Kegelschnitte - Teil 5

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1 5. Details: Parabel 5.1 "Normallage" und "Standardlage" Kegelschnitte - Teil 5 Die Punkte auf der Parabel liegen smmetrisch zur Mittellinie, der "Achse der Parabel". In der "Normallage" ist dies die -Achse des Koordinatensstems. Der Graph ist ausgehend vom Scheitel im Koordinatenursprung nach rechts geöffnet. Zur Definition einer Koordinatengleichung dient der Brennpunkt. Die Punkte auf der Parabel liegen smmetrisch zur Achse der Parabel. F ist der Brennpunkt, S der Scheitel par: = p Bei Drehung um 9 bzw. äquivalent dazu einer Vertauschung der Variablen entsteht eine Form, die zur üblichen, gewohnten Darstellung von Funktionen f() passt, die "Standardlage". par: = (1/p) (Die einfachste Form dazu ist f: =.) Die "Achse der Parabel" ist hier die -Achse des Koordinatensstems. Die "Normalparabel" = läuft durch das Minimum S( ) (der "Scheitel"). f: = a bedeutet geometrisch eine Dehnung oder Stauchung. Damit kann für a < die Parabel auch nach unten zeigen, also nur negative Werte annehmen; der Scheitel ist dann das Maimum. Zusammenhang p = 1/a. "Kontrollrechnung": 9 Drehung ist äquivalent zur Variablenvertauschung Für eine Drehung um ist (in Vektorschreibweise) g = gedreht = D D = ( cos (φ) sin (φ) 1) ) für = 9 D = ( sin (φ) cos (φ) 1 ) Für die Koordinaten: g = - und g = Eingesetzt in = p : (- g ) = p g g = (1/p) g Allgemeine Form in der Standardlage Die Parabel kann auch in Richtung und verschoben sein. Dann ist der Scheitel S(o o). Die allgemeine Form ist damit par: = a ( - o) + o Ausmultipliziert: = a - o + o + o Das ist der bekannte allgemeine Ausdruck als Polnom. Grades f: = a + b + c Für den Scheitel gilt als Zusammenhang o = - b/ (a) und o = c - ao. Herleitung der Scheitelform aus der allgemeinen Form durch quadratische Ergänzung (± halber Koeffizient des linearen Terms): = a + b + c = a { + b/a } + c = a { + b/a + (b/a) - (b/a) } + c = = a { + (b/a)} + c - a (b/a) = a ( - o) + o 17, A. Kratochwill Kegelschnitte Seite 1 (von 11)

2 5. Brennpunkt und Leitlinie Im Zusammenhang mit der Normallage ( = p ) wurde definiert: Die Parabel ist die Menge aller Punkte, die von einem Brennpunkt F(p/ ) und einer Leitlinie gl: = - p/ den gleichen Abstand haben. Man kann auch die Abstandsbedingung als Voraussetzung wählen und daraus die Koordinatengleichung herleiten. Wo liegen Brennpunkt und Leitlinie in der Standardlage ( = a, mit a = 1/p)? Eine 9 Drehung führt zu F( p/) und gl: = - p/. Die Verschiebung S( ) S(o o) ist für jeden Punkt anzuwenden. Damit F(o p/ + o) = F(o 1/a + o). Die Dehnung/Stauchung mit a ist in p schon enthalten. Die Verschiebung führt zu gl: = -p/ + o = - 1/a + o. Kontrolle: Abstand Scheitel zu Leitlinie (1) = Abstand Scheitel zu Brennpunkt () = p/ = 1/a Der Abstand (1) ist als senkrechter Abstand beim gleichen wie der Scheitel definiert. Für die Abstandsquadrate (1) ( o - o ) + (-1/a + o - o ) = (1/a) (zur Leitlinie) () ( o - o ) + ( 1/a + o - o ) = (1/a) (zum Brennpunkt F) Überprüfung, dass der Abstand von jedem Punkt auf der Parabel zum Brennpunkt bzw. zu Leitlinie gleich ist: Für die Normallage: par: = p ; P(o o); Brennpunkt F(p/ ); Leitlinie gl: = - p/ zum Brennpunkt: d1 = (o - p/) + o = o - p o + p / + p o = (o + p/) zur Leitlinie (Lotabstand): d = (o - (-p/)) d1 = d Für die Standardlage: par: = a ; P(o o); Brennpunkt F( 1/(a)); Leitlinie gl: = - 1/(a) zum Brennpunkt: d1 = o + (o - 1/a) = o +o - o/a + 1/(16 a ) o/a = o /; d1 = o + o / + 1/(16 a ) zur Leitlinie: d = (o + 1/a) {gleiche -Koordinate, weil Lotabstand) d = o + o / + 1/(16 a ) d1 = d 5.3 Brennpunkt-Eigenschaft Der Name "Brennpunkt" weist darauf hin, dass alle Strahlen, die parallel zur Parabelachse einfallen, in diesen Punkt reflektiert werden (und umgekehrt). Skizze für Normallage Rechnerische Verifikation für die Standardlage " = a " {Dabei werden keine weiteren Annahmen zur Lage der Geraden gemacht!} Brennpunkt F( 1/a); Punkt auf der Parabel P(p p). Strahl ausgehend von F. p Vektor FP = ( p 1 a ) = e; die Refleion erfolgt an der Tangente im Punkt P. Bekannt ist die Steigung der Tangente, m = a p {Eine Normale dazu hat die Steigung m' = -1/m.} Ein möglicher Vektor dazu: m' = / ; wenn = 1 ist = m' n = ( 1 m ) Refleionsformel r = e - (e n / n n) n e n = p - (a p - 1/a) / ( a p); n n = / ( a p) {... Rechenarbeit nötig, aber interessant ist nur das Ergebnis!} r = ( T ) mit T = ( a p + 1) / ( a) { Reflektierte Strahlen parallel zur -Achse. } 17, A. Kratochwill Kegelschnitte Seite (von 11)

3 Übung 1: Für jeden von F auf irgendeinen Punkt P auf der Parabel fallenden Strahl geht der reflektierte Strahl in Richtung -Achse, ist also parallel zur Parabelachse! a = 1/3; P = 6; P(6 1); F( 3/); e = FP = ( 6 5 ); m = a p = ; m' = -1/m = -1/ n = ( 1 1 ); e n = 6-5/16 = 51/16; n n = 1 + 1/16 = 17/16 r = e - (e n / n n) n = ( ) - (51/16 16/17) ( 1 ) = ( 6 5 ) - 1/17 ( 1 1 ) = ( 51 ) Wir erhalten eine Parallele zur -Achse als reflektierten Strahl zum einfallenden FP. Übung : Ein anderer Versuch ist, diese Brennpunkt-Eigenschaft mit einer Kombination Skizze und Rechnung zu verifizieren. {Rechnerische Überprüfung für " = a "} An einem Punkt P auf der Parabel betrachten wir die Linie FP und eine Gerade ga parallel zur Parabelachse. Die Gerade ga schneidet die Leitlinie gl im Punkt S. Die Skizze legt nun nahe, dass die Tangente gt die Linie FS halbiert, Schnittpunkt U. Dann sehen wir kongruente Dreiecke PSU und PFU. Der Einfallswinkel (F-U-P) und der Ausfallswinkel (U- P-S) sind gleich. Die Gerade vom Brennpunkt aus, FP, und die zur Parabelachse parallele Gerade (kollinear zu SP ) beschreiben die Refleion an P. P(p a P ); F( 1/a); Leitlinie gl: = - 1/a Die Koordinaten von S sind aus der Skizze ablesbar: S(p -1/a) Als "Übung" kann man rechnen: Gerade gps: = p + t v; Leitlinie: gl: = ( 1 ) + s ( 1 a ) Schnitt: gps = gl; s = p; t = { a p + 1} / {a}; damit S(p -1/a) U liegt in der Mitte von F und S: U(p/ ) F und die Leitlinie haben gleichen -Abstand vom Scheitel; U liegt auf der Höhe des Scheitels "Rechnerisch" ist u = f + (1/) FS Schon vom Ansatz her sind FU und US gleich lang. (Länge) = p / + a /16 PU ist gleich für beide Dreiecke. FU (US, FS ) und PU sind orthogonal. Skalarprodukt (für FU und PU ): ( p 1 a ) ( p a ) = p Die Bedingung für kongruente Dreiecke ( gleiche Seiten, gleicher eingeschlossener Winkel) ist erfüllt. Der Einfallswinkel (F-U-P) und der Ausfallswinkel (U-P-S) sind gleich. 17, A. Kratochwill Kegelschnitte Seite 3 (von 11)

4 Übung 3: Möglich ist auch eine direkte Überprüfung, ob Einfallswinkel = Ausfallswinkel. Einfallender Strahl e, reflektierter Strahl r. (Parabel = a ) Einfallswinkel = Winkel zwischen e und der Tangente t Ausfallswinkel = Winkel zwischen Tangente und PS p Vektoren: FP = e = ( a p 1 a ); Tangente: m = a 1 p t = ( a p ); für r am einfachsten ein Einheitsvektor in Richtung -Achse r = ( 1 ) Um Rechenarbeit zu sparen, wird "cos(, ) t " verglichen. Für Ausfallswinkel : r t = a p; r = 1; cos( ) t = a p Für Einfallswinkel : Abkürzung Z = (a p - 1/a) e t = p + Z a p; e e = p + Z cos( ) t = {p + Z a p} / {p + Z } 1/ nach einigen (!) Umformungen ist dies a p Die Gleichheit bestätigt =. Zahlenbeispiel dazu (mit geringerem Rechenaufwand) a = 1/; p = 3 Parabel = (1/) ; P(3 9/); F( 1/) Tangente Steigung m = 3; ausfallender Strahl parallel -Achse e = FP = ( 3 ); t = (1 3 ); r = ( ); e t = 15; e e = 5; t t = 1; r t = 3; r r = 1 1 Einfallswinkel cos( ) = 15 / (5 1),99; 18, Ausfallswinkel cos( ) = 3 / 1; 18, = bestätigt. 5. Tangenten Für eine Tangente an die Parabel im Punkt P(p p) gilt in der Normalform " = p " p = p ( + p) Mögliche Herleitung: = p d /d = d/d = p d/d = p / am Punkt P: d/d = p / p (das ist die Steigung m der Tangente) Ansatz Gerade: = m + c an P: p = (p / p) p + c c = p - p p / p Tangente = p / p + p - p p / p p = p + p - p p = p + p p - p p Für " = a " ist die Tangente = ( a p ) - a p d/d = a p = ( a p) p + c c = p - a p = ( a p) + p - a p {Durch Koordinatenvertauschung erhält man wieder den vorigen Ausdruck für die Normalform. = ( a p ) - a p und = a also p = a p ( + p ) = a p p = p ( + p )} In der allgemeinen Form " = a + b + c" etwas länger: Tangente: = ( a p + b p) + (a p + b) p - ( a p + b p) p + c Berührbedingung in der Normalform: Die Gerade = m + c soll eine Tangente sein. Dann berührt sie die Parabel in 1 Punkt; schneidet sie nicht (in Punkten) und läuft nicht vorbei (kein reeller Schnittpunkt). = p m + c + m c - p = m + (m c - p) + c = 1, = { (p - m c) [ m c + p - 8 m c p - m c ] 1/ } / m 1 Lösung folgt über die Diskriminante mit p = 8 m c p p = m c 17, A. Kratochwill Kegelschnitte Seite (von 11)

5 Polare und Tangenten von einem Pol aus Die Polare ist die Gerade durch die beiden Berührpunkte der Tangenten, die durch einen Pol gehen, an die Parabel. Pol Q(o o) Berührpunkte B1(1 1) und B( ) Tangenten, die durch den Pol und einen Berührpunkt gehen: 1 o = p (o + 1) und o = p (o + ) Differenz: o (1 - ) = p (1 - ) Damit ist (1 - ) / (1 - ) = p / o = m die Steigung der Polaren {Gerade durch B1 und B} Ansatz als Gerade: ( - 1) = m ( - 1) {gleiches Endergebnis für B} Einsetzen von m: ( - 1) = (p / o) ( - 1) Umgeordnet: o - 1 o = p - p 1 Für 1 o Tangentengleichung eingesetzt: o - p o - p 1 = p - p 1 In einer Form ähnlich der Tangente: pol: o = p ( + o ) Für die weiteren Schritte sind zwar allgemeine Formeln möglich. Im Regelfall führt man das aber für die konkreten Angaben einer Aufgabenstellung durch. 1) Der Schnitt der Polare mit der Tangente liefert eine quadratische Gleichung für der Berührpunkte. ) Aus Berührpunkt und Pol folgt die Tangentengleichung, z.b. in der Form = m + c. Beispiel Parabel in Normallage: p = 3 Pol: Q(- 1/) Lösung: Polare: = 6-1 Berührpunkte B1(8/3 ); B(3/ -3) Tangente 1: = (3/) + Tangente : = - - 3/ -6 Rechenweg: Polare: (1/) = 3 ( - ) = 6-1 Schnitt mit Parabel: = = = = 1, = {75 [ ] 1/ }/36 = {75 1}/36; 1 = 8/3; = 3/ Die -Werte dazu folgen durch Einsetzen in die Parabel. (?) schlecht! Dann würden wegen = ± p jeweils Werte erhalten. In einer Skizze könnte man zwar den passenden Wert auswählen, aber es ist umständlich. Daher: Einsetzen in die Polare (eine lineare Gleichung)! 1 = 6 8/3-1 = ; = 6 3/ - 1 = -3 Aus den Berührpunkten und dem Pol die Tangenten: t1: m1 = ( - 1/) / (8/3 +) = 3/; c1 = - (3/) (8/3) = t: m = (-3-1/) / (3/ +) = -1; c = -3 - (-1) (3/) = -3/ , A. Kratochwill Kegelschnitte Seite 5 (von 11)

6 Der Pol darf auch rechts vom Scheitel liegen, er muss nur "außerhalb" der Parabel liegen. Ein Beispiel für p = 3 Pol Q(1 7/) Berührpunkte B1(6 6); B(1/6 1) Für die Standardlage gilt " = a ". {Entsprechend einer Achsenvertauschung und a = 1 / p.} Direkte Rechnung: Tangente an P(p p) = m + c: m = d/d = a ; c = p - m p an P: = ( a p) + p - ( a p) p = ( a p) - a p oder = ( a p) - p Möglich ist auch eine Form mit gleicher Struktur wie für die Normallage: p = (1/a) ( + p) Tangente, die durch den Pol Q(o o) geht: t: = m + c. Schnitt mit = a : a = m + c; m = a (weil t am Berührpunkt eine Tangente an die Parabel ist); c =o - m o (weil t auch durch den Pol geht). a = ( a ) + o - ( a ) o a - ( a o) + o = 1, = o o o a (Berührpunkte) Der Rest der Rechnung wie vorher (-Koordinaten der Berührpunkte und dann Tangenten aus zwei Punkten). Die Berechnung der -Koordinate der Berührpunkte ist hier einfacher als in der Normallage. Anstelle einer Wurzel bei = p und damit Werten folgt bei = a nur 1 Wert. Für die Polare können wir mit der Achsenvertauschung argumentieren und erwarten aus " o = p ( + o)" für die Normalform " o = (1/a) ( + o)" für die Standardlage; aufgelöst " = ( a o) - o". Etwas umständlich ist die direkte Verifikation als Gerade durch die Berührpunkte. ( - 1) = m ( - 1); m = ( - 1) / ( - 1) = / = (o - Z - o - Z) = - Z {mit Z für (o - o/a) 1/ } = a {o + Z - o Z - o - Z - o Z } = - a o Z m = a o ( - 1 ) = - o - Z ( - 1) = - a {o + Z + o Z} gesamt: - a o - a Z - a o Z = a o - a o - a o Z - a Z = - a o + o = a o - o Als Beispiel dieselbe Situation wie vorher bei der Normallage (p = 3; Q(- 1/) Es gilt dann a = 1/6 und Q(1/ -) wegen der Achsenvertauschung. Berührpunkte: 1, = o o o a = 1/ = 1/ 7/ B1: = ; = a = 8/3; B: = -3; = 3/. Tangenten: t1: m1 = [8/3 - (-)] / [ - (1/)] = /3; c1 = 8/3 - (/3) = -8/3 t: m = [3/ - (-)] / [-3 - (1/)] = -1; c1 = 3/ - (-1) (-3) = -3/ Polare: = ( a o) - o = (/6) (1/) - (-) = (1/6) + 17, A. Kratochwill Kegelschnitte Seite 6 (von 11)

7 B1( 8/3); B(-3 3/); t1: = (/3) - (8/3); t: = - - (3/) Vergleich mit dem vorigen Resultat (Normallage) Die Koordinaten sind vertauscht. Normallage Normallage vertauscht Berechnung Standardlage B1(8/3 ); B(3/ -3) B1( 8/3); B(-3 3/) B1( 8/3); B(-3 3/) Q(- 1/) Q(1/ -) Q(1/ -) In den Geradengleichungen sind die Variablen vertauscht. Normallage aufgelöst Berechnung Standardlage t1: = (3/) + = (/3) - (8/3) = (/3) - (8/3) t: = - - 3/ = - - 3/ = - - (3/) Polare: = 6-1 = (1/6) + = (1/6) + Die relative Lage der Tangenten usw. zur Parabel ist gleich! Die Äquivalenz ist auch bildlich zu sehen. Wenn die Grafik aus der Normallage ( = p ) um 9 gedreht und horizontal gespiegelt wird, zeigt die neue -Achse in Richtung der alten -Achse (und analog für die andere Achse). Es entsteht die gleiche Situation wie für die direkte Rechnung in der Standardlage ( = a, mit a = 1 /p) Normallage Ausgangsorientierung 6 Normallage verdreht, gespiegelt Neue Grafik für Standardlage (direkt berechnet) Allgemeine Form " = a + b + c": Ein direktes Arbeiten mit dieser Formel führt zu längeren Ausdrücken bei der Berechnung der Schnittpunkte und Tangenten. Kürzer ist eine Koordinatenverschiebung - so, dass der Scheitel im Ursprung liegt, also Berechnung der Berührpunkte usw. in der Standardlage " = a ". Die allgemeine Form kann als Scheitelpunktsform " = ( - S) + S" geschrieben werden. Scheitel S(S S) mit S = - b / ( a) und S = c - b / ( a). Falls die "Aufgabenstellung" noch Punkte enthält, z.b. Berechnung von einem Pol aus, müssen die Punkte transformiert werden. P( ) P( - S - S) Rücktransformation nach den Berechnungen in der Standardlage: Punkte: P( ) P( + S + S) Geraden: = m + k = m + k + S - m S {Ohne eingezeichnete Achsen würde eine Skizze der Ergebnisse gleich aussehen wie die Skizze in der Standardlage!} , A. Kratochwill Kegelschnitte Seite 7 (von 11)

8 Beispiel {Unter Verwendung einer schon durchgeführten Rechnung} Parabel: = (1/6) - (1/) + 7/8 Pol: Q( 1) "Aufgabenstellung": Gesucht sind Tangenten und Berührpunkte vom Pol aus. S = (1/) / (/6) = 3/; S = (7/8) - (1/) / (/3) = 3 S(3/ 3) Parabel Scheitelpunktsform = (1/6) [ - (3/)] + 3 Verschiebung des Scheitels in den Ursprung: Parabel = (1/6) Pol Q( - 3/ 1-3) = Q(1/ -) Für diese Parabel in Standardlage wurden vorher alle gewünschten Angaben berechnet. Element in Standardlage in "Aufgabenstellung" Pol Q(1/ -) Q( 1) Berührpunkt 1 B1( 8/3) B1(11/ 17/3) Berührpunkt B(-3 3/) B(-3/ 9/) Tangente 1 = (/3) - (8/3) = (/3) - (5/3) Tangente = - - (3/) = Polare = (1/6) + = (1/6) + 19/ {Neue Grafik mit den Werten zur "Aufgabenstellung"} Der grafische Vergleich zeigt die gleiche "relative Lage". Punkte um S(S S) verschoben. Geraden mit gleicher Steigung und verschobenem Achsenabschnitt Standardlage "Aufgabenstellung" 5.5 Ergänzende Übungen Ü1 Zur Polaren Zu einer Polaren eistiert eine dazu parallele Tangente. Es gibt den Pol Q und den Berührpunkt B. Zusätzlich gibt es den Punkt M, den Schnittpunkt der verlängerten Geraden QB mit der Polaren. Die Skizze ist absichtlich schlecht! (irreführend) {Man soll die Lösung nicht schon aus der Skizze erraten können.} Richtig ist: Q, B und M liegen auf einer Geraden. Falsch sind, die Orientierung der eingezeichneten Geraden und die relative Lage der Punkte Q, B und M. Q(o o) sei bekannt. Die Parabel ist in der Normalform = p gegeben. Was weiß man dann über die Koordinaten von B und M und die Abstände QB und BM? {Ein eventuell interessanter Zusammenhang. Für eine Bestimmung der Tangenten an die Parabel - dünn gezeichnet - und den Berührpunkten dazu, bietet es keinen Vorteil!} 17, A. Kratochwill Kegelschnitte Seite 8 (von 11)

9 L1 Bekannt: Polare o = p ( + o); Tangente: B = p ( + B) Polare: = (p/o) + (p o/o); Tangente: = (p/b) + (p B/B) Weil beide Steigungen gleich sein sollen: (p/o) = (p/b) o = B o ist gegeben. B ist, weil B auf der Parabel, B = B /(p) = o /(p) QB liefert die Geradengleichung = o {zwei Punkte mit gleicher -Koordinate} Schnitt der Geraden mit der Polaren: o = (p/o) + (p o/o) = (o - p o)/p = M Kontrolle, dazu: = (p/o) (o - p o)/p + (p o/o) = o = M Q, B und M liegen auf einer Parallelen zur -Achse, die durch Q geht. {Q(o o), B(B o), M(M o)} Abstandsquadrate: Q, B: (o - B) {gleiches } = o - o /(p); B, M: (B - M) = o /(p) - o /(p) + o = o - o /(p) Die Abstände sind gleich. M ist der Spiegelpunkt zu Q. Wenn der Pol Q auf der Parabel liegt, also zum Berührpunkt wird, ist die Polare gleich der Tangente. Dies sieht man auch direkt an den anfangs angegebenen Gleichungen. Für die Standardlage gilt Analoges, dann liegen Q, B und M auf einer Parallelen zur -Achse. Die Wahl M für den Punkt auf der Polaren ist mit einer Skizze verständlich {"Mittelpunkt"}. Die allgemeine rechnerische Verifikation bestätigt das. Zuerst die beiden Berührpunkte der Tangenten vom Pol aus. {In der Skizze oben sind das die beiden nicht ausgefüllten Punkte.} Schnitt der Polaren mit der Parabel: = p = (p / o + p o / o) + ( o - o / p) + o = 1, = (o / p - o ) [o - p o o ] 1/ / p = A B / p Einsetzen in die Polare: 1, = A (p / o ) (B / p) / (p / o) + p o / o = (A p) / o B / o + p o / o Mittelpunkt dieser beiden Berührpunkte: = [A + B / p + A - B / p] / = A = (o / p - o ) = M = [(A p) / o + B / o + p o / o + (A p) / o - B / o + p o / o] / = = (A p) / o + p o / o = (o - o p) / o + p o / o = o = M M liegt auf der Polaren in der Mitte zwischen den beiden Berührpunkten der Tangenten vom Pol aus. {Der Pol muss "außerhalb" der Parabel liegen.} Q(- ) Parabel, Polare, = o Q( ) Beispiel zu "Diese Herleitung gilt für alle Q, die "außerhalb" der Parabel liegen". {Erkennbar ist auch in der Skizze: gleiche Abstände QB = BM } 17, A. Kratochwill Kegelschnitte Seite 9 (von 11)

10 Ü Zur gegenseitigen Lage zweier Parabeln Gegeben Parabel 1 par1: = p 1 =. Eine zweite Parabel ist in der Normalform auf der -Achse verschoben und der Parameter p hat den doppelten Betrag von p1. Ein Schnittpunkt der beiden Parabeln hat die -Koordinate. Parabel hat an der -Koordinate des Brennpunkts der Parabel 1 einen Wert >. Gesucht: zweite Parabelgleichung. L Die verschobene Parabel hat die Gleichung par: = p ( - o). Am Schnittpunkt: = 8 ( - o) für p > : S = o S = 8 o o = 1 für p < : S = (/3) o S = (8/3) o o = 3 Brennpunkt der Parabel 1 F(p1/ ) = F(1 ). Parabel an dieser Stelle = p (1 - o) für p > : p = +8; = 8 ( - o) = 8 ( - 1) Für = 1 also = {Scheitel der Parabel } Widerspruch zur Forderung >. für p < : p = -8; = -8 ( - o) = - 8 ( - 3) reelle Lösung nur für 3, wie für eine nach links geöffnete Parabel zu fordern. An der Stelle = 1 ist >, wie gefordert. par1: = par: = - 8 ( - 3) Ü3 Pol liege irgendwo auf der Leitlinie, dann Bedingung für die Tangenten Wenn der Pol auf der Leitlinie liegt, sind die beiden Tangenten an die Parabel orthogonal. Parabel in der Normallage. Für "manuelle Arbeit" einfacher: Parabel mit p = und der -Koordinate des Pols = 3. {Die allgemeine Lösung wird aber auch angegeben.} L3 Gleichung der Leitlinie: L = -p/. Allgemeiner Punkt darauf Q(-p/ L). Für die Polare zu einem Pol Q( o o ) gilt o = p ( + o ). Die Berührungspunkte der Tangenten sind die Schnittpunkte der Polaren mit der Parabel. Aus den zwei Punkten Pol und Berührungspunkt kann die Geradengleichung der Tangente angegeben werden. Lösung für die Zahlenwerte Pol: o =- p / = -; o = 3; p = ; Polare 3 = ( - ) = (/3) - (8/3) Schnitt: Eingesetzt in = 8 (16/9) - (6/9) + (6/9) - 8 = 1, = {8; 1/} -Werte dazu durch Einsetzen in die Polare {einfacher als durch Einsetzen in die Parabel} = 8 = 8; = 1/ = - {Berührpunkte: B1(8 8), B(1/ -)} Steigung 1: m1 = (8-3) / (8 + ) = 1/; Steigung : m = (- - 3) / (1/ + ) = - Achsenabschnitt, obwohl für die Aufgabenstellung nicht benötigt: c 1 = 8 - (1/) 8 = ; c = - - (-) (1/) = -1 Tangente 1: = (1/) + ; Tangente : = - -1 Orthogonale Geraden m = - (1 / m1) - = - 1 / (1/) 17, A. Kratochwill Kegelschnitte Seite 1 (von 11)

11 Parabel = 8 Leitlinie = - Pol Q(- 3) Tangenten t1: = / + t: = - -1 Allgemeine Lösung o =-p/; o = L; Polare L = p ( - p/) = p ( - p/) / L Schnittpunkte der Polaren mit der Parabel: Einsetzen in = p (p /L ) [ - p + p /] = p - [p + L / p] + p / = 1, = p/ + L /p [L + L /p ] 1/ 1, = (p/l) - p /( L) = p /( L) + L [p + L ] 1/ - p /( L) = L [p + L ] 1/ Steigung m = / ; {zwischen Schnittpunkt und Pol} = L [p + L ] 1/ - L = [p + L ] 1/ = p/ + L /p [L + L /p ] 1/ + p/ = p + L /p [L + L /p ] 1/ = (1/p) [p + L ] [L + L /p ] 1/ Abkürzungen: A = p + L und B = [L + L /p ] 1/ m = A 1/ / [A/p B] {Weil nur die Orthogonalität geprüft werden muss, berechnen wir die Achsenabschnitte nicht.} Orthogonale Geraden, wenn m1 m = -1 m1 m = {+ A 1/ / [A/p + B]} {- A 1/ / [A/p - B]} = -A / [A /p - B ] Nenner: (1/p ) [p + p L + L ] - L - L /p = p + L + L / p - L - L / p = p + L = A Damit m1 m = - A/A = -1 Ergänzung Möglich ist auch ein anderer Ansatz: Zwei orthogonale Tangenten schneiden sich auf der Leitlinie. { = - p / } Allgemeiner Ansatz für Tangente t1: = m1 + c1 = (p ) / 1 + (p 1) / 1 Allgemeiner Ansatz für Tangente t: = m + c = (p ) / + (p ) / Weil t1 und t orthogonal m = - 1 / m1-1 / p = p / = - p / 1 Der Berührpunkt B( ) liegt auf der Parabel = / ( p) = -p 3 / ( 1 ) c = (p ) / = - p / ( 1) Schnittpunkt t1 = t: (p / 1) + (p 1) / 1 = (- 1 / p) - p / ( 1) (p + 1 ) / (p 1) = - ( p 1 + p ) / 1 = - p ( 1 + p) / [ (p + 1 )] B1(1 1) auf der Parabel 1 = p 1 = - p ( 1 + p) / (p + p 1) = - p / 17, A. Kratochwill Kegelschnitte Seite 11 (von 11)