Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: quadratisch.tex,v /08/12 09:49:46 hk Exp $ x 2 + y 2 = tan 2 (β)z 2.

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1 $Id: quadratisch.tex,v /08/12 09:49:46 hk Exp $ 4 Kegelschnitte Wir hatten am Ende der letzten Sitzung begonnen die sogenannten Kegelschnitte zu besprechen. Gegeben sei ein Kegel K mit halben Öffnungswinkel β, also 0 < β < π/2. Legen wir die Spitze des Kegels in den Koordinatenursprung und die Achse des Kegels auf die z-achse, so hat der Kegel K in cartesischen Koordinaten die Gleichung x 2 + y 2 = tan 2 (β)z 2. n β S α γ H e β S Der Kegel K Querschnitt in der xz-ebene Weiter haben wir eine Ebene e nicht parallel zur Achse des Kegels und nicht durch die Spitze des Kegels. Wir interessieren uns für den Kegelschnitt K e und um dessen Berechnung zu erleichtern, wenden wir erst noch einige Bewegungen des R 3 an um die Lage von e etwas zu normalisieren. Durch eine Drehung um die z-achse können wir annehmen das e in Richtung der y-achse liegt und durch eventuelles Spiegeln an der xy-ebene können wir weiter annehmen das e die Kegelachse oberhalb der xy- Ebene schneidet, etwa im Punkt H = (0, 0, h) mit h > 0. Als den auf der y-achse senkrechten Richtungsvektor von e haben wir dann einen Vektor u = (a, 0, b) mit Länge normalisiert als a 2 + b 2 = 1. Durch Übergang zum entgegengesetzten Richtungsvektor u kann b 0 erreicht werden und indem schließlich bei Bedarf noch an der yz-ebene 16-1

2 gespiegelt wird können wir auch a > 0 erreichen. Als Normalenvektor n auf e ergibt sich das Vektorprodukt a 0 b n := 0 1 = 0. b 0 a Als eine weitere Größe führen wir nun den Winkel α zwischen der Ebene e und der Kegelachse ein, und berechnen diesen über das Skalarprodukt des Normalenvektors n mit e 3 = (0, 0, 1) als cos α = n e 3 = a. In unseren Normierungen ist dann 0 < cos α 1 also 0 α < π/2. Der Randfall α = 0 bedeutet a = 1, also b = 0 und e ist parallel zur xy-ebene, genauer ist e = R 2 {h} und der Kegelschnitt e K ist damit gegeben als x 2 + y 2 = tan 2 (β)h 2, es handelt sich also um einen Kreis mit dem Radius h tan β. Diesen Randfall wollen wir im folgenden ignorieren, nehmen also 0 < α < π/2 an. Kreis Ellipse Parabel Hyperbel α=0 α=π/2 β α=π/2 Skala für α Hyperbel Parabel Ellipse Kreis γ=0 γ=β γ=π/2 Skala für γ Lassen wir den Winkel α zwischen 0 und π/2 variieren, so haben wir zunächst Ellipsen, dann einmal eine Parabel und schließlich Hyperbeln. Der Grenzfall der Parabel tritt auf wenn e parallel zu einer Mantellinie des Kegels, also nach dem Stufenwinkelsatz wenn α + β = π/2 beziehungsweise γ := π/2 α = β ist. Wir werden im folgenden meist den Komplementärwinkel γ verwenden, da bei diesem der Parabelfall für γ = β eintritt. Für 0 < γ < β haben wir dann Hyperbeln und für β < γ < π/2 liegen Ellipsen vor. Schreiben wir den allgemeinen Punkt auf e als 0 0 h + x a 0 b + y = so liegt dieser genau dann auf dem Kegelschnitt e K wenn ax y h + bx a 2 x 2 + y 2 = tan 2 (β) (h + bx) 2 = tan 2 (β) (h 2 + 2bhx + b 2 x 2 ) ist, und etwas umgestellt wird diese gleichung zu (a 2 b 2 tan 2 β)x 2 + y 2 2bh tan 2 (β)x h 2 tan 2 β = 0. Wir wollen diese Gleichung auf eine Normalform bringen. Beachten wir a = cos α = sin γ und b = 1 a 2 = cos γ, 16-2

3 so wird a 2 b 2 tan 2 β = 1 ɛ 2 mit ɛ := 1 a 2 + b 2 tan 2 β = b 1 + tan 2 β = cos γ cos β, und unsere Gleichung schreibt sich als (1 ɛ 2 )x 2 + y 2 2bh tan 2 (β)x h 2 tan 2 β = 0. Man nennt ɛ die numerische Exzentrität des Kegelschnitts, im Fall ɛ = 1 haben wir eine Parabel, und weiter ɛ < 1 cos γ < cos β γ > β, es liegt dann also eine Ellipse vor, und für ɛ > 1 entsprechend eine Hyperbel. Der Kreisfall α = 0, beziehungsweise γ = π/2, bedeutet ɛ = 0. Im nächsten Schritt wollen wir jetzt die Höhe h durch den Abstand d der Ebene e zur Kegelspitze S ersetzen. In Hessescher Normalform ist die Ebene e gegeben als e = {x R 3 n x = n H } = {x R 3 n x = ah}, d.h. der Abstand von e zum Koordinatenursprung S ist d = ah. Drücken wir unsere Gleichung in Termen der Winkel γ, β und des Abstands d aus, so wird und bh tan 2 β = d tan 2 β b a = d tan2 β cot γ = ɛ d sin2 β cos β sin γ h 2 tan 2 β = ( ) 2 d2 d sin β sin 2 γ tan2 β =. cos β sin γ Schreiben wir also q := d sin β/(cos β sin γ), so wird die Gleichung zu (1 ɛ 2 )x 2 + y 2 2qɛ sin β x q 2 = 0. Durch einen Wechsel des Koordinatenursprungs von e können wir diese Formel noch weiter vereinfachen. Wir setzen t := sin β cos γ sin γ(sin β + sin γ) d und verschieben den Koordinatenursprung um t längs der x-achse. In unserer Gleichung müssen wir dann x durch x t ersetzen, also wird (1 ɛ 2 )(x t) 2 + y 2 2qɛ sin β(x t) q 2 ( ) 1 ɛ = (1 ɛ 2 )x 2 + y 2 2 2ɛ t + q sin β x + (1 ɛ 2 )t 2 + 2qɛ sin(β)t q 2. ɛ 16-3

4 Dabei sind 1 ɛ 2 ɛ t + q sin β = cos2 β cos 2 γ cos 2 β d sin β cos γ cos β sin γ(sin β + sin γ) cos γ + = d(sin2 γ sin 2 β) sin β sin γ cos β(sin β + sin γ) + d sin2 β cos β sin γ = d (sin γ sin β) sin β + sin2 β = d tan β sin γ cos β d sin2 β cos β sin γ und ( ) 1 ɛ (1 ɛ 2 )t 2 + 2qɛ sin(β)t q 2 2 = ɛt t + 2q sin(β) q 2 = ɛt(d tan β + q sin β) q 2 ɛ und wegen wird dieser Term zu ɛt(d tan β + q sin β) q 2 = d tan β ( cos γ = d 2 tan β cos β q = d tan β sin γ ( ( ɛt 1 + sin β ) sin γ sin β cos γ sin γ(sin β + sin γ) d tan β ) sin 2 γ sin γ + sin β sin γ tan β ) sin 2 γ = d 2 tan 2 β cos2 γ 1 sin 2 γ = d 2 tan 2 β. Definieren wir also den Parameter des Kegelschnitts als p := d tan β, so nimmt unsere Gleichung die Form (1 ɛ 2 )x 2 + y 2 2pɛx p 2 = 0 an. Jeder Kegelschnitt kann also durch seine Exzentrität und seinen Parameter festgelegt werden. Dies ist eine Gleichung die alle drei Arten von Kegelschnitten gemeinsam in Termen der numerischen Exzentrität ɛ und des Parameters p beschreibt. Alternativ kann man diese Gleichung auch in der Form (1 ɛ 2 )x 2 + y 2 + 2pɛx p 2 = 0 schreiben, diese Form entsteht indem der Kegelschnitt an der y-achse gespiegelt wird, also x durch x ersetzt wird. Haben wir einen Kegelschnitt C in der Ebene e, so können die in e liegenden Geraden in drei verschiedene Sorten aufgeteilt werden je nachdem ob sie den Kegelschnitt in zwei Punkten in genau einem Punkt oder überhaupt nicht treffen. Wir wollen uns dies konkret anschauen wenn der Kegelschnitt in der obigen Normalform mit Parameter p und numerischer Exzentrität ɛ geschrieben ist. Zunächst betrachte eine waagerechte Gerade l gegeben durch y = c. Punkte (x, y) C l erfüllen dann y = c und 16-4

5 (1 ɛ 2 )x 2 2pɛx + c 2 p 2 = 0. Ist ɛ = 1, so gibt es genau einen Schnittpunkt im Punkt (x, y) mit y = c und x = (c 2 p 2 )/(2p). Ist dagegen ɛ 1, so ist die Diskriminante der quadratischen Gleichung für x gegeben durch := 4p 2 ɛ 2 4(1 ɛ 2 )(c 2 p 2 ) = 4(p 2 (1 ɛ 2 )c 2 ) Im Fall ɛ > 1 ist damit > 0 und wir haben genau zwei Schnittpunkte. Im Fall ɛ < 1 ist dagegen genau dann > 0 wenn c < p/ 1 ɛ 2 ist und in diesem Fall haben wir genau zwei Schnittpunkte. Weiter ist < 0 gleichwertig zu c > p/ 1 ɛ 2 und dann gibt es keinen Schnittpunkt. Im verbleibenden Fall c = ±p/ 1 ɛ 2 ist = 0 und wir haben eine eindeutigen Schnittpunkt (x, y) mit x = pɛ/(1 ɛ 2 ), y = c. Damit hätten wir die waagerechten Geraden behandelt, alle anderen Geraden l lassen sich in der Form x = my + t mit m, t R schreiben. Setzen wir dies in die Gleichung des Kegelschnitts ein, so erfüllen die Punkte (x, y) C l die Gleichungen x = my + t und 0 = (1 ɛ 2 )x 2 + y 2 2pɛx p 2 = (1 ɛ 2 )(m 2 y 2 + 2tmy + t 2 ) + y 2 2pɛ(my + t) p 2 = (1 + m 2 (1 ɛ 2 ))y 2 + 2m((1 ɛ 2 )t pɛ)y + (1 ɛ 2 )t 2 2pɛt p 2. Hier können zwei verschiedene Fälle auftreten je nachdem ob der quadratische Term verschwindet oder nicht. Dieser ist dabei genau dann Null wenn ɛ > 1 und m = ±1/ ɛ 2 1 ist und der lineare Term wird dann zu ( ) ɛ2 A := 2m((1 ɛ 2 pɛ )t pɛ) = 2 1t +. ɛ2 1 Ist jetzt A 0, also t pɛ/(ɛ 2 1), so gibt es einen eindeutigen Schnittpunkt (x, y) C l gegeben durch x = my + t und y = (p 2 + 2pt (1 ɛ 2 )t 2 )/A. Ist dagegen auch A = 0, so reduziert sich die Gleichung auf den konstanten Term (1 ɛ 2 )t 2 2pɛt p 2 = p2 ɛ 2 1 ɛ 2 + 2p2 ɛ 2 ɛ 2 1 p2 = p2 ɛ 2 1 > 0 und es ist C l =. Nun betrachten wir den Hauptfall 1 + m 2 (1 ɛ 2 ) 0 und dann liegt für y eine quadratische Gleichung mit der Diskriminante := 4m 2 ((1 ɛ 2 )t pɛ) 2 4(1 + m 2 (1 ɛ 2 ))((1 ɛ 2 )t 2 2pɛt p 2 ) = 4((ɛ 2 1)t 2 + 2pɛt + (m 2 + 1)p 2 ) vor. Die Anzahl der Schnittpunkte in C l bestimmt sich nun nach dem Vorzeichen von, und um dieses zu ermitteln müssen wir erneut einige Fälle unterscheiden. Wir beginnen mit ɛ = 1, also = 4p(2t + (m 2 + 1)p). Für t > (m 2 + 1)p/2 ist dann > 0 und wir haben zwei verschiedene Schnittpunkt, für t < (m 2 + 1)p/2 ist < 0 und somit C l = und im verbleibenden Fall t = (m 2 + 1)p/2 ist = 0 und wir haben einen eindeutigen Schnittpunkt. Nun sei ɛ 1 und dann ist eine quadratische Funktion in t. Um das Vorzeichen von zu ermitteln benötigen wir dann 16-5

6 die Nullstellen dieses Polynoms, und bilden daher erneut die Diskriminante von /4, diesmal bezüglich t, := 4p 2 ɛ 2 4(ɛ 2 1)(m 2 + 1)p 2 = 4p 2 (1 + (1 ɛ 2 )m 2 ). Ist ɛ < 1, so ist > 0, also hat als Funktion von t genau zwei Nullstellen t 1, t 2 R mit t 1 < t 2, für t 1 < t < t 2 ist > 0 und unsere Gerade l schneidet C in genau zwei Punkten, für t > t 2 oder t < t 1 ist < 0 und C l = und in den beiden Randfällen t = t 1 und t = t 2 ist = 0 und C l ist ein einzelner Punkt. Ist dagegen ɛ > 1, so liegen die Verhältnisse etwas komplizierter. Zunächst ist m 1/ ɛ 2 1 da der quadratische Term in unserer Gleichung für y nicht verschwinden soll. Ist m < 1/ ɛ 2 1, so ist > 0, also hat als Funktion von t genau zwei Nullstellen t 1, t 2 R mit t 1 < t 2 und für t 1 < t < t 2 ist < 0, also C l =, für t > t 2 oder t < t 1 ist > 0 und l schneidet C in genau zwei Punkten und ist schließlich t = t 1 oder t = t 2 so ist = 0 und es gibt einen eindeutigen Schnittpunkt von C und l. Ist andererseits m > 1/ ɛ 2 1, so ist < 0 und hat als Funktion von t keine Nullstellen, also ist unabhängig von t stets > 0 und l schneidet C in genau zwei Punkten. Zusammenfassend gibt es also drei verschiedene Möglichkeiten für C l, entweder ist C l = und dann nennen wir l eine Passante von C oder C l = 2 und dann ist l die Verbindungsgerade zweier verschiedener Punkte von C und wird eine Sekante von C genannt, oder es gibt einen eindeutigen Schnittpunkt von C und l. Die Formeln werden etwas übersichtlicher wenn wir von vornherein nur Geraden betrachten die den Kegelschnitt C in einem festen Punkt (x, y) C treffen. Dann gibt es zunächst genau eine waagerechte Gerade l = R {y} die C in (x, y) trifft. Ist ɛ = 1 oder ɛ < 1 und (x, y) = (pɛ/(1 ɛ 2 ), ±p/ 1 ɛ 2 ) so ist C l = {(x, y)} und in allen anderen Fällen ist l eine Sekante. Nun betrachte die Gerade l der Steigung m R durch (x, y), also l = {(ms+t, s) s R} mit t := x my. Dann ist l eine Sekante ausser in den folgenden Fällen: 1. Es ist ɛ > 1 und m = 1/ ɛ Es ist ɛ = 1 und t = (m 2 + 1)p/2. 3. Es ist ɛ < 1 und (ɛ 2 1)t 2 + 2pɛt + (m 2 + 1)p 2 = Es ist ɛ > 1, m < 1/ ɛ 2 1 und (ɛ 2 1)t 2 + 2pɛt + (m 2 + 1)p 2 = 0. Die Passanten von C werden von dieser Überlegung nicht erfasst, also wollen wir auch diese noch auflisten. Unsere obigen Überlegungen ergeben die folgende Liste von Passanten von C, wobei wir die nicht waagerechten Geraden l wieder in der Form x = my+t mit m, t R schreiben. 1. Ist ɛ < 1, so ist jede waagerechte Gerade l = R {c}, wobei c R mit c > p/ 1 ɛ 2 ist, eine Passante von C. 2. Es ist ɛ > 1 und l ist eine nicht waagerechte Gerade mit m = 1/ ɛ 2 1 und t = pɛ/(ɛ 2 1). 16-6

7 3. Es ist ɛ = 1 und l ist eine nicht waagerechte Gerade mit t < (m 2 + 1)p/2. 4. Es ist ɛ < 1 und l ist eine nicht waagerechte Gerade mit t > t 2 oder t < t 1 wobei t 1, t 2 R mit t 1 < t 2 die beiden Nullstellen des Polynoms (ɛ 2 1)t 2 + 2pɛt + (m 2 + 1)p 2 in t sind. 5. Es ist ɛ > 1 und l ist eine nicht waagerechte Gerade mit m < 1/ ɛ 2 1 und t 1 < t < t 2 wobei t 1, t 2 R mit t 1 < t 2 die beiden Nullstellen des Polynoms (ɛ 2 1)t 2 + 2pɛt + (m 2 + 1)p 2 in t sind. Eine besonders einfache Form erhält die Gleichung eines Kegelschnitts wenn wir sie in Polarkoordinaten schreiben, also x = r cos φ und y = r sin φ mit r > 0, φ R einsetzen. Dann ensteht zunächst (1 ɛ 2 )x 2 + y 2 2pɛx p 2 = r 2 r 2 ɛ 2 cos 2 φ 2pɛr cos φ p 2 und fassen wir dies als quadratische Gleichung für r auf, so erhalten wir r = r 2 2pɛ cos φ 1 ɛ 2 cos 2 φ r p 2 1 ɛ 2 cos 2 φ = 0 pɛ cos φ 1 ɛ 2 cos 2 φ ± p 2 ɛ 2 cos 2 φ (1 ɛ 2 cos 2 φ) + p ɛ 2 cos 2 φ = (1 ɛ 2 cos 2 φ)r 2 2pɛ cos φ r p 2 = p(ɛ cos φ ± 1) 1 ɛ 2 cos 2 φ also r = p 1 ɛ cos φ und r = p 1 + ɛ cos φ. Dabei sind nicht beide Lösungen wirklich vorhanden, Lösungen die nicht die Nebenbedingung r 0 erfüllen werden weggelassen. Starten wir mit der alternativen Form der Kegelschnittgleichung (1 ɛ 2 )x 2 + y 2 + 2pɛx p 2 = 0, so wird die Polardarstellung entsprechend zu p r = 1 ɛ cos φ und r = p 1 + ɛ cos φ. 16-7

8 4.1 Quadratische Gleichungen Wir haben gesehen das sich jeder Kegelschnitt bei geeigneter Koordinatenwahl in der Form (1 ɛ 2 )x 2 + y 2 2pɛx p 2 = 0 schreiben läßt. Dies ist eine sogenannte quadratische Gleichung in den zwei Variablen x, y. Umgekehrt ist die Lösungsmenge jeder quadratischen Gleichung, von ein paar Ausartungsfällen abgesehen, stets ein Kegelschnitt. Wollen wir dies einsehen, so starten wir mit einer allgemeinen quadratischen Gleichung ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0. Dabei sind a, b, c, d, e, f R vorgegebene Konstanten, und damit es sich wirklich um eine quadratische Gleichung handelt müssen wir (a, b, c) (0, 0, 0) annehmen. Wir wollen diese Gleichung durch Wahl eines geeigneten Koordinatensystems auf eine Standardform bringen, dies wird als die sogenannte Hauptachsentransformation der quadratischen Gleichung bezeichnet y y x x Niveaumengen Die Niveaumenge g(x, y) = 1 Um die Terminologie zu verstehen, ist es hilfreich sich anstelle der Gleichung die quadratische Funktion g(x, y) := ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey anzuschauen. Für jedes t R haben wir dann die Niveaumenge M t := {x R n g(x) = t} und lassen wir t variieren so erhalten wir eine Menge von Kurven. Für die Beispielfunktion g(x, y) = x 2 + y 2 xy x y + 1 haben diese Mengen die oben gezeigte 16-8

9 Form, und Wie wir sehen sind die Niveaumengen hier allesamt Ellipsen. Für die Menge M 1 haben wir auch die beiden Hauptachsen der Ellipse eingezeichnet, d.h. die Achsen auf denen die Ellipse minimalen oder maximalen Abstand von ihrem Schwerpunkt hat. Die Hauptachsentransformation ist dann die Koordinatentransformation bei der der Nullpunkt des Koordinatensystems in den Schwerpunkt der Ellipse gelegt wird und die beiden Hauptachsen der Ellipse als Koordinatenachsen verwendet werden. Wir führen die Hauptachsentransformation der Gleichung ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 in zwei Schritten durch, und im ersten Schritt versuchen wir durch eine Drehung des Koordinatensystems den gemischten Term cxy zu eliminieren. Setzen wir die Transormation mit einem erst einmal unbestimmten Winkel φ an, so wird ( ) ( ) ( ) x cos φ sin φ x = y sin φ cos φ y also x = cos(φ)x sin(φ)y, y = sin(φ)x + cos(φ)y und setzen wir diese Werte für x, y ein, so wird mit ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + fa x 2 + b y 2 + c x y + d x + e y + f a = a cos 2 φ + b sin 2 φ + c sin φ cos φ, b = a sin 2 φ + b cos 2 φ c sin φ cos φ, c = 2a sin φ cos φ + 2b sin φ cos φ + c(cos 2 φ sin 2 φ), d = d cos φ + e sin φ, e = e cos φ d sin φ. Die Formel für c können wir noch etwas umschreiben, mit den Verdopplungsformeln aus 2.2 wird c = (b a) sin(2φ) + c cos(2φ), also ist genau dann c = 0 wenn der Winkel φ mit c cos(2φ) = (a b) sin(2φ) gewählt wird. Im Fall a b bedeutet dies c a b = sin(2φ) cos(2φ) = tan(2φ), also φ = 1 ( ) c 2 arctan. a b Ist dagegen a = b, so brauchen wir cos(2φ) = 0 können also φ = π/4 wählen. Durch eine Drehung können wir also den gemischten Term verschwinden lassen. Da wir im 16-9

10 folgenden Satz diese Größe brauchen werden, berechnen wir noch das Produkt 4a b wenn φ mit c = 0 gewählt wurde. Es ist 4a b = 4(a 2 + b 2 c 2 ) sin 2 φ cos 2 φ 4ab(sin 4 φ + cos 4 φ) +4ac sin φ cos φ(cos 2 φ sin 2 φ) 4bc sin φ cos φ(cos 2 φ sin 2 φ) = (a 2 + b 2 c 2 ) sin 2 (2φ) 4ab(sin 4 φ + cos 4 φ) + 2(a b)c sin(2φ) cos(2φ), und verwenden wir noch 1 = (sin 2 φ + cos 2 φ) 2 = sin 4 φ + cos 4 φ sin2 (2φ), also sin 4 φ + cos 4 φ = sin2 (2φ), so wird 4a b = (c 2 a 2 b 2 ) sin 2 (2φ) 4ab + 2ab sin 2 (2φ) + c 2 cos 2 (2φ) + (a b) 2 sin 2 (2φ) = c 2 4ab. Wir haben jetzt den gemischten Term eliminiert, unsere Gleichung hat also nun die Form ax 2 + by 2 + dx + ey + f = 0. Führen wir für x und y quadratische Ergänzung durch, so haben wir im Fall a 0 ( ax 2 + dx = a x + d ) 2 d2 2a 4a und im Fall b 0 ist ebenso ( by 2 + ey = b y + e ) 2 e 2 2b 4b. Wir können also bei jeder Variablen annehmen das entweder nur ein quadratischer oder nur ein linearer Term vorliegt. Als Koordinatentransformation geschrieben haben wir also x = x d 2a und y = y e 2b jeweils wenn a 0 oder b 0 ist. Bevor wir zu einem Beispiel kommen, fassen wir das erreichte in einem Satz zusammen. Satz 4.1 (Lösungsmengen quadratischer Gleichungen) Seien a, b, c, d, e, f R mit (a, b, c) (0, 0, 0) und schreibe := c 2 4ab. Sei L := {(x, y) R 2 ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0} die Lösungsmenge unserer quadratischen Gleichung. Dann gelten: 16-10

11 (a) Ist < 0, so ist entweder L 1 oder L ist eine Ellipse. (b) Ist > 0, so ist L entweder die Vereinigung zweier sich schneidender Geraden oder eine Hyperbel. (c) Ist = 0, so ist entweder L = oder L ist eine Gerade oder L ist die Vereingung zweier paralleler Geraden oder L ist eine Parabel. Beweis: Wie gesehen können wir durch eine Drehung c = 0 annehmen und dabei bleibt = 4ab unverändert. Weiter konnten wir durch Verschiebung des Koordinatenursprungs auch ad = 0 und be = 0 erreichen. Wir unterscheiden jetzt die drei möglichen Fälle. (a) Sei < 0, also ab > 0. Dann hat unsere Gleichung nach der Transformation die Form ax 2 + by 2 + f = 0 mit sign(a) = sign(b). Die Lösungsmenge L ist also eine Ellipse wenn sign(f) = sign(a) ist, oder L = wenn sign(f) = sign(a) ist oder L = {(0, 0)} wenn f = 0 ist. (b) Nun sei > 0, also ab < 0. Nach Transformation hat unsere Gleichung wieder die Form ax 2 + by 2 + f = 0. Ist f 0, so ist L eine Hyperbel und ist f = 0, so ist { L = (x, y) R 2 y = ± ab } x die Vereinigung zweier sich schneidender Geraden. (c) Im letzten Fall ist = 0, also ab = 0. Nach eventuellen Vertauschen von x und y hat die Gleichung die Form ax 2 + ey + f = 0 mit a 0. Ist e 0, so ist L damit eine Parabel. Ist dagegen e = 0, so wird L = {(x, y) R 2 x 2 = f/a}, also L = wenn f/a > 0, L ist eine Gerade wenn f = 0 und L ist die Vereinigung zweier paralleler Geraden wenn f/a <