1 Das Prinzip von Cavalieri

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1 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann SS Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik 5. Saalübung Das Prinzip von Cavalieri Aufgabe 1 Man bestimme den Inhalt des Ellipsoids E x, y, z R : x a + y b + z c 1, wobei a, b, c >. Sei z c, c. Dann gilt Ez x, y R : x, y R : x a + y b 1 z c x + a 1 z c y b 1 z 1. c Nach der Lösung zu Aufgabe 9 d gilt nun Ez a 1 z b 1 z ab 1 z c c c und diese Formel stimmt auch für z ±c dann ist nämlich jeweils Ez,. Der Satz von Cavalieri liefert nun c c E Ez dz ab 1 z dz ab c 1c c z dz 4 c c c c abc.

2 Integration über Normalbereiche Aufgabe a Man berechne das Integral x y dx, y, wobei die obere Hälfte des Kreises mit Radius um den Nullpunkt ist. b Es seien a, b > und α, β, γ. Der Zylinder Z stehe senkrecht auf der xy-ebene und habe die Menge : x, y R x : + y 1, x, y als Grundfläche. Oberhalb a b von schneide man Z mit der durch die Gleichung z αx + βy + γ gegebenen Ebene. Man bestimme den Inhalt des so entstehenden Körpers K. zu a: Es ist x, y R : x, y 4 x ein Normalbereich bzgl. der x-achse, weshalb wir erhalten. x y dx, y 4 x [ ] x x 4 y dy dx 4 x dx x x zu b: Für den uns interessierenden Körper K gilt K x, y, z R x : a + y 1, x, y, z αx + βy + γ. b Darum ergibt sich Nun gilt ja K 1 dx, y, z k α x dx, y + β 1, dz dx, y y dx, y + γ 1 dx, y. αx+βy+γ x, y R : x a, y b 1 x x, y R : y b, x a a 1 y b, d.h., wir können gleichermaßen als Normalbereich bzgl. der x- und der y-achse auffassen. Daher erhalten wir im zweit genannten Falle x dx, y b a q1 y b x dx dy a b 1 y b dy a b

3 und ganz entsprechend y dx, y ab im ersten Fall. Aus Aufgabe 5 c ewegungsinvarianz des Inhaltes und der Lösung zu Aufgabe 9 d folgt ferner 1 dx, y 1 4 x, y R x : a + y b 1 ab 4. Somit erhalten wir schlussendlich K aα + bβ + γ 4 ab.

4 Die Substitutionsregel.1 Polarkoordinaten Aufgabe a Man bestimme den Inhalt eines Kreissektors mit Radius R > und Öffnungswinkel α,. b Man berechne x dx, y für mit a >. : r cos ϕ, r sin ϕ : ϕ [, ], r a1 + cos ϕ zu a: Wegen der ewegungsinvarianz des Inhaltes Aufgabe 5 c dürfen wir ohne Einschränkung annehmen, dass der Kreissektor von der Gestalt S : r cos ϕ, r sin ϕ : r R, ϕ [, α] ist. Durch Übergang zu Polarkoordinaten folgt alsdann R α S 1 dx, y r dϕ dr S R αr dr αr. zu b: Indem wir das zu berechnende Integral auf Polarkoordinaten transformieren, erhalten wir a1+cos ϕ x dx, y r cos ϕr dr ϕ a cos ϕ 1 + cos ϕ dϕ a a cos ϕ cos ϕ + cos ϕ + cos ϕ + 1 dϕ cos 4 ϕ + cos ϕ + cos ϕ + cos ϕ dϕ. Um dieses letzte Integral auszurechnen, benutzen wir die nachfolgende Rekursionsformel cos n ϕ dϕ n 1 n cos n ϕ dϕ für n N mit n, welche wir im Anschluss an diese Aufgaben beweisen werden. Einstweilen erhalten wir wegen cos ϕ dϕ auch cos ϕ dϕ. Des Weiteren berechnen wir cos ϕ dϕ und damit ebenso cos 4 ϕ dϕ. Insgesamt ergibt sich mithin 4 x dx, y a cos 4 ϕ + cos ϕ + cos ϕ + cos ϕ dϕ a 4 + 5a 4.

5 eweis der obigen Rekursionsformel: Es sei n N mit n. Dann erhalten wir mit partieller Integration woraus sich bzw. cos n ϕ dϕ [ sin ϕ cos n 1 ϕ ] wie behauptet ergibt. n 1 sin ϕn 1 cos n ϕ dϕ cos n ϕ dϕ n 1 sin ϕn 1 cos n ϕ sin ϕ dϕ 1 cos ϕn 1 cos n ϕ dϕ cos n ϕ dϕ, n cos n ϕ dϕ n 1 cos n ϕ dϕ cos n ϕ dϕ n 1 n cos n ϕ dϕ

6 . Zylinderkoordinaten Aufgabe 4 a Wir betrachten die Halbkugel x, y, z R : z, x + y + z R R > und den Kreiszylinder, der senkrecht auf der xy-ebene steht und dessen Grundkreis der Gleichung x Rx + y genügt. Man bestimme den Inhalt desjenigen Teils der Halbkugel, welcher in dem Zylinder liegt. b Man berechne xyz dx, y, z, wobei x, y, z R : x, y, x + y z 1. zu a: Wir setzen H : x, y, z R : z, x + y + z R. Wegen der Äquivalenz x Rx + y x R + y R ist der Zylinder durch Z : x, y, z R : x R + y R gegeben. Unser Ziel ist es nun, den Inhalt H Z zu bestimmen. Zu diesem Zweck beachten wir zunächst, dass für r > und ϕ R nchstehende Äquivalenzen gelten: r cos ϕ, r sin ϕ R/, R r cos ϕ + R 4 rr cos ϕ + r sin ϕ R 4 r rr cos ϕ r R cos ϕ. Damit folgt nun unter eachtung der Ungleichung R cos ϕ R und der Äquivalenz [ ϕ [, ] : cos ϕ ϕ, ] die Darstellung H Z r cos ϕ, r sin ϕ, z R : ϕ Durch Übergang zu Polarkoordinaten folgt sodann H Z H Z 1 dx, y, z [, ], r [, R cos ϕ], z [, R r ]. R cos ϕ R r r dz dr dϕ

7 R R R R R cos ϕ r R r dr dϕ 1 1 cos ϕ dϕ R 1 cos ϕ sin ϕ dϕ sin ϕ dϕ + [cos ϕ] [ 1 cos ϕ [ 1 R r ] rr cos ϕ sin ϕ cos ϕ dϕ ] r 1 sin ϕ dϕ R 4 9 R. dϕ 1 sin ϕ dϕ zu b: Man hat r cos ϕ, r sin ϕ, z R : ϕ [, /], r [, 1], z [r, 1]. Daher ergibt sich durch Transformation auf Zylinderkoordinaten xyz dx, y, z r r cosϕr sinϕzr dz dr dϕ r cosϕ sinϕ 1 r4 dr dϕ 1 1 cosϕ sinϕ dϕ [ ] ϕ 1 sin ϕ 1 [ ] r r ϕ r r 7 dr