A1: Diplomvorprüfung HM II/III SS

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1 A: Diplomvorprüfung HM II/III SS Aufgabe Punkte a Führen Sie für den Bruch x+x x+3 b Berechnen Sie den Wert der Reihe k3 eine Partialbruchzerlegung durch k+k k+3 c Untersuchen Sie die Folge a n n N auf Konvergenz a n : 49n 5 7n + 3 Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an Lösung: a Nach dem Satz über die Partialbruchzerlegung existieren A, B, C R, sodass x + x x + 3 A x + + B x + C x + 3 Ax x Bx + x Cx + x x A + B + C + xa + 4B C + 6A + 3B C Mit Koeffizientenvergleich ergibt sich A ; 5B 3 B 5 ; C 3 5 Also: x + x x x + + x + 3 x + 3 b Sei N N Nach Teil a gilt für die Partialsumme S N das Folgende: N S N : k + k k + 3 N 5 5 k + + N N k + 3 k + 3 k3 k3 k3 k3 N+ N 5 5 k + N+3 k + 3 k k4 k k6 N k k6 5 N N + 3 N + 3 N N N + 5 N N N N N N + 3 N + 3 N 39 9

2 Daraus folgt k3 k + k k c a n 49n 5 7n n 5 7n 3 49n 5 + 7n 3 49n 5 49n 4n n 5 + 7n 3 4n 4 49n 5 + 7n n n n Wegen lim n n und der Stetigkeit der Wurzelfunktion ergibt sich: lim a n 4 n 4 3

3 A: Diplomvorprüfung HM II/III SS Aufgabe Punkte Gegeben sei die Kurve γ durch die Parametrisierung e γt t cosπt e t sinπt mit t R a Bestimmen Sie die Bogenlänge LT von γ für das Intervall [, T] für ein beliebiges T R + b Berechnen Sie Radius und Mittelpunkt des Krümmungskreises Cγt für t c Bestimmen Sie den Tangenteneinheitsvektor an den Stellen a k k und b k k+ 4 für beliebiges k Z Lösung: a Für gilt und γ t γt γ t γ t e t cosπt e t sinπt γ t e γ t t cosπt π e t sinπt e t sinπt + π e t cosπt γ t e t cosπt π e t sinπt + e t sinπt + π e t cosπt e t cos πt + 4π e t sin πt + e t sin πt + 4π e t cos πt e t + 4π Damit gilt für die Bogenlänge LT b Es gilt γ γ t t γ t T γ t dt T e t + 4π dt + 4π [ e t] T + 4π e T e t cosπt + 4πe t sinπt 4π e t cosπt e t sinπt 4πe t cosπt 4π e t sinπt Also ist und γ γ γ π 3

4 γ γ γ 4π 4π Daraus folgt für die Krümmung κt von γ im Punkt t κ γ γ γ γ γ 3 4π π 4π + 4π 3/ π + 4π + 4π 3/ π + 4π Für den Normalenvektor nt gilt außerdem für t n γ γ γ π + 4π Damit ist der Radius rt des Krümmungskreises Cγt für t r + 4π κ π und der Mittelpunkt γ + κ n + 4π + π π + 4π π c Es gilt γ a k γ k e k k, γ a k γ k πe k k, γ b k γ k+ 4 πe k+ 4 k πe k+ 4 k+ und γ b k γ k+ 4 e k+ 4 k e k+ 4 k+ Damit ist γ a k e k + 4π e k e k + 4π + 4π e k 4

5 und γ b k 4π e k+ + e k+ e k+ + 4π + 4π e k+ 4 Also folgt für den Tangenteneinheitsvektor vt an den Stellen t a k und t b k und va k γ a k γ a k γ a k e k + 4π e k k πe k k k + 4π π vb k γ b k γ b k γ b k ek π πe k+ 4 k+ e k+ 4 k+ k+ π + 4π 5

6 A3: Diplomvorprüfung HM II/III SS Aufgabe Punkte Es sei die Funktion f : R R gegeben durch { x y xy, falls x, y, fx, y x +y, falls x, y, a Bestimmen Sie den Stetigkeitsbereich von f b Berechnen Sie, soweit möglich, alle partiellen Ableitungen von f auf R c Berechnen Sie die Richtungsableitung bzgl e, im Punkt, Lösung: a Für x, y, ist f stetig, da f Komposition stetiger Funktionen ist Für x, y, verwenden wir Polarkoordinaten: x r cosϕ y r sin ϕ mit r [,, ϕ [, π Dann gilt: r 3 cos ϕ sin ϕ r 3 cosϕsin ϕ lim fr cosϕ, r sin ϕ lim r r r cos ϕ + r sin ϕ f ist auch stetig im Punkt,, also auf ganz R b Für x, y, : lim r rcos ϕ sin ϕ cosϕsin ϕ f x x, y xy y x + y x y xy x xy3 + x y y 4 x + y x + y f y x xyx + y x y xy y x4 x y x 3 y x + y x + y Für x, y, : f, lim x h h f, lim y h fh, f, lim h h f, h f, lim h h c f h, lim f, + h, f, lim 3 h 3 e h h h h h +h h h + + h 6

7 A4: Diplomvorprüfung HM II/III SS Aufgabe Punkte Gegeben seien ein Zylinder Z {x, y, z R x + y } und eine Ebene E : x + y + z a Finden Sie den Punkt x, y, z aus dem Schnitt Z E mit maximaler z-komponente b Bestimmen Sie alle Punkte aus dem Schnitt Z E mit maximaler x-komponente c Bestimmen Sie alle Punkte aus dem Schnitt Z E mit maximaler y-komponente Lösung: a Wir wollen das Maximum von z fx, y x y unter der Nebenbedingung x + y bestimmen Es gilt x + y x ± y mit y [, ] Da f y, y + y y > y y f y, y gilt, ist also nach dem Maximum von hy f y, y + y y auf dem Intervall [, ] zu suchen Die Kandidaten für Extremstellen auf, bestimmen wir aus h y y y y y y y y y ±, Außerdem sind die Ränder y ± Kandidaten für Extremstellen Einsetzen ergibt h, h +, h und h 3 z fx, y wird also maximal unter der Nebenbedingung x + y im Punkt x, y y,, und hat dort den Wert z h + b und c Alle Punkte aus dem Schnitt Z E erfüllen insbesondere die Gleichung x +y Damit ist,, der einzige Punkt aus dem Schnitt mit der maximalen x-komponente und,, der einzige Punkt aus dem Schnitt mit der maximalen y-komponente 7

8 A5: Diplomvorprüfung HM II/III SS Aufgabe Punkte i Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem von ẋt Axt mit 4 3 A : 6 ii Es sei ein Vektorfeld v gegeben mit v : 4x+y+3 x+4yz y +4z a Zeigen Sie, dass v die Integrabilitätsbedingung erfüllt b Berechnen Sie eine Stammfunktion g mit grad g v Die Aufgabe 6 ist von den Diplom -Wirtschaftsingenieuren nicht zu bearbeiten Lösung: i Zunächst berechnen wir die Eigenwerte: deta λe 4 λ 3 λ 4 λ λ λ λ 4 λ + 3 λ 6 λ λ 3 + 3λ + 9λ 7 λ + 3λ 3λ 3 Also sind λ 3, λ,3 3 die Eigenwerte Als nächstes bestimmen wir die zugehörigen Eigenvektoren: Zu λ 3: Also ist KernA + 3E 3 span{,, T } Zu λ,3 3: Also ist KernA 3E 3 span{,, T, 3,, T } 3 e 3t,e 3t,e 3t ist ein Fundamentalsystem 8

9 ii a Es ist zu zeigen, dass v v, v v 3 und v v 3 gilt y x z x z y Mit v y v x, v z v 3 x und v z 4y v 3 y ist also die Integrabilitätsbedingung erfüllt b Sei gradg v 4x + y + 3, x + 4yz, y + 4z T Dann ist g 4x + y + 3 x g x + xy + 3x + hy, z Differentiation nach y ergibt g y also ist h y, z 4yz und y x + h z y, z! x + 4yz, hy, z y z + kz g x + xy + 3x + y z + kz Differentiation nach z ergibt g z y + k z z! y + 4z k z z 4z und kz z + c ist also eine Stammfunktion g x + xy + 3x + y z + z 9

10 A6: Diplomvorprüfung HM II/III SS Aufgabe Punkte Gegeben sei eine Menge G : {x, y, z R 3 x + y z 6, z 3} und ein Vektorfeld V : a Skizzieren Sie G b Bestimmen Sie divv c Berechnen Sie das Integral Lösung: a G V dσ x y+x zy xy z z , - -,5-3 -5, -,5,,5 5,,,5 5, b divv V + V + V 3 x y z xy + + z xy z c Mit dem Satz von Gauß erhalten wir V dσ G G divv dx, y, z Wir müssen also das Volumen von G bestimmen xy Es sei mit ϕ < π, 3 z 3 und r 6 + z z r cos ϕ r sinϕ z VolG : π 3 6+z 3 π 57 dϕ 4π r dr dz dϕ π 3 3 r 6+z dz dϕ π z dz dϕ π 8z + z Es gilt also G V dσ 4π