12. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013

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1 O. Alaya, S. Demirel M. Fetzer, B. Krinn M. Wied. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Wintersemester / Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 4. Hauptachsentransformation Bestimmen Sie für die folgende Quadrik die erweiterte Matrix und damit den Typ. Berechnen Sie eine euklidische Normalform und ein Koordinatensystem, bezüglich dem die Quadrik Normalform hat. Skizzieren Sie die Quadrik. Q = x x x R x + x x + 4 x x + x + x x + = Lösungshinweise hierzu: Um den Typ der Quadrik zu bestimmen, betrachtet man A =, a =, c =, A erw = Um den Rang von A erw zu bestimmen, subtrahieren wir die dritte Zeile von der ersten (das ändert den Rang nicht) und erhalten Der Rang der erweiterten Matrix A erw ist 4 und somit um größer als der von A. Daraus folgt, dass A eine Mittelpunktsquadrik ist. Zur Bestimmung der Normalform: x }{{} A x + }{{} a x + = }{{} c

2 . Gruppenu bung Ho here Mathematik Man erha lt fu r A die Eigenwerte λ =, λ = Eigenvektoren: v = v = und λ = und die zugeho rigen v = 4 Die Ausgangsgleichung x Ax + a x + c = wird nach der Transformation x = T y mit T = zu y + y + y + y + y + =. 4 Die quadratische Erga nzung ergibt (mit z = y, z = y + und z = y ): z + z + z + =. 4 Die Quadrik hat demnach euklidische Normalform im Koordinatensystem G = (P ; v, v, v ); wobei der neue Ursprung P die Koordinaten F P = (,, ) bezu glich des Systems F := (O; v, v, v ) hat, seine Standardkoordinaten sind E P = T F P = (,, ). Bei der Quadrik handelt es sich um ein zweischaliges Hyperboloid. Die linke Skizze zeigt die drei benutzten Koordinatensysteme und einige der Ellipsen, die sich als Schnitte der Quadrik mit zur z -Achse orthogonalen Ebenen ergeben, die rechte Skizze versucht neben den Koordinatensystemen auch einen besseren ra umlichen Eindruck der Quadrik zu geben. Die Projektionen (Blickwinkel) sind reichlich unkonventionell gewa hlt, um mehr Information zeigen und leichter zeichnen zu ko nnen.

3 . Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 4. Hauptachsentransformation Bestimmen Sie für die folgende Quadrik die erweiterte Matrix und damit den Typ. Berechnen Sie eine euklidische Normalform und ein Koordinatensystem, bezüglich dem die Quadrik Normalform hat. Skizzieren Sie die Quadrik. Q = x x x R x + x + x + x x + x x + x x + x 4x + x + = Lösungshinweise hierzu: Aus der Matrixbeschreibung x Ax + a x + c = mit A =, a =, c = ergibt sich A erw = Offensichtlich ist Rg(A) = und Rg(A erw ). Also liegt eine parabolische Quadrik vor. Die Eigenwerte von A sind λ =, λ =, λ =. Zugehörige Eigenvektoren sind v =, v = Als Transformationsmatrix erhält man, v = T = ( Neuer Linearteil: ã = T a = ) + Die Ausgangsgleichung x Ax + a x + c = wird nach der Transformation zu ( y + ( ) + )y + =..

4 . Gruppenu bung Ho here Mathematik Mit z = y, z = y und z = (y + ) + erhalten wir die Gleichung 6 z + z =. + Diese Gleichung beschreibt (entgegen einer weit verbreiteten Fehlinterpretation) keine Parabel, weil die Variable z vo llig frei gewa hlt werden kann. Es liegt ein parabolischer Zylinder vor. (Dass es die Variable z u berhaupt gibt, muss man aus dem Kontext erschließen, die Gleichung allein reicht dafu r nicht.) Die Quadrik hat euklidische Normalform im Koordinatensystem G = (P ; v, v, v ), der neue Ursprung P hat bezu glich des Systems F := (O; v, v, v ) die Koordinaten F P = (,, + ), die Standardkoordinaten sind E P = T F P = + (,, ). In der Skizze rechts sind die drei benutzten Koordinatensysteme angedeutet, dazu einige der Parablen, die sich durch Schnitt der Quadrik mit Ebenen orthogonal zur z -Achse ergeben.

5 . Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 4. Quadriken im Raum Welche Gestalt haben die abgebildeten Quadriken? (Lässt sich das zweifelsfrei entscheiden?) Ordnen Sie den Quadriken A, B und C ein passendes Bild zu. { } (a) A = (x, x, x ) R x + 4x + 4x x + = { } (b) B = (x, x, x ) R x x + x 4x x x x 4x x = { } (c) C = (x, x, x ) R x x 4x + x x + = Lösungshinweise hierzu: Bei den Bildern in der Aufgabenstellung handelt es sich um einen elliptischen Zylinder, ein zweischaliges Hyperboloid, einen hyperbolischen Zylinder, ein Paar paralleler Ebenen und einen Doppelkegel (jeweils naturgemäß nur Ausschnitte). Allerdings könnte das erste Bild auch einen Ausschnitt aus einem sehr lang gestreckten Ellipsoid, einem (ein- oder zweischaligen) Hyperboloid, einem Doppelkegel oder einem elliptischen Paraboloid darstellen; beim dritten Bild könnte es sich um einen Ausschnitt aus einem breit gezogenen (ein- oder zweischaligen) Hyperboloid handeln, und das vierte Bild könnte auch von einem Ellipsoid, einem (ein- oder zweischaligen) Hyperboloid, einem elliptischen Paraboloid, von einem Doppelkegel von zwei schneidenden Ebenen oder einem (hyperbolischen, parabolischen oder elliptischen) Zylinder her kommen wenn man starke Verzerrungen und ungeschickte Ausschnitte kombiniert. (a) Wir formen die Gleichung, durch die A gegeben ist, um. = x + 4x + 4x x + = ((x + ) ) + 4((x ) ) + = (x + ) + 4(x ) 4 Es handelt also um einen elliptischen Zylinder, passend zum ersten Bild.

6 . Gruppenübung Höhere Mathematik (b) Die Matrix, die B beschreibt, ist gegeben durch B =. Wir diagonalisieren B und erhalten Die Normalform von B ist gegeben durch. y + y y + =, es handelt sich also um ein zweischaliges Hyperboloid, passend zum zweiten Bild. (c) Bei C ist abermals nur quadratisch zu ergänzen und wir erhalten die Normalform y + y y =. Hierbei handelt es sich um einen Kegel, passend zum letzten Bild.