Analytische Geometrie

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1 Kapitel 2 Analytische Geometrie 21 Vektoren Die Elemente des kartesischen Produktes R n, d h die n Tupel oder Zeilenvektoren (a 1,, a n ) mit a k R für k n, interpretiert man als Punkte eines n dimensionalen Raumes Dabei hat R n für n 3 folgende anschauliche Bedeutungen: n = 1 : Zahlengerade R n = 2 : Euklidische Ebene R 2 n = 3 : Euklidischer (3 dimensionaler) Raum R 3 Geometrisch stellen wir uns unter einem Vektor einen Pfeil vom Ursprung (dem Nullpunkt) := (,, ) zu einem Punkt des Raumes R n vor (Hier hat das Symbol Null mehrere Bedeutungen!) Wir erlauben aber auch, Pfeile im Raum herumzuschieben Unverändert bleiben dabei Richtung und Länge Man vereinbart die folgende Schreibweise für solche Vektoren: 211 Schreibweise (Koordinatenbeschreibung von Vektoren) Der Spaltenvektor a 1 a n beschreibt den Vektor vom Nullpunkt zum Punkt (a 1,, a n ) Die Gesamtheit aller solchen Spaltenvektoren bezeichnen wir mit R n 212 Definition (Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Vektoren) Für a 1,, a n, b 1,, b n R und λ R setzen wir a 1 a n b 1 ± b n := a 1 ± b 1 a n ± b n, λ a 1 a n := λa 1 λa n, := sowie a := ( 1)a für a R n Analog für Zeilenvektoren, d h Elemente von R n (Nullvektor) 12

2 KAPITEL 2 ANALYTISCHE GEOMETRIE 13 Vektoren werden von verschiedenen Autoren unterschiedlich bezeichnet, z B mit a, a, A, oder a Im folgenden arbeiten wir wahlweise mit Zeilen oder Spaltenvektoren und schreiben R n für R n \ {}, R n für R n \ {} Für reelle Zahlen verwendet man oft zur Unterscheidung von Vektoren griechische Buchstaben 213 Lemma (Rechenregeln für Vektoren) Für Vektoren a, b, c R n und λ, µ R gelten folgende Gleichungen: (1 + ) a + b = b + a (Kommutativgesetz) (2 + ) (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativgesetz für Vektoren) (3 + ) + a = a + = a (additives neutrales Element) (4 + ) a + ( a) = (negatives Element) (1 ) λ(µa) = (λµ)a (Assoziativgesetz für Skalare) (2 ) λ(a + b) = λa + λb (Distributivgesetz für Vektoren) (3 ) (λ + µ)a = λa + µa (Distributivgesetz für Skalare) (4 ) 1a = a (multiplikatives neutrales Element) 22 Das Skalarprodukt Um mit Winkeln und Abständen in der Ebene, im Raum oder allgemein im R n bequem rechnen zu können, benutzt man das Skalarprodukt; es ordnet je zwei Vektoren a, b eine gewisse reelle Zahl a b ( Skalar ) zu Dem Betrage nach beschreibt sie, geometrisch interpretiert, die Fläche des Rechtecks, welches von der Projektion des Vektors b in Richtung a und einem zu a senkrechten Vektor der Länge a aufgespannt wird (siehe 226) 221 Definition Für Vektoren a = (a 1,, a n ), b = (b 1,, b n ) R n ist das Skalarprodukt a b definiert als n a b := a 1 b a n b n = a k b k k=1 222 Lemma (Rechenregeln für das Skalarprodukt) Für Vektoren a, b, c R n und λ R gelten folgende Regeln: (S1) a a ; a a = a = (positive Definitheit) (S2) λ(a b) = λa b = a λb (Assoziativgesetz) (S3) a b = b a (Kommutativgesetz) (S4) (a + b) c = a c + b c (Distributivgesetz) 223 Definition (1) Zwei Vektoren a und b aus R n heißen zueinander orthogonal (oder stehen aufeinander senkrecht), in Zeichen a b, falls ihr Skalarprodukt verschwindet: a b = (2) Es seien a, b R n Die Zahl a := a a heißt Länge, Norm oder (Absolut-)Betrag des Vektors a, und d(a, b) := a b heißt Abstand zwischen a und b

3 KAPITEL 2 ANALYTISCHE GEOMETRIE 14 (3) Für nichtleere Mengen A, B R n versteht man unter dem (Minimal-) Abstand zwischen A und B das Infimum d(a, B) := inf{ d(a, b) a A, b B} Im Falle A = {a} schreibt man d(a, B) für d(a, B), entsprechend d(a, b) statt d(a, {b}) Im R 1 : a = a 2 = max{a, a} = a, d(a, b) = a b Im R 2 : a = a a 2 2, d(a, b) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 Im R 3 : a = a a a 3 2, d(a, b) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + (a 3 b 3 ) Satz (Rechteckregel) Für je zwei Vektoren a, b R n sind die folgenden drei Aussagen äquivalent: (a) a b (b) a b = a + b (c) a 2 + b 2 = a + b Folgerungen (Geometrische Interpretationen der Rechteckregel) (1) Satz des Pythagoras: Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn das Hypotenusenquadrat gleich der Summe der Kathetenquadrate ist (2) Satz des Thales: Der Durchmesser eines Kreises wird von jedem Peripheriepunkt aus unter einem rechten Winkel gesehen (3) Satz vom Rechteck: Ein Parallelogramm hat genau dann gleichlange Diagonalen, wenn benachbarte Seiten aufeinander senkrecht stehen (4) Satz vom Rhombus: Ein Parallelogramm hat genau dann gleichlange Seiten (d h es ist ein Rhombus bzw eine Raute), wenn seine Diagonalen aufeinander senkrecht stehen 226 Satz und Definition (Orthogonalprojektion) Für a R n kann jeder Vektor b R n auf eindeutige Weise als Differenz zweier Vektoren dargestellt werden, die aufeinander senkrecht stehen und von denen der eine die Form λa, also dieselbe Richtung wie a hat Dieser Vektor liefert den Lotfußpunkt der senkrechten Projektion von b auf a und wird mit L a (b) bezeichnet; der zweite heißt Lot oder Projektionsvektor von b auf a und wird mit P a (b) bezeichnet Also: b = L a (b) P a (b), L a (b) = λa P a (b) Hierbei ist λ = a b a a = a b a b a 2 und L a (b) = a 227 Satz (Ungleichung von Cauchy Schwarz) Für a, b R n gilt: a b a b Gleichheit besteht genau dann, wenn a = oder b = µa, d h P a (b) = gilt

4 KAPITEL 2 ANALYTISCHE GEOMETRIE Folgerung (Quadratmittelung) Das Quadrat des arithmetischen Mittels ist höchstens so groß wie das arithmetische Mittel der Quadrate: ( a a n n ) 2 a a 2 n n 229 Folgerung (Winkel zwischen Vektoren) Für a, b R n gilt: 1 a b a b 1 Also existiert genau ein Winkel γ [, π] (bzw zwischen und 18 ) mit cos γ = a b a b Im R 2 und R 3 ist γ der mit (a, b) bezeichnete Winkel zwischen a und b Insbesondere: a b a b = cos γ = γ = π Folgerung (Cosinussatz) Für a, b R n gilt: a ± b 2 = a 2 ± 2(a b) + b 2 = a 2 ± 2 a b cos γ + b 2 Spezialfall: a b = cos γ = = a ± b 2 = a 2 + b 2 (Pythagoras) 2211 Satz (Norm) Für Vektoren a, b R n und λ R gilt: (N1) a, a = a = (Positivität) (N2) λa = λ a (Homogenität) (N3) a ± b a + b (Dreiecks Ungleichung) 2212 Definition Ein Vektor v R n heißt Einheitsvektor oder normiert, falls v = Bemerkung Jeder Vektor u R n kann normiert werden : u := u u hat die Norm 1 und es gilt u = u u ( Länge mal Richtungsvektor ) 2214 Definition Die Vektoren e k = (,,, 1,,, ) R n, wobei die 1 an der k ten Stelle steht, heißen kanonische Einheitsvektoren des R n Mit dem Kronecker Symbol { 1, falls j = k δ jk =, falls j k gilt also: e k = (δ jk j n) und e j e k = δ jk, d h {e 1,, e n } ist eine Orthonormalbasis (2325)

5 KAPITEL 2 ANALYTISCHE GEOMETRIE Unterräume und affine Teilräume Die wichtigsten Objekte der Geometrie sind Punkte, Geraden und Ebenen Sie stellen die, 1 und 2 dimensionalen Spezialfälle des Begriffs der affinen Teilräume dar Von besonderem Interesse sind diejenigen affinen Teilräume, welche den Nullvektor enthalten, die sogenannten linearen Unterräume oder Untervektorräume Wir interessieren uns besonders dafür, wie man solche Räume mit Hilfe möglichst weniger Vektoren aufbauen kann 231 Definition (1) Für Vektoren v 1,, v k R n und λ 1, λ k R heißt k λ 1 v λ k v k = λ j v j j=1 eine Linearkombination der Vektoren v j Sie heißt trivial, falls λ 1 = = λ k = (2) Eine Teilmenge X von R n heißt linear unabhängig, falls sich der Nullvektor = (,, ) nur trivial als Linearkombination paarweise verschiedener Vektoren aus X darstellen läßt oder X leer ist Andernfalls heißt X linear abhängig 232 Bemerkung (1) Lineare (Un )Abhängigkeit ist eine Eigenschaft von Mengen von Vektoren, nicht von einzelnen Vektoren Trotzdem sagt man statt {v 1,, v k } ist linear (un )abhängig auch die Vektoren v 1,, v k sind linear (un )abhängig (2) Ein Vektor v (genauer die Menge {v}) ist genau dann linear abhängig, wenn v der Nullvektor ist (3) Wann zwei Vektoren linear (un)abhängig sind, wird etwas später erläutert (siehe Lemma 236) 233 Definition (Parameterdarstellung von Geraden) Für v R n heißt Rv := {λv λ R} die Gerade durch und v Allgemeiner heißt für a R n a + Rv := {a + λv λ R} die Gerade durch a mit Richtung v (oder parallel zu v) 234 Bemerkung Wegen a + Rv = a + Rv kann der Richtungsvektor v immer normiert gewählt werden 235 Satz (Gerade durch zwei Punkte) Durch je zwei verschiedene Punkte a, b R n geht genau eine Gerade, nämlich a + R(b a)

6 KAPITEL 2 ANALYTISCHE GEOMETRIE Lemma (Lineare Abhängigkeit zweier Vektoren) Für a, b R n sind folgende Aussagen äquivalent: (a) a = oder es gibt ein λ R mit b = λa (b) b = oder es gibt ein µ R mit a = µb (c) Es gibt c R n und α, β R mit a = αc und b = βc (d) a = oder b = oder Ra = Rb (e) a und b sind linear abhängig, d h es gibt (λ, µ) R 2 mit λa + µb = (c) und (d) bedeuten geometrisch: a und b liegen auf einer gemeinsamen Geraden durch 237 Definition (Parameterdarstellung von Ebenen) Für zwei linear unabhängige Vektoren u, v R n ist Ru + Rv = {λu + µv λ, µ R} die Ebene durch, u und v Allgemeiner ist für a R n a + Ru + Rv := {a + λu + µv λ, µ R} die zu u und v parallele Ebene durch a 238 Definition Mehrere Punkte des R n heißen kollinear, wenn sie auf einer Gerade liegen 239 Satz (Geraden und Ebenen durch drei Punkte) a, b, c R n sind kollinear b a und c a sind linear abhängig Durch je drei nicht kollineare Punkte a, b, c geht genau eine Ebene, nämlich a + R(b a) + R(c a) 231 Definition Mehrere Punkte des R n heißen komplanar, wenn sie in einer Ebene liegen 2311 Satz (Ebene Vierecke) Vier Punkte a, b, c, d sind genau dann komplanar, wenn {b a, c a, d a} linear abhängig ist, d h b a, c a, d a in einer Ebene durch liegen 2312 Definition Für v R n heißt H,v := {x R n v x = } =: v die zu v senkrechte oder orthogonale Hyperebene Allgemeiner heißt für a R n H a,v := {x R n v (x a)} = {x R n v x = v a} zu v senkrechte Hyperebene durch a

7 KAPITEL 2 ANALYTISCHE GEOMETRIE Bemerkung (Hyperebenen Gleichung) Für a R n, v R n und γ := v a R gilt: H a,v = {(x 1,, x n ) R n v 1 x v n x n = γ} Umgekehrt beschreibt jede Gleichung v 1 x v n x n = γ mit (v 1,, v n ) R n und γ R eine Hyperebene 2314 Definition Sei H eine Gerade der Form a + Rv oder eine Hyperebene der Form H a,v Weiter sei b R n und λ := (b a) v v v Dann heißt L H (b) := a + λv im Fall einer Geraden L H (b) := b λv im Fall einer Ebene Lotfußpunkt der senkrechten Projektion von b auf H, P H (b) := L H (b) b heißt Lotvektor oder Projektionsvektor von b auf H, und S H (b) := b + 2P H (b) = 2L H (b) b heißt Spiegelpunkt von b an H (vgl 226) 2315 Satz (Lot auf Gerade oder Hyperebene) Für eine Gerade H = a + Rv oder eine Hyperebene H = H a,v und einen Punkt b R n gilt: (1) L H (b) ist der einzige Vektor l H, für den l b senkrecht auf H steht (2) Der Abstand von b zu H ist d(b, H) = P H (b) (3) Der Spiegelpunkt S H (b) von b an H hat den gleichen Abstand von H wie b, und der Verbindungsvektor S H (b) b = 2P H (b) steht senkrecht auf H 2316 Bemerkung (Spiegelung an einem Punkt) S a (b) = a + (a b) = 2a b beschreibt für b R n den an a R n gespiegelten Punkt Spiegelungen sind selbstinvers: S H S H = S a S a = id R n 2317 Definition Eine Teilmenge U von R n heißt (linearer) Unterraum des R n, in Zeichen U R n, falls gilt: (U) U Ø (U1) u, v U = u + v U (U2) λ R, u U = λu U 2318 Folgerung Jeder Unterraum U enthält den Nullvektor, und es gilt: u U = u U 2319 Satz (Unterräume des R n ) Unterräume des R n sind

8 KAPITEL 2 ANALYTISCHE GEOMETRIE 19 () der Nullraum {} ( dimensional ), (1) alle Geraden durch ( 1 dimensional ), (2) alle Ebenen durch ( 2 dimensional ), (3) alle Hyperebenen durch ( (n 1) dimensional ), (4) der Gesamtraum R n ( n dimensional ) Für n 4 sind dies alle Unterräume des R n, für n > 4 gibt es weitere 232 Bemerkung Geraden, Ebenen und Hyperebenen sind nur dann Unterräume, wenn sie den Nullvektor enthalten Ein exakter allgemeiner Dimensionsbegriff wird in Kapitel 31 gegeben 2321 Definition Die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus einer nichtleeren Menge X R n wird mit L(X) oder X bezeichnet und heißt lineare Hülle von X oder von X erzeugter Unterraum Für X = Ø setzt man L(X) = {} 2322 Satz (Lineare Hülle) Für X R n ist L(X) der kleinste Unterraum von R n, der X umfaßt 2323 Definition Eine Teilmenge B eines Unterraums U R n heißt Erzeugendensystem von U, falls U = L(B) gilt Ist B außerdem linear unabhängig, so heißt B Basis von U 2324 Beispiele () Ø ist Basis von {}, aber {} ist keine Basis von {}, da linear abhängig! (1) Für v R n ist {v} eine Basis der Geraden Rv (2) Sind u, v linear unabhängig, so ist {u, v} eine Basis der Ebene Ru + Rv (3) {e 1,, e n } ist eine Basis des R n, die sogenannte kanonische Basis 2325 Definition Sei B eine Menge paarweise orthogonaler, von verschiedener Vektoren des R n und U = L(B) Dann heißt B Orthogonalbasis von U Gilt außerdem b = 1 für alle b B, so heißt B Orthonormalbasis (ONB) von U 2326 Satz (Orthogonalbasis) Jede Orthogonalbasis ist eine Basis Ist B = {b 1,, b m } eine Orthogonalbasis von U, so läßt sich jeder Vektor u U eindeutig als Linearkombination u = λ 1 b 1 + +λ m b m schreiben, wobei λ k = u b k b k b k Speziell gilt im Falle einer ONB: λ k = u b k (sogenannte Fourierkoeffizienten) 2327 Lemma (Charakterisierung von Unterräumen des R n ) Eine nichtleere Teilmenge U des R n ist genau dann Unterraum, wenn für beliebige u, v U auch Ru + Rv ganz in U enthalten ist 2328 Definition Eine Teilmenge T des R n heißt affiner Teilraum des R n, falls für je zwei verschiedene Elemente a, b T auch die Gerade durch a und b ganz in T liegt, d h falls für alle λ, µ R mit λ + µ = 1 gilt: λa + µb T

9 KAPITEL 2 ANALYTISCHE GEOMETRIE Folgerung Eine Teilmenge des R n ist genau dann Unterraum, wenn sie ein affiner Teilraum ist, der enthält 233 Definition Für X R n heißt k k A(X) := { λ j x j x j X, λ j R, k N, λ j = 1} j=1 j=1 die Menge aller Affinkombinationen von Vektoren aus X A(X) heißt affine Hülle von X oder der von X erzeugte affine Teilraum (Insbesondere A(Ø) = Ø) 2331 Satz (Affine Hülle) Für X R n ist A(X) der kleinste X umfassende affine Teilraum von R n 2332 Satz (Affine Teilräume des R n ) Affine Teilräume des R n sind: () die leere Menge Ø, (1) alle Punkte {a} (a R n ), (2) alle Geraden a + Rv (v R n ), (3) alle Ebenen a + Ru + Rv (u, v linear unabhängig), (4) alle Hyperebenen H a,v (a R n, v R n ), (5) der ganze Raum R n Für n 4 sind dies alle affinen Teilräume des R n, für n > 4 gibt es weitere Die Hyperebenen sind in R 1 die Punkte, in R 2 die Geraden und in R 3 die Ebenen 2333 Satz (Differenzraum eines affinen Teilraumes) Eine nichtleere Teilmenge T des R n ist genau dann affiner Teilraum, wenn es einen Unterraum U mit T = a + U = {a + u u U} gibt Hierbei ist a ein beliebiger Vektor aus T, und U ist der durch T eindeutig bestimmte Differenzraum T = {b c b, c T } 2334 Bemerkung Zwei affine Teilräume S und T sind genau dann im geometrisch anschaulichen Sinne parallel, wenn S T oder T S gilt 2335 Definition Eine Teilmenge von R n heißt konvex, falls sie mit je zwei verschiedenen Punkten a, b auch die Strecke zwischen a und b enthält, d h die Menge S a,b = {λa + (1 λ)b λ [, 1]} Die konvexe Hülle einer Menge X R n ist k K(X) = { λ j x j x j X, λ j R, k N, j= Satz (Konvexe Hülle) k λ j = 1, λ j } (speziell K(Ø) = Ø) j=1 Für X R n ist K(X) die kleinste X umfassende konvexe Teilmenge von R n 2337 Bemerkungen

10 KAPITEL 2 ANALYTISCHE GEOMETRIE 21 (1) K(X) A(X) L(X) (2) Jeder Unterraum ist ein affiner Teilraum, und jeder affine Teilraum ist konvex Die Umkehrungen gelten im allgemeinen nicht 2338 Definition (1) Eine Abbildung H : P(M) P(M) heißt Hüllenoperator, falls für alle X, Y M gilt: X H(Y ) H(X) H(Y ) (2) Eine Teilmenge H von P(M) heißt Hüllensystem (auf M), falls sie gegen beliebige Durchschnitte abgeschlossen ist, d h X H = X H 2339 Satz (Charakterisierung von Hüllenoperatoren) Eine Abbildung H : P(M) P(M) ist genau dann ein Hüllenoperator, wenn sie folgende drei Bedingungen für beliebige X, Y M erfüllt: (H1) X H(X) (H ist extensiv) (H2) X Y = H(X) H(Y ) (H ist inklusionserhaltend) (H3) H(H(X)) = H(X) (H ist idempotent) 234 Satz (Hüllenoperatoren und Hüllensysteme) (1) Ist H : P(M) P(M) ein Hüllenoperator, so ist H := H + (P(M)) ein Hüllensystem, und H kann mit Hilfe von H zurückgewonnen werden durch H(X) = {A H X A} (2) Ist H P(M) ein Hüllensystem, so definiert H(X) := {A H X A} einen Hüllenoperator H : P(M) P(M) mit H = H + (P(M)) Hüllensysteme und Hüllenoperatoren entsprechen einander also bijektiv 2341 Bemerkung K, A und L sind Hüllenoperatoren (1) Zur konvexen Hülle gehört das Hüllensystem der konvexen Teilmengen von R n (2) Zur affinen Hülle gehört das Hüllensystem der affinen Teilräume von R n (3) Zur linearen Hülle gehört das Hüllensystem der linearen Unterräume von R n

11 KAPITEL 2 ANALYTISCHE GEOMETRIE Das Vektorprodukt Von großem Nutzen für viele Berechnungen im dreidimensionalen Raum (auch in Anwendungsbereichen wie Physik und Technik) ist das Vektorprodukt, welches je zwei Vektoren des R 3 einem dritten zuordnet, der auf diesen beiden senkrecht steht 241 Definition Für u, v R 3 ist das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt definiert als der Vektor u 2 v 3 u 3 v 2 u 1 v 1 u v = u 3 v 1 u 1 v 3 R 3, wobei u = u 2, v = v 2 u 1 v 2 u 2 v 1 u 3 v Bemerkung Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Skalar, d h eine reelle Zahl, das Vektorprodukt ist ein Vektor (aus R 3 )! 243 Satz (Rechenregeln für das Vektorprodukt) Für u, v, w R 3 gilt: (1) u v = v u, insbesondere u u = (Anti Kommutativgesetz) (2) (u + v) w = u w + v w (Distributivgesetz) (3) λ(u v) = λu v = u λv (Assoziativgesetz) (4) (u v) u = (u v) v = (Orthogonalität) (5) u (v w) = (u w)v (u v)w (Grassmann Identität) (6) u (v w) + v (w u) + w (u v) = (Jacobi Identität) (7) u v 2 + (u v) 2 = u 2 v 2 (Cauchy Schwarz Identität) 244 Satz (Orthonormalbasen des R 3 ) Drei Einheitsvektoren u, v, w R 3 bilden genau dann eine ONB, wenn u v = und w = ±u v gilt 245 Satz (Charakterisierung linearer Abhängigkeit durch das Vektorprodukt) Für u, v, w R 3 gilt: (1) u v = u, v linear abhängig (2) (u v) w = u, v, w linear abhängig u, v linear abhängig oder w Ru + Rv 246 Definition Für u, v, w R 3 heißt die Zahl (u v) w = (v w) u = (w u) v = (v u) w = (w v) u = (u w) v u 1 v 1 w 1 = u 2 v 2 w 2 := u 1 v 2 w 3 + u 3 v 1 w 2 + u 2 v 3 w 1 u 3 v 2 w 1 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 u 3 v 3 w 3

12 KAPITEL 2 ANALYTISCHE GEOMETRIE 23 das Spatprodukt von u, v und w (u, v, w) heißt Rechts (bzw Links )system, falls (u v) w > (bzw < ) 247 Bemerkung Für die kanonischen Einheitsvektoren e 1 = Multiplikationstabelle: 1, e 2 = 1, e 3 = 1 gilt folgende e 1 e 2 e 3 e 1 e 3 e 2 e 2 e 3 e 1 e 3 e 2 e 1 e 1 e 3 e 2 Durch diese Multiplikationstabelle und die Bilinearität (243(2) und (3)) ist das Vektorprodukt vollständig festgelegt: u v = (u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 ) (v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 ) = (u 2 v 3 u 3 v 2 )e 1 + (u 3 v 1 u 1 v 3 )e 2 + (u 1 v 2 u 2 v 1 )e Satz und Definition (Spatvolumen) Für u, v, w R 3 ist (u v) w das Volumen des von u, v, w aufgespannten Spates [u, v, w] = {λu + µv + νw λ, µ, ν [, 1]} Hierbei kann man das Volumen definieren als Grundfläche mal Höhe 249 Satz Das Vektorprodukt u v ist der eindeutig bestimmte Vektor s mit folgenden Eigenschaften: (1) s steht senkrecht auf u und v (2) Die Länge von s ist gleich dem Flächeninhalt des von u und v aufgespannten Parallelogramms: u v = u v sin (u, v) (3) u, v, s bilden ein Rechtssystem Besonders hilfreich ist das Vektorprodukt bei der Berechnung von Abständen im dreidimensionalen Raum

13 KAPITEL 2 ANALYTISCHE GEOMETRIE Satz (Abstand zwischen zwei Geraden) Zwei Geraden G = a + Ru und H = b + Rv im R 3 sind genau dann windschief (d h disjunkt und nicht parallel), wenn (u v) (b a) gilt In diesem Fall ist der Abstand zwischen G und H (d h die kürzeste Entfernung zwischen Punkten von G und Punkten von H): d(g, H) = (u v) (b a) Dies ist auch der Abstand zwischen dem Punkt b und der Ebene E = a+ru+rv bzw zwischen dem Punkt a und der Ebene b + Ru + Rv 2411 Satz (Abstand zwischen Punkten und Hyperebenen) Der Abstand eines Punktes b R n von einer Hyperebene H a,v, d h die kürzeste Entfernung zwischen b und einem Punkt von H a,v ist d(b, H a,v ) = v (b a) 2412 Bemerkung Im R 3 läßt sich für linear unabhängige u, v die Ebene E = a + Ru + Rv durch folgende Normalform beschreiben: E = H a,(u v) 2413 Zusammenfassung (Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen) Punkt b Gerade H = b + Rv Ebene F = b + Ru + Rv Punkt a d(a, b) = d(b, a) d(a, H) = d(h, a) d(a, F ) = d(f, a) = b a = v (b a) = (u v) (b a) Gerade G d(g, b) = d(b, G) d(g, H) = d(h, G) d(g, F ) = d(f, G) = a + Ru = u (b a) = (u v) (b a) = (u v) (b a) Ebene E d(e, b) = d(b, E) d(e, H) = d(h, E) d(e, F ) = d(f, E) = a + Ru + Rv = (u v) (b a) = (u v) (b a) = (u v) (b a) Hierbei sind u und v als linear unabhängig vorausgesetzt 2414 Bemerkung Mit Hilfe von Vektorprodukt und Spatprodukt kann man Flächen von Polygonen und Volumina von Polytopen berechnen, indem man erstere in Dreiecke, letztere in Tetraeder zerlegt und die folgenden Formeln benutzt: (1) Die Fläche eines von den Vektoren a, b, c aufgespannten Dreiecks ist gleich der Fläche des von den verschobenen Vektoren = a a, b a und c a aufgespannten Dreiecks, also gleich der halben Fläche des von b a und c a erzeugten Parallelogramms: F Dreieck (a, b, c) = 1 (b a) (c a) 2 (2) Das Volumen eines von den Vektoren a, b, c, d aufgespannten Tetraeders ist gleich dem Volumen des von den verschobenen Vektoren = a a, b a, c a und d a aufgespannten Tetraeders, also ein Sechstel des von b a, c a und d a erzeugten Spates: V T etraeder (a, b, c, d) = 1 ((b a) (c a)) (d a) 6