2.5. Lote und Abstände

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1 .5. Lote und Abstände Besonders häufig muß man in der Praxis Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (in allen möglichen Kombinationen) berechnen. Wir stellen dafür im Folgenden allgemeine Formeln zusammen. Diese Formeln muß man nicht im Einzelnen auswendig beherrschen. Sie ergeben sich alle durch geschickte Anwendung des Skalar- und Vektorprodukts. Zur Erinnerung: Gerade in Parameterdarstellung a+ru Ebene in Parameterdarstellung a+ru+rv

2 Dreifaches Vektorprodukt Wir notieren zunächst einen nützlichen Zusammenhang zwischen Skalar- und Vektorprodukt, den man durch direktes Ausrechnen der einzelnen Koordinaten bestätigt: (uxv)xw = (wu)v - (vw)u. Merkregel Links klammern, im Uhrzeigersinn zyklisch vertauschen: uvw... wuv... vwu, Differenz bilden. Das dreifache Vektorprodukt auf der linken Seite steht sowohl auf w als auch auf uxv senkrecht, muß also in der von u und v aufgespannten Ebene liegen. Die Koeffizienten der entsprechenden Linearkombination sind nach der obigen Formel die Skalarprodukte wu und -vw. Das Vektorprodukt ist nicht assoziativ! Denn es gilt (uxv)xw = (wu)v - (vw)u, während Vertauschen von u und w in der obigen Gleichung wegen ux(vxw) = - (vxw)xu = (wxv)xu etwas anderes liefert, nämlich: ux(vxw) = (wu)v - (uv)w. Die Orthogonalzerlegung eines Vektors v in seine Projektion auf u und die dazu senkrechte Komponente ist v = (uv)u + (uxv)xu.

3 Das ergibt sich als Spezialfall aus der Formel für das dreifache Vektorprodukt: Denn im Falle eines Einheitsvektors u = w ist uu = 1, also (uxv)xu = (uu)v - (vu)u = v - (uv)u. Oft ist es praktisch, nicht zwischen Punkten und ihren Ortsvektoren zu unterscheiden, also einen (Orts-)Vektor mit dem gleichen Symbol wie den Punkt an seiner Spitze zu bezeichnen. Der Abstand zwischen zwei Teilmengen A und B des R n ist definiert als das Infimum, d.h. die größte untere Schranke aller Abstände x-y zwischen Punkten x aus A und y aus B, in Zeichen d(a,b) = inf { x-y : x in A, y in B}. Falls A und B sich schneiden, ist der Abstand natürlich 0.

4 Affine Teilräume des dreidimensionalen Raumes R 3 sind Punkte, Geraden, Ebenen oder auch der gesamte Raum selbst. Falls A und B affine Teilräume sind, wird der Abstand d(a,b) stets von gewissen Punkten a aus A und b aus B als Minimum erreicht: d(a,b) = min { x-y : x in A, y in B } = a-b. Es gilt das folgende anschaulich einleuchtende Abstandskriterium Der Abstand von Punkten a aus A und b aus B wird genau dann minimal, wenn der Verbindungsvektor a-b senkrecht auf A und auf B steht, d.h. a-b = d(a,b) <==> (a-b)(a-x) = 0 = (a-b)(y-b) für alle x in A und y in B. Zumindest im Falle des Abstandes eines Punktes b von einem affinen Teilraum A ist das wieder einmal eine unmittelbare Folge des Satzes von Pythagoras: Die Länge des Differenzvektors a - b wird genau dann minimal, wenn a - b senkrecht auf jedem Richtungsvektor x - a des affinen Raumes A steht. Denn dann ist die Länge x - b gleich der Wurzel aus der Quadratsumme der Abstände x - a und a - b, also mindestens a - b. Nun die einzelnen Formeln für Abstände zwischen zwei affinen Teilräumen: 1. Abstand zwischen zwei Punkten (mit den Ortsvektoren) a und b d = a - b = ( a 1 b 1 ) + ( a b ) + ( a 3 b 3 )

5 . Abstand zwischen einem Punkt b und einer Geraden a+ru = Abstand zwischen zwei parallelen Geraden a+ru und b+ru d = (a-b)xu / u Denn das von u und a-b aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt (a-b)xu, und dieser ist auch darstellbar als u d (Grundlinie mal Höhe). Der Fußpunkt des Lots von b auf die Gerade a+ru hat den Ortsvektor f = a + (b-a)[u] = a + tu mit t = (b-a)u/uu oder in Koordinatenschreibweise: t = ( b 1 a 1 ) u 1 + ( b a ) u + ( b 3 a 3 ) u 3 u u u 3 3. Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden a+ru und b+rv = Abstand zwischen einem Punkt b und einer Ebene a+ru+rv = Abstand zwischen einer Geraden a+ru und einer Ebene b+ru+rv = Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen a+ru+rv und b+ru+rv d = (a-b)n / n, falls n = uxv nicht der Nullvektor ist. Denn der von a-b, u und v aufgespannte Spat hat das Volumen (a-b)(uxv), das man auch als Produkt uxv d (Grundfläche mal Höhe) bekommt.

6 Lotvektor zwischen zwei Geraden oder Ebenen Im Falle zweier windschiefer Geraden G = a + Ru und H = b + Rv kann man nicht nur deren Abstand, sondern auch den Verbindungsvektor der beiden am nächsten liegenden Punkte a + ru und b + sv bestimmen, indem man ausnutzt, daß der Differenzvektor senkrecht auf den Richtungsvektoren steht: Die Gleichungen (a + ru b sv)u = 0, d.h. ruu - svu = (b - a)u und (a + ru b sv)v = 0, d.h. ruv - svv = (b - a)v lassen sich für den Fall, daß uxv nicht der Nullvektor ist (also die beiden Geraden nicht parallel sind), nach r und s auflösen, und man erhält für n = (uu)(vv) - (uv)(uv) = (uxv)(uxv) : r = ((vv)u - (uv)v)(b-a)/n = ((vxu)xv)(b-a)/n, s = ((uu)v - (vu)u)(a-b)/n = ((uxv)xu)(a-b)/n.