Quadratische Funktionen

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1 Quadratische Funktionen Die einfachste quadratische Funktion besitzt die Funktionsgleichung =. Die graphische Darstellung der quadratischen Funktion ergibt eine Kurve, welche Normalparabel heisst und folgendes Aussehen hat: Die Normalparabel S Der Punkt S heisst Scheitelpunkt oder einfach Scheitel der Parabel.

2 Aufgabe Ordne folgende Gleichungen den Graphen zu: =, = +, =, = ( 5), = ( + 6), = ( 7) +, = ( + )

3 Aufgabe Bestimme die Gleichungen der folgenden Parabeln:

4 Aufgabe Bestimme die Gleichungen der folgenden Parabeln:

5 Aufgabe : Scheitelform und allgemeine Form. Notiere die Parabeln mit den Gleichungen = a( u) + v (Scheitelform) in der allgemeinen Form = a + b + c: a) = ( 5) b) = ( 5) c) = ( 5) d) = ( 5) + 6 e) = ( 5) + 6. Wie hängen die Parameter a, b und c algebraisch mit den Parametern der Scheitelform zusammen?. Welche geometrische Bedeutung haben a, b und c?. Notiere die Parablen mit den Gleichungen = a + b + c in der Scheitelform = a( u) + v und lies die Koordinaten des Scheitels ab: a) = + b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) = + b + c i) = a + b + c 5. Wie hängen die Parameter a, u und v der Scheitelform algebraisch mit den Parametern a, b und c der allgemeinen Form zusammen? 6. Die Parabel mit der Gleichung = + b + c verläuft durch die Punkte P und Q. Bestimme ihre Gleichung,wenn a) P(0, 0) und Q(, ) b) P(, ) und Q(, ) b) P(, 5) und Q(, 9) 7. Die Parabel mit der Gleichung = a + b + c verläuft durch die Punkte P, Q und R. Bestimme ihre Gleichung,wenn a) P(0, 0), Q(, ), R(, ) b) P(, ), Q(, ), R(5, 6) b) P(, 5), Q(, 9), R(, ). 8. Fasse die wesentlichen Ideen der Aufgaben 6 und 7 zusammen. 9. Bestimme einige Gleichungen der Graphen aus den Aufgaben - in der allgemeinen Form.

6 5. Nullstellen von quadratischen Funktionen. Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktionen mit den gegebenen Gleichungen auf möglichst einfache Art: a) = ( + )( 8) b) = + 0 c) = d) = + e) = + + f) = + + g) = ( ) h) = 5( + 6) + 0 i) = a( u) + v. Bestimme die Gleichungen der quadratischen Funktionen von der vorgegeben Form mit den gegebenen Nullstellen und : a) = + b + c =, = 5 b) = a + b + =, = c) = a + = 7, = 6. Etremalaufgaben. Ein 69 m langer Zaun soll zu einem Rechteck von möglichst grossem Flächeninhalt geformt werden. Wie lang sind dann die Seiten des Rechtecks?. Ein 96 m langer Zaun soll einen rechteckigen Platz, der an eine Mauer grenzt, auf drei Seiten umfassen. Wie gross kann der Flächeninhalt des Platzes maimal werden?. Die Summe aller Kanten eines quadratischen Prismas misst cm. Berechne die Länge der Kanten so, dass a) die Oberfläche b) der Mantel maimal wird.. Eine 00-m-Bahn soll so angelegt werden, dass sie ein Rechteck (Fussballfeld) mit zwei aufgesetzten Halbkreisen umgibt. Wie gross muss der Radius der Halbkreise sein und wie lang ein gerades Stück zwischen den Kurven, wenn a) das Rechteck allein (Fussballfeld) maimalen Flächeninhalt haben soll? b) die ganze Anlage (ohne Laufbahn) maimalen Flächeninhalt haben soll? 7. Tangenten an Parabeln. Bestimme die Gleichungen der Tangenten an die angegebenen Parabeln in den vorgegebenen Parabelpunkten P: a) = in P(, ) b) = in P(, ) c) = in P(5, ) d) Welche Beobachtung kann man über die Steigungen der Tangenten an die Parabel mit der Gleichung = im Kurvenpunkt P( 0, 0 ) machen? e) Bestimme die Steigung der Tangente an die Parabel = im Punkt P( 0, 0 ) durch eine Rechnung und bestätige die Vermutung in d).. Bestimme die Gleichungen der Tangenten an die angegebenen Parabeln in den vorgegebenen Punkten Q, welche nicht auf der Parabel liegen: a) = in Q(, ) b) = + in Q(0, 0) c) = + in Q(5, )

7 8. Vermischte Aufgaben. Skizziere die Parabeln mit den angegebenen Gleichungen: a) = b) = ( 6)( + ) c) = 0.5( + ).5. Bestimme die Gleichungen der gezeichneten Parabeln: a) in der einfacheren Form (Scheitelform oder Normalform), b) in der anderen Form.. Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktionen mit den angegebenen Gleichungen und die Koordinaten der Scheitelpunkte der zugehörigen Parabeln. a) = ( + )( 5) b) = + 8 c) =. Mit einer Schnur von m Länge soll ein Kreissektor mit möglichst grossem Flächeninhalt gebildet werden. Wie gross muss der Radius des Sektors gewählt werden und wie gross ist dann dessen Zentriwinkel? 5. Bestimme die Gleichungen der Tangenten an die Parabeln mit den angegebenen Gleichungen durch die vorgeschriebenen Punkte P bzw. Q: a) T. an die Kurve mit der Gleichung = im Parabelpunkt P(, ), b) T. an die Kurve mit der Gleichung = im Parabelpunkt P(, ), c) T. an die Kurve mit der Gleichung = + im Punkt Q(0, ), d) T. an die Kurve mit der Gleichung = im Punkt Q(, 7).

8 Ideen und Lösungen zu den Aufgaben über quadratische Funktionen Einstiegsblatt Quadratische Funktionen Mache dir nochmals klar, weshalb die Gleichung = eine solche Kurve (Normalparabel) liefert. Warum hat eine Parabel keine Spitze im Scheitel? Aufgabe Decke die Gleichungen ab und bestimme umgekehrt die zu den Parabeln zugehörigen Gleichungen. Aufgabe Die Gleichungen lauten von oben nach unten: =, =, =, = 6, =, =. Überlege nochmals weshalb! Aufgabe Die Gleichungen zu den gezeichneten Parabeln lauten: =, = (+6) +, = ( ) +, = (+) 6, = ( + ) + 5, = 9 ( ) + 7, = 8 ( 5) Ordne sie nochmals den Parabeln zu. Stelle dir die Parabeln vor! Aufgabe Nr. : einfach ausmultiplizieren a) = b) = c) = d) = e) = Die Übung kann auch rückwärts gemacht werden! Nr. : a( u) + v ausmultipliziert, ergibt: a au + au + v = a + ( au) + (au + v), so dass a = a, b = au und c = au + v gilt. Umgekehrt ist u = b a und v = c au = c b a (s. Nr. 5) Nr. : a hat die gleiche Bedeutung wie in der Scheitelform, also drückt aus, wie steil oder flach die Parabel verläuft. b(= au) ist nicht so anschaulich wie die Scheitelkoordinate u, aber wenn b 0 gilt, wissen wir, dass die Parabel in -Richtung verschoben ist. c(= au + v) ist der -Achsenabschnitt der Parabel, also unmittelbar sichtbar in der Graphik. Nr. a) = + = ( 0) + u = 0, v = S(0, ) b) = = ( ) u =, v = 0 S(, 0) c) = = ( ) + 5 u =, v = 5 S(, 5) d) = = = = ( ) u =, v = S(, ) e) = = = (.5) +.75 u =.5, v =.75 S(.5,.75) f) = = ( 5 + 8) = [(.5) ] = (.5) +.5 S(.5,.5) g) = = ( ) = [( 7 ) ( 7 ) + 5 ] = ( 7 ) 9 8 S( 7, 9 8 ) h) = + b + c = ( + b ) ( b ) + c S( b, c b ) i) = a + b + c = a( + b a + c a ) = a( b a ) + c b a S( b a, c b a ) Nr. 5 Aus Nr. entnehmen wir: a = a, u = b b a und v = c a ) (s. Nr. ) Nr. 6 a) muss = sein! b) und c) Gleichungssstem aufstellen und und Koordinaten der Punkte P und Q einsetzen: b) = a + b und = a + b = + c) 5 = a + b und 9 = a + b = + Nr. 7 Idee: Gleichungssstem aufstellen und Punkte P, Q und R einsetzen a) = + b) = + (Gerade) =

9 Aufgabe 5 Nr. a) Ablesen, 8 b) Klammeransatz 6, 5 d) Taschenrechner 5, 5 e) Taschenrechner keine Nullstellen! g) im Kopf, 5 h) Taschenrechner 6, 6 c) Ausklammern 0, f) Ausklammern (eine Nullstelle) i) Schriftlich au av a, au+ av a Nr. Da kommt Nullstellenform vor, die oft auch nützlich ist: = a( )( ) a) = ( + )( 5) = 0 b) = a( )( ) = a 5a + 6a = a + b + a = 6 b = 5a = 5 6 also = c) = a( + 7)( + ) = a + 8a + 7a = a + unmöglich für a eine Zahl zu finden, also unlösbar! Aufgabe 6 Nr. Freie Variable : Länge des Rechtecks, abhängige Variable = 69 Zielgrösse: Flächeninhalt A = = ( 69 : Breite des Rechtecks ) mit Nullstellenmethode: = 0, = 69 u = Quadrat mit Seite! Nr. Freie Variable : Länge des Rechtecks, abhängige Variable = 96 : Breite des Rechtecks Zielgrösse: Flächeninhalt A = = ( 96 ) mit Nullstellenmethode: = 0, = 96 u = 98 Rechteck mit Länge 98 und Breite 98 (halbes Quadrat)! Nr. Freie Variable : Seite des Grundquadrates, abhängige Variable = 8 = 6 : Höhe des Prismas a) Zielgrösse: Oberfäche S = + = + (6 ) = 6 + = 6( ) mit Nullstellenmethode: = 0, = u = Grundseite cm, Höhe cm Würfel! a) Zielgrösse: Mantelfäche M = = (6 ) = 8 + = 8( ) mit Nullstellenmethode: = 0, = u =.5 Grundseite.5 cm, Höhe cm Quader mit doppelt so grosser Höhe wie die Grundseite! Nr. Freie Variable : Länge des Fussballfeldes, abhängige Variable r = 00 a) Zielgrösse: Rechtecksfläche A = r = ( 00 ) mit Nullstellenmethode: = 0, = 00 u = 00 Länge 00 m, Radius 00 = 00 : Radius der Halbkreise m b) Zielgrösse: Ganze Fläche A = r + r = ( 00 ) + ( 00 ) = ( 00 )(00 + ) mit Nullstellenmethode: = 00, = 00 u = 0 Länge 0 m, Radius 00 m Kreis! Aufgabe 7 Nr. Prinzip: Tangente hat Gleichung = m + q und geht durch vorgegebenen Punkt, also können die Koordinaten des Punktes in der Gleichung eingesetzt werden. Daraus gibt sich ein Zusammenhang von m und q. a) P(, ) = m + q q = m = m + m für alle Geraden durch P. Durch Gleichsetzen von = und = m + m erhalten wir die quadratische Gleichung = m + m bzw. m + m = 0. Die Diskriminante D = m (m ) = m m + = (m ) entscheidet über die Lösbarkeit der Gleichung. Damit die Gerade Tangente an die Parabel ist, muss die Gleichung genau eine Lösung haben. Das ist der Fall, wenn m = ist. q = m = = b) = c) = 5 5 d) die Steigung ist doppelt so gross wie der Wert. e) Diskriminante D der Gleichung = m + 0 m 0 muss 0 sein: D = m (m 0 0 ) = m 0 m + 0 = m 0 m + 0 = (m 0) = 0 m = 0 q.e.d. Nr. a) m = =, m = 6 = 6 9 b) m = =, m = = b) m = =, m = = 0

10 Aufgabe 8: Vermischte Aufgaben Nr. a) flache Parabel mit Scheitel (0, ) b) Normalparbel mit Nullstellen - und 6 c) nach unten geöffnete, flache Parabel mit Scheitel (,.5) Nr. a) = ( ) + b) = c) = + + b) = b) = ( ) 9 c) = ( 6 ) + 7 Nr. a) Nullstellen: -,.5; Scheitel (, 9 8 ) b) Nullstellen: -7, ; Scheitel (, 8) c) Nullstellen: keine; Scheitel (, 7 ) Nr. Freie Variable r: Radius, abhängige Variable r: Bogen, α = r r 60: Zentriwinkel Zielgrösse: Sektorfläche A = α 60 r = r r r mit Nullstellenmethode: r = 0, r = r ma = Radius: 5 cm, Winkel:.6 Nr. 5 a) m = 6 = 6 9 b) m = = c) m = = +, m = = + d) m = 7 = 7 7, m = = 5

11 Kubische Funktionen Die einfachste kubische Funktion besitzt die Funktionsgleichung =, im allgemeinen Fall lautet die Funktionsgleichung = a + b + c + d mit den vier Parametern a, b, c und d.. =. = ( ) = +. = = ( + )( )( ) 5. = 6. = Aufgabe a) Erkläre die (Punkt-)Smmetrie des Graphen von =. b) Wo sieht man den Parameter d in den Graphen? c) Welche Bedeutung hat der Parameter a für das Aussehen der Graphen? d) Wie viele Hochpunkte bzw. Tiefpunkte kann der Graph einer kubischen Funktion grundsätzlich haben? e) Wie viele Nullstellen kann eine kubische Funktion mindestens bzw. höchstens haben? Begründe! f) Berechne alle Nullstellen der Graphen von den Beispielen und 6.

12 Aufgabe : Nullstellen Bestimme, wenn möglich die eakten Nullstellen der kubischen Funktionen und skizziere von Hand ihren ungefähren Graphen: a) = + b) = c) = d) = 6 e) = f) = Aufgabe : Sekantensteigungen Gegeben ist die kubische Funktion mit der Gleichung = Berechne die Steigung der Sekante zum Graphen zwischen den Punkten a) P(, ) und Q(, ). b) P(, ) und Q(., ). c) P(, ) und Q( + h, ) und setze h = 0.0, h = 0.00, h = 0.000,.... Aufgabe : Sekantensteigungen Gegeben ist sind die Punkte P(, ) und Q( + h, ) auf der jeweils gegebenen Kurve. Die vorkommenden Grössen a, b, c und d sind Parameter, also Platzhalter für bestimmte Zahlen. Berechne die Sekantensteigung zur Kurve mit der Gleichung a) = zwischen P und Q, wenn = und h =. b) = zwischen P und Q, wenn = und h beliebig ist. c) = zwischen P und Q, wenn und h beliebig sind. d) = a zwischen P und Q, wenn und h beliebig sind. e) = a + b zwischen P und Q, wenn und h beliebig sind. f) = a + b + c + d zwischen P und Q, wenn und h beliebig sind. Aufgabe 5: Tangentensteigungen In der Folge lassen wir die Zahl h gegen 0 streben, d. h. wir denken sie uns kleiner als jede mögliche vorgegebene reelle Zahl. Unter Verwendung der Aufgabe : Berechne die Steigung der Tangente an die Kurve mit der Gleichung a) = im Kurvenpunkt P(, ). b) = + 5 im Kurvenpunkt P(, ). c) = im Kurvenpunkt P(, ). d) = a + b + c + d im Kurvenpunkt P(, ). e) = a + b + c + d im beliebigen Kurvenpunkt P(, ). f) Berechne ohne Sekantensteigung: = im Kurvenpunkt P(, ). g) In welchen Kurvenpunkten von = liegen die Tangenten parallel zur -Achse?

13 Aufgabe 6: Ableitungsregeln Leite mit Hilfe von Regeln ab: a) f() = 0 e) f() = b) f() = f) f() = c) f() = g) f() = + 5 d) f() = h) f() = ( ) i) f() = ( ) j) f() = ( + )( + )( + ) k) f() = ( + ) l) f() = ( 5) Aufgabe 7: Kurvensteigungen Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung = a) Bestimme die Steigung des Graphen von f im Punkt P(, ). b) In welchen Punkten hat der Graph von f Tangenten, welche parallel zur -Achse verlaufen? c) In welchem Punkt Q des Graphen von f beträgt die Kurvensteigung 5? Aufgabe 8: Kurvengleichungen von kubischen Funktionen Bestimme die Gleichung einer kubischen Funktion von der Form = a + b + c + d, welche a) die Nullstellen -, und besitzt und deren Graph durch den Punkt P(, 6) geht. b) deren Graph im Punkt P(, 6) eine horizontale Tangente und in Q(, 0) die Steigung - besitzt. c) deren Graph im Punkt P(, 0) die Steigung 8 und im Punkt Q(, ) die Steigung besitzt. Aufgabe 9: Etremalaufgaben Stelle eine Zielfunktion auf und bestimme die maimalen Werte der Zielfunktion. a) Ein Karton ist 0 cm lang und 5 cm breit. Es soll eine Schachtel mit Deckel entstehen. Wie lang sind die Kanten der Schachtel mit maimalem Inhalt? b) Das Kantenmodell eines Quaders, der dreimal so lang wie breit ist, wird aus 50 cm Draht hergestellt. Wie lang sind die Kanten zu wählen, wenn die Oberfläche des Quaders möglichs gross sein soll? c) Wie hoch ist der gerade Kreiskegel mit Mantellinie cm, der grösstmögliches Volumen besitzt? Wie lang sind die Grundkanten? d) Einem geraden Kreiskegel (Radius: cm, Höhe: 6 cm) ist der Kreiszlinder mit maimalem Volumen einzubeschreiben. Berechne die Zlinderhöhe.