GANZRATIONALE FUNKTIONEN 2. und 3. Grades

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1 GANZRATIONALE FUNKTIONEN. und. Grades oder PARABELN. und. ORDNUNG H W N T. Klasse, 0 Jens Möller Owingen Tel 07-9 jmoellerowingen@aol.com

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3 INHALT Seiten Die wichtigsten Ergebnisse der letzten Epoche 0 Parabel. Ordnung und deren. Ableitung 0 Parabel. Ordnung und deren. Ableitung 0 EXTREMPUNKT einer Kurve 07 MR-Aufgabe 00 0 WENDEPUNKT / Wendetangente /. Ableitung PAPPSCHACHTEL KURVENSCHAREN und ORTSKURVEN MR-Aufgabe 00 mit Kurvenschar und Ortskurve MR-Aufgabe 00 mit Kurvenschar und Ortslinie 0 Kurvenscharen und Ortskurven MINI-MAX-AUFGABEN UMFANG UND FLÄCHE 0 MR-Aufgabe 000 mit Mini-Ma-Aufgabe SCHEMA: Funktion und ihren Ableitungen FUSSBALLFELD MR-Aufgabe 999 mit Mini-Ma-Aufgabe GERADENSCHAR und Parabel MR-Aufgabe 99 mit Geradenschar Mini-Ma-Aufgabe optimale KONSERVENDOSE MR-Aufgabe SCHNITTWINKEL zwischen Kurven MAXIMALER ABSTAND MR-Aufgabe 99 mit Mini-Ma-Aufgabe Klassenarbeiten weitere MR-Aufgaben FORMELSAMMLUNG am ENDE

4 DIE WICHTIGSTEN ERGEBNISSE DER LETZTEN EPOCHE PARABELGLEICHUNG a ² b c ABLEITUNG / STEIGUNG a b die Hochzahl herunterschießen ZUSAMMENHANG m KURVENTANGENTE m( ) Punkt Richtungs Form SCHEITELPUNKT 0 waagerechte Tangente mit m 0. NULLSTELLEN 0 Gleichung der Achse. PUNKT AUF -ACHSE 0 Gleichung der Achse. FORMELSAMMLUNG am Ende des Skriptes. - -

5 AUFGABE A Gegeben ist die Parabel p mit der Gleichung und die Gerade c mit der Gleichung. Berechne die Schnittpunkte der Parabel mit der -Achse. Berechne die beiden Schnittpunkte A und B der Parabel p mit der Geraden c. Bestimme die beiden Parabeltangenten in den Punkten A und B. Dazu bilde die. Ableitung der Parabelfunktion. Damit bestimme jeweils die Steigung an der Stelle A bzw. B. Mit der Punkt-Richtungs-Form wird dann die Tangentengleichung aufgestellt. Berechne den Schnittpunkt C der beiden Tangenten t A und t B. Gegeben ist der Punkt F(0/) und die Gerade f mit der Gleichung =. Vom Punkt F aus wird das Lot auf die Tangente t A gefällt. Bestimme die Gleichung des Lotes. In welchem Punkt E schneidet das Lot die Gerade f? Ebenso wird vom Punkt F aus das Lot auf die Tangente t B gefällt. Bestimme die Gleichung des Lotes. In welchem Punkt G schneidet das Lot die Gerade f? Zeichne die Parabel p, die Geraden c und f sowie die Tangenten t A und t B. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks EFG. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. 9 7 C E G A F - - B

6 LÖSUNGEN A Nullstellen Schnittpunkte Tangenten 0 N ( /0) N (/0) A( /) B(/0) m ( ) ( ) ( ) A m () 0 () B Schnittpunkt C(/) Lote mlot und F(0/) mb m und F(0/) mb Schnittpunkt E E( /) Schnittpunkt G G(/) lot Fläche EFG A g h... FE Fläche ABC A [ ( ) ( ) ( )]..., FE - -

7 AUFGABE B Gegeben ist die Parabel p mit der Gleichung und der Punkt A(-/-). Zeige, dass A auf p liegt. Mache die Punktprobe. Berechne die Schnittpunkte der Parabel mit der -Achse. Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel. Gegeben ist der Punkt F(/). Bestimme die Gleichung der Geraden c, die durch A und F geht. Die Gerade c schneidet die Parabel p außer in A auch noch in einem Punkt B. Bestimme die Koordinaten von B. Stelle in A und in B die Tangentengleichungen auf. Bestimme den Schnittpunkt C der beiden Tangenten. Zeige, dass sich die Tangenten rechtwinklig schneiden. Von C aus soll das Lot auf c gefällt werden. Bestimme die Lotgleichung. Bestimme den Lotfußpunkt. Wie lang ist das Lot? 0 C Leitgerade B F - 0 A - - -

8 LÖSUNGEN B Punktprobe erfüllt A p Nullstellen N(-, 9 / 0) und N( 0, 9 / 0 ) Scheitel 0 S( / ) Gerade c: Schnittpunkt B /, Tangenten t : und t : -, Schnittpunkt C ( / ) A B Nachweis m m ( ) rechtwinklig Lot 9 Lotfußpunkt L( / ) Länge d LE - -

9 PARABEL. ORDNUNG AUFGABE C Gegeben ist eine Parabel. Ordnung durch die Funktionsgleichung 0 Bestimme die Nullstellen der Kurve. ( ) ( ). Zeichne die Kurve mithilfe einer Wertetabelle im Bereich. Bestimme die. Ableitung der Funktion [durch Herunterschießen der Hochzahl]. Bestimme die Etrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt) der Kurve. Zeichne die Etrempunkte ein und markiere sie durch eine waagerechte Tangente. Bestimme die Tangentengleichungen in allen Nullstellen. Im Schaubild unten ist außer der Kurve auch das Bild der. Ableitung (punktiert) eingezeichnet. Welchen Zusammenhang kann man entdecken? H T - -

10 LÖSUNGEN C NULLSTELLEN ( )( ) 0 der Faktor 0. Faktor = N (0/0). Faktor = 0 0 N ( /0). Faktor = 0 0 N (/0) kann weggelassen werden. WERTETABELLE , 0 -, -, - -, 0, Mache eine Zeichnung.. Ableitung ( 0) , 0, 0 0 Etrempunkte Am Etrempunkt ist die Steigung gleich Null. Also setzt man 0 0, 0, 0, ( ) 0, 0, 0, 0 /,0 und, 0 einsetzen in die Funktionsgleichung -Werte (,0) (,0 ) (,0 )... 0,0 0 Zeichnung Tangenten,0 (,0 ) (,0 )...,00 0 Hochpunkt: H(-,0/0,0) Tiefpunkt: T(,0/-,00) Etrempunkte mit waagerechter Tangente einzeichnen für N ( /0) m ( ) 0, ( ) 0, ( ), 0, (),, ebenso für N(0/0) für N (/ 0), 7, Zeichnen kann man die Tangenten mithilfe eines Steigungsdreieckes, das man vom Berührpunkt ausgehend abträgt. GESETZ Wo die. Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt die Kurvenfunktion eine waagerechte Tangente, also einen Etrempunkt

11 PARABEL. ORDNUNG AUFGABE D Gegeben ist eine Parabel. Ordnung durch die Funktionsgleichung Bestimme die Nullstellen der Kurve. ( ) ( ). Zeichne die Kurve mithilfe einer Wertetabelle im Bereich. Bestimme die. Ableitung der Funktion. Bestimme die Etrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt) der Kurve. Zeichne die Etrempunkte ein und markiere sie durch eine waagerechte Tangente. Bestimme die Tangentengleichungen in allen Nullstellen. Zeichne auch das Schaubild der. Ableitung ein. Welchen Zusammenhang zwischen Kurve und. Ableitung kann man entdecken? H T - -

12 LÖSUNGEN D FUNKTION ABLEITUNG NULLSTELLEN N ( /0) N (0/0) N (/0) ablesen. EXTREMPUNKTE 0 H(, /,) T(,/ 0, ) TANGENTEN und und, ZEICHNUNG GESETZ Wo die. Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt die Kurvenfunktion eine waagerechte Tangente, also einen Etrempunkt

13 AUFGABE E MR-00 Gegeben ist eine Funktion. Grades mit der Gleichung. a) Das Schaubild der Funktion ist die Kurve K. Berechne die Funktionswerte (-Werte) für alle ganzzahligen -Werte im Bereich. (Erstelle eine Wertetabelle.) Bestimme die Koordinaten der Etrempunkte. Zeichne die Kurve K mitsamt den beiden Etrempunkten in ein rechtwinkliges Koordinatensstem ein. Wähle LE = cm. (Die Achsen müssen ausreichend beschriftet sein.) b) Weiterhin ist die Gerade g mit der Gleichung gegeben. Zeichne die Gerade in dasselbe Koordinatensstem ein. Berechne die Schnittpunkte von K mit g. Zeige, dass g Tangente an K ist. Es gibt eine weitere Tangente t an K, die parallel zu g ist. Berechne die Koordinaten des Berührpunktes. c) * * * Alle Geraden einer Geradenschar mit der Steigung m gehen durch den Punkt P(0/). Berechne die -Koordinaten der Schnittpunkte der Geradenschar mit dem Schaubild K in Abhängigkeit von m. Berechne die beiden Werte von m, für die Geraden der Schar Tangente an K sind

14 LÖSUNGEN E a) HP(0,7/,09) TP(,/0,9) WP(/) [den Wendepunkt hier noch weglassen] t A W B t t - - b) SCHNITTPUNKTE S( 0 / ) und S/ ( /, ) Berührpunkt B g ist Tangente im Punkt B(/,), weil dort zwei Schnittpunkte zusammenfallen. t?: m B und A A (/,7) t berührt die Kurve in A(/,7) und hat die Steigung m : t :, c) Tangente in P(0/): m b und m b t : (0) SCHNITTPUNKTE m 0 und / m TANGENTEN 0 m (bekannt) (0) Zwei Schnittpunkte fallen zusammen, wenn die Wurzel gleich Null ist : BERÜHRPUNKT m 0 m t: / - -

15 PARABEL. ORDNUNG BESTIMMUNG DES WENDEPUNKTES AUFGABE F Gegeben ist eine Parabel. Ordnung durch die Funktionsgleichung Bestimme die Nullstellen der Kurve. ( ) ( ) Bestimme die. Ableitung der Funktion.. Bestimme die Etrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt) der Kurve. Zeichne die Etrempunkte ein und markiere sie durch eine waagerechte Tangente. Zeichne die Kurve mithilfe einer Wertetabelle im Bereich. Die Funktionsgleichung der. Ableitung lautet 9 Das Schaubild der. Ableitung ist eine Parabel. Ordnung. Wo hat diese Parabel ihre Nullstellen? Bestimme den Scheitelpunkt (Etrempunkt) der Parabel. Zeichne auch das Schaubild der. Ableitung in das vorhandene Koordinatensstem ein. Mache dazu eine Wertetabelle. WAS KANN MAN ENTDECKEN? Wenn die Kurve einen Etrempunkt hat, besitzt das Schaubild der. Ableitung eine Nullstelle. Wenn die Kurve einen Wendepunkt hat, besitzt das Schaubild der. Ableitung einen Etrempunkt. Also kann man den Wendepunkt einer Kurve bestimmen, indem man die Etremstelle der. Ableitung berechnet. Rechnerisch geht das so: Man hat die Funktionsgleichung für Daraus bildet man die. Ableitung Um die Etremstelle von zu bestimmen, muss man nochmals ableiten. So erhält man, setzt 0 und bekommt dann die -Koordinate vom Wendepunkt. - -

16 LÖSUNGEN F NULLSTELLEN Da die Funktion in Produktform gegeben ist, können die Nullstellen abgelesen werden. N ( / 0) und N /(/ 0), die zweite Nullstelle zählt doppelt, weil der Faktor ( ) in der Funktionsgleichung quadratisch vorkommt. FUNKTION ()( 9) ( 9 7) ( 97) 9 7 ABLEITUNG EXTREMPUNKTE Werte einsetzen H( / ) und T(/ 0) WERTETABELLE , 0,,7 0, 0 0,7 H W N - - T - PARABEL - N( /0),N(/0) Rechnung wie oben, sie muss nicht doppelt gemacht werden. Bilde, setze 0 Parabelscheitel S /, - - 0,7 0 -, -, -, 0,7 - -

17 BESTIMMUNG DES WENDEPUNKTES W Man bestimmt die. Ableitung der Funktion und setzt diese anschließend gleich Null. (siehe vorhergehende Seite) 9 7 (siehe vorhergehende Seite) Wert in die Funktionsgleichung einsetzen W W(/) W BESTIMMUNG DER WENDETANGENTE w 9 9 Steigung am Wendepunkt: m ( ) ( ), W Punkt-Richtungs-Form: m( ) mit W / W W, ( ) w:,, Jetzt kann die Wendetangente eingezeichnet werden. AUFGABE G Gegeben ist eine Parabel. Ordnung durch die Funktionsgleichung ( ) ( ) 0. Bestimme die Nullstellen der Kurve. Bestimme die. Ableitung der Funktion. Bestimme die Etrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt) der Kurve. Zeichne die Etrempunkte und markiere sie durch eine waagerechte Tangente. Bestimme die. Ableitung der Funktion. Bestimme den Wendepunkt der Kurve. Bestimme die Gleichung der Wendetangente. Zeichne die Wendetangente. Zeichne die Kurve mithilfe der berechneten Wert und einer ergänzenden Wertetabelle im Bereich. Zeichne auch das Schaubild der. Ableitung (Parabel) in das vorhandene Koordinatensstem ein. Bestimme die Gleichung der Parabeltangente in der Nullstelle N(-/0). Was fällt auf? - -

18 LÖSUNGEN G NULLSTELLEN N ( / 0) und N /( / 0), die zweite Nullstelle zählt doppelt. FUNKTION ( )( )...,, 0 0. ABLEITUNG 0, EXTREMPUNKTE 0 H( /, ) und T( / 0). ABLEITUNG WENDEPUNKT 0 W(0/,) WENDETANGENTE w:,, einzeichnen. WERTETABELLE fehlende Werte ergänzen ,, 0 PARABEL 0, TANGENTE m ( ), t:,, AUFFÄLLIG Die Tangente t ist parallel zur Wendetangente w. H W N T - -

19 WIEDERHOLUNG AUFGABE G- Gegeben ist eine Parabel. Ordnung durch die Funktionsgleichung () () ( ). Bestimme die Nullstellen der Kurve. Schreibe die Funktion in Summenform. Bestimme die. Ableitung der Funktion. Bestimme die Etrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt) der Kurve. Zeichne die Etrempunkte und markiere sie durch eine waagerechte Tangente. Bestimme die. Ableitung der Funktion. Bestimme den Wendepunkt der Kurve. Bestimme die Gleichung der Wendetangente. Zeichne die Wendetangente. Welchen Winkel bildet die Wendetangente mit der Waagerechten? Zeichne die Kurve mithilfe der berechneten Wert und einer ergänzenden Wertetabelle im Bereich 9. Zeichne auch das Schaubild der. Ableitung (Parabel) in das vorhandene Koordinatensstem ein. Bestimme die Koordinaten des Parabelscheitels. Welchen Abstand hat der Scheitel vom Koordinatenursprung? Welche Steigung hat die Parabeltangente in der linken Nullstelle? Verläuft die Parabeltangente parallel zur Wendetangente? - -

20 LÖSUNGEN G- NULLSTELLEN N ( / 0) und N ( / 0) und N ( / 0) FUNKTION ( ) ( ). ABLEITUNG EXTREMPUNKTE 0 H(, /,9) und T(, /,9). ABLEITUNG WENDEPUNKT 0 W( / 0) ist auch Nullstelle. WENDETANGENTE w: einzeichnen. WINKEL tan m 7, WERTETABELLE PARABEL fehlende Werte ergänzen. SCHEITEL S/ ABSTAND d, LE TANGENTE m,, 7 die Tangenten sind nicht parallel. Die Wendetangente verläuft steiler. H W S T - 7 -

21 WIEDERHOLUNG AUFGABE G- Gegeben ist eine Parabel. Ordnung durch die Funktionsgleichung ( ). Bestimme die Nullstellen der Kurve. Schreibe die Funktion in Summenform. Bestimme die. Ableitung der Funktion. Bestimme die Etrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt) der Kurve. Zeichne die Etrempunkte und markiere sie durch eine waagerechte Tangente. Bestimme die. Ableitung der Funktion. Bestimme den Wendepunkt der Kurve. Bestimme die Gleichung der Wendetangente. Zeichne die Wendetangente. Welchen Winkel bildet die Wendetangente mit der Waagerechten? Zeichne die Kurve mithilfe der berechneten Wert und einer ergänzenden Wertetabelle im Bereich 9. Bestimme die Kurventagente t in der rechten Nullstelle. Es gibt noch eine zweite Kurventangente, die parallel zu t ist. Bestimme ihren Berührpunkt und ihre Gleichung. Die. Ableitung hat als Schaubild eine Parabel. Welche Koordinaten hat der Scheitel der Parabel? - -

22 LÖSUNGEN G- NULLSTELLEN N ( / 0) und N /(0 / 0) Berührpunkt FUNKTION. ABLEITUNG EXTREMPUNKTE 0 H(, /, 7) und T(0 / 0). ABLEITUNG WENDEPUNKT 0 W( / ) 7 WENDETANGENTE w : oder, einzeichnen. 7 WINKEL tan m, WERTETABELLE fehlende Werte ergänzen. TANGENTE t : PARALLELE 0 N / 0 B / / 7 0 TANGENTE t : oder, 9 7 PARABEL SCHEITEL S / H t B W t T S N - 9 -

23 MINI-MAX-AUFGABE Aus einem quadratischen Stück Pappe mit der Seitenlänge a = cm soll ein offenes Kästchen hergestellt werden. An den Ecken der Pappe werden dazu quadratische Stückchen mit der Seitenlänge herausgeschnitten. Für welchen Wert von ergibt sich ein Kästchen mit maimalem Volumen? Mache eine geeignete Skizze. Stelle die Volumenfunktion auf. Wo besitzt das Volumen seinen maimalen Wert. Zeichne das Schaubild der Volumenfunktion in einem rechtwinkligen Koordinatensstem mit Hilfe einer Wertetabelle für 0. Auf der senkrechten Achse wähle einen geeigneten Maßstab. Skizze Quadrat mit Seitenlänge cm und der Einschnitttiefe - - Funktionsgleichung aufstellen Volumen = Grundfläche mal Höhe cm < > V ( ) (7 9 ) 9 7. Ableitung V 9 7 Bestimmung des Maimums und Minimums V : 0 / cm und cm Da das Volumen bei einer Einschnitttiefe von = cm Null ist, ist = cm die gesuchte Einschnitttiefe für ein maimales Volumen

24 SCHAUBILD DER VOLUMENFUNKTION 000 Volumen V V ma 00 Einschnitttiefe ma V min AUFGABE H Aus einem rechteckigen Stück Pappe mit den Seitenlänge a = 0cm und b = 0cm soll ein offenes Kästchen hergestellt werden. An den Ecken der Pappe werden dazu quadratische Stückchen mit der Seitenlänge herausgeschnitten. Für welchen Wert von ergibt sich ein Kästchen mit maimalem Volumen? Mache eine geeignete Skizze. Stelle die Volumenfunktion auf. Wo besitzt das Volumen seinen maimalen Wert. Zeichne das Schaubild der Volumenfunktion in einem rechtwinkligen Koordinatensstem mit Hilfe einer Wertetabelle für 0. Auf der senkrechten Achse muss man einen verkleinerten Maßstab wählen. 00 Volumen V Ergebnis ma =,cm V ma = 9, cm³ V ma 0-0 Einschnitttiefe ma

25 AUFGABE I MR-00 Gegeben ist eine Funktion. Grades mit der Gleichung. 0 a) Das Schaubild der Funktion ist die Kurve K. Bestimme die Koordinaten der Etrempunkte. Bestimme die Koordinaten des Wendepunktes. Bestimme die Gleichung der Wendetangente. Berechne die Funktionswerte (-Werte) für alle ganzzahligen -Werte im Bereich 0. (Erstelle eine Wertetabelle.) Zeichne die Kurve K samt Wendepunkt, Wendetangente und Etrempunkten in ein rechtwinkliges Koordinatensstem ein. Wähle LE = cm. (Die Achsen müssen ausreichend beschriftet sein.) b) Eine Gerade g geht durch den Kurvenpunkt P(0/) und den Wendepunkt W(/) von K. Stelle die Geradengleichung auf. Die Parallele zur -Achse durch P schneidet K in zwei weiteren Punkten S( /) und S( /) mit. Bestimme S. Die Tangente an K in S schneidet g in R. Stelle die Tangentengleichung auf. Bestimme den Punkt R. Berechne den Flächeninhalt des Dreieckes PSR. c) * * * Eine Kurvenschar hat die Gleichung Ihr Schaubild sei K a. a a Berechne die Koordinaten der Wendepunkte von K a für alle Werte von a. Zeige, dass alle Wendepunkte auf der Kurve mit der Gleichung liegen. - -

26 LÖSUNGEN I a) 7 H(,7/,) T(,/0,) W(/) w: 0 Wertetabelle nur fehlende Punkte ergänzen 0 0 Zeichnung 9 7 w H R g W t P S T - b) g: Parallele durch P: = - Parallele K 0 ( 9 0) 0 S (/) Tangente in S t: 7 t g: 9 R( / ) R(, /,) gh Fläche: A...,9 FE 9 c) * * * a a a setze a 0 0a W einsetzen in Fkt-Gleichung. a W( a/ a ) W 7 7 ORTSKURVE a einsetzen für a a () d.h. alle Wendepunkte der Kurvenschar liegen auf der Parabel. Ordnung: - -

27 AUFGABE J MR-00 Gegeben ist eine Funktion. Grades mit der Gleichung. 9 a) Das Schaubild der Funktion ist die Kurve K. Bestimme die Koordinaten der Etrempunkte. Bestimme die Koordinaten des Wendepunktes. Bestimme die Gleichung der Wendetangente. Prüfe, ob der Punkt P(,/) auf K liegt. (Mache die Punktprobe) Berechne die Funktionswerte (-Werte) für alle noch fehlenden ganzzahligen -Werte im Bereich. Zeichne die Kurve K samt Wendepunkt, Wendetangente und Etrempunkten in ein rechtwinkliges Koordinatensstem ein. Wähle LE = cm. (Die Achsen müssen ausreichend beschriftet sein.) b) Die Tangente an K im Hochpunkt H schneidet K im Punkt S( /). Bestimme S. Die Gerade g geht durch die Punkte S und den Wendepunkt W. Bestimme die Gleichung von g. Die Wendetangente von K, die Gerade und g bilden ein Dreieck. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. c) * * * Eine Kurvenschar ist gegeben durch die Gleichung a ( ) mit a 0. (d.h. a ist immer positiv.) Berechne die Etrempunkte in Abhängigkeit von a und zeige, dass alle Kurven der Schar den gleichen Tiefpunkt haben. Zeige weiterhin, dass alle Hochpunkte der Schar auf der -Achse liegen. - -

28 LÖSUNGEN J a) Punktprobe für P : H(0/) T(/0) W(/) w:, 7,,, 9, P liegt nicht auf K ,9,0 0,9 0, H S P W T A b) TANGENTE = S(/) g:, w:, 7, senkrechte Gerade: = A(/-) gh FLÄCHE A... FE c) KURVENSCHAR a ( ) a ( ) Werte berechnen: HP(0/a) liegen auf der -Achse mit der Gleichung = 0. TP(/0) ist ein fester Punkt. - -

29 KURVENSCHAREN UND ORTSKURVEN Bei einer Kurvenschar ist in der Funktionsgleichung ein Parameter enthalten. Dieser kann mit den Buchstaben a, t oder k bezeichnet werden. Ein Parameter ist neben den Variablen und eine zusätzliche Veränderliche. Indem man für den Parameter verschiedene Zahlen einsetzt, erhält man verschiedene Kurven. Beispiel Aus einem quadratischen Stück Pappe mit der Kantenlänge a soll eine Schachtel hergestellt werden. V a (a) (a a ) a a Je nach Wahl der Kantenlänge ergibt sich eine andere Volumenfunktion. Für a = : Für a = : V V 0 Für a = 0: V usw. Nun kann man mehrere Kurven in ein Koordinatensstem einzeichnen und erhält so ein Bild der Kurvenschar. 0 V a = a = 7 a = a =

30 ORTSLINIEN UND ORTSKURVEN Wie man sieht, bewegt sich der Tiefpunkt der Kurvenschar auf der -Achse. Die Ortslinie ist also die -Achse mit der Gleichung = 0. Der Hochpunkt der Kurvenschar bewegt sich auf einer Ortskurve, deren Gleichung noch bestimmt werden muss. Ebenso vollzieht sich die Bewegung des Wendepunktes auf einer Ortskurve, deren Gleichung noch bestimmt werden muss. RECHNUNG ZUR BESTIMMUNG DER ORTSKURVEN VON TP UND HP V a a V a a V a V 0 V aa aa 0 a a a a a a a a a / -Werte bestimmen: a ( a ) ( a ) a ( a ) a a a a a³ a³ a³ 0 ( ) ( ) a ( ) a a³ a a a a a a a a³ a³ a³ 7 Tiefpunkt: Ortslinie der Tiefpunkte: a T( / 0) Hochpunkt: H( / a³) a 7 a T( /0) 0 [ Achse], alle Tiefpunkte liegen auf der -Achse. Ortskurve der Hochpunkte: a a H( / 7a³) a a ³ einsetzen für a³ ³ 7 7 Ortskurve: einzeichnen 0 V HP 0 WP 0 a = a = 7 0 a = a = 0 - Aufgabe [selbstständig bearbeiten]: Bestimme die Koordinaten des Wendepunktes und anschließend die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte. a (Ergebnis: W( / 7a³) Ortskurve ³ ) - 7 -

31 AUFGABE K [Wiederholung] a) Gegeben ist eine Parabel. Ordnung durch die Gleichung 7. Ihr Schaubild sei K. Bestimme die Nullstellen der Kurve. Bestimme die Hoch- und Tiefpunkte der Kurve. Bestimme die Koordinaten des Wendepunktes. Stelle die Gleichung der Wendetangente auf. Zeichne K samt Wendetangente im Bereich 0. Wähle LE = cm. b) Kurvenschar Gegeben ist folgende Kurvenschar K a mit der Gleichung: mit a > 0. a 7a Bestimme die Ortskurve der Wendepunkte, d.h. auf welcher Kurve liegen alle Wendepunkte? c) Gegeben ist eine Parabel. Ordnung mit der Gleichung. Ihr Schaubild sei C. Bestimme die Schnittpunkte von K mit C. Zeichne C mit Hilfe einer Wertetabelle in das vorhandene Koordinatensstem ein. Wähle. 9 ² d) Die Normale n, die im Wendepunkt W auf der Wendetangente t senkrecht steht, die Tangente t und die -Achse spannen zusammen ein Dreieck auf. Bestimme den Flächeninhalt von diesem Dreieck. Stelle zunächst die Gleichung der Normalen auf. Berechne anschließend die Nullstellen von n und t. Zeichne die Normale ein. - -

32 LÖSUNGEN K a) Funktion: Ableitungen: Nullstellen: ausklammern 7 und N N ( ) 0 0 / 9 (0/0) /(9/0) Etrempunkte: Werte : ² 7 0 / HP(/) () 7 9 ebenso: (9)... 0 T(9 / 0) Wendepunkt: 0 0 WP(/) 9 Wendetang.: t: C K W b) n t Kurvenschar Funktion: a 7a Ableitungen: a 9a 9a a Wendepunkt: oder a 9a w w f ( ) ( ) ( ) a a a a w a w 7a w 7a 9a 7 a a a a a a a 9 W a a ( / ) - 9 -

33 Ortskurve W( a/ a ) a a a 9 a einsetzen in a c) Schnittpunkte: ² ³ 9 ² 0 ausklammern d) ( ² 9) 0 S (0 / 0) S ( / ) S (,/ 0,) Normale: ( ) n: Tangente t: Nullstellen: 0 0 N /0 0 0 N /0 Fläche: A gh ( ) 0 FE h w Ortskurve 9-0 -

34 AUFGABE L [Wiederholung] a) Gegeben ist eine Parabel. Ordnung durch die Gleichung. Ihr Schaubild sei K. Bestimme die Nullstellen der Kurve. Bestimme die Hoch- und Tiefpunkte der Kurve. Bestimme die Koordinaten des Wendepunktes. Stelle die Gleichung der Wendetangente auf. Zeichne K samt Wendetangente im Bereich 0. Wähle LE = cm. b) Kurvenschar Gegeben ist folgende Kurvenschar K a mit der Gleichung: mit a > 0. a a a a Bestimme die Koordinaten der Wendepunkte. Bestimme die Ortskurve der Wendepunkte, d.h. auf welcher Kurve liegen alle Wendepunkte? c) Gegeben ist eine Parabel. Ordnung mit der Gleichung ². Ihr Schaubild sei C. Bestimme die Schnittpunkte von K mit C. Zeichne C mit Hilfe einer Wertetabelle in das vorhandene Koordinatensstem ein. Wähle 0. d) Die Normale n, die im Wendepunkt W auf der Wendetangente t senkrecht steht, die Tangente t und die -Achse spannen zusammen ein Dreieck auf. Bestimme den Flächeninhalt von diesem Dreieck. Stelle zunächst die Gleichung der Normalen auf. Berechne anschließend die Nullstellen von n und t. Zeichne die Normale ein. - -

35 LÖSUNGEN L a) Funktion: Ableitungen: Nullstellen: ausklammern ( 7) 0 0 / und N(0 / 0) N( / 0) N ( / 0) Etrempunkte: Werte : 0 0 ² 0 /,,,, HP(, /,) (,), 9, ebenso: (9,)..., T(9, /,) Wendepunkt: 0 0 WP(/0) Wendetang.: 7 t C K - n - b) Kurvenschar Funktion: Ableitungen: a a a a a a a a a a Wendepunkt: a w a a -Wert: f ( ) w a w a a a a a a a a a W a a ( / ) - -

36 Ortskurve W( a/ a ) a a a a einsetzenin a c) Schnittpunkte: ² d) 7 ³ 0 ² 0 ( ² 0) 0 S (0 / 0) S ( / 0) S ( / ) 9 Normale: 0 ( ) n: Tangente t: Schnittstellen mit der -Achse: b und b t Fläche: A gh ( ) FE h w n a= 7 Zeichnung: Ortskurve a= a= a= - -

37 MINI-MAX-AUFGABEN Umfang und Fläche. Aufgabe: Der Querschnittsfläche eines Tunnels ist gegeben durch eine Parabel mit der Gleichung. Nun soll ein achsenparalleles Rechteck mit möglichst großer Fläche zwischen Parabel und - Achse untergebracht werden. Zwei Punkte des Rechtecks liegen dabei auf der Parabel, die zwei anderen liegen auf der -Achse. Der Eckpunkt, der im. Quadranten (Feld) auf der Parabel liegt, hat die Koordinaten C(u/v). Alles Weitere ergibt sich aus der Anschauung (siehe Zeichnung). Wie groß muss u gewählt werden, damit die Rechteckfläche maimal wird? Wie groß ist die maimale Fläche? S E G F D C v A u B Funktionsgleichung für die Fläche aufstellen: Rechteckfläche = Breite mal Höhe A u v Für v erhält man aus der Kurvengleichung: Damit ergibt sich für die Fläche:. Ableitung: Bestimmung des Maimums: v u Au ( u ) u u A u A 0 u u, ma Maimale Breite: Breite = uma,, LE Maimaler Flächeninhalt: Ama,,, FE - -

38 . Aufgabe: Wie groß muss u gewählt werden, wenn das Rechteck ABCD einen möglichst großen Umfang erhalten soll? Funktionsgleichung aufstellen: Umfang des Rechtecks = Breite + Höhe: U u v Für v erhält man aus der Kurvengleichung: v u Damit ergibt sich für den Umfang: U u ( u ) u u. Ableitung: U u Bestimmung des Maimums: U 0 u0 uma Maimaler Umfang: Uma LE. Aufgabe: Bestimme die Gleichungen der Parabeltangenten in den Punkten B(-/...) und C(/...). Von Punkt F(0/7) aus kann man jeweils ein Lot auf die beiden Tangenten fällen. Die beiden Lote schneiden die Gerade f: 9in den Punkten E und G. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks EFG. Ergebnisse: und A FE.. Aufgabe: Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung. Zwischen der Parabel und der -Achse soll ein möglichst großes Rechteck untergebracht werden. Wie groß muss die Breite des Rechtecks gewählt werden? Frage: Würde sich für ein Rechteck mit maimalem Umfang derselbe Wert ergeben? Ergebnisse: Für die Fläche ergibt sich uma LE Breite LE Ama Für den Umfang ergibt sich..... Rechne selbst. Uma FE LE - -

39 AUFGABE M MR-000 Gegeben ist eine Funktion. Grades mit der Gleichung a) Das Schaubild der Funktion ist die Kurve K. Bestimme die Koordinaten der Etrempunkte. Bestimme die Koordinaten des Wendepunktes. Bestimme die Gleichung der Wendetangente. Berechne die Funktionswerte (-Werte) für alle noch fehlenden ganzzahligen -Werte im Bereich. Zeichne die Kurve K samt Wendepunkt, Wendetangente und Etrempunkten in ein rechtwinkliges Koordinatensstem ein. Wähle LE = cm. (Die Achsen müssen ausreichend beschriftet sein.) b) Die Tangente im Hochpunkt H schneidet K im Punkt S. Bestimme S. Die Tangente t in S schneidet die -Achse in R. Bestimme R. K schneidet die -Achse in N(/0). Zeige, dass das Viereck RNHS ein Trapez ist. Berechne den Flächeninhalt des Trapezes. c) Mini-Ma-Aufgabe P(a / b) mit 0a ist ein Punkt auf K. Die Parallelen zu den Achsen durch P bilden mit den Achsen ein Rechteck. Für welchen Wert von a hat dieses Rechteck einen maimalen Umfang? Berechne diesen maimalen Wert des Umfangs. - -

40 LÖSUNGEN M a) H(0/,) T(-/) W(-/,), S H W R - N - - b) S(-/,) t: R( / 0) Zwei Seiten sind parallel zueinander (-Achse und waagerechte Tagente im Hochpunkt), daher ist das Viereck ein Trapez. A h , FE ac Trapez 9 9 c) Umfang: Ua b b erhält man, wenn man in der Kurvengleichung für den Wert a einsetzt: b a a a P U a ( a a )... a a a Ableitung: U a a Setze U 0 a ma 0,9 Uma,0LE b - (die zweite Lösung entfällt, weil sie nicht im Bereich 0 a liegt) - 7 -

41 FUNKTION UND IHREN ABLEITUNGEN Beispiel: Funktion: f ( ) ³ ² Kurve. Ableitung: f ( ) ² Steigung. Ableitung: f ( ) Drehsinn H 0 Steigungsfunktion ' _ 9 positive Steigung negativer Drehsinn 7 W positiver Drehsinn negative Steigung + T Drehsinnsfunktion '' positive Steigung MERKE Nullstelle: f() 0 doppelte Nullstelle = Etrempunkt Hochpunkt: f () 0 und f () 0 (waagerechte Tangente und negativer Drehsinn) Tiefpunkt: f () 0 und f () 0 (waagerechte Tangente und positiver Drehsinn) Wendepunkt: f() 0 (Drehsinn gleich Null) Wendetang.: m f ( ) w W W m ( ) Sattelpunkt: f () 0 und f () 0 Wendepunkt mit waagerechter Tangente Bedingungen:. Bedingung = notwendige Bedingung,. Bedingung = hinreichende Bedingung. - -

42 MINI-MAX-AUFGABEN. Aufgabe: FUSSBALLFELD Rechteck-Fläche A d Bei einem Sportstadion ist die äußere Bahn 00m lang. Wie lang und wie breit muss ein rechteckiges Fußballfeld sein, das eine möglichst große Fläche haben soll und von der 00- Meter-Bahn umschlossen wird. Fläche = Länge mal Breite: A d NEBENBEDINGUNG U d 00 (00 d) Fläche: A d (00 d) d 00d d. Ableitung: A 00 d. Ableitung: A 00 Setze: A 0 00 d 0 d 00 Länge: (00 d) (00 ) (00 00) 00m 00 Breite: d,m Nachweis für ein Maimum: A 0 Maimum. Aufgabe: Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung f() ( )( ). Ihr Schaubild sei K. Bestimme die Nullstellen und den Scheitel von K. Zeichne K in einem Koordinatensstem für. Auf K liegt ein Punkt P(u/v) mit 0 u. Die Parallelen zu den Achsen durch P bilden zusammen mit den Achsen ein Rechteck. Für welchen Wert von u hat dieses Rechteck einen maimalen Flächeninhalt? Berechne den maimalen Flächeninhalt. Führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis, dass es sich um ein Maimum handelt. Ergebnisse: S(/,) A (u³ u² u) A... A 0 u, ma A(,) 0 ma, A - 9 -

43 AUFGABE N MR 999 Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung f(). 9 MERKE f ( ) heißt Funktionswert an der Stelle. f ( ) bedeutet dasselbe wie - Wert. a) Das Schaubild ist die Kurve K. Bestimme die Etrempunkte von K. Führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis für Hoch- bzw. Tiefpunkt. Bestimme die Koordinaten des Wendepunktes. Bestimme die Gleichung der Wendetangente. Berechne die Funktionswerte für alle noch fehlenden ganzzahligen -Werte im Bereich. (Mache eine Wertetabelle.) Zeichne die Kurve K samt Wendepunkt, Wendetangente und Etrempunkten in ein rechtwinkliges Koordinatensstem ein. Wähle LE = cm. (Die Achsen müssen ausreichend beschriftet sein.) b) Bestimme die Gleichung der Kurventangente t im Punkt P(0/). Die Kurventangente t verläuft parallel zu t. Berechne die Koordinaten des Berührpunktes Q von t mit K und gib die Gleichung von t an. Die Gerade g geht durch den Punkt P und den Wendepunkt W. Bestimme die Gleichung von g. Berechne die Koordinaten des dritten Schnittpunktes von g mit der Kurve K. c) Mini-Ma-Aufgabe (verändert) Gegeben ist eine weitere Funktion g mit der Gleichung g() ( ). Ihr Schaubild sei G. Zeichne G in einem neuen Koordinatensstem für 0. Auf G liegt ein Punkt P(u/v) mit 0u. Die Parallelen zu den Achsen durch P bilden zusammen mit den Achsen ein Rechteck. Für welchen Wert von u hat dieses Rechteck einen maimalen Flächeninhalt? Berechne den maimalen Flächeninhalt. Führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis, dass es sich um ein Maimum handelt.

44 LÖSUNGEN N a) 7 H(0,/,9) f(0,) 0 T(,9/0,) f (, 9) 0 W(/) P H w:, t b) t: Zur Berechnung von Q: Setze f() Q Q(/) t : 7 g: gk: S(/) Q - W T Q t c) Mini-Ma-Aufgabe g() (² ) ² 9 A u v u g(u)... A 0 u u P A ()... 0 Maimum A ma... FE F v - -

45 AUFGABE O [Wiederholung] a) Gegeben ist eine Funktion f durch f ( ) ³ ²,. 9 Das Schaubild der Funktion sei K. Bestimme die. und. Ableitung. Bestimme die Nullstellen von K. Bestimme die Etrempunkte von K und führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis für Hoch- bzw. Tiefpunkt. Bestimme den Wendepunkt W und die Gleichung der Wendetangente t. Zeichne K samt Wendetangente t im Bereich. Wähle LE = cm. (Die Achsen müssen ausreichend beschriftet sein.) b) Die Normale n im Wendepunkt, die Wendetangente t und die -Achse schließen eine Fläche ein. Wie groß ist diese Fläche? Die Gerade mit der Gleichung, schneidet die Kurve an Stellen. Bestimme alle Schnittpunkte durch Rechnung. c) Bestimme die Gleichung der Kurventangente t im Koordinatenursprung O(0/0). Die Kurventangente t verläuft parallel zu t. Berechne die Koordinaten des Berührpunktes Q von t mit K und gib die Gleichung von t an. d) Mini-Ma-Aufgabe Gegeben ist eine weitere Funktion g mit der Gleichung g() ². Ihr Schaubild sei G. Zeichne G in einem neuen Koordinatensstem für 0. Auf G liegt ein Punkt P(u/v) mit 0u. Mache zunächst eine Skizze. Die Parallelen zu den Achsen durch P bilden zusammen mit den Achsen ein Rechteck. Für welchen Wert von u hat dieses Rechteck einen maimalen Flächeninhalt? Berechne den maimalen Flächeninhalt. Führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis, dass es sich um ein Maimum handelt. Für welchen Wert hat das Rechteck einen maimalen Umfang? - -

46 LÖSUNGEN O a) f ( ) ³ ², 9 Ableitungen: f( ) ², f( ) Nullstellen: f( ) 0 ³ ²,0 ³ ², 0 ausklammern Etrempunkte: 9 ( ²,) 0 0 N (0 / 0) ², 0 N (,/ 0) und N (7,/ 0) f( ) 0 ²,0 ² 7,0 0,7 /,9 Nachweis HP / TP: f(0,7) 0,7,0 0 HP(0,7/ 0,) f(,9),9,0 0 TP(,9 / 9,) Wendepunkt: f( ) W(/,) Wendetangente: m f () ², und W (/,) 7 7 Schaubild: t W n - -

47 b) n: A 7 7 S (0/0), S (/-,), S (/- 9) c) f (0), t :, f(0), ²,, ( ) 0 Q(/ 9) m, t : 9, ( ), d) g() ² maimale Fläche: Au ( ) uvugu ( ) u³ u A( u) u² A ² ( u) 0 u 0 uma, 9 LE A ma,9,9 9, F E Nachweis für Maimum: A( u) u A(,9),9,0 Maimum maimaler Umfang: U u v u u² 0 U u U 0 0 u uma, U ma, 0, LE, U 0 Maimum - -

48 GERADENSCHAR SCHNEIDET EINE PARABEL Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung f(). Durch den Punkt C(/7) gehen mehrere Geraden, diese bilden zusammen eine Geradenschar. Bestimme die Gleichung der Geradenschar. Schneide die Geradenschar mit der Parabel und bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte. Welche Geraden der Schar sind Tangenten an die Parabel? Wie lauten die Koordinaten der Berührpunkte? Bestimme die Gleichungen der Tangenten. 9 7 C B B LÖSUNGEN Geraden durch C(/7): m( ) 7m() mm 7 Schnitt mit der Parabel: ² mm7 ² mm0 ² m(m) 0 / m m² (m ) (das sind die -Koordinaten vom Schnittpunkt) - -

49 WANN WERDEN DIE SCHNITTPUNKTE ZU BERÜHRPUNKTEN? Die Schnittpunkte werden Berührpunkte, wenn die beiden -Koordinaten zusammen fallen. Also muss der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen (die Diskriminante) gleich Null sein. m² (m ) 0 m² m 0 m² m 0 m² m 0 m/ 0, 0, 0,, m und m Koordinaten der beiden Berührpunkte: m B( /) m ( ) B(/) Gleichung der beiden Tangenten: m( ) () m( ) () 9 WIEDERHOLUNGSAUFGABE Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung f(). Durch den Punkt C(/) gehen mehrere Geraden, diese bilden zusammen eine Geradenschar. Zeichne die Parabel und die Geradenschar. Bestimme die Gleichung der Geradenschar. Schneide die Geradenschar mit der Parabel und bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte. Welche Geraden der Schar sind Tangenten an die Parabel? Wie lauten die Koordinaten der Berührpunkte? Bestimme die Gleichungen der Tangenten. 0 LÖSUNGEN mm / m m² m m² m 0 m/ 0,, / m B ( /) B (/ ) Tangenten: B B - -

50 AUFGABE P MR 99 Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung f(). a) Das Schaubild ist die Kurve K. Bestimme die Nullstellen und den Etrempunkt von K. Führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis für Hoch- bzw. Tiefpunkt. Mache eine Wertetabelle für 0 0. Zeichne die Kurve K samt Nullstellen und Etrempunkt in ein rechtwinkliges Koordinatensstem ein. Wähle LE = cm. (Die Achsen müssen ausreichend beschriftet sein.) b) Zeichne die Gerade g mit der Gleichung in das Koordinatensstem ein. Zeige, dass g das Schaubild K berührt und berechne die Koordinaten des Berührpunktes P. Die Tangente t an K steht senkrecht auf g und berührt K im Punkt B. Bestimme B. Bestimme die Gleichung von t. Der Schnittpunkt von g und t sowie die Punkte P und B bilden ein Dreieck. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. c) Geradenschar Eine weitere Funktion ist gegeben durch die Gleichung g() ². Das Schaubild sei G. Zeichne G in einem neuen Koordinatensstem für. Eine Geradenschar hat die Gleichung m. Berechne die -Koordinaten der Schnittpunkte der Geradenschar mit dem Schaubild G in Abhängigkeit von m. Für welche Werte von m erhält man Tangenten? Berechne für diese Werte die Koordinaten der Berührpunkte

51 LÖSUNGEN P a) N (,/0) N (9,0/0) g H B H(,/,7) f(,) 0 t P b) - gk ( ) ² 0 0 ² : ² 0 / d.h. beide Schnittpunkte fallen zusammen, daher berührt die Gerade g die Kurve K an der Stelle =. Damit ergibt sich der Berührpunkt P(/,). Die Tangente t soll senkrecht zu g sein: m f () B( /,) t m g t: 7, gt S(/,) FLÄCHE A FE c) Schnittpunkte: B B ² m ² m 0 m m² / Die Schnittpunkte werden Berührpunkte, wenn die beiden -Koordinaten zusammen fallen. Also muss der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen (die Diskriminante) gleich Null sein. m² 0 m² m/ B ( /) m / / Umformung : B /( / ) - - -

52 AUFGABE Q [Wiederholung] Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung Das Schaubild ist die Kurve K. f() ²,. a) Berechne die Nullstellen der Kurve. Bestimme die Etrempunkte von K und führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis für Hoch- bzw. Tiefpunkte durch. Bestimme den Wendepunkt von K. Wie lautet die Gleichung der Tangente t an K im Punkt P(-/...). Wo schneidet die Tangente die -Achse? Zeichne die Kurve K für 7 samt Etrempunkten und Tangente t in ein rechtwinkliges Koordinatensstem ein. Wähle LE = cm. Die Achsen müssen ausreichend beschriftet sein. b) Es gibt zwei Tangenten der Kurve K mit der Steigung m,. Bestimme die Koordinaten der beiden Berührpunkte A und B. Zeichne die beiden Tangenten ein, ohne die Tangentengleichungen zu bestimmen. Die Kurventangente und die Kurvennormale im Ursprung bilden zusammen mit der Geraden g: ein Dreieck. Berechne die Koordinaten der Dreieckspunkte. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks. c) Mini-Ma-Aufgabe Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung g() ( )². Zeichne die Parabel in einem neuen Koordinatensstem für 0. Auf der Parabel liegt ein Punkt P(u/v) mit 0 u. Die Parallelen zu den Achsen durch P bilden zusammen mit den Achsen ein Rechteck. Für welchen Wert von u hat dieses Rechteck einen maimalen Flächeninhalt? Führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis, dass es sich um ein Maimum handelt. Wie groß ist der maimale Flächeninhalt? 00% d) Geradenschar Gegeben ist eine weitere Parabel durch die Gleichung h() ²,. Durch den Punkt Q(/) gehen mehrere Geraden, diese bilden zusammen eine Geradenschar. Bestimme die Gleichung der Geradenschar. [Wähle als Ansatz m( ) ] Schneide die Geradenschar mit der Parabel und bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte. Welche Geraden der Schar sind Tangenten an die Parabel? Wie lauten die Koordinaten der Berührpunkte? Wie lauten die beiden Tangentengleichungen? - 9 -

53 LÖSUNGEN Q a) f() ², f () ², f () f () 0 0 N (, / 0) N (0 / 0) N (, / 0) f() 0 ² 0 H( / ) mit f, 0 T(/ ) mit f, 0 W( / ) ( ) Tangente in P(-/,): t:, 0, Nst (,/0) () 7 H P A t R O T B b) f () ²,, ² 0 und A(-/,) und B(/ ) Tangenten zeichnen mit Hilfe eines Steigungsdreiecks g: Tangente im Ursprung:, Normale: g, P( /,) g R (,/,) Fläche OPR: A... FE - 0 -

54 c) Au v A u ( u² u) u³ u² u A u² u A u A 0 u² u 0 u² u 0 u,7 LE ma Nachweis für Maimum: A,70 Maimum (,7) A ma... 9, FE u P v 0 - d) Geradenschar: m() mm Schnitt: ², m m ( ) ² 7 m m 0 ² m m 0 / m m² m Diskriminante 9 Setze die Diskriminante gleich Null: m² m 0 m/ m/ m, m,, A( /) A 7 Q (,) B(/ ) t :,, t :, 0, B - -

55 MINI-MAX-AUFGABE DIE IDEALE KONSERVENDOSE Es soll eine zlindrische Blechdose so hergestellt werden, dass das Volumen 0 ml (= 0 cm³) beträgt und der Materialverbrauch minimal ist. Wie groß müssen Radius, Durchmesser und Höhe der Dose gewählt werden? r U = π r Mantel = π r h h π r² Zunächst muss die Flächenfunktion aufgestellt werden: A Kreisflächen Mantelfläche A r² r h NEBENBEDINGUNG Vr² h h V r² Durch Einsetzen für h erhält man: A r² r r² r² A r² 0 r V V V r² r r setze V = 0 ml Zum Ableiten muss man die Funktion etwas anders schreiben: V A r² r² 700r r Merke: n a a n A r 700 ( ) r r 700 r² A 700 ( ) r 00 r³ - -

56 A r² r 0 r³ r³ r,.. cm A (,) 7,7 0 Minimum 00,³ optimaler Durchmesser: dmin rmin, 0, 7 cm 0 optimale Höhe: h min 0 0 r²,² 0,7cm Ergebnis: Bei einer optimalen Blechdose sind Durchmesser und Höhe gleich groß. Schaubild der Funktion: 000 Fläche F Minimum Radius r r =, 0 Reale Dosen im Supermarkt: Flüssiger Inhalt: V = 0 ml Abmessungen: d 0 cm und h cm V,9 ml = Flüssigkeit + Luft Ideale Werte: r,cm,9 min min min,9 r F r 0, cm² min Reale Werte: r cm F r h r² ² 0, cm² Die Abweichung vom Idealwert ist sehr gering ( 0,% ), so dass bei der Herstellung einer Blechdose keine großen Mehrkosten entstehen. Der Grund dafür, dass der Durchmesser mit 0 cm gewählt wird (etwas zu klein), liegt bei der menschlichen Hand, deren Spannweite zwischen Daumen und Zeigefinger eben gerade 0 cm beträgt. - -

57 AUFGABE R MR 997 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung Das Schaubild ist die Kurve K. f() a) Bestimme die Etrempunkte von K. Führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis für Hochbzw. Tiefpunkt. Bestimme die Koordinaten des Wendepunktes. Bestimme die Gleichung der Wendetangente. Zeichne die Kurve K für samt Etrempunkten, Wendepunkt und Wendetangente in ein rechtwinkliges Koordinatensstem ein. Wähle LE = cm. (Die Achsen müssen ausreichend beschriftet sein.) b) Zeige, dass die Strecke zwischen P (,/) und P (-,/) durch das Schaubild K im Wendepunkt halbiert wird. Die Gerade g: schneidet K in drei Punkten. Berechne die Koordinaten der drei Schnittpunkte ( S, S, S ). Zeige, dass das Viereck SPSP ein Parallelogramm ist. Berechne den Flächeninhalt. c) Eine Geradenschar m mit m 0 schneidet K. Berechne die -Koordinaten der Schnittpunkte in Abhängigkeit von m. In welchem Bereich muss m liegen, damit es Schnittpunkte gibt? Für welchen Wert von m wird die Gerade zur Tangente? (d.h. wann gibt es nur einen Schnittpunkt?) d) (erweitert) Mini-Ma-Aufgabe: P(u/v) mit 0u,7 ist ein Punkt auf K. Die Parallelen zu den Achsen durch P bilden mit den Achsen ein Rechteck. Für welchen Wert von u hat dieses Rechteck einen maimalen Umfang? Berechne den maimalen Umfang. - -

58 LÖSUNGEN R a) H(,/,) mit f(,) 0 T(,/ 0,7) mit f(,) 0 W(0/) w:, 7 H P S u P(u / v) S T v P b) Halbierung der Strecke: dazu man bildet jeweils den Mittelwert aus den - und -Koordinaten:,, 0 und W(0 / ) gk ( ) ³ ³ 0 0 / S ( /) S (0/) S (/) Nachweis für Parallelogramm: SP und SP verlaufen waagerecht, PS undsp haben die Steigung m, also ist das Viereck ein Parallelogramm. A ah, FE c) Schnittpunkte: m m 0 ³ m 0 (² m) 0 0 und ² m / m Die Schnittpunkte werden Berührpunkte, wenn die beiden -Koordinaten zusammen fallen. Also muss der Diskriminante gleich Null sein. m 0 m, Bereich für m: 0m, 0 d) (MUSTER siehe MR 000) U u v u,le ma maimaler Umfang =,7 LE - -

59 SCHNITTWINKEL ZWISCHEN ZWEI KURVEN. Aufgabe Gegeben ist die Funktion f durch f() ³ ². Das entsprechende Schaubild ist die Kurve K. 7 Weiterhin ist eine Parabel gegeben mit der Gleichung g() ². Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven. Zeichne die beiden Kurven im Bereich 0. Bestimme den Schnittwinkel an der Schnittstelle =. Bestimme ebenso den Schnittwinkel an den anderen Schnittstellen. 9 LÖSUNGEN ³ ² ² ³ ² ² 0 ³ 9² ausklammern: (² 9 ) 0 0 S (0 / 0) / 9 9² 9 S ( / ), S (, / 0, ) Schnittwinkel der beiden Kurven bei S(/): m m tan m f... m g... m m () () eins. in die Winkelformel ( ) tan, ( ) ( ) 0 Schnittwinkel bei S(0/0): (Sonderfall) tan 0,

60 MINI-MAX-AUFGABE [ SCHINKENAUFGABE ]. Aufgabe Die beiden Kurven werden von einer Geraden mit der Gleichung = u (Parallele zur -Achse) geschnitten, wobei 0u sein soll. Die Kurve K wird im Punkt P geschnitten, die Kurve G im Punkt Q (siehe Zeichnung). Für welchen Wert von u ist der Abstand d der beiden Punkte maimal? P 7 d Q = u SENKRECHTER ABSTAND ZWISCHEN DEN BEIDEN KURVEN d f (u) g(u) u³ u² u u² u³ u² u Ableitungen: d u² u d u d 0... uma,9 Nachweis für Maimum: d (,9)...,7 0 Maimum Maimaler Abstand: d ma... 7, LE [Die Länge von d kann man an der Zeichnung nachmessen.] - 7 -

61 AUFGABE S MR 99 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(). Das Schaubild ist K. a) Berechne die Nullstellen der Kurve. Bestimme die Etrempunkte von K. Führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis für Hoch- bzw. Tiefpunkte durch. Bestimme die Gleichung der Tangente t an K im Punkt P(/...) Zeichne die Kurve K für samt Etrempunkten und Tangente t in ein rechtwinkliges Koordinatensstem ein. Wähle LE = cm. b) Eine weitere Funktion g hat die Gleichung g() ² Ihr Schaubild ist G. Zeichne G im Bereich in das vorhandene Koordinatensstem ein. Berechne die Schnittpunkte von K und G. Berechne den Schnittwinkel von K und G für den Schnittpunkt S mit > 0. Für welche beiden -Werte haben K und G jeweils gleiche Steigungen? c) Mini-Ma-Aufgabe Die Schaubilder K und G schneiden aus der Geraden = u mit 0u eine Strecke d aus. Für welches u wird diese Strecke d am größten? Wie groß ist d in diesem Fall? d) Inselsteuer Auf der weit entfernt gelegenen Reiherinsel haben die regierenden Ältesten ein spezielles Steuersstem eingeführt. Die Inselbewohner müssen so viel Prozent ihres Einkommens an Steuern zahlen, wie sie Tausender verdienen. Wer beispielsweise 000 Taler verdient, zahlt der Insel % Steuern, während der Verdiener von 7000 Talern 7% seiner Einnahmen an die Insel weiterleitet. Wie viel Geld kann man bei diesem Sstem maimal verdienen? Stelle eine geeignete Funktion auf und bestimme das Maimum. - -

62 LÖSUNGEN S a) N ( / 0) N (0 / 0) N ( / 0) H(,/,) f 0 T(,/,) f 0 (,) (,) P(/ ) t : P b) Schnittpunkte ³ ² ³ ² 0 ( ) ³ ² 0 (² ) 0 S (0/0) S ( / ) S (/0) Schnittwinkel der Kurven in S(/0) m m m m tan m f ()... m g ()... einsetzen in die Winkelformel tan 0,9 9, m m ( ) m m ( )( ) 7 gleiche Steigung: f () g () ²,,0 d = u α S c) Mini-Ma-Aufgabe senkrechter Abstand d f (u) g(u) u³ u ( u² u) u³ u² u Ableitungen: d u² u d u d 0... u ma, Nachweis für Maimum: d (,)..., 0 Maimum Maimaler Abstand: d ma..., LE d) Inselsteuer Einkommen Steuern ² Taler ma ma (0) 0 0 Maimum - 9 -

63 KUGELBAHN IM TECHNORAMA Welche Kugel ist schneller? [die untere Kugel ist schneller am Ziel, warum?] Gegeben: A(0/), N (/0) und N (/0) Gesucht: Parabelgleichung Gerade durch A und N Wo ist der größte senkrechte Abstand? ERGEBNISSE g und f oder f ( ) ( ) ( ) d( u) u u u u u d ( u) u d ( u) 0 Ma. d ( u) 0 u0 u, Anm: Wo Kurventangente und Gerade dieselbe Steigung haben, ist der senkrechte Abstand maimal

64 BRUNNENANLAGE 0 C H Wasserstrahl D FELSEN N 0 Wasser E Gegeben: alle Nullstellen, HP(/9) und C(/) Aufgabe: Stelle die beiden Funktionsgleichungen auf. Bestimme den Auftreffwinkel mit der Wasseroberfläche. Wo ist der senkrechte Abstand der beiden Kurven am größten? LÖSUNGEN Parabel f f Felsen : g( ) 7, : ( ),,7 ( ), Winkel : f (9) tan 7, 7 d( u) f( u) g( u) u,u,7 u u 7,u u u u,7 7 7 d ( u) u u d ( u) u 7 0 7,07 Maimum, Minimum u u0 u u0 u/ - -

65 GANZRATIONALE FUNKTION UMGEHUNGSSTRASSE Die Abbildung zeigt den Verlauf einer Umgehungsstraße zur Entlastung der Ortsdurchfahrt AB einer Gemeinde. Das Gemeindegebiet ist kreisförmig mit dem Mittelpunkt M und dem Radius, km. Die Umgehungsstraße verläuft durch die Punkte A und B und wird beschrieben durch die Funktion f mit f (),,,, mit LE entspricht km. a) Welche Koordinaten hat der nördlichste Punkt der Umgehungsstraße? Wie weit ist dieser Punkt vom Ortsmittelpunkt M entfernt? Die Umgehungsstraße beschreibt eine Linkskurve und eine Rechtskurve. Bestimmen Sie den Punkt, in dem diese beiden Abschnitte ineinander übergehen. Zeigen Sie, dass die Umgehungsstraße im Punkt A ohne Knick in die Ortsdurchfahrt einmündet. ( P) b) In welchem Punkt der Umgehungsstraße fährt ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt AB? Welchen Abstand hat ein Fahrzeug auf der Umgehungsstraße höchstens von der Ortsdurchfahrt? ( P) = 0 P - -

66 LÖSUNGEN a) W H Q P A U M Gemeindegebiet B Zur Orientierung ist es gut, die Kurve zu zeichnen, obwohl es nicht verlangt wird. NÖRDLICHSTER PUNKT H 0, /, mit GTR ENTFERNUNG HM 0,, 0,, km RECHTS-LINKS-KURVE W /, mit GTR ÜBERGANG f 0, und m 0, kein Knick d.h. die Gerade AB ist Tangente an die Kurve K. b) PARALLELE RICHTUNG ZUR ORTSDURCHFAHRT g() 0, f () 0, mitgtr Punkt A Q /, ( P) Lot von Q auf g, ( ), Lot g L 0, / 0, Abstan d QL d 0, 0,,, km ( P) - -

67 Klassenarbeiten - -

68 MR-KLASSENARBEIT A Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung Das Schaubild ist die Kurve K. f() ². a) Berechne die Nullstellen der Kurve. Bestimme die Etrempunkte von K und führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis für Hoch- bzw. Tiefpunkte durch. Bestimme den Wendepunkt von K. Wie lautet die Gleichung der Tangente t an K im Punkt P(/...). In welchem Punkt schneidet die Tangente die -Achse? Zeichne die Kurve K für 7 samt Etrempunkten und Tangente t in ein rechtwinkliges Koordinatensstem ein. Wähle LE = cm. Die Achsen müssen ausreichend beschriftet sein. b) Es gibt zwei Tangenten mit der Steigung m, die die Kurve K berühren. Bestimme die Koordinaten der beiden Berührpunkte A und B. Zeichne die beiden Tangenten ein, ohne die Tangentengleichungen zu bestimmen. Die Kurventangente und die Kurvennormale im Ursprung bilden zusammen mit der Geraden g: ein Dreieck. Berechne die Koordinaten der Dreieckspunkte. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks. c) Mini-Ma-Aufgabe Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung g() ( )². Zeichne die Parabel in einem neuen Koordinatensstem für 0. Auf der Parabel liegt ein Punkt P(u/v) mit 0 u. Die Parallelen zu den Achsen durch P bilden zusammen mit den Achsen ein Rechteck. Für welchen Wert von u hat dieses Rechteck einen maimalen Flächeninhalt? Führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis, dass es sich um ein Maimum handelt. Wie groß ist der maimale Flächeninhalt? 0 00% - -

69 d) ZUSATZAUFGABE Gegeben ist eine weitere Parabel durch die Gleichung h() ²,. Durch den Punkt Q(-/) gehen mehrere Geraden, diese bilden zusammen eine Geradenschar. Bestimme die Gleichung der Geradenschar. Schneide die Geradenschar mit der Parabel und bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte. Welche Geraden der Schar sind Tangenten an die Parabel? Wie lauten die Koordinaten der Berührpunkte? Wie lauten die beiden Tangentengleichungen? - -

70 LÖSUNGEN A a) f() ² f () ² f () f () 0 0 N (, / 0) N (0 / 0) N (, / 0) f() 0 ² 0 H( / ) mit f, 0 T(/ ) mit f, 0 W( / ) ( ) 7 Tangente in P(/-,): t:,7 Y(0 /,7) () 9 H P 7 g A W R B P - T - t b) f () ² ² 0 und A(-/) und B(/ ) Tangenten zeichnen mit Hilfe eines Steigungsdreiecks g: Tangente im Ursprung: Normale: g P( /) g R(/) Fläche OPR: A..., FE c) Au v A u ( u²,u,) u³,u²,u 0 0 A u²,u, A u, 0-7 -

71 0 9 7 u P v 0 A 0 u², u, 0 u² u 0 u, 7 LE 0 Nachweis für Maimum: F,7,,0 Maimum d) (,7) F ma... 7, FE Geradenschar: m( ) mm Schnitt: ², m m ( ) Setze die Diskriminante gleich Null: ² 7m m0 0 ² m m 0 / m m² m ma m² m 0 m/ m / m, m 0,, A( /) ( 0,) B(/) 9 7 B t :,, t : 0,, A

72 MR-KLASSENARBEIT B Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung Das Schaubild ist die Kurve K. f() ². 0 0 a) Berechne die Nullstellen der Kurve. Bestimme die Etrempunkte von K und führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis für Hoch- bzw. Tiefpunkte durch. Bestimme den Wendepunkt von K. Wie lautet die Gleichung der Tangente t an K im Punkt P(/...). In welchem Punkt schneidet die Tangente die -Achse? Zeichne die Kurve K für samt Etrempunkten und Tangente t in ein rechtwinkliges Koordinatensstem ein. Wähle LE = cm. Die Achsen müssen ausreichend beschriftet sein. b) Es gibt zwei Tangenten mit der Steigung m, die die Kurve K berühren. Bestimme die Koordinaten der beiden Berührpunkte A und B. Zeichne die beiden Tangenten ein, ohne die Tangentengleichungen zu bestimmen. Die Kurventangente und die Kurvennormale im Ursprung bilden zusammen mit der Geraden g:, ein Dreieck. Berechne die Koordinaten der Dreieckspunkte. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks. c) Mini-Ma-Aufgabe Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung g() ( )². Zeichne die Parabel in einem neuen Koordinatensstem für 0. Auf der Parabel liegt ein Punkt P(u/v) mit 0 u. Die Parallelen zu den Achsen durch P bilden zusammen mit den Achsen ein Rechteck. Für welchen Wert von u hat dieses Rechteck einen maimalen Flächeninhalt? Führe mithilfe der. Ableitung den Nachweis, dass es sich um ein Maimum handelt. Wie groß ist der maimale Flächeninhalt? 00% - 9 -