Lehrstuhl II für Mathematik. Musterlösung zu. Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung. Höhere Mathematik III. Höhere Mathematik II und

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1 RHEINISCH-WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN Lehrstuhl II für Mathematik Musterlösung zu Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung Höhere Mathematik II/III, Höhere Mathematik II und Höhere Mathematik III Prüfer: Prof. Dr. E. Triesch Termin: 4..9

2 Aufgabe : Sei die Funktion gegeben. f : R R, f x,y = e 3x x + y und die Menge E := {x,y R x + y 4} a Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und Sattelpunkte von f auf R. b Existieren absolute Extrema von f auf R? Falls ja, wie lauten diese? Begründen Sie Ihre Antwort. c Existieren absolute Extrema von f auf E? Falls ja, wie lauten diese? Begründen Sie Ihre Antwort. zu a: Die Funktion f ist als Verkettung differenzierbarer Funktionen differenzierbar. Für die partiellen Ableitungen von f gilt: f x x,y = e3x x + 6y + 3x, f y x,y = e3x 4y und f x x,y = e3x x + 8y + 9x +, f y x,y = 4e3x, f yx x,y = f xy x,y = e3x y. Die Jacobimatrix von f ist J f x,y = e 3x x + 6y + 3x e 3x 4y und die Hessematrix e 3x x + 8y + 9x + e 3x y H f x,y = e 3x y 4e 3x. Die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines lokalen Extremums oder eines Sattelpunktes ist J f x,y =, also e 3x x + 6y + 3x = und e 3x 4y =. Somit sind die Punkte P =, und P = 3, genau die Kandidaten für ein lokales Extremum bzw. einen Sattelpunkt. Die Matrix H f, = ist positiv definit, also liegt im Punkt P =, ein lokales Minimum der 4 Funktion f vor. Die Matrix H f 3, = vor. zu b: Es gilt e 4e ist indefinit, somit liegt im Punkt P = 3, ein Sattelpunkt f x,y auf R, f, = und f x,y > für x,y,. Somit hat die Funktion f an der Stelle, ein globales Minimum auf R mit f, =. Nach a hat f kein lokales Maximum auf R, also auch kein globales. zu c: Wir wollen den maximalen und den minimalen Wert von f auf E bestimmen. Diese existieren, da f als stetige Funktion auf der kompakten Menge E ihr Maximum und Minimum annimmt. Nach a und b wissen wir, dass die Funktion f im Punkt P ein absolutes Minimum hat, da P in E liegt, hat f in P auch ein globales Minimum auf E.

3 Betrachten wir nun den Rand von E, um das absolute Maximum von f auf E zu finden: Wir ersetzen x +y in f x,y = e 3x y +x gemäß der Nebenbedingung y +x = 4, erhalten dadurch die Funktion hx = 4e 3x und ermitteln die Extremstellen der Funktion hx auf dem Intervall [-,]. Es ist h x = e 3x. Damit gilt h x. Es existieren also keine Extremstellen von h im Inneren von [-,]. Die einzigen Kandidaten für das absolute Maximum sind deswegen die Randpunkte x = und x = des Intervalls. Es ist hx = f, = 4e 6 und hx = f, = 4e 6. Da Teil b keine weiteren Kandidaten, außer dem Punkt P liefert P ist nur ein Sattel, ist das absolute Maximum von f auf E. f, = 4e 6

4 Aufgabe : Gegeben seien der Zylinder Z und die Kugel K mit Z := {x,y,z t R 3 x + y,z } und K := {x,y,z t R 3 x + y + z = 4}. Sei M = Z K ein Flächenstück und v : R 3 R 3 ein Vektorfeld gegeben durch z + y vx,y,z = xyz + x. xy z + xz Sei Φϕ, θ die Parameterdarstellung in Kugelkoordinaten von K. a Bestimmen Sie D R, sodass ΦD = M gilt. Tipp: Es gilt arccos = π 3. b Bestimmen Sie eine Normale n an M mit positiver dritter Koordinate. c Berechnen Sie rotv. d Berechnen Sie R vx,y,z dx,y,z mit Hilfe des Satzes von Stokes. M e Bestimmen Sie eine geeignete Parametrisierung von M. zu a: Es ist K = {x,y,z t R 3 x + y + z = 4}. Somit ist Φ : [,π] [ π, π ] mit Φϕ,θ = cosϕcosθ,sinϕcosθ,sinθt eine Parameterdarstellung von K. Wegen z gilt θ π. Weiter schließen wir aus der Bedingung x + y, dass 4cos ϕcos θ + 4sin ϕcos θ 4cos θ cos θ 4 cosθ θ [, π ] cosθ θ arccos = π 3. Für ϕ erhalten wir keine weiteren Einschränkungen. Also gilt [ π D = [,π] 3, π. ] zu b: Es gilt Φ ϕ ϕ,θ Φ θ ϕ,θ = sinϕcosθ cosϕcosθ cosϕsinθ sinϕsinθ cosθ = 4cosϕcos θ 4sinϕcos θ 4sinθcosθ. Wegen θ [ π 3, π ] folgt 4sinθcosθ, und somit n = Φϕ ϕ,θ Φ θ ϕ,θ.

5 zu c: Auf M gilt x + y = z x + y + z = 4 { z = 3, z x + y = { z = 3 x + y =, d.h. M ist eine Kreislinie um,, 3 mit Radius in der Ebene z = 3. Sie kann parametrisiert werden durch α : [,π] R 3 mit cost αt = sint. 3 zu d: Mit v = v,v,v 3 T gilt v x = yz + x y z + z, v y = yz xz xyz und v z = z + y xyz xy + x. Damit erhalten wir rotv = v 3 y v z v z v 3 x v x v y = x. zu e: Es gilt Z M vx,y,z dx,y,z Stokes = = Z M rotv do a,b,d = Zπ/ Z π π/3 = [sinϕ] π =. Zπ/ Z π π/3 rotvφϕ,θ ndϕdθ + + cosϕcosθ 4cosθsinθdϕdθ π/ Z π/3 8cos θsinθdθ

6 HM II.: a Berechnen Sie das Integral Z sinx + cosx sin tan x x dx mittels der Halbwinkelmethode Cayley-Substitution. b Überprüfen Sie, ob das folgende uneigentliche Integral existiert: Z sinhx + tanhx e x x dx. Hinweis: Versuchen Sie nicht das Integral in b auszurechnen. Verwenden Sie die Exponentialdarstellung der Hyperbolikusfunktionen und schätzen Sie mit x ab. zu a: Es sei f x = sinx+cosx tan x sin x. Substituiert man t = tan x t, so erhält man sinx =, cosx = t +t +t und dx = +t dt. Damit ergibt sich: Z sinx + cosx sin tan x Z t x dx = + t Z +t +t t + t Z t t +t dt = t t dt = +t + t t dt Also: Z Z f xdx = + t t dt = t + log t t = tan x tan x + log tan x. zu b: Es sei gx = sinhx +tanhx e x x. Mit sinhx = ex e x und tanhx = ex e x e x +e x erhält man Z sinhx + tanhx e x x dx = e x e x + ex e x e x +e x e x x = e x x Auf, gilt < e x < e x < und <. +e x +e x Insgesamt folgt demnach < sinhx + tanhx e x x Da R x dx existiert, existiert schließlich ebenso = e x x + e x + e x + e x < x. + e x. Z sinhx + tanhx e x x dx mittels Vergleichskriterium Majorantenkriterium für Integrale.

7 HM II.: a Untersuchen Sie die Funktion f x,y = { sinx 4 y 4 x +y x,y, x,y =, auf Stetigkeit. b Die Funktion gx,y = { x y x +y x,y, x,y =, ist stetig auf R \ {,}. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von g auf R \ {,}. c Berechnen Sie die Richtungsableitungen von hx,y := xgx,y im Punkt, in Richtung u,v T. zu a: Die Funktion f ist auf R \ {,} als Komposition stetiger Funktionen stetig. Zur Untersuchung der Stetigkeit im Punkt, verwenden wir die Potenzreihendarstellung der Sinus-Funktion. Für x, y, und x,y, gilt Damit ist f auch stetig in,. f x,y = sinx4 y 4 x + y = x4 y 4 3! x4 y 4 3 ± x + y = x + y x y 3! x + y 3 x y 3 ± x + y = x y 3! x + y x y 3 ± = f,. zu b: Es ist und g x x,y = xx + y x y x x + y = 4xy x + y g y x,y = yx + y x y y x + y = 4x y x + y. zu c: Die Ableitung im Punkt, in Richtung u,v T ist t t htu,tv h, = t tu u t v gtu,tv = t t ut t u +t v = v uu u + v.

8 Bitte benutzen Sie zur Beantwortung der Multiple Choice Aufgaben die vorliegenden Blätter. Nur dort werden die Antworten gewertet! 3 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: x x x x. 3x + x x 3x + = x x 3 + x = divergent - - keine der angegebenen Möglichkeiten x 4 4x x. x x 4 4x x x 4 4x x 4 = x x x 4 4x + x = x x = divergent - - keine der angegebenen Möglichkeiten sinx cosx x x + x 4x 4 + x 3. sinx cosx x x + x = x3 x 4x 4 +x 3 x = x3 3! x4 4! +Ox5 x 4x 4 +x 3 3! +Ox5 x! + x4 4! +Ox6 x x + 4x 4 +x 3 = x 3! x 4! +Ox 4x+ = 6

9 sinx + cosx + x + x x x 4 + 3x 3. sinx+cosx+x+ x = x x 4 +3x 3 x 3 3! = + x4 x x 4 +3x 3 x x x3 4! +Ox5 3! +Ox5 + x! + x4 4! +Ox6 +x+ x x 4 +3x 3 = x 3! + x 4! +Ox x+3 = 8 Mit der Regel von L Hospital gilt: ln x sinx x e x. x 4 divergent keine der angegebenen Möglichkeiten ln x sinx [ = ] x e x x x x cosx e x [ = ] x + sinx = / x e x = 4 x Mit der Regel von L Hospital gilt: tanx x + cosx. x x + 4 divergent keine der angegebenen Möglichkeiten tanx x+cosx [ x x = ] x+ x cos x sinx x [ = ] sinx cos 3 x cosx = x /4 = 4 4x 3/

10 4 Lösen Sie die folgenden Aufgaben zur Stetigkeit. Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D f und den maximalen Stetigkeitsbereich S f von { lnx + 3, falls x e f x = 5, falls e < x. Die Funktion lnx ist nur auf R > wohldefiniert. Somit ist D f =,. Die Funktion ln x + 3 ist auf, e stetig als Komposition stetiger Funktionen; die Funktion f x = 5 für x > e ist auch stetig. Weiter gilt lnx + 3 = 4 5 = f x, x e x e+ also ist S f =,e e,. Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D f und den maximalen Stetigkeitsbereich S f von { x 4 + x, falls x 3 f x = 3, falls 3 < x. Die Funktion x 4 ist genau auf, ] [, wohldefiniert und es gilt ± < 3 somit ist D f =, ] [,. Die Funktion x 4 + x ist auf, ] [,3 stetig als Komposition stetiger Funktionen; die Funktion f x = 3 für x 3, ist auch stetig. Weiter gilt x 4 + x = = f x, x 3 x 3+ also ist S f = D f \ {3}.

11 Die Funktion f : R R sei gegeben durch f x,y = { e x y y y+ + x, falls x,y,, falls x,y =, Bestimmen Sie den maximalen Stetigkeitsbereich von f. Die Funktion f ist auf R \ {, } stetig als Komposition stetiger Funktionen. Weiter gilt für x n,y n = + n, + n n, : f x n,y n = e+ n + n + n n + n also ist S f = R \ {, }. = e+ n 3 n + n n + n = e+ n 3 + n n + n e 3 = f,, Die Funktion f : R R sei gegeben durch f x,y = { e x x 4 +y 4, x +y 4 falls x,y,, falls x,y =, Bestimmen Sie den maximalen Stetigkeitsbereich von f. Die Funktion f ist auf R \ {,} stetig als Komposition stetiger Funktionen. Weiter gilt für x n,y n = n, n n,: also ist S f = R \ {,}. f x n,y n = e n + e n 4 n 4 n + n + = n n + = f,, n n 4 n Sei f x = x x+3 x 3 4x. An welchen Stellen außerhalb des maximalen Definitionsbereiches von f ist die Funktion stetig +x+6 ergänzbar? an keiner der oberen Stellen Es gilt f x = x x+3 x x+x 3. Also gilt D f = R \ {,,3} und f ist an der Stelle stetig ergänzbar.

12 Sei f x = x+x 3 x 3 +x. An welchen Stellen außerhalb des maximalen Definitionsbereiches von f ist die Funktion stetig 5x 6 ergänzbar? an keiner der oberen Stellen Es gilt f x = x+x 3 x x+x+3. Also gilt D f = R \ {,, 3} und f ist an der Stelle stetig ergänzbar. 5 Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben zur Differenzierbarkeit: Bestimmen Sie den maximalen Differenzierbarkeitsbereich von, x falls x < f x = x 3 +, falls x. 3x, falls x > Die Funktion f ist auf R \ {, } differenzierbar als Komposition differenzierbarer Funktionen und es gilt, x < x 3 f x = 3x, < x <. 3, x > Die Differenzierbarkeit muss nur noch in den Punkten x = und x = überprüft werden. Zunächst zeigen wir, dass f x im Punkt x = differenzierbar ist. Es ist Und: Folglich ist f = 3. Für x = hingegen gilt: Aber, es ist f + h f 3 + h = = 3 h + h h + h f + h f + h 3 + 3h + 3h + h 3 = = = 3 h h h h h h f + h f h 3 + = = h + h h + h f + h f = h h h h h = h Also ist R \ {} der maximale Differenzierbarkeitsbereich von f x. h h hh =.

13 Bestimmen Sie den maximalen Differenzierbarkeitsbereich von, x falls x < f x = x +, falls x. 3x, falls x > Die Funktion f ist auf R \ {, } differenzierbar als Komposition differenzierbarer Funktionen. Die Differenzierbarkeit muss nur noch in den Punkten x = und x = überprüft werden. Zunächst zeigen wir, dass f x im Punkt x = differenzierbar ist. Es ist f + h f = h h h h h = h h h hh = und Folglich ist f =. Für x = hingegen gilt: f + h f h + = = h + h h + h Aber, es ist f + h f + h + 3 = = h h h h f + h f 3h + 3 3h + 6h = = = 6 h + h h + h h + h Also ist R \ {} der maximale Differenzierbarkeitsbereich von f x. Bestimmen Sie die partielle Ableitung der folgenden Funktion nach x. Z e xy f x,y,z = s + s ds z Laut Vorlesung gilt für die Funktion Fs := gs R a ht dt F s = hgs g s. Also ist f x = yexy e xy + e xy. Bestimmen Sie die partielle Ableitung der folgenden Funktion nach y. Z e xy f x,y,z = s + s ds z Laut Vorlesung gilt für die Funktion Fs := gs R a ht dt F s = hgs g s. Also ist f y = xexy e xy + e xy.

14 Berechnen Sie die Richtungsableitung von f : R R gegeben durch f x,y = im Punkt, in Richtung,3 t. { x y, y +x falls x,y,, falls x,y =, a 3 3, oder b -, oder c, oder d -, oder e Keiner der angegebenen Werte. a b c d e Die Richtungsableitung von f im Punkt, in Richtung,3 t lautet 3h f h,3 f, 3 h = 3 = h h h h h = 3. Berechnen Sie die Richtungsableitung von f : R R gegeben durch f x,y = im Punkt, in Richtung, t. { x y, y +x falls x,y,, falls x,y =, a 3 3, oder b -, oder c, oder d -, oder e Keiner der angegebenen Werte. a b c d e Die Richtungsableitung von f im Punkt, in Richtung, t lautet h f h, f, 3 h = = h h h h h =. 6 Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben zu den Anwendungen der mehrdimensionalen Differentialrechnung. Gegeben sei f : R R, f x,y = cosxy mit grad f = sinxyy, sinxyx und cosxyy cosxyxy sinxy Hessematrix cosxyxy sinxy cosxyx. Bestimmen Sie das Taylorpolynom. Ordnung von f in der Form a + a x π + a y + + a 3 x π y + + a 4x π + a 5 y +. a = a = a = a 3 = a 4 = a 5 = Es gilt mit v = π, f v =, f v =, π und f x = Damit ergibt sich das Taylorpolynom zweiten Grades um v zu:. T v x,y = f v + f v x,y v +! x,y v t f v x,y v = x π + π y + + y + x π.

15 Gegeben sei f : R R, f x,y = cosxy mit grad f = sinxyy, sinxyx und cosxyy cosxyxy sinxy Hessematrix cosxyxy sinxy cosxyx. Bestimmen Sie das Taylorpolynom. Ordnung von f in der Form a + a x + π + a y + a 3 x + π y + a 4x + π + a 5 y. a = a = a = a 3 = a 4 = a 5 = Es gilt mit v = π, f v =, f v =, π, f x =. Damit ergibt sich das Taylorpolynom zweiten Grades um v zu: T v x,y = f v + f v x,y v +! x,y v t f v x,y v = x + π π y + y x + π. Gegeben sei die Funktion Fx,y = e x cosxy. Existiert nach dem Satz über implizit definierte Funktionen lokal um den Punkt, t eine Auflösung der Gleichung Fx,y = in der Form x = f y? Ja Nein Sei a =, t. Es gilt Fa = und F x = ex cosxy ysinxy, also F a =. x Also existiert nach dem Satz über implizit definierte Funktionen lokal um a eine Auflösung der Gleichung Fx,y = nach x. Gegeben sei die Funktion Fx,y = e x sinxy + y. Existiert nach dem Satz über implizit definierte Funktionen lokal um den Punkt, t eine Auflösung der Gleichung Fx,y = in der Form x = f y? Ja Nein Sei a =, t. Es gilt F x = ex ycosxy + sinxy, also F a =. x Also existiert nach dem Satz über implizit definierte Funktionen lokal um a eine Auflösung der Gleichung Fx,y = nach x.

16 7 Beantworten Sie die folgenden Fragen zu Kurven. Die Kurve α sei gegeben durch die Parametrisierung t 4 t π αt =,t [,π]. sint... Berechnen Sie den Tangenteneinheitsvektor der Kurve α im Punkt t = π. π 5 a 6 oder b oder c oder d oder e Keiner der 3 angegebenen Vektoren.... Ist die Kurve α geschlossen?... Berechnen Sie einen nicht notw. normierten Normalenvektor der Kurve α im Punkt t =. cos 4 π + π a π oder b oder c + π cos cos 3 π 3 + π 3 π 3 + π oder d oder e Keiner der 3cos angegebenen Vektoren.... a b c d e... Ja Nein... a b c d e... Berechnen Sie die Krümmung der Kurve α im Punkt π.

17 Es ist α 4t 3 t π + t 4 t π t =. Also ist α cost π = 6 π5 und α π =, somit erhalten wir als den Tangenteneinheitsvektor der Kurve α im Punkt t = π.... Es ist α = = απ, also ist α geschlossen.... Der Normalenvektor an der Stelle t = berechnet sich zu α n = cos α = 4 π. + π... Die Krümmung im Punkt t erhält man durch Es ist α π = und α t = sint. Damit ist κt = α tα t α tα t α t 3. π π5 6 κ = = 5 6 π5 3 π. 7 Beantworten Sie die folgenden Fragen zu Kurven. Die Kurve α sei gegeben durch die Parametrisierung t 3 t π 3 αt =,t [,π]. 3sint... Berechnen Sie den Tangenteneinheitsvektor der Kurve α im Punkt t = π. π 5 a 6 oder b oder c oder d oder e Keiner der 3 angegebenen Vektoren.... Ist die Kurve α geschlossen? a b c d e... Ja Nein

18 Berechnen Sie einen nicht notw. normierten Normalenvektor der Kurve α im Punkt t =. cos 4 π + π a π oder b oder c + π cos cos π 3 + π 3 π 3 + π oder d 3 oder e Keiner der cos angegebenen Vektoren.... a b c d e... Berechnen Sie die Krümmung der Kurve α im Punkt π. 8 Es ist α 3t t π 3 + 3t 3 t π t =. Also ist α 3cost π = und α π = 3, somit erhalten wir als den Tangenteneinheitsvektor der Kurve α im Punkt t = π.... Es ist α = απ, also ist α nicht geschlossen.... Der Normalenvektor an der Stelle t = berechnet sich zu α n = cos α = 3 π 3 + π.... Leider ist uns an dieser Stelle ein Fehler unterlaufen: Wir haben übersehen, dass auch der Nenner des Bruches Null wird. Dadurch konnte man die Krümmung nur mühselig als Grenzwert ausrechnen es kommt ein Wert raus, der fast Null ist. Wir haben deshalb allen Teilnehmern der Klausur für diese Teilaufgabe 4 Punkte gegeben unabhängig von der Klausurvariante und der angegebenen Lösung. Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben zu Differentialgleichungen und Differentialgleichungssystemen. Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung y = y sinxcosx, für x π,. Sie brauchen den maximalen Definitionsbereich der Lösungen nicht zu bestimmen.

19 y = ist eine Lösung der Differentialgleichung. Für y ist die gegebene DGL äquivalent zu dy y = sinxcosxdx, also einer DGL mit getrennten Veränderlichen. Für y erhalten wir weitere Lösungen aus dem Ansatz Z dy y = Z Durch äquivalente Umformungen erhalten wir daraus Die Lösungen der DGL lauten also y = sin x + c y = sinx cosxdx. sin x + c, c R. yx = und yx = sin x + c mit c R. Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung y = y tanx cos x, für x, π. Sie brauchen den maximalen Definitionsbereich der Lösungen nicht zu bestimmen. y = ist eine Lösung der Differentialgleichung. Für y ist die gegebene DGL äquivalent zu dy Veränderlichen. Für y erhalten wir weitere Lösungen aus dem Ansatz Z dy y = Z Durch äquivalente Umformungen erhalten wir daraus y = tanx dx, cos also einer DGL mit getrennten x tanx cos x dx. y = tan x + c, c R Die Lösungen der DGL lauten also y = tan x + c. yx = und y = tan mit c R. x + c

20 Bestimmen Sie die Lösung des Anfangwertproblems y = e 4x + x + 4y, y =. Sie brauchen den maximalen Definitionsbereich der Lösungen nicht zu bestimmen. Die gegebene DGL ist äquivalent zu y 4y = e 4x + x, also einer linearen DGL -ter Ordnung für y. Nach Vorlesung löst man eine lineare DGL. Ordnung der Form y x + gxyx = hx gemäß der Formel Z x yx = e y Gx + hte Gt dt x mit Gx = Z x x gsds. Mit gx = 4, hx = e 4x + x, x = und y = haben wir hier Gx = Z x 4ds = [ 4s] x = 4x, und somit mit P.I. Z x yx = e 4x + e 4t e 4t +t dt [ = e 4x t + 4 e 4t 4 te 4t = e 4x x x als Lösung des Anfangswertproblems. 6 e 4t Z x = e 4x + e 4t t dt ] x

21 Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y = e x x + + y, y = 4. Sie brauchen den maximalen Definitionsbereich der Lösungen nicht zu bestimmen. Die gegebene DGL ist äquivalent zu y y = e x x +, also einer linearen DGL -ter Ordnung für y. Nach Vorlesung löst man eine lineare DGL. Ordnung der Form y x + gxyx = hx gemäß der Formel Z x yx = e y Gx + hte Gt dt x Mit gx =, hx = e x x +, x = und y = 4 mit Gx = haben wir hier Z x x gsds. Gx = Z x ds = [ s] x = x, und somit mit P.I. yx = e x Z x 4 + e t e t t + dt = e x = e x [ 4 + t e t + te t + ] x 4 e t = xe x 4 + x 4 + Z x + e t t + dt als Lösung des Anfangswertproblems. Wählen Sie alle Eigenwerte der folgenden Matrix aus Das charakteristische Polynom von A ist λ det 5 λ λ = λdet λ 5 4 λ Die Eigenwerte von A sind also λ =, λ = 3 und λ 3 =. = λλ 3λ +.

22 Wählen Sie alle Eigenwerte der folgenden Matrix aus Das charakteristische Polynom von A ist λ det λ λ = λdet λ λ = λ3 + λλ +. Die Eigenwerte von A sind also λ =, λ = 3 und λ 3 =. Berechnen Sie eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert λ = der Matrix A = Wir berechnen die Eigenvektoren von A zum Eigenwert λ =. A E3v = : 4 4 Daher ist v = 8 ein Eigenvektor zu λ =. Da rga E3 =, bildet v eine Basis des 4,5 Eigenraumes zu λ =. Berechnen Sie eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert λ = der Matrix A =

23 Wir berechnen die Eigenvektoren von A zum Eigenwert λ =. A E3v = : 4 4 Daher ist v = 4 Eigenraumes zu λ =. II+I,III+I ein Eigenvektor zu λ =. Da rga E3 =, bildet v eine Basis des 5 Gegeben sei die Matrix B = 5 3 mit Eigenwerten λ = 5 einfach, λ = zweifach und Eigenvektoren v = 5 zu λ und v =, v 3 = zu λ. 6 Berechnen Sie die Lösung des Anfangwertproblems x t = Bxt und x =. Ein Fundamentalsystem von x t = Bxt ist also e5t 5,e 3t 6,e 3t. Alle Lösungen von x t = Bxt sind also gegeben durch xt = c e 5t 5 + c e 3t + c 3 e 3t 6 c,c,c 3 R. Mit der Anfangswertbedingung ist = x = c c + c 3. Dies gilt genau dann, wenn c =, c = 3 und c 3 = 7.

24 Gegeben sei die Matrix B = 3 3 mit Eigenwerten λ = einfach, λ = 3 zweifach und Eigenvektoren v = 3 zu λ und v =, v 3 = zu λ. Berechnen Sie die Lösung des Anfangwertproblems x t = Bxt und x =. Ein Fundamentalsystem von x t = Bxt ist also gegeben durch e t 3,e t,e t. Alle Lösungen von x t = Bxt sind also gegeben durch xt = c e t 3 + c e t + c 3 e t c,c,c 3 R. Mit der Anfangswertbedingung ist = x = c 3 + c + c 3. Dies gilt genau dann, wenn c =, c = und c 3 =. 9 Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben zu Kurven- und mehrdimensionalen Integralen: Berechnen Sie das absolute Kurvenintegral Z x + y + xy dx,y, α wobei α : [,π] R cost + 3,αt =. sint 3π + 4 6π π π π + 96 keiner der oberen Werte Es gilt α t = sint cost und α t = 4sin t + 4cos t =. Damit Z ist Z π x + y + xy dx,y = 4cos t + cost sin t + cost + 3sint dt αz π = 8+4cost+8+6costsint+4sint dt = [ 6t + 4sint + 8sin t 4cost ] π = 6π + 48.

25 Berechnen Sie das absolute Kurvenintegral Z x + y + xy dx,y, α cost wobei α : [,π] R,αt = sint π π π π 5 6 π keiner der oberen Werte Es gilt α t = Damit ist Z αz π x + y + xy dx,y = sint cost Z π und α t =. 5 = 8 + sint + cost + sintcost dt [ 4 5 = 8 t cost + sint + ] π 8 sin t = 5 8 π +. 4 cos t + 4 sin t + sint + + costsint + cost Berechnen Sie das orientierte Kurvenintegral Z x + y + x + z + dx + e x zdy + z xydz α 3 mit α : [,] R 3,αt = e t. t dt α t =,e t,4t t. Damit gilt Z Z x + y + x + z + dx + e x zdy + z xydz = + e t e 3 t + 4tt 3e t dt α[ = e 3 e t + 8 ] Z 4 t4 + t e t te t dt = [ e 3 e t + t 4 t e t te t] Z + 4te t + e t dt = [ e 3 e t + t 4 t e t te t + 4te t + 8e t] = e 4 + e e + 4e + 8e e 3 8 = e 4 e 3 e 6. Berechnen Sie das orientierte Kurvenintegral Z x + y + x + z + dx + e x zdy + z xydz α mit α : [,] R 3,αt = e t. 4t α t =,e t,8t t. Damit gilt Z x + y + x + z + dx + e x zdy + z xydz = αz = Z e t e 4t e t + 3t 3 6te t dt = e e t 4t e t + 8t 4 6te t + + e t e 4t + 8t4t e t dt Z 8te t + 6e t dt = e 3 4e + 8 6e e + 8te t + 8e t = e 3 e e e + 8e 8 = e 3 e 4e.

26 Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f : R R, f x,y = xy x + y +, existiert nicht oder kreuzen Sie existiert nicht an, falls f keine Stammfunktion besitzt. f ist exakt, denn f x = f y. Deswegen besitzt f eine Stammfunktion. Für eine Stammfunktion F von f gilt, wegen gradf = f : F x = xy Fx,y = x y + cy F y x,y = x + c y = x + y + c y = y + cy = y + y + c. Also ist Fx,y = x y + y + y eine Stammfunktion von f. existiert nicht Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f : R R 3x y +, f x,y = x 3 + y, oder kreuzen Sie existiert nicht an, falls f keine Stammfunktion besitzt. f ist exakt, denn f x = f y. Deswegen besitzt f eine Stammfunktion. Für eine Stammfunktion F von f gilt, wegen gradf = f : F x = 3x y + Fx,y = x 3 y + x + cy F y x,y = x 3 + c y = x 3 + y c y = y cy = y3 3 + c. Also ist Fx,y = x3 y + x + y3 3 eine Stammfunktion von f. Berechnen Sie das folgende mehrdimensionale Integral: Z x + y z dx,y,z mit D := {x,y,z R 3 x + y + z und z }. D Mit Kugelkoordinaten x,y,z = r cosϕcosθ,r sinϕcosθ,r sinθ gilt nach dem Transformationssatz: Z x + y z dx,y,z D Z π Z Z π = = Z π Z Z π = π Z r cos ϕcos θ + r sin ϕcos θ r sin θr cosθdθdrdϕ r 4 cos θ sin θcosθdθdrdϕ = π r 4 [sinθ 3 sin3 θ ] π Z Z π Z dr = π r 4 [ 3 dr = π 5 r5 r 4 sin θcosθdθdr ] = π 5.

27 Berechnen Sie das folgende mehrdimensionale Integral: Z x z + dx,y,z mit D := {x,y,z R 3 x + y + z und y }. D Mit Kugelkoordinaten x,y,z = r cosϕcosθ,r sinϕcosθ,r sinθ gilt nach dem Transformationssatz: Z Z π Z Z π x z + dx,y,z = r cos ϕcos θr sinθ + r cosθdθdrdϕ π D Z π Z Z π = = Z π Z r 5 cos ϕcos 3 θsinθ + r cosθdθdrdϕ π [ ] π 4 r5 cos ϕcos 4 θ + r sinθ π drdϕ = Z π Z 4r drdϕ = [ ] 4 3 r3 π = 4π 3.