ) ( ) e. Aufgabe Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die -Achse im Ursprung. Der Punkt H ( / ) ist der Hochpunkt des Schaubildes. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. Geben Sie für jeden der folgenden Sätze an, ob er richtig, falsch oder nicht entscheidbar ist. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. y 5 Schaubild von f

21 ABI 006-H () Das Schaubild von f hat bei einen Tiefpunkt. () Das Schaubild von f hat für 6 genau zwei Wendepunkte. () Das Schaubild von f verläuft im Schnittpunkt mit der y-achse steiler als die erste Winkelhalbierende. () f (0) f (5) Aufgabe 6 Gegeben sind die Ebene E: 5 0 (5 P) und die Gerade æ ö æö g: =- 6 t + mit tî. ç ç è ø è ø a) Zeigen Sie, dass g zu E parallel ist. b) Bestimmen Sie den Abstand der Geraden g von der Ebene E. Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebenen E: und E : 6. Stellen Sie die beiden Ebenen in einem Koordinatensystem dar. Zeichnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen ohne weitere Rechnung ein. Aufgabe 8 Gegeben sind zwei Punkte A und B. Diese liegen bezüglich einer Ebene E symmetrisch. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung von E. Aufgabe 9 [Stochastik] Bei einem Multiple-Choice-Test gibt es 0 Fragen mit jeweils möglichen Antworten, von den jeweils genau eine richtig ist. Ein Prüfling kreuzt nach dem Zufallsprinzip bei jeder Frage eine Antwort an. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden Antworten richtig sind? b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an, so dass gilt: PB P A = 0 P 8

22 ABI 006-H LÖSUNGEN. f ( ) cos ( ²) 8 cos ( ²) ( P) 8. f ( ) F( ) 8 8 ( ² ) 0 0 und und. ( P) e 0 keine weiteren Lösungen.. f ( ) a ³ b² cd f ( ) a ² b c f (0) 0 d 0 f(0) 0 c 0 f () a b f () 0 ab 0 a und b f ( ) ³ ² 5. () Falsch, denn f hat bei keinen Vorzeichenwechsel. () Richtig, denn f hat für 6 genau zwei Etremstellen. () Richtig, denn f (0), während die. Winkelhalbierende die Steigung hat. () Falsch, denn f ist im Intervall 0;5 monoton wachsend, da f dort keine negativen Werte annimmt. 6. Parallelität: an 0 g E Abstand: d LE ² ² ² ² ² ² (5 P) 9

23 ABI 006-H 7. E : 6 E 8. A M B Der Mittelpunkt M der Strecke AB ist ein Punkt der gesuchten Ebene. Der Vektor AB ist ein Normalenvektor der gesuchten Ebene. Die Ebene erhält man mit dem Ansatz: n ( ) 0 oder n n 9. MULTIPLE-CHOICE M M P richtig richtig 9 a) / 0 b) PA PX 6 Ereignis A: genau Antworten sind richtig PX 0 P B Ereignis B: Keine Antwort ist richtig. = 0 P 0

24 ABI 006-N PFLICHTTEIL 006 N [mit Stochastik] Aufgabe [geändert] Bilden Sie die Ableitung von f( ) e. ( P) Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) sin( ). Geben Sie die Stammfunktion F mit F(0) = an. Aufgabe Lösen Sie die Gleichung 0. ( P) Aufgabe Beschreiben Sie, wie das Schaubild der Funktion g jeweils aus dem Schaubild der Funktion f mit f ( ) e hervorgeht: a) g ( ) e b) g ( ) e c) g ( ) e Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. Die Funktion F ist eine Stammfunktion von f. Geben Sie für jeden der folgenden Sätze an, ob er richtig, falsch oder nicht entscheidbar ist. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. y a) F() = 0 b) Das Schaubild von F hat keinen Wendepunkt. - 5 Schaubild von f c) F besitzt mindestens ein Minimum. d) F(0) > F(5) (5 P)

25 ABI 006-N Aufgabe 6 Gegeben sind zwei Geraden æö 0 æ ö æ-7ö æö 0 g : 6 r = und h : s + - = + mit r, s Î. ç ç ç 6 ç èø è ø è ø èø Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden. Aufgabe 7 Gegeben sind zwei Ebenen 0,5 0 E : r 0 s und E : 0. 0 a) Untersuchen Sie, ob die beiden Ebenen orthogonal zueinander sind. b) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P( // 9) von der Ebene E. Aufgabe 8 [Stochastik] Eine Urne enthält 7 rote, blaue und grüne Kugeln. a) Es werden Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel grün ist. b) Es werden Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die beiden Kugeln die gleiche Farbe? Aufgabe 9 [Stochastik] Zur Premiere eines Films bringt eine Schokoladenfirma Überraschungseier mit Filmfiguren auf den Markt. Die Firma wirbt damit, dass sich in jedem 5. Überraschungsei eine Filmfigur befindet. Für einen Kindergeburtstag werden 0 Überraschungseier gekauft, wobei man davon ausgehen kann, dass die Verteilung der Figuren zufällig ist. a) Erklären Sie, welche Bedeutung in diesem Zusammenhang die folgende Rechnung hat: 8 0 0, b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich in keinem Ei eine Filmfigur befindet.

26 ABI 006-N LÖSUNGEN f e f e e e e. ( ) ( ). F( ) cos( ) c und F(0) c c 5 ( P) F( ) cos( ) merke : cos0 cos ² 0 ;. a) Die Funktion ist um Einheiten nach oben verschoben. b) Die Funktion ist um Einheiten nach links verschoben. c) Die Funktion ist an der y-achse gespiegelt. 5. () Unentscheidbar, F hat bei einen Tiefpunkt, der y-wert ist aber unbestimmt. () Falsch, f hat bei = 5 einen HP, also hat F einen WP. () Richtig, f hat bei = eine N.St. mit VZW von nach +, also hat F einen TP. () Richtig, F ist im Intervall 5;0 monoton steigend, daher muss gelten F(0) F(5). ( P) (5 P) 6. Die Richtungen von g und h sind verschieden, weil die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sind. g h : r 7 r,5 6r s 67s s6 r 6 s Kontrolle: 0,5 66 Widerspruch also gibt es keinen Schnittpunkt, somit sind die Geraden windschief.

27 ABI 006-N 7. 0,5 0 E : r 0 s n a) und n b) E : 0 n n 0 E E d 8. URNE A B C D A² B² C² ² ² ² a) Pmindestens eine grüne Kugel Pkeine grüne Kugel b) / / / P beide Kugeln gleichfarbig P r r P b b P g g ÜBERRASCHUNGSEIER a) X ist binomialverteilt mit n 0 und p PX 0,69 % 5 5 Die Rechnung besagt, dass mit %-iger Wahrscheinlichkeit bei 0 Eiern genau Eier eine Figur enthalten. b) Pkeine Figur PX ,5% = 0 P

28 ABI 007-H PFLICHTTEIL 007 H [mit Stochastik] Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f ( ) sin Aufgabe. ( P) Berechnen Sie das Integral ln e d. ( P) 0 Aufgabe Lösen Sie die Gleichung e Aufgabe [geändert] 5 0 e. Gegeben ist die Funktion f mit f ( ). a) Bestimmen Sie die Punkte des Schaubildes von f mit waagerechter Tangente. b) Das Schaubild von f hat im Punkt / () P f die Normale n. Ermitteln Sie eine Gleichung von n. Aufgabe 5 Gegeben ist das Schaubild der Ableitung f einer Funktion f. a) Welche Aussagen über die Funktion f ergeben sich im Hinblick auf Monotonie y Etremstellen Schaubild von f Wendestellen? Begründen Sie Ihre Aussagen. b) Es gilt f (0). Skizzieren Sie das Schaubild von f. (5 P) Aufgabe 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: 7 5 Interpretieren Sie das Gleichungssystem und seine Lösungsmenge geometrisch. 5

29 ABI 007-H Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebenen E und F mit E: s 0 t s, tr 0 0 F: 0 Zeigen Sie, dass die Ebenen parallel sind. Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen. Aufgabe 8 Von einem senkrechten Kreiskegel kennt man die Koordinaten der Spitze S, die Koordinaten eines Punktes P des Grundkreises sowie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der der Grundkreis liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Mittelpunkt M und den Radius r des Grundkreises zu bestimmen. Aufgabe 9 [Stochastik] Ein Glücksrad besteht aus Kreissektoren, die mit den Zahlen,, und versehen sind. Die Mittelpunktswinkel der verschiedenen Sektoren haben die Weiten 0, 60, 90 und 80. Nach jeder Drehung gilt diejenige Zahl als gezogen, auf deren Kreissektor der feststehende Pfeil zeigt. Das Glücksrad wird dreimal gedreht. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keine ungerade Zahl gezogen wird. b) Das Glücksrad wird für ein Glücksspiel verwendet. Der Einsatz beträgt. Es wird zweimal gedreht. Erscheint zweimal die, erhält man, erscheint zweimal die, erhält man, erscheint zweimal die erhält man und erscheint zweimal die erhält man. Sonst erhält man nichts. Prüfen Sie, ob das Spiel fair ist. = 0 P 6

30 ABI 007-H LÖSUNGEN f sin cos ( P). ( ). ln ln 0 0 F e e e 0,5,5 ( P). 5 5 e 0 z 0 z² z 5 0 e z z / 5 5 entfällt. a) e 5 ln5 8 f( ) f ( ) Z 0 0 f(0) P(0 / ) m f () mn und Q / y ( ) n : y,5 b) 5. Monotonie: y f ist monoton steigend für < f ist streng monoton fallend für > 5 f Etremstellen f hat für = ein lokales Maimum, weil f bei = einen VZW von + nach hat. Wendestellen f hat Wendestellen bei = 0 und - 6. =, weil f an diesen Stellen lokale Etrema hat. (5 P) I 7 II II III III 5 I III 70 5 Setze t 5 t (5 t) t 0 t t 5 t 0 ist die gemeinsame Schnittgerade. 7

31 ABI 007-H 7. E: s 0 t n E F: 8 0 nf ne nf Parallelität q. e. d. Abstand: AB CD 8 d d, LE A² B² C² ² ² ² S 8. Man fällt das Lot von S auf die Ebene E, wobei S als Stützpunkt und der Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor gewählt wird. Den Mittelpunkt M des Grundkreises erhält man, indem man das Lot mit der Lot Ebene E schneidet. Der Radius des Grundkreises ist der Abstand von P nach M. r 9. M P a) Vorbetrachtungen P, P, P, P Pgerade PP 6 PungeradePP 8 7 Pgerade / gerade / gerade P keine ungerade b) Vorbetrachtungen P/ P/ P/ P/ Ereignisse Auszahlungen P X k / / / / 6 6 EX,5 6 6 E( Gewinn) E( Auszahlung) Einsatz,5 0,5 Das Spiel ist nicht fair. 8

32 ABI 007-N PFLICHTTEIL 007 N [mit Stochastik] Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f( ) e cos Aufgabe. ( P) Berechnen Sie das Integral e d. ( P) 0 Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung cos cos 0 0 für. Aufgabe Geben Sie jeweils mit Begründung einen Funktionsterm der Funktionen f und g mit den folgenden Eigenschaften an: a) Das Schaubild von f hat Asymptoten mit den Gleichungen = und y =. b) g ist periodisch mit der Periode und hat den Wertebereich ;. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. a) Bestimmen Sie die Etrem- und Wendestellen von F. b) Wo hat das Schaubild von F im Bereich, 5 Tangenten mit positiver Steigung? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Das Schaubild von F geht durch den Punkt P(-/0). Skizzieren Sie das Schaubild von F. y Schaubild von f Aufgabe 6 [geändert] Bestimmen Sie in der folgenden Vektorgleichung die Größen k, s und t. (5 P) 9

33 ABI 007-N 7 s t k Aufgabe 7 Die Punkte A(//), B(5/-/) und C(/5/-) liegen in einer Ebene E. a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Koordinatenform. b) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. Aufgabe 8 Gegeben sind die Geraden g und h im Raum. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die gegenseitige Lage von g und h untersuchen kann. Aufgabe 9 [Stochastik] P ( X = k ) 0, 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 Abb k P ( X = k ) 0, 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 Abb k P ( X = k ) 0, 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 Abb k Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,5. a) Berechnen Sie den Erwartungswert von X und begründen Sie, welche der Abbildungen die Verteilung von X beschreibt. b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Abbildung näherungsweise P X 6 und PX P ( X = k ) 0, 0, 0, 0, 0 Abb k. = 0 P 0

34 ABI 007-N LÖSUNGEN ( P). f ( ) e cos ( ) e sin ( ) e cos ( ) sin ( ). Best. Integral:. Gleichung: Nullprodukt: cos cos e e ( ) 0 ( P) 0 0 F d ln lneln cos cos 0 ausklammern 0 für 0 cos 0 und cos 0 und. a) f ( ) f ist eine gebrochenrationale Funktion mit Polstelle bei =. lim f ( ) Asymptote y b) g( ) sin ( ) 5. g ist eine Sinus- oder Kosinusfunktion. Die Periode beträgt normalerweise. Damit diese sich auf die Hälfte verkürzt, muss das Argument verdoppelt werden. Der Wertebereich wird durch den Faktor gegenüber dem normalen Wertebereich ; um das -fache gestreckt. a) Die Etremstelle liegt bei E, wobei der y-wert unbestimmt ist. Die Wendestelle liegt bei W 0, wobei der y-wert unbestimmt ist. b) Im Bereich hat F Tangenten mit positiver Steigung, weil die Funktionswerte von f (= Steigung von F) positiv sind. y F c) Schaubild von F, wenn F durch P(-/0) geht: 5 (5 P)

35 ABI 007-N 6. 7 s t k s t :( ) 7s t k st bestimme s, t und k. st 7 st t und s k 6 7. a) b) 6 E: s t n E E: 9 AB ² ² ² und AC ² ² ² gleichschenklig 8. Zunächst untersucht man, ob die Richtungsvektoren von g und h linear abhängig oder linear unabhängig sind. Sind die Richtungsvektoren linear abhängig, prüft man durch Punktprobe, ob der Stützpunkt von g auf h liegt (oder umgekehrt). Ist dies der Fall, so sind die Geraden identisch, andernfalls sind sie parallel. Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig, berechnet man den Schnittpunkt von g und h. Wenn dieser eistiert, liegen die beiden Geraden in einer Ebene und schneiden sich. Wenn kein Schnittpunkt eistiert, sind die Geraden windschief. 9. HISTOGRAMME a) E X np 80,5 Abbildung Da der Erwartungswert ist, muss im Histogramm P (X = ) maimal sein. b) Näherungswerte P X 0, P X 0,7 P X 5 0, PX 0, 7 0, 7 P X 6 P X P X P X 5 0,7 P X

36 ABI 008-H PFLICHTTEIL 008 H [mit Stochastik] Aufgabe [geändert] Gegeben ist eine Funktion f mit f( ). Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie möglich zusammen. ( P) Aufgabe G ist eine Stammfunktion der Funktion g mit g( ) sin ( ). Der Punkt P(0/) liegt auf dem Schaubild von G. Bestimmen Sie einen Funktionsterm von G. ( P) Aufgabe 6 Lösen Sie die Gleichung wobei 0. ² Aufgabe Für eine ganzrationale Funktion h zweiten Grades gilt: T(-/- ) ist der Tiefpunkt und Q(/5) ein weiterer Punkt des Schaubildes. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von h. Aufgabe 5 Gegeben sind die Schaubilder von vier Funktionen, jeweils mit sämtlichen Asymptoten: y y Schaubild Schaubild y y Schaubild Schaubild

37 ABI 008-H Drei dieser vier Schaubilder werden beschrieben durch die Funktionen f, g und h mit 0,5 f( ) g ( ) be h ( ) c² a a) Ordnen Sie den Funktionen f, g und h das passende Schaubild zu. Begründen Sie Ihre Zuordnung. b) Bestimmen Sie die Werte für a und b. Aufgabe 6 Gegeben sind die zwei parallelen Geraden g und h durch æö æ ö æö æ 6 ö g : 9 s = und h : t = + - s, t Î. ç ç ç5 ç è ø è ø è ø è ø (5 P) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden. Aufgabe 7 Die Ebene E geht durch die Punkte A(,5/0/0), B(0//0) und C(0/0/6). æ-ö æ-ö Untersuchen Sie, ob die Gerade g: = t + tî parallel zur Ebene E verläuft. ç ç è ø è ø Aufgabe 8 E : p n 0 Gegeben sind die beiden Ebenen E : p n 0. und Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man anhand dieser Normalengleichungen die gegenseitige Lage der beiden Ebenen untersuchen kann. Aufgabe 9 [Stochastik] In einem Behälter befinden sich 7 Kugeln mit den Nummern bis 7. Es wird solange ohne Zurücklegen gezogen, bis eine ungerade Nummer gezogen wird. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird erst im dritten Zug eine ungerade Nummer gezogen? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens dreimal zieht? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei -mal Ziehen mit Zurücklegen mindestens eine ungerade Nummer zu erhalten? = 0 P

38 ABI 008-H LÖSUNGEN. f() f () ( P). g ( ) sin( ) G( ) cos( ) c G(0) 0 c c G ( ) cos( ). 6 6 z² z 6 0 ( P) z / 0,5 0, 5 6 0,5,5 entfällt /. h( ) a² b c h( ) a b h( ) abc (-) h() 5 abc 5 ab 9 :( ) h( ) 0 ab 0 a a b c ERGEBNIS h ( ) ² 5. a) f() wird beschrieben durch das Schaubild, weil dies die einzige Kurve mit einer senkrechten und einer waagerechten Asymptote ist. g() wird beschrieben durch das Schaubild, weil dies die einzige Kurve mit keiner senkrechten, aber einer waagerechten Asymptote (y = - ) ist. h() wird beschrieben durch das Schaubild, weil dies die einzige Parabel ist. 5

39 ABI 008-H b) Polstelle bei a 0 a g(0) 0 b 0 b (5 P) H : H h (6 t) (8 t) 5t 6 8t8 t5 t 6 5t 6 t 0,5 F( / 6 / ) Abstand: d ² ² 0² 5 5 LE 7. E: 6 6 ne, nf a g E oder g E Punktprobe für P(-//): ( ) 0 90 PE g E 8. Zunächst prüft man, ob die Normalenvektoren linear abhängig sind: n kn Sind sie linear abhängig, so prüft man weiter, ob P in E liegt (Punktprobe). Ist dies der Fall, so sind die Ebenen identisch, sonst aber parallel. Falls die Normalenvektoren linear unabhängig sind, haben die Ebenen eine Schnittgerade. 9. a) Perst im dritten Zug eine ungerade Zahl Pg / g / u b) P höchstens dreimal ziehen Pu Pg / u Pg / g / u 7 6 P mindestens eine ungerade Zahl P g / g / g c) 6

40 ABI 008-N PFLICHTTEIL 008 N [mit Stochastik] Aufgabe Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f( ) e. ( P) Aufgabe Berechnen Sie das Integral Aufgabe y e 5 d. ( P) Lösen Sie die Gleichung e 0e 5e 0. Aufgabe [geändert] Gegeben ist die Funktion f mit f ( ). a) Skizzieren Sie das Schaubild von f. b) Bestimmen Sie alle Punkte des Schaubildes von f, in denen die Tangente parallel zur Geraden mit der Gleichung y ist. Aufgabe 5 Gegeben sind die Funktion f mit f ( ) sin ( ) sowie vier Schaubilder. Geben Sie die charakteristischen Eigenschaften des Schaubilds von f an, die man ohne weitere Rechnung dem Funktionsterm entnehmen kann. Welches Schaubild gehört zu f? Geben Sie zu jedem anderen Schaubild mindestens eine Eigenschaft an, die mit den Funktionseigenschaften von f nicht vereinbar ist. Abb. Abb. y Abb. Abb. y - y (5 P)

41 ABI 008-N Aufgabe 6 Spiegeln Sie den Punkt A (5 / / 0) an der Ebene E: 7 Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebenen E: und E : Stellen Sie die beiden Ebenen E und E in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Zeichnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen ein. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden an. Aufgabe 8 [geändert - schwer] Gegeben sind der Punkt A ( /0/) und die Gerade æ ö æ-ö h: =- s + ; sî. ç ç 0 è ø è ø Mit den folgenden drei Schritten wird ein Punkt B ermittelt: Mit dem Punkt B ( s/ s /) wird der Vektor AB gebildet. Die Gleichung AB 0 wird nach s aufgelöst. 0 Man setzt den für s erhaltenen Wert in die Geradengleichung ein und erhält so den Ortsvektor des Punktes B. Erklären Sie die geometrische Bedeutung der einzelnen Schritte. Welche Bedeutung hat der Punkt B? Aufgabe 9 [Stochastik] Bei einem Tennismatch werden so viele Sätze gespielt, bis einer der beiden Spieler insgesamt zwei Sätze gewonnen hat. Ein Match besteht daher aus mindestens zwei und höchstens drei Sätzen. Eva und Bettina spielen ein Match gegeneinander. Eva gewinnt Sätze jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Eva das Match? b) Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Sätze, die Eva in einem Match gegen Bettina gewinnt. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an. = 0 P 8

42 ABI 008-N LÖSUNGEN. f( ) e f( ) e e ( ) e ( P) e e.. 5 d ln 5 ln e 5 e ( ln 5) 5 e e e e e z z z z z z ( 0 5) 0 ( P) z z/ und z z z/ 0 0 ² e z e 5 ln5, e 0 hat keine Lösung.. a) Funktion: f( ) Ableitung: f( ) ( ) b) Berührpkt: f( ) ( ) ( ) 5. / ( ) Abb. gehört zur Funktion f. Die Sinuskurve schneidet die y-achse im Punkt S(0/-). Die Amplitude hat den Wert und schlägt zuerst nach unten aus. P( / 0, 5) und P( /, 5) Die Periode beträgt p. Abb., die Kurve hat einen positiven Amplitudenfaktor. Abb., die Kurve geht durch den Ursprung. Abb., die Kurve hat die Periode p. (5 P) 6. Lot: 5 0 t 0 Lot E : t ( ) t 7 t F Parameter verdoppeln und einsetzen: A A(5/ / 6) 9

43 ABI 008-N 7. E : und E : 5 00 wähle t einsetzen: 6t t Schnittgerade: s: t B ist ein variabler Punkt auf der Geraden h. Der Vektor AB ist der Richtungsvektor, der von A nach B zeigt. 9. a) Die Gleichung AB 0 wird nach s aufgelöst. 0 Dadurch erhält man den Parameter eines Vektors, welcher senkrecht auf der Geraden h steht und somit zum Lotfußpunktes B gehört. / / / / / P Eva gewinnt das Match P E E P E B E P B E E 0,7 0,7 0,7 0,0,7 0,0,7 0,7 0, 9 0,7 0,7 0, 78 78, % ERGEBNIS Eva gewinnt das Match mit einer Wahrscheinlichkeit von 78,%. b) Zufallsvariable X Anzahl der Sätze, die Eva gewinnt 0 PB/ B 0,0, 0, 09 0,78 ( sieheteil a) P X P X P E/ B/ B P B/ E/ B 0,7 0,0, 0,0,7 0, 0,6 P X Wahrscheinlichkeitsverteilung Anzahl der Sätze 0 P X k 0,09 0,6 0,78 0

44 ABI 009-H PFLICHTTEIL 009 H [mit Stochastik] Aufgabe Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) ² sin ( ). ( P) Aufgabe Berechnen Sie das Integral 9 d. ( P) Aufgabe Lösen Sie die Gleichung e ² Aufgabe Das Schaubild der Funktion f mit f ( ) ³ ² besitzt einen Wendepunkt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. a) Welche Aussagen über F ergeben y sich daraus im Bereich 7 hinsichtlich Etremstellen Wendestellen Nullstellen? Begründen Sie Ihre Antworten. Schaubild von f 0 6 b) Begründen Sie, dass F(6) F() gilt. (5 P)

45 ABI 009-H Aufgabe 6 [geändert] Gegeben sind die beiden Geraden g : s und h : t 0,5. Prüfen Sie, ob g und h einen gemeinsamen Punkt besitzen. Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebene E: und die Gerade g: r. 0 a) Veranschaulichen Sie die Ebene E in einem Koordinatensystem. b) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und E. c) Bestimmen Sie den Abstand des Ursprungs von der Ebene E. Aufgabe 8 Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A im Raum. A liegt nicht auf g. A wird an der Geraden g gespiegelt. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man den Bildpunkt A bestimmen kann. Aufgabe 9 [Stochastik] Ein Würfel wird so präpariert, dass die Augenzahl mit der Wahrscheinlichkeit 0, und die Augenzahl 6 mit der Wahrscheinlichkeit 0, auftritt. Die Augenzahlen,, und 5 treten jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. a) Der Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Augenzahl zu erhalten? b) Nun wird der Würfel dreimal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man genau eine Sechs erhält. = 0 P

46 ABI 009-H LÖSUNGEN. f( ) ² sin() f( ) sin() ² cos( ) ( P) d d 9 (8). e ² ² 8 0 oder e 6 0 ln6 / ( P) ; ; ln 6. f ( ) ² 6 f ( ) 66 f ( ) 6 f ( ) 660 und f () 0 WP eistiert w f () WP( / ) mit f () m Wendetangente: y y m( ) y( ) y 5. a) Da f zwei Nullstellen hat, besitzt F zwei Etremstellen. An der. Nullstelle. hat f einen VZW von + nach -, also besitzt F dort einen HP. An der. Nullstelle. hat f einen VZW von - nach +, also besitzt F dort einen TP. Wo f einen TP hat, besitzt F einen Wendepunkt mit dem größten Gefälle. Über Nullstellen von F kann keine Aussage gemacht werden, da die Integrationskonstante c nicht eindeutig bestimmbar ist. b) 6. 6 F(6) F() f( ) d Fläche zwischen Kurve und -Achse im Bereich 6. Diese ist aus der Zeichnung ersichtlich größer als (leicht einzusehen, wenn man sich unter der Kurve näherungsweise ein Dreieck vorstellt). (5 P) s t st s t 0,5 s0,5t t,5 / s, 5 s t 8st Probe für die. Zeile: s0,5t,50,5,5 0,750,75 S /0,75/,5

47 ABI 009-H 7. E g Der Punkt P ( / / ) liegt in der Ebene E: 0. Der Richtungsvektor von g ist orthogonal zum Normalenvektor von E: 0 Die Gerade g ist ganz in der Ebene E enthalten. 0 0 D Abstand zum Ursprung: d A² B² C² 8. Zunächst bestimmt man eine Hilfsebene H, die den Punkt A enthält und deren Normalenvektor gleich dem Richtungsvektor der Geraden ist. Dann schneidet man H mit g, wodurch man den Lotfußpunkt F erhält. Der Punkt A wird schließlich am Punkt F mit Hilfe folgender Gleichung gespiegelt: A F AF oder A A AF 9. a) b) 50,6 : 50,5 P 0, und P 6 0, 0,0,0,6 P P P P P P P P P gerade Augenzahl P P P 6 0, Bernoullikette mit n und p 0, P X P genau eine Sechs 0, 0,9 0,

48 ABI 009-N PFLICHTTEIL 009 N [mit Stochastik] Aufgabe Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) () e und vereinfachen Sie so weit wie möglich. Aufgabe ( P) Berechnen Sie das Integral cos d. 0 Aufgabe Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung sin( ) sin( ) 0. Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f( ). a) Untersuchen Sie das Schaubild von f auf Asymptoten und Symmetrie. b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente im Punkt / () P f. Aufgabe 5 Gegeben ist das Schaubild einer Stammfunktion F der Funktion f. ( P) y - Schaubild von F - 5

49 ABI 009-N a) Geben Sie einen Näherungswert für f() an. b) Bestimmen Sie das Integral f ( ) d. c) Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begründen Sie Ihre Antworten. f( ) 0 für 0 7 f hat im Bereich - < < 0 eine Etremstelle. Aufgabe 6 Gegeben sind die Punkte A( / / 0), B( / 7 / ) und C( / 8 / ). Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. Aufgabe 7 Gegeben sind die Geraden g und h mit 9 g : r und h : t Zeigen Sie, dass g und h parallel, aber nicht identisch sind. Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in welcher die beiden Geraden liegen. Aufgabe 8 Gegeben ist eine Ebene E. Gesucht ist eine zu E parallele Ebene F im Abstand. Beschreiben Sie ein Verfahren, wie man eine Gleichung der Ebene F bestimmen kann. Aufgabe 9 [Stochastik] Ein Glücksrad wird für ein Glücksspiel verwendet. Ein Spieler stellt hierzu folgende (5 P) Rechnung auf: EX a) Beschreiben Sie, wie das zugehörige Glücksrad aussehen könnte. b) Wie hoch müsste der Einsatz des Spielers sein, damit er mit einem durchschnittlichen Gewinn von 75 Cent rechnen kann? = 0 P 6

50 ABI 009-N LÖSUNGEN. f ( ) e () e ( ) e. cos d sin 0 0 y ( P) ( ) ( ) 00 ( P) sin ( ) sin ( ) 0 sin ( ) 0 oder sin ( ) 0. sin ( ) 0 0 ; ; ;...; n sin ( ) hat keine Lösungen.. Funktion f( ) f( ) ( ²) a) waagerechte Asymptote y =, keine senkrechte Asymptote. Symmetrie zur y-achse wegen f ( ) f( ) b) Tangente im Punkt P/ mit m : y a) f () b) f( ) d F() F() 0 ( ) c) Da F im Bereich 0 < < 7 streng monoton wachsend ist, gilt hier f( ) Da F im Bereich < < 0 eine Wendestelle besitzt, hat f hier eine Etremstelle. (5 P) a AB und b BC spannen das Dreieck auf, wobei die Vektoren 5 nicht gekürzt werden dürfen. 7

51 ABI 009-N Fläche: A ab Da die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, sind die Geraden parallel. Die Punktprobe ergibt, dass z. B. P(/-/0) nicht auf h liegt, daher sind die beiden Geraden nicht identisch. Ebenengleichung aus g und h E: 0 r s A Beide Ebenen E und F haben denselben Normalenvektor n B. C Man sucht einen beliebigen Punkt P, der in der Ebene E liegt. A In P errichtet man das Lot mit dem normierten Normalenvektor n0 B A² B² C², welcher C die Länge besitzt. So erhält man das Lot: P tn 0 Indem man t = einsetzt, bekommt man einen Punkt Q, der zur Ebene E den Abstand hat. Die Ebenengleichung von F lautet dann: F : n ( Q ) 0 9. a) Aufgrund der gegebenen Rechnung hat das Glücksrad Sektoren mit den Wahrscheinlichkeiten /, /, /8 und /8. Diese entsprechen den Mittelpunktswinkeln 80, 90, 5 und 5. Damit ergibt sich folgendes Aussehen: b) EX 6,5 8 8 E Gewinn 0,75, 5 Einsatz Einsatz,50 8

52 ABI 00-H PFLICHTTEIL 00 H [mit Stochastik] Aufgabe Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) ( ) e und vereinfachen Sie so weit wie möglich. ( P) Aufgabe Berechnen Sie das Integral Aufgabe [geändert] e d. ( P) Lösen Sie die Gleichung cos cos 0 für 0; Aufgabe. ² Gegeben ist die Funktion f mit f( ). Ihr Schaubild ist K. ² a) Geben Sie die Asymptoten von K an. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an K im Punkt P( / f () ) mit der -Achse. Aufgabe 5 Die folgenden vier Abbildungen zeigen Schaubilder von Funktionen einschließlich aller waagerechten Asymptoten. a Eines dieser Schaubilder gehört zur Funktion f mit f( ). ² a) Begründen Sie, dass Abbildung zur Funktion f gehört. Bestimmen Sie den Wert von a. b) Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur Ableitungsfunktion f und eine zur Integralfunktion I mit I( ) f( ) dt. t Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidungen. (5 P) y y Abb. Abb

53 ABI 00-H y y Abb. Abb Aufgabe 6 Gegeben sind die Punkte A(//), B(0// ), C(/ /) und D( /9/0). Überprüfen Sie, ob diese vier Punkte in einer Ebene liegen. Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebene E: 7 und der Punkt P (9 / /). a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E. b) Der Punkt S( //) liegt auf E. Bestimmen Sie den Punkt Q auf der Geraden durch S und P, der genauso weit von E entfernt ist wie P. Aufgabe 8 Die Gerade g und die Ebene E schneiden sich im Punkt S. Die Gerade g ist das Bild von g bei Spiegelung an der Ebene E. Beschreiben Sie ein Verfahren, um eine Gleichung der Geraden g zu ermitteln. Aufgabe 9 [Stochastik] P ( X = k ) 0, 0,5 0, 0,5 0, 0, P ( X = k ) 0, 0,5 0, 0,5 0, 0, Abb. 0 k Abb. 0 k P ( X = k ) 0, 0,5 0, 0,5 0, 0, P ( X = k ) 0, 0, 0, 0, Abb. 0 k Abb. 0 k 50

54 ABI 00-H Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,5. a) Berechnen Sie den Erwartungswert von X und begründen Sie, welche der Abbildungen die Verteilung von X beschreibt. b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Abbildung näherungsweise P X 6 und PX. LÖSUNGEN. f ( ) ( ) e f ( ) e ( ) e ( ) ( 5 ) e ( P) e e d ln ² ln e e ² ( ln ) e ² 0 e ² ( P). 0 / / /. cos und cos ². Funktion: f( ) ² a) Asymptoten: y und 0 Polstelle ohne ZW b) Ableitung: f( ) ³ Punkt: f() P(/ ) und m f() Tangente: y y m( ) y( ) t: y Nullstelle: 0 N( 0,5/0) 5. a) a f ( ) ² Asymptote : y Kurve muss zur Funktion f gehören, weil sie die einzige ist, die die Asymptote y besitzt. a Es gilt: f(0) a a b) f hat an der Stelle = 0 ein Maimum, also muss die Ableitungsfunktion dort eine Nullstelle mit VZW von + nach haben. Diese Bedingung wird nur von Kurve erfüllt. c) Wegen I f dt 0 muss die Kurve die Integralfunktion sein. (5 P) () ( t) 5

55 ABI 00-H 6. Parameterform aus A, B und C: Normalenvektor: E: s t 6 0 n 0 Ebene in Koordinatenform: 6 E: 6 Punktprobe für D ( /9/0): D einsetzen in a) Abstand: Also liegen alle Punkte in einer Ebene E. A 9 0 ( ) B C D 7 0 d 6 LE A² B² C² ² ² 5 b) gespiegelter Punkt: 0 Q S PS 5 6 Q( /6/) 0 8. P sei ein von S verschiedener Punkt auf g. Man fällt das Lot von P auf die Ebene E. Für die Lotgleichung benutzt man P als Stützpunkt und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor. Das Lot wird mit der Ebene E geschnitten. Der Parameter des Lotfußpunktes wird verdoppelt und in das Lot eingesetzt. So erhält man den an E gespiegelten Punkt P*. Aus P* und S gewinnt man anschließend die Gleichung der gespiegelten Geraden g. 9. a) E X np 80,5 Abbildung Da der Erwartungswert ist, muss im Histogramm P(X = ) maimal sein. b) Näherungswerte P X 0, P X 0,7 P X 5 0, PX 0, 7 0, 7 P X 6 P X P X P X 5 0,7 P X 5

56 ABI 00-N PFLICHTTEIL 00 N [mit Stochastik] Aufgabe [geändert] Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f( ). e Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f( ) sin( ). ( P) Bestimmen Sie die Stammfunktion von f, die bei = 0 eine Nullstelle hat. ( P) Aufgabe [geändert] Lösen Sie die Gleichung. Aufgabe Gegeben sind die Funktionen f mit f ( ) ² und g mit g ( ) ². Zeigen Sie, dass sich deren Schaubilder berühren. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitung f einer Funktion f. a) Welche Aussagen über f ergeben sich daraus hinsichtlich der Anzahl der - Etremstellen, - Wendestellen, - Nullstellen? Begründen Sie Ihre Antworten. b) Begründen Sie, dass 5 f ( ) d 0 gilt. (5 P) 5

57 ABI 00-N Aufgabe 6 [geändert] 0 Lösen Sie die folgende Vektorgleichung: s t r 0 6 Aufgabe 7 Gegeben sind die Punkte P( // ) und Q(/ / ) sowie die Ebene E:. a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E. b) Die Gerade durch die Punkte P und Q schneidet die Ebene E in einem Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S. Begründen Sie, dass S zwischen P und Q liegt. (5 P) Aufgabe 8 Gegeben sind die Ebene E und eine Gerade g. E und g schneiden sich, aber g ist nicht orthogonal zu E. Die Gerade g wird senkrecht auf E projiziert, dabei entsteht die Bildgerade g* in E. Beschreiben Sie ein Verfahren, wie man eine Gleichung von g* bestimmen kann. Aufgabe 9 [Stochastik] In einer Geldschachtel sind sechs 50-Cent-Münzen, drei l-euro-münzen und eine -Euro- Münze. a) Es wird blind eine Münze entnommen. Mit wie viel Geld kann man durchschnittlich rechnen? b) Es werden blind zwei Münzen entnommen. Wie viel Geld erhält man jetzt im Durchschnitt? LÖSUNGEN f e f e e e e. ( ) ( ) ( P). f ( ) sin( ) F( ) cos( ) c F(0) 0 cos( ) c0 ( ) c0 c0,5 F ( ) cos( ) 0,5 ( P) 5

58 ABI 00-N., 5, 5 z, 5, 5 z z² z 0 z / Rücksubstitution : / / imaginär, entfällt. f( ) g( ) ² ² ² 0 ² 0 / zwei Punkte, die zusammenfallen, ergeben einen Berührpunkt. 5. a) Etremstellen, wegen Nullstellen bei der Ableitung Wendestellen, wegen Etrempunkten bei der Ableitung Nullstellen: die Anzahl liegt unbestimmbar zwischen 0 und, da die Lage der Stammfunktion nicht eindeutig festzulegen ist. b) 5 5 f d f d f d 0 ( ) ( ) ( ) d.h. die positiv zählende Teilfläche ist größer als die negativ zählende Teilfläche, daher ist die Summe der beiden Teilflächen größer als Null. (5 P) 6. LGS: s r st r 06 str s r s r ( 0) str 0sr 06 st r 6r r weiterhin ergibt sich durch Einsetzen: s und t 7. Man kann auch noch die Probe für die oben stehende Vektorgleichung machen. a) Abstand: AB CD 0 d A² B² C² ² ² 0 ( P) b) Gerade PQ: t Schnittpunkt S: ( t) ( t) 6tt t t 0,5 S(,5 / 0,5 /,5) S 55

59 ABI 00-N S liegt zwischen P und Q, weil der Parameter von S zwischen denen von P und Q liegt: t 0 und t t t 0,5 t P Q P S Q 8. Man schneidet E mit g und erhält den Schnittpunkt S. Sodann wählt man einen von S verschiedener Punkt P auf g, fällt das Lot von P auf die Ebene E und bestimmt P den Lotfußpunkt F. Für die Lotgleichung benutzt man P als Stützpunkt und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor. Aus S und F gewinnt man anschließend die Gleichung g* S F der projizierten Geraden g*. g 9. a) Ereignisse 50 Cent Münze Euro Münze Euro Münze Auszahlungen 0,50 6 PX k EX0,50 0, ERGEBNIS Man kann durchschnittlich 80 Cent erwarten. b) Werden zwei Münzen gezogen, so handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Ereignisse Auszahlungen P X k 0,5 / 0,5 0,5 / / 0,5 / 0,5 / / 0,5 / /,5,5,5, EX,5,5, ERGEBNIS Man kann durchschnittlich,60 Euro erwarten. 56

60 ABI 0-H PFLICHTTEIL 0 H [mit Stochastik] Aufgabe [geändert] Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) sin Aufgabe Berechnen Sie das Integral Aufgabe. ( P) d. ( P) 0 Lösen Sie die Gleichung e 6e. Aufgabe Gegeben sind die Funktionen f und g mit f ( ) e und g ( ) e. a) Beschreiben Sie, wie das Schaubild von g aus dem Schaubild von f entsteht. b) Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder von f und g im Punkt P(0/) berühren. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. Begründen Sie, dass folgende Aussagen wahr sind: y Schaubild von f () F ist im Bereich monoton wachsend. () f hat im Bereich,5,5 drei Nullst () 0 f d ( ) - () O(0/0) ist Hochpunkt des Schaubildes von f. Aufgabe 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: (5 P) Interpretieren Sie das Gleichungssystem und seine Lösungsmenge geometrisch. 57

61 ABI 0-H Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebene 8 E: 0 und die Gerade 7 g: 5 t. 7 a) Zeigen Sie, dass E und g parallel sind. b) Bestimmen Sie den Abstand von E und g. Aufgabe 8 Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A, der nicht auf g liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man denjenigen Punkt B auf g bestimmt, der den kleinsten Abstand von A hat. Aufgabe 9 [Stochastik] In einer Urne sind rote und blaue Kugeln. Es werden Kugeln gezogen. a) Prüfen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden, beim Ziehen mit oder ohne Zurücklegen größer als 50% ist. ( P) b) Wie viele rote Kugeln müsste man in die Urne dazulegen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit für zwei verschiedenfarbige Kugeln 50% beträgt? (b-teil: schwer) LÖSUNGEN. f ( ) sin f ( ) sin sin cos ( P) 5 5 ( P) d. e 6e z 6z0 z z0 z/ 0,5 Rücksubstitution: 0, 5 e ln0, 5 e keine weitere Lösung.. a) Das Schaubild von f wird an beiden Koordinatenachsen gespiegelt und anschließend um Einheiten nach oben verschoben. b) gleiche Funktionswerte: f (0) und g(0) Bedingung erfüllt. 58

62 ABI 0-H gleiche Steigungen: f ( ) e und g ( ) e f (0) und g(0) Bedingung erfüllt. P (0 /) ist also Berührpunkt. q.e.d. 5. () Es ist F ( ) f( ) 0 im Bereich, daher ist F monoton wachsend. () Das Schaubild von f hat im Bereich,5,5 an drei Stellen waagerechte Tangenten. Somit hat die Ableitungsfunktion f in diesem Bereich drei Nullstellen. () 0 f ( ) d f() f (0) 0 q. e. d. () Das Schaubild von f hat an der Stelle = 0 eine waagerechte Tangente, also gilt f (0) 0. In der Umgebung von = 0 ist f monoton fallend, also gilt f ( ) 0. Damit ist gezeigt, dass der Ursprung HP des Schaubildes f ist. (5 P) 6. I 5 7 I 59 II 5 II 5 III III Setze t t I II : ( t) t 5 5t t t 7. 0 t oder t 0 Die Lösungsmenge ist eine gemeinsame Schnittgerade. 8 E: E: a) Wegen 80 stehen der Normalenvektor von E und der Richtungsvektor von g senkrecht aufeinander, also sind E und g parallel zueinander. 59

63 ABI 0-H AB C D 875 ( 7) b) HNF d 9 LE A² B² C² 8² ² ² Man bestimmt eine Hilfsebene H, die auf g senkrecht steht und den Punkt A enthält, wobei der Richtungsvektor von g der Normalenvektor von H ist. Der Ansatz lautet: n n A Anschließend schneidet man H mit g und erhält den Lotfußpunkt B, welcher auf g liegt und von A den kleinsten Abstand hat. 9. a) Ziehen mit Zurücklegen PKugeln verschiedenfarbig Pr / bp b / r 50% Ziehen ohne Zurücklegen PKugeln verschiedenfarbig Pr / bpb / r 60% 50% ERGEBNIS Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit größer als 50%. ( P) b) Ziehen ohne Zurücklegen blaue Kugeln, n rote Kugeln, insgesamt n 6 Kugeln n n P Kugeln verschiedenfarbig P r / bp b / r 0,5 n6 n5 n6 n5 Rechnung n n 0,5 5 6 n6 n5 n6 n5 nn0,5n5n6 n n n n6 n5n ,5 5 6 n n n6 n n0 n n 60 n und n entfällt ERGEBNIS Man müsste noch rote Kugeln dazu legen, um p = 50% zu erhalten. 60

64 ABI 0-N PFLICHTTEIL 0 N [mit Stochastik] Aufgabe Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( ) cos( ). Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f( ) e. ( P) Bestimmen Sie die Stammfunktion F von f mit F(0) e. Aufgabe Lösen Sie für 0 die Gleichung sin ( ) sin( ) 0. ( P) Aufgabe Das Schaubild der Funktionen f mit f ( ) ² besitzt einen Wendepunkt. Die Normale im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreieckes. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. a) Wo besitzt die Funktion f im Bereich 0 6 Maima, Wendestellen, Stellen, an denen das Schaubild von f y Schaubild von f ' Tangenten parallel zur. Winkelhal- bierenden hat? 6 b) Es gilt f (). Bestimmen Sie näherungsweise f (). (5 P) 6

65 ABI 0-N Aufgabe 6 Gegeben sind die Ebenen E: 6und F : 0. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat diese Gerade? Aufgabe 7 Die Gerade g verläuft parallel zur -Achse durch den Punkt P(0//0). Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an. Bestimmen Sie einen möglichen Punkt C auf g so, dass das Dreieck ABC mit A(6//0) und B(//0) bei C einen rechten Winkel hat. Aufgabe 8 Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen E und E. Die Ebene F ist parallel zu E und E und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung von F bestimmen kann. Aufgabe 9 [Stochastik] Eine Urne enthält blaue und 6 rote Kugeln. Es werden Kugeln mit Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine Kugel blau ist. b) Wie viele blaue Kugeln hätten sich in der Urne befinden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine blaue Kugel zu ziehen, 0,6 betragen hätte? = 0 P LÖSUNGEN. f ( ) cos( ) f ( ) cos ( ) sin( ) ( P). ( ) ( ) f e F e c F(0) e 0 ece c e F( ) e e ( P) 6

66 ABI 0-N.. sin ( ) sin ( ) 0 sin ( ) sin ( ) 0 Nullprodukt sin sin ( ) 0 0und sin ( ) ( ) sin ( ) entfällt, liegt nicht im Bereich. f f f ( ) ² ( ) 6 ( ) 6 6 f( ) W(/ ) und f() m 7 Normale y y m( ) y ( ) n: y 7 Schnittpunkte mit den Achsen y 0 N(7/0) und 0 Y (0/ ) Fläche A gh 77 9 FE 6 5. a) Maimum bei = 5, weil f eine Nullstelle mit VZW von + nach hat. Wendestelle bei =, weil f ein Etremum hat. Tangenten parallel zur. Winkelhalbierenden bei = und =, weil f den Wert hat. b) f () f () Fläche unter der Kurve f d,5 6,5 6. E: 6 ( ) [Wert geschätzt] (5 P) F: 0 ( ) 0 setze t 6,5t Zusammenfassung g: 6 t,5 Da der. Komponente des Richtungsvektors gleich Null ist, verläuft die Gerade parallel zur -Ebene. ( 0 P) 6

67 ABI 0-N 7. Die Gerade g verläuft parallel zur -Achse durch den Punkt P(0//0). Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an. Bestimmen Sie einen möglichen Punkt C auf g so, dass das Dreieck ABC mit A(6//0) und B(//0) bei C einen rechten Winkel hat. 0 g : t 0 C( t //0) beweglicher Punkt 0 0 t6 t AC BC t t t t ( 6)( ) t C (//0) und t 5 C (5//0) 8. Man wählt beliebige Punkte P auf E und P auf E. Anschließend bestimmt man den Mittelpunkt M der Strecke PP. Den Normalenvektor übernimmt man wegen der Parallelität von den gegebenen Ebenen. Der Ansatz für die Mittelebene lautet: F : n nm. 9. a) Phöchstens eine blaue Kugel Pb b 6 8 / 8% b) Pb / b P höchstens eine blaue Kugel n n n 0, 6 Pb/ b 0,6 n6 n6 n 6 n 0,6 n 6 0,6 ( n6) n n 9 Fallunterscheidung 0,6 ( n6) n n, 5 entfällt. 6

68 ABI 0-H PFLICHTTEIL 0 H [mit Stochastik] Aufgabe Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit ( ) ( ) 7 5 f sin. ( P) Aufgabe Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit f( ) e. ( P) Aufgabe Lösen Sie für 0 die Gleichung sin ( ) cos ( ) cos ( ) 0. Aufgabe Gegeben sind die Funktionen f mit f( ) und g mit ( ) g. Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden zugehörigen Graphen. Untersuchen Sie, ob sich die beiden Graphen senkrecht schneiden. Aufgabe 5 y Abb. Eine der folgenden Abbildungen zeigt den Graphen der Funktion f mit f ( ). - - y Abb. y Abb. y Abb

69 ABI 0-H a) Begründen Sie, dass die Abbildung den Graphen von f zeigt. b) Von den anderen drei Abbildungen gehört eine zur Funktion g mit g() f ( a) und eine zur Funktion h mit h() b f(). Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu und begründen Sie Ihre Entscheidung. Geben Sie die Werte für a und b an. c) Die bis jetzt nicht zugeordnete Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion k. Geben Sie ohne Rechnung einen Funktionsterm für k an. Aufgabe 6 Gegeben sind die Ebenen E: 0 und F: 8. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden. Aufgabe 7 Gegeben sind der Punkt A(//) und die Ebene E: 0. (5 P) a) Welche besondere Lage hat E im Koordinatensystem? b) Der Punkt A wird an der Ebene E gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes. Aufgabe 8 Gegeben sind eine Ebene E und eine Gerade g, die in E liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung einer Geraden h ermitteln kann, die orthogonal zu g ist und ebenfalls in E liegt. Aufgabe 9 [Stochastik] Eine Urne enthält blaue und 7 rote Kugeln. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine Kugel blau ist. b) Wie viele rote Kugeln hätten sich in der Urne befinden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote Kugel zu ziehen /9 ist? = 0 P 66

70 ABI 0-H LÖSUNGEN 5. f ( ) sin( ) 7 f ( ) 5 sin( ) 7 cos ( ) ( P). f( ) e F( ) e e ( ) ( P) cos ( ) sin ( ) 0 cos ( ) 0 ;. sin keine weitere Lösung.. f g ( ) ( ) 0 9 0,5 / 0,5 / ( /) P und Q f ( ) und g( ) f () g () Die beiden Kurven schneiden sich im Punkt Q(/) senkrecht. 5. Es ist f (0), daher zeigt Abb. den Graphen von f. a) Der Graph in Abb. ist um Einheiten nach rechts verschoben. Daher gilt: g( ) f ( ) a Der Graph in Abb. ist gestaucht und gespiegelt, der Faktor beträgt b h( ) f( ) b) Der Graph in Abb. ist um Einheiten nach oben verschoben. Daher gilt: k f ( ) ( ) 6. E und F : : 8 (5 P) setze t t 8 8t Werte einsetzen (8 t) t t Schnittgerade g : 8 t 0 67

71 ABI 0-H 7. Da die -Kompenente fehlt, verläuft die Ebene parallel zur -Achse Lot : t 0 Lot E t Parameter verdoppeln t 6 A(7// ) 8. Zuerst kreuzt man den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E. Der so erhaltene Vektor ist der Richtungsvektor der gesuchten Geraden h. Als Stützvektor für h kann man den Stützvektor von g übernehmen und anschließend die Geradengleichung aufstellen. Die Lösung ist nicht eindeutig, weil man jeden beliebigen Punkt von g oder E als Stützpunkt für h wählen kann. 9. A a) Ziehen mit Zurücklegen Pb b P höchstens eine blaue Kugel 9 / 9% ( P) b) blaue Kugeln, n rote Kugeln, insgesamt n Kugeln n n P genau eine rote Kugel Pr / bpb / r n n n n 9 6n 5 n n n : n n n n n n n 5n80 n/ 6, 5 entfällt 68

72 ABI 0-N PFLICHTTEIL 0 N [mit Stochastik] Aufgabe Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit Aufgabe Berechnen Sie das Integral e Aufgabe Lösen Sie für 0 0 f( ). ( P) d. ( P) die Gleichung sin sin 0. Aufgabe a) Geben Sie einen Term einer Funktion f mit folgenden Eigenschaften an: Für gilt f( ). f ( 0) Die -Achse ist Asymptote des Graphen von f. b) Geben Sie einen Term einer trigonometrischen Funktion an, deren Graph den Hochpunkt H(/5) hat. Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f mit ( ) f 5 e. Die Abbildungen zeigen die Graphen der Funktion f, ihrer Ableitungsfunktion f, einer Stammfunktion F von f sowie der Funktion g mit g ( ) f( b). a) Ordnen Sie die Funktionen den Abbildungen zu und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidungen. b) Bestimmen Sie den Wert von b. y Abb. y Abb. 69

73 y Abb. ABI 0-N y Abb. Aufgabe 6 Gegeben sind die Ebenen E : 6 und F :. (5 P) Stellen Sie beide Ebenen in einem Koordinatensystem dar. Zeichen Sie die Schnittgerade ein. Aufgabe 7 Gegeben ist die Gerade g: t 0. a) Bestimmen Sie den Punkt P auf g, der vom Punkt A(6/7/-) den kleinsten Abstand hat. b) Bestimmen Sie einen Punkt Q auf g, der vom Punkt B(//) den Abstand hat. Aufgabe 8 Gegeben sind zwei parallele Geraden g und h. Diese liegen symmetrisch bezüglich einer Ebene E. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung von E. Aufgabe 9 [Stochastik] Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = l0 und hat folgende Verteilung: 0, P ( X = k ) 0,5 0, 0,5 0, 0, k a) Bestimmen Sie die Trefferwahrscheinlichkeit p. b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Abbildung näherungsweise P X und P X

74 - ABI 0-N LÖSUNGEN. f( ) f ( ). ( P) ( P) 0 F e d e e e e. sin sin 0 Substitution u sin, 5 u u 0 u/. Mögliche Funktionsterme sind: a) f ( ) e y 6 5 (P) b) f ( ) 5 sin mit HP(/5) (a) Wegen f () 0 zeigt Abb. den Graphen von f an. Das Schaubild von f besitzt bei = einen Hochpunkt. Damit gilt f ( ) 0. Abb. entspricht also dem Schaubild von f. Abb. zeigt das um nach links verschobene Schaubild von f und ist daher der Funktion g zuzuordnen. Die verbleibende Abb. gehört demnach zur Stammfunktion F. (b) Da das Schaubild von f um nach links verschoben ist, beträgt b. 6. E und F : : (5 P) 7

75 ABI 0-N ZEICHNUNG 7. H : 6 H g t Lotfußpunkt F(8 // 0) 6 Der Richtungsvektor von g hat die Länge. Da B(//) Stützpunkt von g ist, erhält man für t = oder für t = - Punkte auf g mit dem vorgegeben Abstand. Die Punkte Q(5//) oder R(-//6) haben von B den Abstand. 8. Man schneidet eine zu g orthogonale Hilfsebene sowohl mit g als auch mit h und erhält dadurch die Schnittpunkte P und Q. Der Vektor PQ ist ein geeigneter Normalenvektor von E. Der Mittelpunkt M der Strecke PQ ist ein geeigneter Stützpunkt von E. Die Ebenengleichung erhält man mit folgendem Ansatz: E: n nm 9. a) Der Erwartungswert hat laut Histogramm den Wert 6. Da n = 0 bekannt ist, kann p berechnet werden: 6 E X np p 0,6 0 b) P X 6 0,5 P X 7 0, P X 8 0, P X 9 0,0 P X 0 0, 0 Damit ergibt sich : 6PX 60,75 P X 7 P X 8 P X 9 P X 0 0,7 P X 7

76 ABI 0-H PFLICHTTEIL 0 H Aufgabe Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit ( ) 5 f e. Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) sin. ( P) Bestimmen Sie die Stammfunktion F von f mit F( ) 7. Aufgabe Lösen Sie die Gleichung e 0. e Aufgabe Gegeben sind die Funktionen f und g mit f ( ) und g ( ). ( P) ( P) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird. Aufgabe 5 Eine Funktion f hat folgende Eigenschaften: () f () ( ) f( ) 0 ( ) f( ) 0 und f ( ) 0 ( ) für und gilt : f ( ) 5 Beschreiben Sie für jede dieser vier Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von f hat. Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen. (5 P) - 7 -

77 Aufgabe 6 ABI 0-H Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(/-/) und B(/-/0). Die Ebene E wird von g orthogonal geschnitten und enthält den Punkt C(//-8). Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von g mit E. Untersuchen Sie, ob S zwischen A und B liegt. Aufgabe 7 Gegeben sind die beiden Ebenen 7 E: und E : 7 s t 5 0 Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind. Die Ebene E ist parallel zu E und E und hat von beiden Ebenen denselben Abstand. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E. Aufgabe 8 Neun Spielkarten (vier Asse, drei Könige und zwei Damen) liegen verdeckt auf dem Tisch. a) Peter dreht zwei zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch. B: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch. b) Die neun Spielkarten werden gemischt und erneut verdeckt ausgelegt. Laura dreht nun so lange Karten um und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen, bis ein Ass erscheint. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der aufgedeckten Spielkarten an. Welche Werte kann X annehmen? Berechnen Sie PX. Aufgabe 9 [Analysis verstehen] Gibt es eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph dreiwendepunkte besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort. =0 P - 7 -

78 ABI 0-H LÖSUNGEN. f( ) 5 e f( ) e 5e ( ) 0 ( P) f e f sin F cos c cos c. ( ) ( ) F( ) 7 cos c7 c7 c9 F( ) cos 9 e. 0 0 e e e e ln... ln ln ( P). Grenzen f g und : ( ) ( ) 0 ( P) Fläche : A d 90 FE 5. () Die Kurve geht durch den Punkt P(/). () Die Kurve besitzt an der Stelle = eine waagerechte Tangente. () Die Kurve hat an der Stelle = einen Wendepunkt. () Die Kurve besitzt eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung y =5. y Möglicher Kurvenverlauf 5 W (5 P)

79 6. ABI 0-H Gerade g : t Ebene E : 8 ge: t t t t S / 5/ Wegen AB liegt S nicht zwischen A und B, d. h. t liegt S nicht zwischen 0 und. A 7. E: n æö æö æ ö n = = - n = n E E ç0 ç ç èø èø è ø A 0 / 0 / ist ein beliebiger Punkt aus E. B 7 / 7 / 5 ist ein bekannter Punkt aus E. M, 5 /, 5 / ist Mittelpunkt der Strecke AB. E muss den Punkt M enthalten: 8. a), 5 Mittelebene E :, P kein Ass bei 9 Kartenund Pkein Ass bei 8 Karten P A PB PDame/ Assoder PAss / Dame ( P) b) Da spätestens die 6. Karte ein Ass sein muss, kann die Zufallsvariable X die Werte k =,,,, 5 oder 6 annehmen. 5 5 P X PAss bei X oder PAss bei X ( P) Die zweite Ableitung der Funktion ergibt eine ganzrationale Funktion zweiten Grades. Um die Wendepunkte zu bestimmen, muss die zweite Ableitung gleich Null gesetzt werden. Man erhält eine quadratische Gleichung, die höchsten zwei reelle Lösungen haben kann. Drei Wendepunkte sind also nicht möglich

80 ABI 0-N PFLICHTTEIL 0 N Aufgabe Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f( ). ( P) Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) cos. Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. Aufgabe Lösen Sie die Gleichung ( P) Aufgabe K ist der Graph der Funktion f ( ) e. Die Tangente an K an der Stelle = schneidet die Asymptote von K im Punkt S. Bestimmen Sie die Koordinaten von S. Aufgabe 5 Abgebildet ist der Graph einer Stammfunktion F von f. a) Bestimmen Sie näherungsweise f (). b) Bestimmen Sie f( ) d. 0 y 5 Graph von F c) Begründen Sie, dass f im Intervall [- ; ] mindestens eine Nullstelle hat. d) Bestimmen Sie näherungsweise F ( ) d

81 ABI 0-N Aufgabe 6 Gegeben sind drei Ebenen: E : 0 E : 70 E : 5 0 Zeigen Sie, dass sich die drei Ebenen in einer Geraden schneiden. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden an. Aufgabe 7 Gegeben sind die drei Punkte A(-//), B(/0/) und C(0/6/7). a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. b) Bestimmen Sie den Punkt D so, dass ABCD ein Quadrat ist. Aufgabe 8 Ein Fußballspieler verwandelt erfahrungsgemäß 90% aller Elfmeter. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verwandelt er von drei Elfmetern nur den letzten? mindestens einen b) Für ein Ereignis C gilt: 0 0,9 b a 7 c P C. Geben Sie geeignete Werte für a, b und c an. Beschreiben Sie das Ereignis C in Worten. Aufgabe 9 Im dreidimensionalen Raum sind eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf g liegt, gegeben. Die Gerade h geht durch P und schneidet g orthogonal. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung der Geraden h. =0 P

82 ABI 0-N LÖSUNGEN. 6 f( ) f ( ) ( P). f ( ) cos cos F( ) sin sin ( P) Substitution u u 5 0 u/ Rücksubstitution und. f e f e ( ) () 0 f e f e ( ) () TANGENTE y y m y0 t: y t y S / 5. a) f () F() Steigungsdreieck zeichnen. b) f ( ) d F () F (0) 0. 0 c) f hat im Intervall [- ; ] mindestens eine Nullstelle, weil F im Intervall [- ; ] einen Wendepunkt hat. d) F ( ) d 5 erhält man durch Auszählen der Kästchen

83 6. ABI 0-N VERFAHREN: Lasse jeweils herausfallen. I III Das LGS hat -viele Lösungen, I II man erhält eine Schnittgerade: Setze t 5 t ( I): t (5 t) t Schnittgerade : 0 t oder 5 t a) 7 7 AB 8 und BC AB BC AB 8 9 und BC 7 9 gleichschenklig b) BC D6/ /6 8. D A P A P TTT,, 0009,,, 0009, 09, % a) P B P mindestens ein Treffer P T, T, T 0, 0, 00 0, , 9 % b7 0 b 0 0 P C 0, 9 c c 0, 9 0, P C 0, 9 0, a a b a b) b 7 7 Ereignis C: Der Schütze verwandelt von 0 Elfmetern genau. 9. Die Gerade h ist das Lot von P auf die Gerade g. Man stellt daher eine Hilfsebene H auf, die durch P enthält und senkrecht auf der Geraden g steht: H : n n wobei n der Richtungsvektor von g ist. P Anschließend schneidet man H mit g und erhält den Lotfußpunkt F. Mit P und F kann man dann die Geradengleichung von h bestimmen

84 ABI 0-H PFLICHTTEIL 0-H Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f () e. Aufgabe Berechnen Sie das Integral Aufgabe Lösen Sie die Gleichung Aufgabe d. 0. Gegeben sind die Funktionen f und g mit f ( ) cos und g( ) cos. a) Beschreiben Sie, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhält. b) Bestimmen Sie die Nullstellen von g für 0. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt die Graphen K f und K g zweier Funktionen f und g. ( P) ( P) a) Bestimmen Sie f g (). Bestimmen Sie einen Wert für so, dass f g( ) 0 ist. b) Die Funktion h ist gegeben durch h ( ) f( ) g ( ). Bestimmen Sie h (). y 5 - f g - 8 -

85 ABI 0-H Aufgabe 6 Gegeben sind die Ebenen E : und F :. a) Stellen Sie die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F an. b) Die Ebene G ist parallel zur Achse und schneidet die Ebene in derselben Spurgeraden wie die Ebene F. Geben Sie eine Gleichung der Ebene G an. Aufgabe 7 Gegeben sind die Punkte A/0/, B // und C //. Die Gerade g verläuft durch A und B. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes C von der Gerade g. Aufgabe 8 An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich zwei Drittel aller Spiele. a) Formulieren Sie ein Ereignis A, für das gilt: P A b) Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zwei Mal? Aufgabe 9 Gegeben sind der Mittelpunkt einer Kugel sowie eine Ebene. Die Kugel berührt diese Ebene. Beschreiben Sie, wie man den Kugelradius und den Berührpunkt bestimmen kann. (5 P) = 0 P - 8 -

86 ABI 0-H LÖSUNGEN.. f ( ) e f( ) e e ( P) d ( ) ( P) () ( ) z z z/ / a) Der Graph von f wird um den Faktor in y-richtung gestreckt und um Einheiten nach unten verschoben. Außerdem wird der Graph in -Richtung mit dem Faktor gestaucht. 0 b) cos 0 cos 0; 5. a) f g() f( ) 5 f (0) 0 g( ) 0 oder f () 0 g( ) b) h( ) f ( ) g( ) Produktregel verwenden h( ) f( ) g( ) f( ) g( ) Werteablesen h() f() g() f() g() 00 ( ) 6. a) SCHNITTGERADE g: 0 t 0 0 F E - 8 -

87 b) EBENE G : ABI 0-H ( P) 7. Gerade durch A und B: g: 0 t 0 Hilfsebene: H : 0 Fußpunkt: H g: F5/7/ Abstand: d CF 0 5 5LE 8. a) Das Ereignis A bedeutet: Man verliert von 0 Spielen 8 oder 9 oder 0 Spiele, also mindestens 8 Spiele. b) P X n, p, q, k Man fällt vom Kugelmittelpunkt M aus das Lot auf die Ebene E. Dieses wird mit E geschnitten. So erhält man den Lotfußpunkt F, welcher gleichzeitig der Berührpunkt der Kugel mit der Ebene E ist. Die Länge MF entspricht dem Kugelradius. = 0 P - 8 -

88 ABI 0-N PFLICHTTEIL 0-N Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f ( ) sin. Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f( ), 5,5. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f mit F( ) 5. ( P) Aufgabe 0. e Lösen Sie die Gleichung e e e Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f( ) ( P) a) Geben Sie die Asymptote des Graphen von f an. Skizzieren Sie den Graphen von f. b) An welcher Stelle ist die Tangente an den Graphen parallel zur Geraden g: y? Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. y () Der Graph der Ableitungsfunktion f verläuft für oberhalb der -Achse. () f hat mindestens eine Nullstelle. () F hat bei = - ein Minimum. () Für die Funktion I mit I( ) f ( t) dt gilt I() 0. f

89 ABI 0-N Aufgabe 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: Interpretieren Sie das Gleichungssystem und seine Lösungsmenge geometrisch. Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebene E und die Gerade g durch E : und g : t. a) Ermitteln Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit E. b) Bestimmen Sie diejenigen Punkte auf g, die von E den Abstand haben. Aufgabe 8 Ein idealer Würfel wird dreimal geworfen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man dabei dreimal die gleiche Augenzahl? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens einmal eine Augenzahl größer als zu werfen? c) Notiert man die Ziffern in der gewürfelten Reihenfolge von links nach rechts, erhält man eine dreistellige Zahl. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Zahl kleiner als 66? Aufgabe 9 Gegeben sind zwei Vektoren a und b mit a b und a b 0. Alle Punkte mit den Ortsvektoren sinracossb ; r, s0; bilden eine Figur F. Stellen Sie die Vektoren a und b sowie die Figur F in einer Skizze dar. Geben Sie den Flächeninhalt von F an. = 0 P

90 ABI 0-N LÖSUNGEN. f ( ) sin f ( ) sin cos ( P).. F( ) d ln 5 c 5 F( ) 5 5 ln5c 50c c5 F( ) ln e e e e e NULLPRODUKT e e e e e e e ( P). a) f( ) Asymptote ( ): y Polstelle ohne ZW : y f b) f( ) f( ) f( ) - 5. () Die Aussage ist falsch, weil die Funktion f für > - streng monoton fallend ist. () Die Aussage ist wahr, weil die Funktion f bei = 0 eine Wendestelle hat. Also gilt f (0) 0. () Die Aussage ist wahr, weil die Funktion f bei = - eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach + hat. () Die Aussage ist falsch, weil auf dem Intervall ; die negative Fläche unterhalb der -Achse größer als die positive oberhalb ist. Daher ist die Gesamtfläche negativ

91 ABI 0-N ( ) : 5 t t einsetzeningliii: t t 7 t 0 Schnittgerade : t 7 7. a) SCHNITTPUNKT ttt t S/ /0 b) VARIABLER PUNKT auf der Geraden g: t P t/ t/t AB CD Abstand : d A B C ttt ttt 6t 9 Fallunterscheidung 6t 9 t P 0/5/ und P5 6/ / 6t 9 t 5 8. STOCHASTIK // / / / /... 6 / 6 / 6 P dreimal die gleiche Zahl P P P P a) b) P mindestens einmal größer P höchstens c) P Zahl kleiner als 66 P die ersten beiden Ziffern dürfen nicht gleichzeitig 6 sein Die Vektoren stehen aufeinander senkrecht und haben beide die Länge. Die Länge des Vektors a variiert zwischen 0 und, die Länge des Vektor b variiert zwischen + und -. Als Fläche ergibt sich ein Rechteck mit dem Flächeninhalt

92 ABI 05-H PFLICHTTEIL 05-H Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f( ) e 5. Aufgabe Berechnen Sie das Integral Aufgabe sin d. Lösen Sie die Gleichung e ( P) ( P) Aufgabe Der Graph einer ganzrationalen Funktionen f dritten Grades hat im Ursprung einen Hochpunkt und an der Stelle = die Tangente mit der Gleichung y. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f einer ganzrationalen Funktion f. f ' y Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. - - () Der Graph von f hat bei = - einen TP. () f( ) f( ). () f( ) f( ) () Der Grad der Funktion ist mindestens. (5 P)

93 Aufgabe 6 ABI 05-H Gegeben sind die drei Punkte A/0/, B0//und C 6/6/. a) Zeigen Sie, dass das Dreieck gleichschenklig ist. b) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ergänzt. Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt. Aufgabe 7 Gegeben ist die Ebene E:. a) Stellen Sie die Ebene in einem Koordinatensystem dar. b) Bestimmen Sie alle Punkte auf der Achse, die von E den Abstand haben. Aufgabe 8 Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit folgender Wahrscheinlichkeit angezeigt werden: Rot: 0% Grün: 0% Blau: 50% Das Glücksrad wird n-mal gedreht. Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft die Farbe Rot angezeigt wird. a) Begründen Sie, dass X binomialverteilt ist. Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X: k P X k , 0 0, 06 0, 0, 0, 0,7 0, 0, b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird. c) Entscheiden Sie, welcher der folgenden Werte von n der Tabelle zugrunde liegen kann: n 0, 5 oder 0. Aufgabe 9 Mit V d wird der Rauminhalt eines Körpers berechnet. 0 Skizzieren Sie diesen Sachverhalt und beschreiben Sie den Körper. = 0 P

94 ABI 05-H LÖSUNGEN f e e e e ( P). ( ) sin d cos e e ln ( P) f ( ) a b c d f ( ) a b c f(0) 0 d 0 f(0) 0 c0 Tangente f () 8a b f() ab a8 a 6b b0 b5 Damit ergibt sich die Funktionsgleichung f ( ) () Wahr, weil f an der Stelle = - eine NST mit VZW von nach + hat. 6. a) b) () Wahr, weil f im Intervall von - bis - monoton steigend ist. () Falsch, weil die Steigung bei = - Null und der Funktionswert bei = - gleich ist. Daher ergibt sich f( ) f( ) 0. () Wahr, weil f eine ganzrationale Funktion. Grades ist, muss die Stammfunktion mindestens den Grad haben. 6 AB AC 6 BC 0 AC BC 6 0 D C BA 6 D0// 0 oder D */0/ oder D ** / /6 (5 P) - 9 -

95 ABI 05-H SKIZZE D* A D Es gibt insgesamt drei B C mögliche Lösungen. D** 7. E : Skizze Beweglicher Punkt auf der Achse P 0/0/ t Abstand zur Ebene t 5 t t 5 t5 t 9 t5 t 8. P P 0/0/9 0/0/ a) X ist binomialverteilt, weil nur zwei Ausgänge (rot-nicht rot) betrachtet werden. b) PX PX 0,00,06 0, 0,79 79% c) bekannt : E X größter Wert und p 0,0 gesucht : n Ansatz : E n p E n 0 p 0, 0 y 9. Eine Gerade rotiert um die -Achse und erzeugt dabei in den Grenzen von = 0 bis = einen KEGELSTUMPF (siehe Skizze)

96 ABI 05-N PFLICHTTEIL 05-N Aufgabe 5 Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f( ). ( P) e Aufgabe Gegeben ist die Funktion f( ) e. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von f, die an der Stelle = den Funktionswert besitzt. Aufgabe Lösen Sie für 0 Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit die Gleichung sin sin f. ( ). Die Gerade g schneidet den Graphen von f im Punkt P / orthogonal. Der Graph von f und die Gerade g besitzen einen weiteren gemeinsamen Punkt Q. Berechnen Sie dessen Koordinaten. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. a) Geben Sie f (0) näherungsweise an. b) F ist eine Stammfunktion von f. Untersuchen Sie, an welchen Stellen im abgebildeten Bereich der Graph von F Hoch-, Tief- und Wendepunkte besitzt. c) Entscheiden Sie, welche der folgenden Funktionsgleichungen zur Funktion f gehört: f ( ) e f ( ) e f ( ) e f ( ) e Begründen Sie Ihre Entscheidung. y - ( P) (5 P) - 9 -

97 ABI 05-N Aufgabe 6 Gegeben sind die Ebene E und die Gerade g durch 5 E : 9 und g : t a) Bestimmen Sie die gegenseitige Lage von g und E. b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, die orthogonal zu E ist und g enthält. Aufgabe 7 Gegeben ist die Ebene E:. Die Ebene E ist parallel zu E. Der Punkt P5/ / liegt zwischen den beiden Ebenen und ist von E doppelt so weit entfernt wie E. Bestimmen Sie eine Gleichung von E. Aufgabe 8 In einer Urne liegen eine schwarze und vier blaue Kugeln. Nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig gezogen und zur Seite gelegt, bis man die schwarze Kugel erhält. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Man erhält spätestens beim zweiten Zug die schwarze Kugel. B: Man erhält die schwarze Kugel erst beim fünften Zug. b) Berechnen Sie, welche Anzahl an Ziehungen bei diesem Eperiment durchschnittlich zu erwarten ist. Aufgabe 9 Gegeben sind eine Ebene E und eine Gerade g, welche E schneidet. Die Ebene E stellt eine Spiegelfläche dar, die Gerade g einen Lichtstrahl, der auf die Spiegelfläche trifft und reflektiert wird. Beschreiben Sie, wie man eine Gleichung der Geraden erhält, die den reflektierten Lichtstrahl darstellt. = 0 P - 9 -

98 ABI 05-N LÖSUNGEN. f( ) 5e e 5 0e f( ) 5e e e (zuerst umformen, dann ableiten) ( P) ( ) F e d e c F e c c c () F e d e ( ) sin sin sin sin 0 Substitution : sin z z z 0 z und z Rücksubstitution : sin f f f m t ( ) ( ) () n K f Q Normale : m n y n : y 60 /,5 a) f (0) ( siehe Steigungsdreieck) ( P) b) F hat an der Stelle = einen TP, weil f dort eine Nst. mit VZW von nach + hat. F hat an der Stelle = einen WP, weil f dort einen TP hat. c) Die Fkt f hat bei = eine Nullstelle, daher entfällt f. Die Fkt f schneidet die y-achse im Pkt P(0/-), daher entfällt f. Die Fkt f strebt für gegen plus unendlich, daher ist f die gesuchte Funktion. (5 P)

99 6. Gegenseitige Lage: Punktprobe: ABI 05-N æ ö æ ö n a= - = -- = 0 g E ç- ç è ø è ø P 5// in E einsetzen 09 P E Daher verläuft g parallel zu E, liegt aber nicht in E. Eine Ebene F, die orthogonal zu E und g ist, wird durch den Normalenvektor von E und den Richtungsvektor von g aufgespannt, enthält außerdem den Stützpunkt von g. Somit ergibt sich F in Parameterform: 5 F: t s 7. Ebene E ist parallel zu E, d.h. beide Ebenen haben denselben Normalenvektor. Ein beliebiger Punkt Q auf E wird gewählt, z.b. Q(//0). Ein Punkt R auf E ergibt sich laut Skizze durch R p p Q 0 Q P R E E 7 E : n nr E: PA Ps Pb/ s Pb/ b/ b/ b/ s P B X Anzahl der Ziehungen, bis man eine schwarze Kugel erhält. Erkenntnis : Alle Fälle sind gleich wahrscheinlich. E X Zuerst bestimmt man den Schnittpunkt S von g mit E. Dann wählt man einen weiteren Punkt P auf g und spiegelt diesen an der Ebene E. Mit P und dem Normalenvektor von E stellt man die Lotgleichung auf, welche man anschließend mit E schneidet. Man erhält den Lotfußpunkt L. Verdoppelt man den Parameter von L und setzt den verdoppelten Wert in g ein, so erhält man den gespiegelten Punkt P*. Aus S und P* gewinnt man die Gleichung des reflektierten Strahls

100 ABI 06-H PFLICHTTEIL 06-H Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f ( ) 5 sin. Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f( ) 8 Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f mit F() =. Aufgabe Lösen Sie die Gleichung e. e Aufgabe Der Graph der Funktion f mit f. ( ) besitzt einen Wendepunkt. 6 Zeigen Sie, dass y eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt ist. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F einer Funktion f. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. y Graph von F ( P) ( P) () f () F() () () f( ) d. 0 f besitzt im Bereich eine Nullstelle. f F( ) () 0 - (5 P)

101 ABI 06-H Aufgabe 6 Gegeben ist die Gerade g: 0 t. a) Untersuchen Sie, ob es einen Punkt auf g gibt, dessen drei Koordinaten identisch sind. b) Die Gerade h verläuft durch Q(8/5/0) und schneidet g orthogonal. Bestimmen Sie eine Gleichung von h. (5 P) Aufgabe 7 Gegeben ist die Ebene E: 7 8. Es gibt zwei zu E parallele Ebenen F und G, die vom Ursprung den Abstand haben. Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung von F und G. Aufgabe 8 Bei einem Glücksrad werden die Zahlen,, und bei einmaligem Drehen mit folgender Wahrscheinlichkeit angezeigt: Zahl Wahrscheinlichkeit 0, 0, 0, 0, a) Das Glücksrad wird einmal gedreht. Geben Sie zwei verschiedene Ereignisse an, deren Wahrscheinlichkeit jeweils 0,7 beträgt. b) An dem Glücksrad sollen nur die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen und so verändert werden, dass das folgende Spiel fair ist: Für einem Einsatz von,50 darf man einmal am Glücksrad drehen. Die angezeigte Zahl gibt den Auszahlungsbetrag in Euro an. Bestimmen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen und. Aufgabe 9 Von zwei Kugeln K und K sind die Mittelpunkte M und M sowie die Radien r und r bekannt. Die Kugeln berühren einander von außen im Punkt B. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man B bestimmen kann. = 0 P

102 ABI 06-H LÖSUNGEN. f ( ) 5sin 5 cos ( P). 8 8 f ( ) 8 F( ) c F() c c c F( ) ( P). e e e Substitution u e e 0 uu 0 u u0 u und u u e 0 oder u e ln. f( ) f( ) f( ) 6 8 f( ) 0 0 w yw f() 6 m f() y yw mw y y 5. () Wahr, weil F() 0 und die Steigung f () 0 sind. () Falsch, weil 0 f( ) df() F(0), also nicht gleich ist. () Wahr, weil die Funktion F bei = 0 eine Wendestelle hat. Außerdem gilt, dass f F, die zweite Ableitung von F ist. () Falsch, weil F( ) 0 Steigung f (0) ist negativ f (0) 0. (5 P)

103 ABI 06-H 6. a) Wie man leicht sieht, ergibt sich für t = der Punkt P(//). b) Die Gerade h ist das Lot von Q auf die Gerade g: Hilfsebene durch Q, welche g orthogonal schneidet : 8 H : 5 H : 58 0 H g:t6t t 58 6t 5 t L(5/8/7) Gerade durch die Punkte Q und L : h: 5 t 58 h: 5 t h: 5 t Die gesuchten Ebenen F und G sind parallel zu E und haben daher denselben Normalenvektor wie E. Bezugspunkt für den Abstand ist der Ursprung O(0/0/0). 8. D D D 8 d 8 D D A B C F : 7 80 oder G : 7 80 a) Ereignis A: es erscheint keine. P A 0, 0,7 Ereignis B: es erscheint eine oder eine. PB 0, 0, 0,7 b) ERWARTUNGSWERT Zahl Wahrscheinlichkeit p p 0,0, 0, 0, faires Spiel : EX p0,5 p0,0,,5 p p0,9 0,8,5 p0, P 0, und P 0, 9. Man bestimmt zunächst den Richtungsvektor a M M Daraus bestimmt man den Einheitsvektor a a0, welcher die Länge hat. a Den Berührpunkt B erhält man durch r a oder mit r a. B M 0 B M

104 ABI 06-N PFLICHTTEIL 06-N Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f( ) cos Aufgabe. ( P) Gegeben ist die Funktion f ( ) e ;.. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f mit F(0) =. ( P) Aufgabe Lösen Sie die Gleichung 5 e 6e 5e 0. Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f( ) und g mit g ( ). Berechnen Sie die Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird. Aufgabe 5 a Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f mit f( ) c. b a) Geben Sie die Zahlenwerte von a, b und c an. b) Gegeben sind die Funktionen g und h durch g( ) f( ) und h( ) f( d). Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. Geben Sie den Wert von d an

105 ABI 06-N Aufgabe 6 Gegeben ist das lineare Gleichungssystem a b c 8 a b c 6 mit der Lösungsmenge ;;. Bestimmen Sie die Werte für a, b und c. Aufgabe 7 Die Gerade g verläuft durch den Punkt A 5/5/ und schneidet die Ebene E: 6orthogonal. Bestimmen Sie die beiden Punkte P und Q auf g, die von E doppelt so weit entfernt sind wie der Punkt A. Aufgabe 8 Die Zufallsvariable X kann die Werte 0; ; ; ; und 5 annehmen. Im nebenstehenden Diagramm ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X nur für die Werte 0; ; und dargestellt. a) Bestimmen Sie PX. b) Begründen Sie, dass PX 0, gilt. c) Der Erwartungswert von X beträgt,55. Bestimmen Sie PX und PX

106 Aufgabe 9 ABI 06-N Vertauscht man die Koordinaten von P //6 auf alle möglichen Arten, so ergibt sich zusammen mit P eine Menge von Punkten. a) Zeigen Sie, dass alle Punkte dieser Menge auf der Oberfläche einer Kugel liegen. b) Begründen Sie, dass alle Punkte dieser Menge in einer Ebene liegen. = 0 P LÖSUNGEN ( P). f ( ) cos f( ) cos sin.. F( ) e d e lnc F(0) 0 c c F( ) e d e ln 5 e 6e 5e 0 e e 6e 5 0 Substitution e z z z z und z : ln 5 Rücksubstitution : e / 0 ( P) f ( ) g( ) und /. : Fläche A d FE a) Zunächst ergibt sich : b und c ( wegen Polstelle / Asymptote). a a N /0 und f ( ) 0 a b) Abb. gehört zu g, weil der Graph von g aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der y-achse entsteht. Der Graph von h entsteht aus dem Graphen von f durch Verschiebung parallel zur -Achse. Dabei gilt d =

107 ABI 06-N 6. Werte einsetzen: a b 8 8 c c5 a 6b c 6 7. a b 8 8 a 6b 0 6 b b0 a 8 8 a 6 Lot von A auf E : 5 5 t ge 5t 5t t 6 t S 9// Q A S als Parameter von P wähle t 6 P 7/ / 5 als Parameter von Q wähle t Q /7/ 8. a) Aus dem Diagramm liest man ab: P X 0,050,0,5 0,5 P b) PX P X PX 0,5 0, 0,8 0,8 0, 0, c) Ansatz : P X P X 5 0, und E X,55 P X P X PX PX PX 50, ( ) PX 00, 05 0,0,5 0, 5 5,55 0 0,0, 7 0,9 5 5,55, 7 P X 5 5 0,85 P X P X siehe oben P X 5 5 0,85 P X P X 5 0,8 P X 5 0, 05 und P X 0,5 9. a) Bei Vertauschung der Koordinaten entstehen insgesamt! 6 Punkte. Die Ortsvektoren haben alle dieselbe Länge Damit liegen alle Punkte auf der Oberfläche einer Kugel um den Ursprung mit dem Radius 7. b) Drei Punkte bestimmen eine Ebene. Die Summe der Koordinaten ergibt stets. Somit liegen alle sechs Punkte in der Ebene E:

108 ABI 07-H PFLICHTTEIL Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit Aufgabe Lösen Sie die Gleichung e 5 e. cos f ( ). (,5 P) Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit f( ) ; 0. Berechnen Sie den Inhalt der markierten Fläche. Aufgabe Sind folgende Aussagen wahr? Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. () Jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt eine Etremstelle. () Jede ganzrationale Funktion vierten Grades hat eine Etremstelle. Aufgabe 5 Gegeben sind die Ebenen E : 6 und F : a) Stellen Sie die Ebene E in einem Koordinatensystem dar. b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F. c) Ermitteln Sie eine Gleichung einer Geraden, die in E enthalten ist und mit F keinen Punkt gemeinsam hat. (,5 P) (,5 P)

109 ABI 07-H Aufgabe 6 Gegeben sind eine Ebene E, ein Punkt P in E sowie ein weiterer Punkt S, der nicht in E liegt. Der Punkt S ist die Spitze eines geraden Kegels, dessen Grundkreis in E liegt und durch P verläuft. Die Strecke PQ bildet einen Durchmesser des Grundkreises. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die Koordinaten des Punktes Q bestimmen kann. Aufgabe 7 In einer Urne liegen drei rote, zwei grüne und eine blaue Kugel. Es werden so lange nacheinander einzelne Kugeln gezogen und zur Seite gelegt, bis man eine rote Kugel erhält. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man höchstens drei Kugeln zieht. (,5 P) = 0 P

110 ABI 07-H LÖSUNGEN. f ( ) cos f ( ) cos sin. e 5e e e 5 0 (,5 P) Substitution e z z z z und z : Rücksubstitution : e ln 5 keine weitere Lösung. Schnittstelle : f ( ) Fläche : A d FE. () Die Aussage ist falsch. Es genügt ein Gegenbeispiel: Die Funktion f ( ) hat bei = 0 eine Nullstelle, besitzt aber keine Etremstelle. () Dier Aussage ist wahr. Als Ableitung der Funktion erhält man eine ganzrationale Funktion. Grades, welche mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. Also besitzt die Ausgangsfunktion mindestens eine Etremstelle. 5. a) ZEICHNUNG ( P) (,5 P) ( P)

111 ABI 07-H : b) F Lineares Gleichungssystem 6 t 6t 6t 6t 6 Schnittgerade s: 0 t 6 c) Die gesuchte Gerade g muss parallel zur Schnittgerade s verlaufen und gleichzeitig in der Ebene E: 6 liegen. ( P) 6. 6 P6/0/0 liegt in E g : 0 t 0 6 Man fällt zunächst das Lot von der Kegelspitze S auf die Ebene E. Indem man das Lot mit der Ebene E schneidet, erhält man den Lotfußpunkt F, welcher gleichzeitig der Mittelpunkt M des Kegel-Kreises ist. Dann spiegelt man den Punkt P an M und erhält den Punkt Q: Q M PM (,5P) 7. Spätestens beim vierten Zug zieht man eine rote Kugel, weil es nur drei Kugeln gibt, welche nicht rot sind. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis beträgt Für das Gegenereignis gilt: Phöchstens drei Züge p p. 0 0 (,5 P) = 0 P

112 FORMELSAMMLUNG zur VEKTORRECHNUNG EBENENGLEICHUNGEN Koordinatenebenen und Parallelebenen Ebene : 0 und c Ebene : 0 und a Ebene : 0 und b Achsenabschnittsform a b c Spurpunkte zum Zeichnen / /, / /, / / S a 0 0 S 0 b 0 S 0 0 c Achsenschnittpunkte werden abgelesen. Koordinatenform A B C D 0 für D 0 Ursprungsebene Parameterform 0 s0 t0 a b Richtungsvektoren darf man kürzen. Normalenvektor der Ebene P A n n a b B C Normalform der Ebenengleichung n( ) 0 n n 0 0 A B n0 D C A B C D 0 Hesse-Normal-Form A B C D A B C E 0 A B C GERADENGLEICHUNGEN Parameterform g: 0 t0 a Den Richtungsvektor darf man kürzen. Lot auf eine Ebene Lot t n : P Spurgeraden 0 B C D 0 0 A C D 0 0 A B D 0 Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen. Achsen Achse : t0 0 0 Achse : t 0 0 Achse : t0 senkrecht stehen : parallel sein :! ab 0! a kb WINKEL Gerade Gerade ab cos a b Ebene - Ebene n n cos n n Gerade Ebene an sin a n BETRAG = Länge eines Vektors a a a a P A n B C E

113 FORMELSAMMLUNG zur VEKTORRECHNUNG ABSTÄNDE Punkt A Punkt B AB AB a b a b a b MITTELPUNKT einer Strecke M B A a b a b a M,, b Punkt P Ebene E (gilt auch für den Abstand zwischen parallelen Ebenen) d n a A p B p a A Ursprung Ebene E d A F B D B C p C C D windschiefe Geraden g und g g: 0 sa h: P tb n ab Hilfsebene : 0 n 0 H : A B C D0 Ap Bp Cp D d A B C Punkt P- Gerade g Stelle eine Hilfsebene H : n np auf und schneide die Gerade g mit H. Man erhält den Lotfußpunkt F. d PF P P 0 g SCHNITTPUNKTE Gerade Ebene g komponentenweise einsetzen in E (in Koordinatenform) Gerade Gerade t g und g komponentenweise gleichsetzen System mit Gleichungen und Unbek. aus Zeilen berechne s und t, für die. Zeile mache die Probe. Falls kein Widerspruch S SCHNITTGERADE Ebene - Ebene.Mögl.: Lasse zunächst eine Variable herausfallen. Dann setze z.b..mögl.: S S t und E (Koordinatenform) und E (Koordinatenform): Je zwei entsprechende Spurgeraden schneiden S und S g.mögl.: E (Parameterform) einsetzen in E (Koordinatenform) s atb einsetzen in E g in Parameterform.. Mögl.: a n n und S g g - 0 -

114 FORMELSAMMLUNG zur VEKTORRECHNUNG GEGENSEITIGE LAGE von Geraden windschief a b, d. h. verschiedene Richtungen und kein Schnittpunkt Schnitt a b, d. h. verschiedene Richtungen und ein Schnittpunkt eistiert parallel a b,d. h. gleiche Richtung und P, liegt nicht auf g, (Punktprobe) identisch a b, d.h. gleiche Richtung und P, liegt auf g, (Punktprobe) SONSTIGE FORMELN Flächen ADreieck g h Sonderfall ADreieck a b oder absin A a b oder absin A Parallelogr Trapez A Raute a c h e f AKreis r und U Kreis r Volumen ( ab) c VPyramide Gh oder 6 ( ab) c NORMIERUNG eines Vektors Wird ein Vektor durch seine Länge geteilt, erhält man den entsprechenden Einheitsvektor mit der Länge. Dieser heißt normierter Vektor. a VEKTOR a a a LÄNGE a a a a a NORMIERT a0 a a a a a PUNKTPROBE Beim Einsetzen eines Punktes P in eine Geradengleichung müssen sich gleiche Parameterwerte ergeben,, wenn P auf g liegen soll sonst liegt P nicht auf g. BEWEGLICHER PUNKT Liegt ein Punkt P auf einer Geraden g, so kann man die Koordinaten des Punktes mit Hilfe des Parameters t als variable Koordinaten darstellen. BEISPIEL g: 5 t P t/ 5t/ t Spatvolumen V Gh oder ( a b) c SPAT - -