ANALYTISCHE GEOMETRIE Analytische Geometrie Die analytische Geometrie bzw. die affine Geometrie eines Vektorraumes ist eine Anwendung der Linea

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1 ANALYTISCHE GEOMETRIE OTTO MUTZBAUER Date: 22. Januar

2 ANALYTISCHE GEOMETRIE Analytische Geometrie Die analytische Geometrie bzw. die affine Geometrie eines Vektorraumes ist eine Anwendung der Linearen Algebra, ein algebraisches Modell der Geometrie Affine Räume. Sei V ein K-Vektorraum mit Unterraum U. Eine Teilmenge A = a + U ρ V heißt Nebenklasse, und ein beliebiger Vektor aus A, also z.b. a heißt Repräsentant, vgl. die Definition des Faktorraumes. Hier in der Analytischen Geometrie sagt man stattdessen affiner Raum bzw. affiner Unterraum A von V mit Stützvektor a. Falls A = U, also ein Vektorraum, bzw. äquivalent a 2 U oder a =0, dann heißt A ein homogener Raum. Allgemein heißt U der zu A = a +U gehörende homogene Unterraum. Ist A = a + Ka 0 eine Gerade, dann heißt a 0 Richtungsvektor der Geraden. Wenn A 0 = a 0 + U 0 ρ A = a + U für zwei affine Unterräume von V gilt, dann heißt A 0 affiner Unterraum von A, hier kurz Unterraum. Die Inklusion bezeichnet in diesem Kapitel in der Regel affine Unterräume und schließt die Gleichheit ein. Die Elemente affiner Räume heißen Punkte. Der Punkt 0 2 K n heißt Nullpunkt oder Ursprung. Man vereinbart für A = a + U 6= ; als Dimension dim A = dim U. Die leere Menge wird vereinbart als affiner Raum der Dimension dim ; = 1. Affine Räume der Dimensionen 0; 1; 2 heißen Punkt, Gerade bzw. Ebene. Ein Unterraum A 0 ρ A mit dim A 0 = dim A 1 heißt Hyperebene von A. Jeder Vektor b = a + u 2 A = a + U, u 2 U, eines affinen Raumes A ist offensichtlich ein Stützvektor von A. Der zugehörige homogene Unterraum U ist durch A eindeutig bestimmt als U = fb c j b; c 2 Ag = fb a j b 2 Ag: Die affinen Unterräume A = a + U und A 0 = a 0 + U 0 heißen parallel, wenn entweder U ρ U 0 oder U 0 ρ U, Gleichheit eingeschlossen. Der Durchschnitt von affinen Unterräumen ist wieder ein affiner Raum, und es gibt eindeutig bestimmte sog. Verbindungsräume. Proposition (Durchschnitt und Verbindungsraum) (1) Seien a i +U i für i 2 I affine Unterräume. Falls ihr Durchschnitt nicht leer ist, gilt mit a 2 T (a i2i i + U i ) (a i + U i )=a + U i : i2i i2i

3 134 ANALYTISCHE GEOMETRIE (2) Der eindeutig bestimmte kleinste affine Unterraum, der die affinen Unterräume a 1 + U 1 und a 2 + U 2 enthält, heißt Verbindungsraum: (a 1 + U 1 ) _ (a 2 + U 2 )=a 1 + K(a 2 a 1 )+U 1 + U 2 : Beweis. (1) Ein Punkt a 2 T (a i2i i + U i ) 6= ; ist ein gemeinsamer Stützvektor aller Unterräume, also ist (a i + U i )= (a + U i )=fa + u j u 2 U i für alle i 2 Ig = a + i2i i2i nach Satz wieder ein affiner Raum. (2) Sei B der affine Raum auf der rechten Seite. Er enthält offensichtlich beide Räume. Sei umgekehrt X = a 1 + W ein affiner Unterraum, der beide Räume enthält, dann gilt a 2 a 1 2 W und sowieso U 1 ;U 2 ρ W. Also B ρ X, und B ist eindeutig bestimmt. Proposition hat einige offensichtliche Konsequenzen. Korollar (1) Der Verbindungsraum a 1 _ a 2 = a 1 + K(a 2 a 1 ) zweier Punkte a 1 ;a 2 heißt Verbindungsgerade. (2) Für A = a + U und b =2 A hat der Verbindungsraum A _ b = a + U + K(b a) die Dimension dim(a _ b) = dim A +1. (3) Für Unterräume A 1 ;A 2 des affinen Raumes X ist A 1 _ A 2 ρ X. (4) Sind die affinen Räume A 1 ;A 2 parallel und nicht disjunkt, dann ist entweder A 1 ρ A 2 oder A 2 ρ A 1. Satz Eine Gerade und eine Hyperebene, die nicht parallel sind, schneiden sich in genau einem Punkt. Beweis. Seien G = g +G 0 und H = h +H 0 Gerade und Hyperebene im affinen Raum A = a +U. Da G; H nicht parallel sind, ist U = G 0 ΦH 0. Da g; h 2 A ist g h 2 U, also g h = x + y mit x 2 G 0 und y 2 H 0. Somit ist g x = h + y 2 G H ein Schnittpunkt. Weil G und H nicht parallel sind enthält G H keinen weiteren Punkt von G nach Korollar (4). i2i U i

4 ANALYTISCHE GEOMETRIE 135 Beispiel. Sei im arithmetischen K-Vektorraum K 3 die Basis (e 1 ;e 2 ;e 3 ) der Einheitsvektoren und die affine Gerade G = e 1 + Ke 2 gegeben. (1)Für die affine Ebene, auch Hyperebene, H = 2e 1 + Ke 2 + Ke 3 ist G H = ;, als Lösung der Gleichung e 1 + ae 2 =2e 1 + be 2 + ce 3, d.h. G und H sind parallel. (2) Für die affine Ebene, auch Hyperebene, H 0 = e 2 + Ke 1 + Ke 3 ist G H 0 = e 1 + e 2 ein Punkt, als Lösung der Gleichung e 1 + ae 2 = e 2 + be 1 + ce 3. Der Dimensionssatz für affine Räume sieht anders aus als der Dimensionssatz für Unterräume, weil z.b. auch die leere Menge ein affiner Raum ist. Satz (Dimensionssatz) Seien A; B affine Unterräume endlicher Dimension. (1) Für A = ; oder B = ; oder A B 6= ; ist dim A + dim B = dim(a _ B) + dim(a B): (2) Für A = a + A 0 6= ; und B = b + B 0 6= ; und A B = ; ist dim A + dim B = dim(a _ B) + dim(a B) + dim(a 0 B 0 ): Beweis. (1) A und B können nicht beide leer sein. Sei also A 6= ;. Für B = ;, ist dim(a B) = 1, und es gilt die Formel. Sei also A B 6= ;. Nach Proposition gilt dann A _ B = a + A 0 + B 0 und A B = a + A 0 B 0 mit einem gemeinsamen Stützvektor. Mit Satz folgt nun die Formel. (2) Nach Proposition ist dim(a _ B) = dim(a 0 + B 0 )+1. Also folgt die Formel mit dim(a B) = 1 und Satz Definition. Zwei affine Räume A = a + A 0 und B = b + b 0 heißen windschief, wenn A B = ; und A 0 B 0 = 0. Z.B. sind die beiden Geraden G 1 = e 1 + Ke 2 und G 2 = e 2 + Ke 3 windschief im K 3. In einer Ebene gibt es nur Geraden, die sich entweder schneiden oder parallel sind, also keine windschiefen Geraden. Im K 4 gibt es eine Ebene und eine Gerade, die windschief sind, im K 5 gibt es zwei windschiefe Ebenen, ihre jeweiligen Verbindungsräume sind der ganze Raum Darstellungen affiner Räume. Sei Ax = b ein lösbares lineares Gleichungssystem, d.h. es ist rang A = rang(a; b) für die Matrix A und den Vektor b. Die Gesamtlösung B = x 0 +ker A ist ein affiner Raum mit Stützvektor x 0, d.h. Ax 0 = b, und zugehörigem homogenen Raum ker A. Der affine Raum B ist genau

5 136 ANALYTISCHE GEOMETRIE dann homogen, wenn b = 0. Das lineare Gleichungssystem Ax = b heißt Gleichungsdarstellung des Raumes B = x 0 +ker A. Sei B = x 0 +U ein affiner Raum, und sei (u 1 ;::: ;u k ) eine Basis von U, dann heißt B = x 0 + Ku Ku k = fx 0 + c 1 u c k u k j c 1 ;::: ;c k 2 Kg eine Parameterdarstellung des Raumes B. Weder die Gleichungsdarstellung noch die Parameterdarstellung eines affinen Raumes sind eindeutig bestimmt. Umrechnungen der Darstellungen über R Die verschiedenen Darstellungen affiner Räume haben je nach Aufgabenstellung Vor- und Nachteile. Deshalb rechnet man die Darstellungen oft bedarfsgerecht um. Selbstverständlich kann man die verschiedenen Darstellungen auch über beliebigen Körpern ineinander umrechnen, allerdings nicht mit dem später verwendeten Orthomormierungsverfahren von Gram-Schmidt, vgl. Satz Das Orthonormierungsverfahren wurde nur für euklidische und unitäre Vektorräume eingeführt, und es müsste für allgemeinere Körper modifiziert werden. Deshalb beschränken wir uns hier auf euklidische Vektorräume. (1) Für einen affinen Raum B ρ R n in Gleichungsdarstellung, Ax = b, mit reeller m n Matrix A und reellem Spaltenvektor b der Länge m, ist die Parameterdarstellung B = x 0 + R u R u k gesucht. Der Stützvektor x 0 ist eine spezielle Lösung, also Ax 0 = b. Eine Basis des Kerns von A bilden die linear unabhängige Lösungen u 1 ;::: ;u k von Ax =0. Nach dem Dimensionssatz für Abbildungen ist k = n rang A. (2) Für einen affinen Raum B = x 0 + R u R u k = x 0 + U ρ R n in Parameterdarstellung mit Stützvektor x 0 der Länge n und einer Basis (u 1 ;::: ;u k ) von Spaltenvektoren der Länge n von U ist eine Gleichungsdarstellung, Ax = b, gesucht mit einer m n Matrix A und einem Spaltenvektor b der Länge m derart, dass ker A = U ist, also die Basis (u 1 ;::: ;u k ) besitzt und dass Ax 0 = b ist. Das orthogonale Komplement U? von U im euklidischen Vektorraum R n mit Standardskalarprodukt hat die Dimension m = n k und eine Basis (v 1 ;::: ;v m ). Die Zeilenvektoren (v 1 ;::: ;v m ), untereinander geschrieben, bilden eine m n Matrix A, für die gilt Au i =0für alle 1» i» k, d.h. U ist der Kern von A. Weiter setzt man b = Ax 0 und erhält die gewünschte Gleichungsdarstellung Ax = b von B.

6 ANALYTISCHE GEOMETRIE 137 Es gibt zwei Möglichkeiten eine Basis (v 1 ;::: ;v m ) von U?, also die Matrix A, zu bestimmen. Sei M die n k Matrix mit den Spaltenvektoren (u 1 ;::: ;u k ). Dann ist (v 1 ;::: ;v m ) eine Basis des Lösungsraumes des homogenen linearen Gleichungssystems vm = 0, mit Zeilenvektor v der Länge n. Alternativ kann man die Menge (u 1 ;::: ;u k ) von Spaltenvektoren der Länge n beliebig zu einer Basis des euklidischen Vektorraumes R n fortsetzen und das Gram-Schmidtsche Orthonormierungsverfahren darauf anwenden. Man erhält die Orthonormalbasis (w 1 ;::: ;w n ) des R n. Transponiert man die Spaltenvektoren (w k+1 ;::: ;w n ) so erhält man passende Zeilenvektoren (v 1 ;::: ;v m ). Beispiel. (1) Sei x 1 + x 2 + x 3 =1die Gleichungsdarstellung, Ax = b, einer affinen Ebene B im R 3, d.h. A =(1; 1; 1) und b = (1). Der Kern von A hat die Dimension 2 und die Basis f(1; 1; 0) T ; (0; 1; 1) T g. Eine spezielle Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b ist x 0 = (1; 0; 0) T. Also ist B =(1; 0; 0) T + R (1; 1; 0) T + R (0; 1; 1) T eine Parameterdarstellung von B. Sei umgekehrt die Ebene B wie oben in Parameterdarstellung gegeben. Dann ist f(1; 1; 0) T ; (0; 1; 1) T g eine Basis des Kerns der 1 3 Matrix A =(1; 1; 1), da(1; 1; 1) T? ker A ist. Wegen A(1; 0; 0) T =1, ergibt sich die Gleichungsdarstellung x 1 + x 2 + x 3 =1für B, wie oben. (2) Sei x 1 x 2 =1; x 3 x 2 =0 die Gleichungsdarstellung, Ax = b, einer affinen Geraden G im R 3, d.h. A = und b = 1 0. Der Kern von A hat die Dimension 1 und den Basisvektor (1; 1; 1) T. Eine spezielle Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b ist x 0 =(1; 0; 0) T. Also ist eine Parameterdarstellung von G. G =(1; 0; 0) T + R (1; 1; 1) T Sei umgekehrt die Gerade G wie oben in Parameterdarstellung gegeben. Dann ist (1; 1; 1) T ein Basisvektor des Kerns der 2 3 Matrix A = ,da(1; 1; 0) T und (0; 1; 1) T senkrecht zu (1; 1; 1) T sind. Wegen A(1; 0; 0) T =(1; 0) T, ergibt sich die obige Gleichungsdarstellung für G. (3) Seien die Ebene B und die Gerade G wie oben. Die Gleichungsdarstellung des Schnittraumes B G erhält man ohne Rechnung sofort

7 138 ANALYTISCHE GEOMETRIE aus den Gleichungsdarstellungen von B und G, nämlich x 1 + x 2 + x 3 =1; x 1 x 2 =1; x 3 x 2 =0; also berechnet man B G =(1; 0; 0) T. Sind B und G in Parameterdarstellung gegeben, dann bestimmt man c; c 1 ;c 2 2 R für den Schnittpunkt B G =(x; y; z) T aus (x; y; z) T =(1; 0; 0) T +c(1; 1; 1) T =(1; 0; 0) T +c 1 (1; 1; 0) T +c 2 (0; 1; 1) T ; also c = c 1 = c 2 =0und B G =(1; 0; 0) T Affine Abbildungen. Für die affinen Räume A = a +A 0 und B = b +B 0 über dem Körper K heißt F : A! B eine affine Abbildung, wenn es a 2 A, b 2 B und eine lineare Abbildung F 0 : A 0! B 0 gibt mit (9.1) F (a + v) =b + F 0 (v); für alle v 2 A 0. Offensichtlich ist hierbei F (a) = b, und die lineare Abbildung F 0 legt die affine Abbildung F völlig fest. Es gilt F (A) = b + F 0 (A 0 ). Insbesondere sind lineare Abbildungen affin. Umgekehrt legt auch die affine Abbildung F nach dem folgenden Lemma die lineare Abbildung F 0 fest, und man sagt, dass F 0 die zugehörige lineare Abbildung ist. Lemma Die affine Abbildung F legt die zugehörige lineare Abbildung F 0 völlig fest. Insbesondere ist eine affine Abbildung genau dann bijektiv, wenn die zugehörige lineare Abbildung bijektiv ist, und die Umkehrabbildung einer bijektiven affinen Abbildung ist affin, F 0 und F 1 0 sind die zugehörigen linearen Abbildungen. Weiter sind Bilder und Urbilder affiner Räume unter affinen Abbildungen wieder affine Räume. Beweis. Seien a 1 = a + u 1 ; a 2 = a + u 2 2 A = a + U, also F (a i ) = b + F 0 (u i ). Damit ist (9.2) F 0 (a 1 a 2 )=F 0 (u 1 ) F 0 (u 2 )=F (a 1 ) F (a 2 ): Da a 1 a 2 alle Vektoren von U durchläuft, ist F 0 durch F völlig festgelegt. Nach (9.2) sind beide Abbildungen gemeinsam entweder bijektiv oder nicht. Für eine bijektive affine Abbildung F wie in (9.1) ist die Umkehrabbildung offensichtlich gegeben durch F 1 (b+v) =a+f 1 0 (v), also eine affine Abbildung.

8 ANALYTISCHE GEOMETRIE 139 Weiter sind laut Definition (9.1) Bilder affiner Räume unter affinen Abbildungen wieder affine Räume, weil Bilder von Vektorräumen unter linearen Abbildungen, nach Satz 3.2.2, wieder Vektorräume sind. Sei F (b + U) = a + M das volle Urbild des affinen Raumes b + U unter der affinen Abbildung F mit zugehöriger linearer Abbildung F 0 und F (a) = b, also ist M = F 0 (U) das volle Urbild des Vektorraumes U unter der linearen Abbildung F 0, und nach Satz wieder ein Vektorraum, d.h. a + M ist ein affiner Raum. Die Hintereinanderausführung affiner Abbildungen ist wieder eine affine Abbildung. Bijektive affine Abbildungen heißen affine Isomorphismen oder Affinitäten. Die Affinitäten F : A! A eines affinen Raumes A bilden eine Gruppe. Isomorphe affine Räume haben gleiche Dimension und umgekehrt sind affine Räume gleicher Dimension isomorph. Drei Punkte eines affinen Raumes heißen kollinear, wenn sie auf einer Geraden liegen. Satz Bilder und Urbilder paralleler affiner Räume unter affinen Abbildungen sind parallel. Bilder kollinearer Punkte sind kollinear. Beweis. Sei F eine affine Abbildung mit zugehöriger linearer Abbildung F 0. Seien A = a + A 0 und B = b + B 0 mit A 0 ρ B 0 parallele affine Unterräume, also F 0 (A 0 ) ρ F 0 (B 0 ) und F (A) = F (a) +F 0 (A 0 ) und F (B) =F (b) +F 0 (B 0 ) sind parallel, analog für Urbilder. Für verschiedene kollineare Punkte a; b; c ist G = a _ b _ c = a + G 0 eine Gerade, also dim G 0» 1, und F (G) = F (a) +F 0 (G 0 ) mit dim F 0 (G 0 )» 1, d.h. F (a);f(b);f(c) sind wieder kollinear. Ein geordnetes (n +1)-Tupel (a 0 ;a 1 ;::: ;a n ) von Punkten eines affinen Raumes A = a 0 + A 0 heißt affines Koordinatensystem von A, wenn die Vektoren (a 1 a 0 ;::: ;a n a 0 ) eine Basis von A 0 bilden. Lemma Die Punkte (a 0 ;a 1 ;::: ;a n ) bilden genau dann ein Koordinatensystem des affinen Raumes A, wenn A = a 0 _ a 1 _ _a n, und kein Punkt darf weggelassen werden. Beweis. Es gilt a 0 _ a 1 _ _a n = a 0 + K(a 1 a 0 )+ + K(a n a 0 ) ρ A mit Gleichheit genau dann, wenn (a 1 a 0 ;::: ;a n a 0 ) ein Erzeugendensystem von A 0 ist. Dieses Erzeugendensystem ist genau dann minimal, d.h. kein Punkt darf weggelassen werden, wenn es eine Basis von A 0 ist.

9 140 ANALYTISCHE GEOMETRIE Affine Abbildungen lassen sich mit wenigen Bildvorgaben festlegen. Satz Seien ; 6= A und B affine Räume. Sei S ein Koordinatensystem von A. Ordnet man jedem a 2 S ein (beliebiges) b a 2 B zu, dann existiert genau eine affine Abbildung F : A! B mit F (a) =b a für alle a 2 S. Beweis. Sei (a 0 ;a 1 ;::: ;a n ) ein Koordinatensystem von A = a 0 + A 0. Dann ist (a 1 a 0 ;::: ;a n a 0 ) eine Basis von A 0. Nach Satz gibt es für eine beliebige Vorgabe von Vektoren F 0 (a i a 0 ) genau eine lineare Abbildung F 0. Für ein beliebiges b 2 B gibt es zu dieser linearen Abbildung F 0 genau eine affine Abbildung F mit F (a 0 ) = b und F (a i )=b + F (a i a 0 ) für alle i. Wichtige lineare und affine Abbildungen sind die sog. Parallelprojektionen für Vektorräume bzw, affine Räume. Sei V = U Φ W eine nicht-triviale direkte Zerlegung des Vektorraumes V. Jeder Vektor v 2 V hat eine eindeutige Darstellung v = u v +w v mit u v 2 U und w v 2 W. Die durch V! U; v 7! u v definierte surjektive lineare Abbildung heißt Parallelprojektion von V auf U längs W. Seien A = a + A 0 und B = b + B 0 affine Unterräume des Vektorraumes V. Sei V = B 0 ΦW. Dann hat jeder Vektor v 2 A 0 eine eindeutige Darstellung v = b v + w v mit b v 2 B 0 und w v 2 W. Durch F 0 (v) =b v ist die Parallelprojektion F 0 : A 0! B 0 eindeutig festgelegt. Durch F (a) = b und F (a + v) = b + F 0 (v) ist genau eine affine Abbildung F : A! B definiert. Diese Abbildung heißt affine Parallelprojektion von A auf B längs W. Sie ist induziert von der Parallelprojektion F 0. Beispiel. (1) Durch (x; y; z) 7! (x; y; 0) wird eine Parallelprojektion von R 3 auf die reelle Ebene R 2 längs der z-achse definiert. Man sagt auch Grundriss. Der Kern dieser Parallelprojektion ist die z-achse. (2) Sei G =(1; 0; 1)+R(1; 1; 2) = (e 1 +e 3 )+R (e 1 +e 2 +2e 3 ) eine Gerade. Die Parallelprojektion (x; y; z) 7! (x; y; 0), wie unter (1), induziert eine affine Parallelprojektion. Die Gerade G wird auf die Gerade G 0 = (1; 0; 0)+R(1; 1; 0) = e 1 +R(e 1 +e 2 ) projiziert, wieder längs der z-achse. Diese affine Parallelprojektion ist bijektiv, weil R (1; 1; 2) R (0; 0; 1) = 0 ist.

10 ANALYTISCHE GEOMETRIE Normalvektor, Hessesche Normalform. V = R n sei der euklidische Vektorraum mit Standardskalarprodukt x y, für x; y 2 V, wie üblich. Eine affine Hyperebene in V ist von der Form H = h + H 0, mit dim H 0 = m 1. Der normierte Vektor n 2 V, d.h. jnj = p n n =1, heißt Normalvektor der Hyperebene H, wenn n?h 0. Insbesondere ist dann V = R nφh 0. Wie man den Normalvektor einer Hyperebene bestimmt, hängt von ihrer Darstellung ab. Für die Hyperebene H ρ R m in Gleichungsdarstellung c 1 x c m x m = d ist der Normalvektor n, wegen n?h 0, gleich q c 2 1 m c2 (c 1 ;::: ;c m ): n = Sei die Hyperebene H = h + R v R v m 1 in Parameterdarstellung gegeben, mit einem Stützvektor h und einer Basis v 1 ;::: ;v m 1 von H 0. Der Normalvektor n von H ist also eine Basis des orthogonalen Komplement von H 0 in V und muss berechnet werden. Diese Aufgabe trat auch schon bei der Umrechnung der Parameterdarstellung in die Gleichungsdarstellung eines affinen Raumes auf. Es gibt zwei Verfahren. Man wählt irgendeinen Vektor v m 2 V n H 0, z.b. einen geeigneten Einheitsvektor, oder den Stützvektor h, falls h =2 H 0. Man wendet das Gram-Schmidtsche Orthonormierungsverfahren, Satz 7.4.1, auf die Basis (v 1 ;::: ;v m ) an und erhält die Orthonormalbasis (e 1 ;::: ;e m ). Der Vektor n = e m ist dann der gesuchte Normalvektor von H,daH 0 = hv 1 ;::: ;v m 1 i = he 1 ;::: ;e m 1 i, also e m?h 0. Wenn (v 1 ;::: ;v m 1 ) bereits eine Orthonormalbasis von H 0 ist, dann gilt für einen beliebigen Vektor v 2 V n H 0 : n v P m 1 (v v i=1 i)v i = fi fi P v m 1 (v v fi i=1 i)v ifi : Alternativ schreibt man die Koordinatenvektoren v 1 ;::: ;v m 1 als Zeilentupel und ordnet sie zu einer (m 1) m Matrix A. Diese Matrix A hat den Rang m 1 und ihr Kern, d.h. die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax =0, hat deshalb die Dimension 1. Mit einer Lösung v 6= 0, also Av = 0 erhält man den Normalvektor n = jvj 1 v von H 0 als Spaltenvektor, weil mit dem Standardskalarprodukt v?h 0 gilt. Die Bestimmung des Normalvektors ist weitgehend äquivalent zur Bestimmung des Abstandes affiner Räume, weil eine kürzeste Verbindungsstrecke senkrecht auf beiden Räumen steht.

11 142 ANALYTISCHE GEOMETRIE Im nächsten Beispiel wird der Abstand eines Punktes von einer Geraden im R 2 bestimmt. Beispiel. Sei im R 2 die Gerade G = g + R u und der Punkt p gegeben. Sei H = p + R v die Gerade senkrecht zu G durch den Punkt p. Dann ist der Schnittpunkt q = G H der Fußpunkt des Lotes von p auf G und der Abstand des Punktes q von G ist d(p; q) =d(p; G). Sei jetzt konkret p = (0; 0) und G = (1; 0) + R (1; 1). Dann ist H = R (1; 1) und q = G H =( 1 ; 1 ). Somit ist d(p; G) =d(p; p q) = Neben Gleichungs- und Parameterdarstellung gibt es noch die sog. Hessesche Normalform einer Hyperebene mittels des Normalvektors n, nämlich n (x h) =0; Hessesche Normalform d.h. H = h + H 0 = fx 2 V j n (x h) =0g. Das ist nur eine andere Schreibweise für n?h 0, da H 0 = fx h j x 2 Hg. Der Stützvektor h kann in der Hesseschen Normalform beliebig gewählt werden. Die Umrechnung der Gleichungs- oder Parameterdarstellung einer Hyperebene in die Hessesche Normalform n (x h) =0ist nichts anderes als die Berechnung des Normalvektors n und eines Stützvektors h der Hyperebene, vgl. obiges Verfahren. Ist umgekehrt eine Hyperebene in Hessescher Normalform gegeben, d.h. der Normalvektor n und ein Stützvektor h sind gegeben, so erhält man sofort die Gleichungsdarstellung der Hyperebene in der Form n x = n h = d, also mit Koordinaten geschrieben n 1 x n m x m = d; wobei n = (n 1 ;::: ;n m ) und h = (h 1 ;::: ;h m ) die jeweiligen Koordinatenvektoren des Normalvektors n und des Stützvektors h sind, und d = n h = n 1 h n m h m. Der Abstand oder euklidische Abstand der zwei Punkte p =(p 1 ;::: ;p m ) und q =(q 1 ;::: ;q m ) des Vektorraumes V = R m ist p d(p; q) = (p 1 q 1 ) 2 + +(p m q m ) 2 : Allgemein ist der Abstand zweier affiner Räume A; B gleich d(a; B) = minfd(a; b) j a 2 A; b 2 Bg das Minimum der Abstände von Punkten aus A und B. Der Abstand eines Punktes von einer Hyperebene ist die Länge des Lotes vom Punkt auf die Hyperebene, vgl. Proposition Besonders leicht erhält man diesen Abstand, wenn die Hyperebene in Hessescher Normalform gegeben ist.

12 ANALYTISCHE GEOMETRIE 143 Proposition Seien p ein Punkt und H eine Hyperebene in V in Hessescher Normalform n (x h) =0. Dann ist der Abstand von p und H gleich d(p; H) =jn (p h)j. Beweis. Sei q der Fußpunkt des Lotes von p auf H, d.h. n (q h) =0. Dann ist p q = an mit d(p; q) =d(p; H) =jaj, wegen jnj =1. Also n (p h) =n p q +(q h) = n (an) +n (q h) =a: Ist eine Hyperebene H = h + R v R v m 1 in Parameterdarstellung gegeben, dann kann man den Abstand eines Punktes p von H auch direkt bestimmen. Wie oben berechnet man den Normalvektor n von H. Die Gerade G = p + R n ist senkrecht zu H und der Schnittpunkt q = G H ist der Fußpunkt des Lotes von p auf H. Der Abstand d(p; q) =d(p; H) ist der gesuchte Abstand des Punktes p von H. Im nächsten Beispiel wird der Abstand eines Punktes von einer Geraden im R 3 bestimmt. Beispiel. Sei im R 3 die Gerade G = g + R u und der Punkt p gegeben. Sei H die Ebene senkrecht zu G durch den Punkt p in Hessescher Normalform, also juj 1 u(x p) = 0. Dann ist der Schnittpunkt q = G H der Fußpunkt des Lotes von p auf G und der Abstand des Punktes q von G ist d(p; q) =d(p; G). Genauer ist q = g + au mit einer Lösung a 2 R der Gleichung u (g + au p) =0. Sei jetzt konkret p = (0; 0; 1) und G = (1; 1; 0) + R (1; 1; 1). Dann löst a = 1 die Gleichung (1; 1; 1) (a +1;a +1;a 1) = 0, und 3 q =( 2; 2; 1 ). Somit ist d(p; q) =d(p; G) = p Vektorprodukt, Volumen. Zusätzlich zum Produkt von Vektoren und Skalaren und dem Skalarprodukt definieren wir in einem euklidischen 3-dimensionalen Raum, also im R 3, ein Vektorprodukt zweier Vektoren. Sei (e 1 ;e 2 ;e 3 ) eine Orthonormalbasis in R 3, d.h. e i e j = ffi ij, z.b. die Basis aus Einheitsvektoren mit dem Standardskalarprodukt. Für u = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 und v = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 heißt, in symbolischer Schreibweise, der Vektor 0 1 u v = det@ e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 A b 1 b 2 b 3 a 2 a 3 = det e b 2 b 3 1 det a 1 a 3 b 1 b 3 e 2 + det a 1 a 2 b 1 b 2 e 3 = (a 2 b 3 a 3 b 2 )e 1 (a 1 b 3 a 3 b 1 )e 2 +(a 1 b 2 a 2 b 1 )e 3

13 144 ANALYTISCHE GEOMETRIE das Vektorprodukt oder äußeres Produkt von u und v, in dieser Reihenfolge. Im nächsten Satz werden einige Eigenschaften des Vektorproduktes angegeben. Es ist ein Vektor, der senkrecht auf der von u und v aufgespannten Ebene steht. Die Richtung von u v wird von der Fingerregel oder der rechten Hand Regel festgelegt. Der Betrag von u v, bzw. die Länge, ist die Fläche des Parallelogramms, das von u und v aufgespannt wird. Satz Seien u; v; w Vektoren des euklidischen Vektorraumes R 3. (1) u v = (v u). (2) (au + bv) w = a(u w) +b(v w) für a; b 2 R. (3) u v =0genau dann, wenn u und v linear abhängig sind. (4) u (v w) = det(u; v; w) und u (u v) =v (u v) =0. (5) u (v w) =(u w)v (u v)w. (6) ju vj = jujjvj sin(u; v). Beweis. (1) Die Vertauschung der Reihenfolge von u und v entspricht einer Transposition von Zeilen in der definierenden Determinante und verändert das Vorzeichen. (2) gilt, weil Determinanten Multilinearformen sind. a1 a (3) u v = 0 genau dann, wenn die Matrix 2 a 3 den Spaltenrang 1, also auch Zeilenrang 1, hat, d.h. genau dann, wenn u und v b 1 b 2 b 3 linear abhängig sind. (4) Mit zusätzlich w = c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 ist u (v w) = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 0 det@ e 1 e 2 e 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c A = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 A : c 1 c 2 c 3 1 (5) Offensichtlich liegt der Vektor u (v w) in der Ebene, die von v und w aufgespannt wird. Man rechnet nach: u (v w) = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) (b 2 c 3 b 3 c 2 )e 1 (b 1 c 3 b 3 c 1 )e 2 +(b 1 c 2 b 2 c 1 )e 3 = (a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 )(b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) (a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 )(c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 ) = (u w)v (u v)w:

14 ANALYTISCHE GEOMETRIE 145 (6) Man rechnet nach: jujjvj sin(u; v) 2 = juj 2 jvj 2 1 cos 2 (u; v) = juj 2 jvj 2 (u v) 2 = (a a2 2 + a2 3 )(b2 1 + b2 2 + b2 3 ) (a 1b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) 2 = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) 2 +(a 1 b 3 a 3 b 1 ) 2 +(a 1 b 2 a 2 b 1 ) 2 = ju vj 2 : Das Vektorprodukt erleichtert die Bestimmung des Abstandes windschiefer Geraden. Beispiel. Seien die Geraden G = g + R u und H = h + R v windschief, d.h. die Richtungsvektoren u; v sind linear unabhängig. Dann enthält die Ebene E mit Normalvektor n = ju vj 1 (u v) durch den Punkt g die Gerade G und ist parallel zu H. Die Hessesche Normalform von E ist n (x g) = 0 und der Abstand des Punktes h der Geraden H ist gleich dem Abstand der beiden windschiefen Geraden, also gleich d(g; H) =d(h; E) =jn (h g)j. Seien jetzt konkret G = (1; 0; 0) + R (1; 1; 0) und H = (0; 1; 0) + R (0; 1; 1), also windschief. Das Vektorprodukt von (1; 1; 0) und (0; 1; 1) ist (1; 1; 1) und die Ebene E durch den Punkt (1; 0; 0) hat die Hessesche Normalform p ( 3) 1 (1; 1; 1) (x 1;y;z)=0: Also haben E und (0; 1; 0), bzw. G und H, den Abstand d(g; H) =j( p3) 1 (1; 1; 1) ( 1; 1; 0)j = p3 2 : Für die Vektoren v 1 ;::: ;v n 2 R n heißt die Menge P (v 1 ;::: ;v n )=fa 1 v a n v n 2 R n j 0» a i» 1; für alle 1» i» ng das Parallelotop aufgespannt von (v 1 ;::: ;v n ). Als Volumen, bzw. genauer n-dimensionales Volumen, des Parallelotops wird definiert Vol P =Vol n P (v 1 ;::: ;v n )=j det(v 1 ;::: ;v n )j: Insbesondere ist das Volumen genau dann gleich 0, wenn die Vektoren v 1 ;::: ;v n linear abhängig sind. Weiter ergibt sich das Volumen des n-dimensionalen Einheitswürfels Vol n P (e 1 ;::: ;e n ) = 1. Ein 2- dimensionales Parallelotop ist ein Parallelogramm. Wie üblich heißt ein 2-dimensionales Volumen Fläche. Ein 3-dimensionales Parallelotop heißt Spat. Ein Spat mit rechten Winkeln heißt Quader. Für eine Matrix A mit det A = ±1, also insbesondere für eine orthogonale Matrix, ist det(av 1 ;::: ;Av n ) = (det A) det(v 1 ;::: ;v n ) = ± det(v 1 ;::: ;v n )

15 146 ANALYTISCHE GEOMETRIE mit Spaltenvektoren v 1 ;::: ;v n, also ist das Volumen eines Parallelotops invariant bzgl. Drehungen und Spiegelungen. Im Folgenden wird am Beispiel eines Parallelogramms gezeigt, dass die obige Definition des Volumens, wie gewünscht, die Fläche eines Parallelogramms ist. Beispiel. Man legt eine Ecke des Parallelogramms in den Ursprung. Auf Grund der Invarianz des Volumens bzgl. Drehungen und Spiegelungen kann man sogar eine Seite des Parallelogramms, hier v 1, in die x-achse zu legen. Die Fläche des Parallelogramms im R 2, aufgespannt von den Vektoren v 1 = fi(a; 0) und fi v 2 = (c; b) mit 0 < a; b; c 2 R, ist fi definitionsgemäß gleich fi a c fififi fi det = ab = jv 0 b 1 jjv 2 j sin(v 1 ;v 2 ), also die geometrischen Fläche Kegelschnitte. Sei im R 3 der Doppelkegel D mit Kreisquerschnitt, Spitze im Ursprung und 90 0 Öffnungswinkel. Man sagt oft auch nur Kegel statt Doppelkegel. Sei E eine Ebene und seien beide dargestellt durch D = f(x; y; z) 2 R 3 j x 2 + y 2 z 2 =0g; E = f(x; y; z) 2 R 3 j a 0 x + b 0 y + c 0 z + d 0 =0g; a 0 ;b 0 ;c 0 ;d 0 2 R : Der Durchschnitt Q = D E heißt Kegelschnitt oder Kurve zweiter Ordnung. Man eliminiert, wenn möglich z, und erhält dann die allgemeine Darstellung n fi o x Q = 2 R fifi 2 ax 2 +2bxy + cy 2 +2dx +2ey + f =0 ; = n x y y fi 2 R fifi x 2 (x; y)a y Man verwendet oft die Kurzschreibweisen +2(d; e) x y ax 2 +2bxy + cy 2 +2dx +2ey + f =0; x x (x; y)a +2(d; e) + f =0 y y für Kegelschnitte. Dabei ist die Matrix A = a b b c o + f =0 : symmetrisch und offensichtlich ist A 6= 0und heißt eine zugehörige Matrix. Wenn sich z nicht eliminieren lässt, dann eliminiert man x oder y und erhält ähnliche Formen in anderen Koordinaten. Wenn die Ebene E die Kegelspitze enthält, d.h. d 0 = 0, dann spricht man von einem ausgearteten Kegelschnitt, sonst von nicht ausgearteten Kegelschnitten. Ausgeartete Kegelschnitte sind, wie man leicht

16 ANALYTISCHE GEOMETRIE 147 anschaulich oder auch rechnerisch bestätigt, entweder ein Punkt, oder eine Gerade oder ein Paar von Geraden, die sich schneiden. Die formelmäßige Beschreibung eines Kegelschnittes eröffnet ausgeartete Formen, die nicht als geometrischer Schnitt eines Kegels mit einer Ebene realisiert werden können, z.b. die leere Menge und zwei parallele Geraden. Wir bezeichnen auch letztere als ausgeartete Kegelschnitte. Die Typen von Kegelschnitten sind die ausgearteten Kegelschnitte, wie oben, und die nicht ausgearteten Kegelschnitte, nämlich Kreise, oder Ellipsen, oder Hyperbeln oder Parabeln, vgl. Satz Ellipse und Hyperbel haben jeweils ein Paar aufeinander senkrecht stehender Symmetrieachsen, die Parabel hat eine Symmetrieachse. Die Symmetrieachsen der Kegelschnitte heißen Hauptachsen. Sind die Hauptachsen eines Kegelschnittes gleich den Koordinatenachsen, dann sagt man, dass der Kegelschnitt in Normalform ist. Bei Kreis, Ellipse und Hyperbel spricht man auch von Mittelpunktsform, da diese Kurven in Normalform zentralsymmetrisch bzgl. des Nullpunktes sind. Ohne Normalform ist es i.a. nicht möglich den Typ eines Kegelschnittes zu erkennen. Eine Translation ist eine affine Abbildung eines Vektorraums V definiert durch v 7! v + v 0 mit festem Vektor v 0. Das ist eine Parallelverschiebung mit dem Vektor v 0, bzw. eine Verschiebung des Ursprungs. Die Kombination einer Drehung und einer Translation, beides bijektive affine Abbildungen, heißt Bewegung, und ist wiederum eine bijektive affine Abbildung. Die Bewegungen eines Vektorraumes bilden eine Gruppe. Wir zeigen an einem Beispiel, wie Bewegungen den Typ eines Kegelschnittes erkennbar machen. Beispiel. Sei D der Doppelkegel wie anfangs, und sei die spezielle Ebene E = f(x; y; z) 2 R 3 j x + y + z = 1g in Gleichungsdarstellung gegeben. Dann erhält man durch Elimination von z einen Kegelschnitt D E in der Form 2xy 2x 2y+1 = 0, allerdings nicht in Normalform, deshalb erkennt man den Typ nicht ohne weiteres. Substituiert man x = x 0 +1und y = y 0 +1, also eine Translation, so erhält man die Hyperbel y 0 = 1 2 x0 1 mit den Koordinatenachsen als Asymptoten, und den Winkelhalbierenden als Hauptachsen. Durch eine Drehung um 45 0 im Uhrzeigersinn erhält man die Normalform x 2 y 2 1=0. Als nächstes werden wir Kegelschnitte durch Bewegungen in Normalform bringen. Diese Prozedur nennt man Hauptachsentransformation. Satz (Metrische Klassifizierung der Kegelschnitte) Jeder nicht ausgeartete Kegelschnitt ist durch Bewegungen in eine der folgenden Normalformen überführbar, mit Parametern 0 <a;b2 R.

17 148 ANALYTISCHE GEOMETRIE (1) ax 2 + by 2 1=0, eine Ellipse, und ein Kreis, falls a = b. (2) ax 2 by 2 1=0, eine Hyperbel. (3) ax 2 y =0, eine Parabel. Ein nicht ausgearteter Kegelschnitt ist, eine Ellipse (Kreis), wenn die zugehörige Matrix A regulär und (positiv oder negativ) definit ist, eine Hyperbel, wenn die zugehörige Matrix A regulär und indefinit ist, und eine Parabel, wenn det A =0ist. Beweis. Sei ein nicht ausgearteter Kegelschnitt mit zugehöriger symmetrischer Matrix A gegeben. Nach dem Hauptachsensatz ist A mit einer Drehung U, d.h. U T AU = a 1 0 x y = U x 0 y 0, diagonalisierbar. Also ist mit den Eigenwerten a 0 a 2 1 ;a 2 2 R von A. Sind a 1 ;a 2 erst einmal ungleich 0, dann ist x x 0 = (x; y)a +2(d; e) + f y y 0 0 x = (x 0 ;y 0 )U T 0 x 0 AU +2(d; e)u + f y y = (x 0 ;y 0 a1 0 x 0 ) 0 a x +2(d y 0 ;e 0 0 ) + f y = a 1 x a2 y (d0 x 0 + e 0 y 0 )+f = a 1 x 0 + a 1 1 d a2 y 0 + a 1 2 e 0 2 +(f a 1 1 d 02 a 1 2 e 0 2 ) mit (d 0 ;e 0 )=(d; e)u und quadratischen Ergänzungen. Setzt man x 00 = x 0 + a 1 1 d 0 und y 00 = y 0 + a 1 2 e 0, also eine Translation, und r = f a 1 1 d 02 a 1 2 e 02, dann erhält man die Darstellung a 1 x a 2 y r =0 für den nicht ausgearteten Kegelschnitt, d.h. insbesondere r 6= 0, und es ergibt sich einer der beiden Fälle (1) oder (2). Der Kegelschnitt ist ausgeartet, falls hier r =0ist. Da A 6= 0, sei jetzt alternativ a 1 6= 0 und a 2 = 0. Mit x 00 wie oben und y 00 = 2e 0 y 0 + f a 1 1 d 02, für e 0 6= 0, erhält man ähnlich wie oben die Darstellung a 1 x 002 +y 00 =0für den nicht ausgearteten Kegelschnitt, also Fall (3). Der Kegelschnitt ist ausgeartet, falls hier e 0 =0ist. Sei ein nicht ausgearteter Kegelschnitt gegeben. Wenn die Eigenwerte a 1 ;a 2 von A gleiches Vorzeichen haben, d.h. A ist definit, dann ist der Kegelschnitt eine Ellipse oder ein Kreis. Wenn sie verschiedenes Vorzeichen haben, d.h. A ist indefinit, dann ist der Kegelschnitt eine Hyperbel, andernfalls eine Parabel.

18 ANALYTISCHE GEOMETRIE 149 Bewegungen sind längen- und winkeltreue affine Abbildungen. Die obige Klassifizierung der Kegelschnitte heißt deshalb metrische Klassifizierung. Mit allgemeinen bijektiven affinen Abbildungen deformiert man Kegelschnitte, z.b. wird aus der Ellipse x2 a 2 + y2 b 2 = 1 durch die affine Abbildung x 7! ax; y 7! by der Einheitskreis x 2 + y 2 = 1, und man erhält die affine Klassifizierung. Satz (Affine Klassifizierung der Kegelschnitte) Jeder nicht ausgeartete Kegelschnitt ist durch affine Abbildungen in eine der folgenden Normalformen überführbar. (1) x 2 + y 2 1=0, Kreis. (2) x 2 y 2 1=0, Hyperbel. (3) x 2 y =0, Parabel. Bemerkung. Man kann die komplexen Zahlen als reelle Ebene R 2 betrachten mit Einheitsbasis 1;i 2 C, d.h. 1 = (1; 0); i = (0; 1) 2 R 2. Damit ergibt sich eine elegante Beschreibung ebener euklidischer Geometrie, weil man die Rechenoperationen der komplexen Zahlen zur Verfügung hat. Eine komplexe Zahl z = a + ib ist dann ein Vektor und die Parameter in der Parameterdarstellung affiner Räume sind reell, z.b. ist eine Gerade mit Stützvektor z 1 und Richtungsvektor z 2 gegeben durch z 1 + R z 2, und für ein 0 < r 2 R ist fz j jz z 1 j = rg der Kreis um z 1 mit Radius r. Mit Polarkoordinaten z = jzje i' = jzj(cos ' + i sin ') erhält man auch sofort Winkel zwischen Vektoren. Beispiel. Es werden in der komplexen Ebene C die Tangenten von einem Punkt p an einen Kreis K um m mit Radius r bestimmt. Die Punkte auf dem Kreis haben die Form z = m + re i'. Wegen e i' = cos '+i sin ' ist die Tangente an K im Punkt z gleich t = z +R (sin ' i cos '). Der Punkt p liegt genau dann auf t, wenn es ein 2 R gibt mit p m r(cos ' + i sin ') = (sin ' i cos '): Die Trennung von Real- und Imaginärteil führt zu den beiden Gleichungen man eliminiert und erhält Re(p m) r cos ' = sin '; Im(p m) r sin ' = cos ': (9.3) Re(p m) cos ' + Im(p m) sin ' r =0:

19 150 ANALYTISCHE GEOMETRIE Mit sin ' = p 1 cos 2 ' und p 6= m und Re(p m) 6= 0folgt aus (9.3) cos 2 ' 2r Re(p m) jp mj 2 und die beiden Lösungen cos ' 1;2 = cos ' + r2 Im 2 (p m) =0; jp mj 2 r Re(p m) Im(p m) p ± jp mj2 r jp mj 2 jp mj 2 : 2 Man bestimmt dazu die passenden Werte sin ' 1;2 und z 1;2 = m+re i' 1;2. Für Re(p m) = 0 ist Im(p m) 6= 0, wegen p 6= m, und aus (9.3) folgen q Im(p r m) 2 sin ' 1;2 = Im(p und m) cos ' r 2 1;2 = ± : Im(p m) Es gibt keine reellen Lösungen, wenn sich der Punkt p im Innern des Kreises befindet, d.h. wenn jp mj < r ist, und es gibt genau eine Lösung, wenn sich p auf dem Kreis befindet, d.h. wenn jp mj = r ist. Wir stellen noch ein konkretes Zahlenbeispiel vor. Seien p =0, r = 1 und m = 2+3i. Nach dem Satz von Pythagoras für die Dreiecke 0mz 1 und 0mz 2 gilt jz 1 j = jz 2 j p = 12. Also folgt aus z = m + re i' = (2 + cos ') +i(3 + sin ') sofort 12 = (2 + cos ') 2 +(3+sin') 2 ; d.h. 2 cos '+3 sin '+1 = 0. Damit ergibt sich für cos ' die quadratische Gleichung cos 2 ' + 4 cos ' 8 = 0, mit den Lösungen cos ' ;2 = p 2 ( 1 ± 3p 3) und sin ' 13 1;2 = 1 57 ± p 24 3, also 13 z 1;2 = m + re i' 1;2 = ( 1 ± p q 3 3) + i 3 1 p 57 ± 24 3 : Quadriken im R 3. Für eine reelle symmetrische 3 3 Matrix A =(a ij ) 6= 0und a 0 ;a 1 ;a 2 ;a 3 2 R ist durch a 1;1 x a 1;2x 1 x 2 +2a 1;3 x 1 x 3 + a 2;2 x a 2;3x 2 x 3 bzw. +a 3;3 x a 1x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 0 =0; 0 1 (x 1 ;x 2 ;x 3 )A@ x 1 x 2 A +2(a1 ;a 2 ;a 3 )@ x 1 x 2 A + a0 =0: 0 1 x 3 x 3

20 ANALYTISCHE GEOMETRIE 151 eine Quadrik oder Fläche 2-ter Ordnung im R 3 gegeben. Eine zugehörige Matrix A kann immer symmetrisch gewählt werden. Eine Quadrik Q heißt nicht ausgeartet, wenn es eine Ebene E gibt, so dass Q E ein nicht ausgearteter Kegelschnitt ist. Damit sind die leere Menge, ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene, ein Ebenenpaar, etc. ausgeartete Quadriken. Genauso wie im Beweis des Klassifizierungssatzes für Kegelschnitte erhält man mit Hauptachentransformation und Translation Normalformen nicht ausgearteter Quadriken im R 3. Satz (Metrische Klassifizierung der Quadriken) Jede nicht ausgeartete Quadrik ist durch Bewegungen in eine der folgenden Normalformen überführbar, mit Parametern 0 <a;b;c2 R. (1) ax bx2 2 + cx2 3 1=0, Ellipsoid, Kugel, für a = b = c. (2) ax bx2 2 cx 2 3 1=0, einschaliges Hyperboloid. (3) ax 2 1 bx 2 2 cx 2 3 1=0, zweischaliges Hyperboloid. (4) ax bx2 2 x 2 3 =0, Doppelkegel. (5) ax bx2 2 x 3 =0, elliptisches Paraboloid. (6) ax 2 1 bx 2 2 x 3 =0, hyperbolisches Paraboloid. (7) ax bx2 2 1=0, elliptischer Zylinder, Kreiszylinder, für a = b. (8) ax 2 1 bx 2 2 1=0, hyperbolischer Zylinder. (9) ax 2 1 x 2 =0, parabolischer Zylinder. Bemerkung. Die Eigenwerte der zugehörigen Matrix A einer Quadrik und ihre Vorzeichen bestimmen hauptsächlich den Typ einer nicht ausgearteten Quadrik, wenn z.b. die Eigenwerte von A alle dasselbe Vorzeichen haben, dann ist eine zugehörige, nicht ausgeartete Quadrik ein Ellipsoid. Im konkreten Fall kommt man nicht umhin die Normalform zu berechnen, allein schon, um zu entscheiden, ob es sich um eine ausgeartete Quadrik handelt oder nicht. Wenn A gleiche Eigenwerte hat, dann ist die Quadrik rotationssymmetrisch. Es genügt nicht, wenn die Eigenwerte gleichen Betrag haben, z.b. ist der hyperbolische Zylinder, gegeben durch x 2 y 2 =1, nicht rotationssymmetrisch. Eine Quadrik im R n ist mit einer symmetrischen n n Matrix A = (a P i;j ) und einem (n+1)-tupel (a 0 ;::: ;a n ) gegeben durch die Gleichung n a i;j=1 i;jx i x P n j + a i=1 ix i + a 0 = 0. Auch diese höher-dimensionalen Quadriken lassen sich durch Bewegungen in Normalform bringen mit derselben Methode wie im Beweis des Klassifizierungssatzes

21 152 ANALYTISCHE GEOMETRIE 9.8. Büschel, Tangenten, Körper. Mengen von Geraden in einem Vektorraum mit einem Parameter nennt man ein Geradenbüschel. Analog gibt es auch Ebenenbüschel. Wir geben einige Beispiele. G 1 = fg j 2 Rg mit G =(1; 1+ ; )+R(1; 0; 0) ist das Büschel aller parallelen Geraden mit Richtungsvektor (1; 0; 0), deren Stützvektor auf der Geraden (1; 1; 0) + R (0; 1; 1) liegt. G 2 = fg ff j 0» ff < 2ßg mit G ff = (1; 0; 1) + R (cos ff; sin ff; 0) ist das Büschel aller Geraden durch den Punkt (1; 0; 1), die in einer Ebene parallel zur x-y-ebene liegen. E 1 = fe j 2 Rg mit E in Hessescher Normalform n (x 1 ;x 2 ;x 3 )= ist das Büschel aller parallelen Ebenen mit Normalvektor n. E 2 = fe ff j 0» ff<2ßg mit E ff =(1; 0; 0) + R (1; 1; 0) + R (cos ff; cos ff; sin ff) ist das Büschel aller Ebenen, welche die Gerade (1; 0; 0) + R (1; 1; 0) enthalten. Es sollen im R 2 Tangenten an einen Kegelschnitt gelegt werden. Sei ax 2 +2bxy + cy 2 +2dx +2ey + f = 0 ein Kegelschnitt Q und sei G = fg ff j 0» ff<2ßg mit G ff =(p 1 ;p 2 )+R(cos ff; sin ff) das Büschel aller Geraden durch den Punkt (p 1 ;p 2 ). Dann erhält man Q G ff indem man x = p 1 + cos ff und y = p 2 + sin ff einsetzt. Es ergibt sich für fixiertes ff eine quadratische Gleichung f ff ( ) = 0 für, also ist Q G ff entweder leer, ein Punkt oder zwei Punkte, je nachdem welche reellen Lösungen diese quadratische Gleichung hat. Tangenten an den Kegelschnitt Q, die den Punkt p =(p 1 ;p 2 ) enthalten, sind also genau die Geraden G ff, für die f ff ( ) = 0 genau eine reelle Lösung besitzt. Mit ff; hat man natürlich auch den Berührpunkt der Tangente bestimmt.

22 äußeres Produkt, 144 Abstand, 142, 143, 145 affine Abbildung, 138 affine Geometrie, 133 affine Klassifizierung, 149 affine Parallelprojektion, 140 affiner Isomorphismus, 139 affiner Raum, 133 affines Koordinatensystem, 139 Affinität, 139 analytische Geometrie, 133 Asymptote, 147 ausgeartete Quadrik, 151 ausgearteter Kegelschnitt, 146 Berührpunkt, 152 Bewegung, 147 Index hyperbolischer Zylinder, 151 hyperbolisches Paraboloid, 151 Hyperboloid, 151 Hyperebene, 133 induziert, 140 Kegel, 146 Kegelschnitt, 146 Kegelschnitttypen, 147 Kegelspitze, 146 kollinear, 139 Kreis, 147 Kreiszylinder, 151 Kugel, 151 Kurve zweiter Ordnung, 146 Lot, 142 Dimension, 133 Dimensionssatz für aff. Räume, 135 Doppelkegel, 146, 151 Ebene, 133 Ebenenbüschel, 152 Einheitswürfel, 145 einschaliges Hyperboloid, 151 Ellipse, 147 Ellipsoid, 151 elliptischer Zylinder, 151 elliptisches Paraboloid, 151 Erzeugendensystem, 139 euklidischer Abstand, 142 Fingerregel, 144 Fläche, 145 Fläche 2-ter Ordnung, 151 Geometrie, 133 Gerade, 133 Geradenbüschel, 152 Gleichungsdarstellung, 136, 141 Grundriss, 140 Hauptachsen, 147 Hauptachsentransformation, 147 Hessesche Normalform, 142 homogener Raum, 133 Hyperbel, metrische Klassifizierung, 149 Mittelpunktsform, 147 Nebenklasse, 133 nicht ausgearteter Kegelschnitt, 146 Normalform eines Kegelschnitts, 147 Normalvektor, 141 Nullpunkt, 133 Parabel, 147 parabolischer Zylinder, 151 Paraboloid, 151 parallele affine Räume, 133 Parallelogramm, 145 Parallelotop, 145 Parallelprojektion, 140 Parallelverschiebung, 147 Parameterdarstellung, 136, 141 Polarkoordinaten, 149 Projektion, 140 Punkt, 133 Quader, 145 Quadrik, 151 rechte Hand Regel, 144 Repräsentant, 133 Richtungsvektor, 133 Rotationssymmetrie, 151

23 154 ANALYTISCHE GEOMETRIE Spat, 145 Stützvektor, 133 Symmetrieachsen, 147 Tangente, 152 Translation, 147 Ursprung, 133 Vektorprodukt, 144 Verbindungsgerade von Punkten, 134 Verbindungsraum, 133 Volumen, 145 windschief, 135 zugehörige lineare Abbildung, 138 zugehörige Matrix, 146 zugehöriger homogener Raum, 133 zweischaliges Hyperboloid, 151 Zylinder, 151