2.3. Das Vektorprodukt

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1 2.3. Das Vektorprodukt In sehr vielen mathematischen und physikalisch-technischen Problemstellungen geht es darum, zu einer gegebenen Fläche deren Inhalt und auf ihr senkrecht stehende Vektoren zu bestimmen. Hierzu benutzt man das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt axb zweier Vektoren a und b. Im Gegensatz zum Skalarprodukt liefert es einen Vektor, und zwar ist dieser durch die folgenden drei geometrischen Eigenschaften vollständig bestimmt: (G1) er steht senkrecht auf a und b : (axb)a = (axb)b = 0 (G2) seine Länge ist gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms: axb = a b sin(a b) (G3) a, b und axb bilden ein Rechtssystem: wird a im Uhrzeigersinn nach b gedreht, so zeigt axb in Blickrichtung. Wir zeichnen zwei Vektoren im Raum, ihre Summe, ihre Differenz, das von ihnen aufgespannte Paralleogramm, und schließlich ihr Vektorprodukt (senkrecht dazu). Die Länge dieses Vektors entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms. Beispiel 1: Tischplatte und Tischbein Bei einer von zwei Vektoren aufgespannten Platte bleibt das Vektorprodukt (Tischbein) konstant, wenn die Platte rotiert:

2 Beipiel 2: Uhrzeiger Wir beobachten, wie sich das Vektorprodukt zweier Uhrzeiger verändert (wenn der eine den anderen überholt, wechselt das Vorzeichen und damit die Richtung): > Der Produktvektor (grün) zeigt nach vorne (im Bild nach oben), wenn der Minutenzeiger sich im Uhrzeigersinn vor dem Stundenzeiger befindet; andernfalls zeigt der Produktvektor nach hinten. Anschauliche Merkregel für ein Rechtssystem Wird durch eine Schraubbewegung a nach b gedreht, so bewegt sich die Schraube in Richtung von axb. Algebraische Beschreibung des Vektorprodukts Es läßt sich mit einigem Aufwand zeigen, daß das Vektorprodukt x die einzige Abbildung von R 3 x R 3 nach R 3 ist, die folgende drei Eigenschaften hat: (V1) axb = -bxa (Anti-Kommutativität) (V2) (ra+sb)xc = r(axc) + s(bxc) (Bilinearität) (V3) ixj = k, jxk = i, kxi = j (zyklische Vertauschung der Einheitsvektoren) Aus den Axiomen (V1), (V2) und (V3) folgt die wichtige

3 Koordinatendarstellung des Vektorprodukts ( a 1 ) x (,, ) = ( a 2, a 1 ) oder in Spaltenschreibweise: a 1 a 2 a 3 x a 2 = a 3 a 1 Denn es ist aufgrund der Bilinearität und der Antikommutativität ( a 1 ) x (,, ) = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) x ( i + j + k) = ( a 2 )(jxk) + ( a 3 )(kxi) + ( a 1 )(ixj) und das ist wegen (V3) gleich ( a 2 ) i + ( a 3 ) j + ( a 1 ) k. Umgekehrt läßt sich leicht nachrechnen, daß die durch die Koordinatendarstellung definierte Operation x die drei Axiome (V1), (V2) und (V3) erfüllt. Aus diesen lassen sich also sämtliche für das Vektorprodukt gültigen Regeln ableiten! Einige zusätzliche Eigenschaften sieht man allerdings besser an den "geometrischen" Axiomen (G1), (G2) und (G3): Lineare Abhängigkeit Das Vektorprodukt zweier Vektoren ist genau dann der Nullvektor, wenn sie linear abhängig sind, d.h. wenn einer ein Vielfaches des anderen (eventuell der Nullvektor) ist. Denn in diesem (und nur in diesem Fall) ist der Flächeninhalt des Parallelogramms zwischen den beiden Vektoren gleich 0. Flächenberechnung von Polygonen Jedes Polygon läßt sich in Dreiecke zerlegen, und ein von zwei Vektoren a und b aufgespanntes Dreieck (also ein halbes Parallelogramm) hat natürlich den Flächeninhalt axb /2 = a b sin(a b). Für Dreiecke in der Ebene gibt es zwar kein Vektorprodukt, aber man kann ja eine dritte Koordinate "dazu erfinden" und bekommt dann sofort für die Fläche F des Dreiecks mit den Seiten a = ( a 1 ) und b = (, ) : F= ( a 1, 0) x (,, 0) /2, also F= a 1 /2.

4 Beispiel 3: Flächeninhalt eines regulären Fünfecks mit Zentriwinkel α = 2 π und Umkreisradius 1. 5 Wir legen den Ursprung in die rechte Ecke des Fünfecks. Die fünf Ecken haben die Koordinaten ( cos( n α) -1, sin( n α )), n = Dreieck 1: Ecken (0,0), ( cos( α) 1, sin( α )), ( cos( 2 α) 1, sin( 2 α )) Dreieck 2: Ecken (0,0), ( cos( 2 α) 1, sin( 2 α )), ( cos( 2 α) 1, sin( 2 α )) Dreieck 3: Ecken (0,0), ( cos( α) 1, sin( α )), ( cos( 2 α) 1, sin( α )) Die Fläche von Dreieck 1 beträgt F 1 = (( 1 cos( α )) sin( 2 α ) + sin( α ) ( 1 cos( 2 α )))/2 = = ( sin( α ) + sin( 2 α ) sin( 3 α ))/2 sin( 3 α ) = sin( α ) cos( 2 α ) + cos( α ) sin( α )). (wegen Nach ein paar elementaren trigonometrischen Umformungen führt das auf F 1 = sin π + sin 2 π /2. Der Umfangswinkelsatz zeigt wieder einmal, daß auch die beiden anderen Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben. Die Gesamtfläche ist folglich das Dreifache von F 1 : F = 3 sin π + 3 sin 2 π /2. Man kann die Fläche natürlich auch anders bekommen: Die Fläche eines der fünf Teildreiecke (z.b. des linken) beträgt F 5 = cos π Also ist die Gesamtfläche des Fünfecks

5 F = 5 cos π Als Konsequenz erhalten wir die trigonometrische Gleichung 10 cos π = 6 sin π + 3 sin 2 π. Einer von vielen interessanten Zusammenhängen zwischen dem Skalarprodukt und dem Vektorprodukt ist der folgende: Die Summe der Quadrate von Skalarprodukt und Vektorprodukt ist gleich dem Quadrat des Produktes der Beträge. Mit anderen Worten (Pythagoras): Ein Dreieck mit den Seitenlängen ab, axb und a b ist stets rechtwinklig! Das Gleiche gilt dann natürlich auch für jedes Dreieck mit den Seitenlängen rab, r axb und r a b, zum Beispiel für r = 1/ a (a nicht 0): Diese Tatsache folgt unmittelbar aus den Gleichungen ab = a b cos(a b) axb = a b sin(a b) cos( γ) 2 + sin( γ) 2 = 1.