Ziel: Wir wollen eine gegebene Quadrik auf eine einfache Form transformieren, aus der sich ihre geometrische Gestalt unmittelbar ablesen lässt.

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1 49 Quadriken 49.1 Motivation Quadriken (vgl. Def. 48.2) stellen eine wichtige Klasse geometrischer Objekte dar, mit Anwendungen in Computergrafik, Bildverarbeitung, Visualisierung, Physik u. a. Ziel: Wir wollen eine gegebene Quadrik auf eine einfache Form transformieren, aus der sich ihre geometrische Gestalt unmittelbar ablesen lässt Grundlegende Verfahrensweise Gegeben sei eine Quadrik q() = T A + b T + c = 0, wobei A IR n n symmetrisch,, b IR n, c IR. Schritt 1: Elimination der gemischten quadratischen Terme Das Koordinatensystem wird so gedreht, dass A in eine Diagonalmatri übergeht. 2 y 2 y 1 1 Berechne dazu die Eigenwerte λ 1,..., λ n von A und eine Orthonormalbasis {v 1,..., v n } aus Eigenvektoren mit det(v 1... v n ) = +1. (Falls det(v 1... v n ) = 1, ersetzt man v 1 durch v 1.) Mit Q = (v 1... v n ) SO(n) gilt dann Λ = diag(λ 1,..., λ n ) = Q T AQ, 165

2 und aus T A + b T + c = 0 folgt T QΛQ T + b T QQ }{{ T + c = 0. } =I Mit y := Q T, b := Q T b ergibt sich daher bzw. ausgeschrieben y T Λy + b T y + c = 0 λ 1 y λ n y 2 n + b 1 y b n y n + c = 0 (gemischte quadratische Terme sind entfallen). Schritt 2: Elimination linearer Terme (soweit möglich) Durch Translation des Koordinatensystems kann erreicht werden, dass λ k y 2 k und bk y k jeweils für dasselbe k nicht zugleich vorkommen. y 2 y 1 z2 z 1 Es sei dazu ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit λ i 0 für i = 1,..., r sowie λ r+1 =... = λ n = 0. Für i = 1,..., r wird der lineare Term b i y i durch die quadratische Ergänzung eliminiert: Damit erhält man z i := y i + b i 2λ i (i = 1,..., r) z i := y i (i = r + 1,..., n). λ 1 z λ rz 2 r + b r+1 z r b n z 2 n + c = 0 mit c = c r i=1 b2 i 4λ i und r = rang A. 166

3 Schritt 3: Elimination der Konstanten (falls möglich) Ist (mindestens) einer der Koeffizienten b r+1,..., b n ungleich 0 (ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit sei dies b n ), so kann c eliminiert werden durch z n z n c bn. Dies ist eine weitere Translation des Koordinatensystems, z. B. wie in der folgenden Abbildung. Resultat: Normalformen der Quadrik Darstellung in einem Koordinatensystem, in dem möglichst viele Koeffizienten verschwinden. Für r := rang A = n: λ 1 z λ nz 2 n + d = 0 Für r < n: entweder oder λ 1 z λ r z 2 r + e r+1 z r e n z n = 0 λ 1 z λ r z 2 r + d =

4 49.3 Beispiel Die Quadrik q() = = 0 soll auf Normalform gebracht werden. Es ist q() = T A + b T + c = 0 mit A = ( ) , b = 1 ( ) , c = 4. Schritt 1: Hauptachsentransformation von A Eigenwerte: λ 1 = 9, λ 2 = 4 mit Q = 1 ( ) 1 2 (beachte det Q = 1) Mit Λ = Q T AQ = ( ) 9 0 und 0 4 b = Q T b = 9y y2 2 36y 1 + 8y = 0. ( ) 36 ergibt sich für y = Q T 8 Schritt 2: Elimination der linearen Terme Es ist 9(y 2 1 4y 1 + 4) + 4(y y 2 + 1) = , also mit z 1 := y 1 2, z 2 := y z z2 2 = 36 z z2 2 9 = 1. Diese Gleichung beschreibt eine Ellipse mit den Halbachsen 2 und

5 y 1 z 1 2 z 2 1 y Normalformen der Quadriken im IR 2 (Kegelschnitte) In dieser Übersicht bezeichnen wir die Koordinaten z 1, z 2 mit, y. (i) rang A = 2 (alle Eigenwerte 0) a) 2 1 = 0: Ellipse 2 b2 y b a a b 169

6 b) 2 a y2 1 = 0: Hyperbel 2 b2 y a a c) = 0: leere Menge 2 b2 d) 2 + a 2 y 2 = 0, a 0: Punkt (0, 0) e) 2 a 2 y 2 = 0, a 0: Geradenpaar y = ± 1 a y (ii) rang A = 1 (ein Eigenwert gleich 0) a) 2 2py = 0: Parabel y p> 0 y p< 0 170

7 b) 2 a 2 = 0, a 0: ein Paar paralleler Geraden = ±a y a a c) 2 + a 2 = 0, a 0: leere Menge d) 2 = 0: Doppelgerade = 0 (y-achse) (iii) rang A = 0 (beide Eigenwerte gleich 0): b 1 + b 2 y + c = 0 Gerade 49.5 Normalformen der Quadriken im IR 3 In dieser Übersicht bezeichnen wir die Koordinaten z 1, z 2, z 3 mit, y, z. (i) rang A = 3 (alle Eigenwerte 0) a) 2 2 b + z2 1 = 0: Ellipsoid 2 c2 b) 2 2 b + z2 + 1 = 0: leere Menge 2 c2 171

8 c) 2 2 b z2 1 = 0: einschaliges Hyperboloid 2 c2 (Schnitte parallel zur -y-ebene: Ellipsen; Schnitte parallel zur -zund y-z-ebene: Hyperbeln) d) 2 2 b z2 + 1 = 0: zweischaliges Hyperboloid 2 c2 (Schnitte parallel zur -y-ebene: Ellipsen; Schnitte parallel zur -zund y-z-ebene: Hyperbeln) e) 2 2 b + z2 = 0: Punkt (0, 0, 0) 2 c2 172

9 f) 2 2 b z2 = 0: elliptischer Kegel 2 c2 (ii) rang A = 2 (ein Eigenwert gleich 0) a) 2 2pz = 0: elliptisches Paraboloid 2 b2 b) 2 (Schnitte parallel zur -y-ebene: Ellipsen; Schnitte parallel zur -zund y-z-ebene: Parabeln) a y2 2pz = 0: hyperbolisches Paraboloid 2 b2 (sattelartig; Schnitte parallel zur -y-ebene: Hyperbeln; Schnitte parallel zur -z- und y-z-ebene: Parabeln) 173

10 c) 2 d) = 0: leere Menge 2 b2 1 = 0: elliptischer Zylinder 2 b2 (sattelartig; Schnitte parallel zur -y-ebene: Ellipsen; Schnitte parallel zur -z- und y-z-ebene: Geradenpaare) e) 2 a y2 1 = 0: hyperbolischer Zylinder 2 b2 (Schnitte parallel zur -y-ebene: Hyperbeln; Schnitte parallel zur -zund y-z-ebene: Geradenpaare) f) 2 g) 2 = 0: Gerade (z-achse) 2 b2 a y2 = 0: Ebenenpaar mit z-achse als Schnittgerade 2 b2 174

11 (iii) rang A = 1 (zwei Eigenwerte gleich 0) a) 2 2py = 0: parabolischer Zylinder b) 2 a 2 = 0: paralleles Ebenenpaar c) 2 + a 2 = 0: leere Menge d) 2 = 0: Ebene (y-z-ebene) (iv) rang A = 0 b 1 + b 2 y + b 3 z + c = 0: allgemeine Ebenengleichung 175

12 rang A =3 rang A =2 rang A =1 Überblick über Quadriken im IR 3 Ellipsoid einschaliges Hyperboloid zweischaliges Hyperboloid elliptischer Kegel elliptisches Paraboloid hyperbolisches Paraboloid elliptischer Zylinder hyperbolischer Zylinder parabolischer Zylinder 176