Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008

Transkript

1 1 / 61 Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III

2 2 / 61 Wiederholung Parameterintegrale Zweidimensionale Riemann Integrale

3 3 / 61 Zweidimensionale Integrale Definition: R 2 sei eine beschränkte Menge (mit I) und f : R sei eine beschränkte Funktion. Existiert für die Erweiterungsfunktion f I von f auf I mit { } f (x,y) falls (x,y) f I (x,y) := 0 falls (x,y) I \ das Integral S = I f I (x,y)d(x,y) so heißt f integrierbar auf und wir setzen S = f (x,y)d(x,y)

4 4 / 61 Zweidimensionale Integrale Ist die Funktion f : R nichtnegativ auf, f (x,y) 0 (x,y) so beschreibt das Integral f (x,y)d(x,y) das Volumen des Raumstücks über und unter der Fläche z = f (x,y). Weitere Schreibweise: S = f (x,y)d(x,y) = f (xy)d

5 5 / 61 Zweidimensionale Integrale Definition: Ist R 2 eine beschränkte Menge, und ist die Funktion f (x,y) 1 integrierbar auf, so heißt meßbar. Der Wert des Integrals µ() = d(x, y) heißt der zweidimensionale Inhalt oder das Maß von.

6 6 / 61 Rechenregel Satz: f und g seien integrierbar auf R 2. Dann ist für alle α,β R die Funktion αf + βg ebenfalls integrierbar auf, und es gilt [αf (x,y) + βg(x,y)]d(x,y) = α f (x,y)d(x,y) + β g(x, y)d(x, y)

7 Projizierbare Mengen Berechnung zweidimensionaler Integrale Definition: Eine nichtleere Teilmenge R 2 a) heißt y-projizierbar, wenn es auf einem Intervall [a, b] der x-achse stetige Funktionen y(x) und y(x) mit y(x) y(x) x [a,b] so gibt, dass gilt = { (x,y) x [a,b],y(x) y y(x) } 7 / 61

8 8 / 61 Projizierbare Mengen b) heißt x-projizierbar, wenn es auf einem Intervall [c,d] der y-achse stetige Funktionen x(y) und x(y) mit x(y) x(y) y [x,d] so gibt, dass gilt = {(x,y) y [c,d],x(y) x x(y)}

9 9 / 61 Projizierbare Mengen c) heißt projizierbar, falls y-projizierbar oder x-projizierbar ist. d) heißt Standardmenge im R 2, falls sowohl y-projizierbar als auch x-projizierbar ist.

10 10 / 61 Projizierbare Mengen Man beachte, dass eine Menge R 2 weder y- noch x-projizierbar sein muss.

11 11 / 61 Integralberechnung Satz: R 2 sei eine projizierbare Menge und f : R sei eine stetige Funktion. Dann existiert das Integral f (x,y)d(x,y) und es gilt, a) falls y-projizierbar ist: f (x,y)d(x,y) = b y(x) a y(x) b) falls x-projizierbar ist: f (x,y)d(x,y) = d x(y) c x(y) f (x,y)dy dx f (x,y)dx dy

12 Beispiel 1 Man berechne (x 2 + y 2 )d(x,y) für := { (x,y) R 2 0 x 2,x 2 y 4 } ist y- und x-projizierbar. 12 / 61

13 13 / 61 Beispiel 1 (x 2 + y 2 )d(x,y) = = = = (x 2 + y 2 )dy dx x 2 [x 2 y + 13 ] y=4 y3 y=x 2 dx (4x x4 13 x6 ) dx [ 4 3 x x 1 5 x x7 ] x=2 x=0 = =

14 14 / 61 Beispiel 1 (x 2 + y 2 )d(x,y) = = = y (x 2 + y 2 )dx dy 0 [ 1 3 x3 + y 2 x [ y y 7 2 ] x= y x=0 ] y=4 y=0 dy = 4 0 ( ) 1 3 y y 2 dy = = =

15 15 / 61 Beispiel 2 esucht ist das Volumen I, das durch das Paraboloid f (x,y) = 1 x 2 y 2 und durch die (x,y)-ebene begrenzt wird. ist der Einheitskreis in der (x,y)-ebene und kann wie folgt dargestellt werden: { } = (x,y) R 2 x [ 1,1], 1 x 2 y 1 x 2

16 16 / 61 Beispiel 2 I = = (1 x 2 y 2 )d(x,y) 1 1 = x 2 (1 x 2 y 2 )dy dx 1 x (1 x 2 ) 3 2 dx

17 17 / 61 Beispiel 2 Substitution mit x = sin(ϕ) (Integral Nr. 171, Bronstein, 19. Aufl. ergibt I = = (1 x 2 ) 3 2 dx [ x(1 x 2 ) x 1 x arcsinx ] x=1 = arcsin1 }{{} 3 2 arcsin( 1) }{{} = π 2 = π 2 = π 4 + π 4 = π 2 x= 1

18 18 / 61 Projizierbare Mengen Ist R 2 nicht projizierbar, aber zerlegbar in N projizierbare Mengen 1,..., N, so gilt f (x,y)d(x,y) = f (x,y)d(x,y) f (x,y)d(x,y) 1 N

19 19 / 61 Die Substitutionsregel Substitutionsregel für zweidimensionale Integrale f (x,y)d(x,y) x = x(u,v) und y = y(u,v) seien stetige Funktionen, die auf einer Menge H der (u, v)-ebene stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen. Die Funktionen seien umkehrbar eindeutig: Jedem (u 0,v 0 ) H ist genau ein (x(u 0,v 0 ),y(u 0,v 0 )) zugeordnet und umgekehrt. Für die Jacobische Funktionalmatrix gelte det x(u,v) (x,y) (u,v) = u y(u,v) u ( ) (x,y) (u,v) 0 für alle (u,v) H. x(u,v) v y(u,v) v

20 20 / 61 Die Substitutionsregel Dann gilt f (x,y)d(x,y) = H ( ) f (x(u,v),y(u,v)) (x,y) det d(u,v) (u,v)

21 21 / 61 Beispiel Berechne e x2 +y 2 d(x,y) für = { (x,y) R 2 1 x 2 + y 2 4,y 0 } Wir führen Polarkoordinaten ein, d.h. x = r cos(ϕ) und y = r sin(ϕ) mit 1 r 2 und 0 ϕ π.

22 22 / 61 Beispiel Dann ist H = { (r,ϕ) R 2 1 r 2,0 ϕ π } und es gilt det ( ) ( (x,y) cosϕ r sinϕ = det (r,ϕ) sinϕ r cosϕ ) = r cos 2 ϕ + r sin 2 ϕ = r e x2 +y 2 d(x,y) = e r2 rd(r,ϕ) = H 2 π e r2 rdϕ dr = = π 2 er2 2 = π 1 2 (e4 e) e r2 rπdr

23 23 / 61 Dreidimensionale Integrale Integrale über Funktionen f (x, y, z) mit drei Variablen werden ähnlich wie im zweidimensionalen Fall definiert. Zur Berechnung von f (x,y,z)d(x,y,z) führen wir projizierbare Mengen im R 3 ein.

24 24 / 61 Projizierbare Mengen Definition: sei eine nichtleere Teilmenge des R 3. a) heißt z-projizierbar, wenn es eine projizierbare Menge z in der (x,y)-ebene und auf z stetige Funktionen z(x,y) und z(x,y) mit z(x,y) z(x,y) (x,y) z so gibt, dass gilt = { (x,y,z) R 3 (x,y) z,z(x,y) z z(x,y) }

25 25 / 61 Projizierbare Mengen b) heißt y-projizierbar, wenn es eine projizierbare Menge y in der (x,z)-ebene und auf y stetige Funktionen y(x,z) und y(x,y) mit y(x,z) y(x,z) (x,z) y so gibt, dass gilt = { (x,y,z) R 3 (x,z) y,y(x,z) y y(x,z) } c) heißt x-projizierbar, wenn es eine projizierbare Menge x in der (y,z)-ebene und auf x -stetige Funktionen x(y,z) und x(y,z) mit x(y,z) x(y,z) (y,z) x so gibt, dass gilt = { (x,y,z) R 3 (y,z) x,x(y,z) x x(y,z) }

26 26 / 61 Projizierbare Mengen d) heißt projizierbar, wenn sie z-projizierbar oder y-projizierbar oder x-projizierbar ist. e) heißt Standardmenge im R 3, wenn sie sowohl z-projizierbar als auch y-projizierbar und x-projizierbar ist.

27 27 / 61 Projizierbare Mengen Satz: R 3 sei eine projizierbare Menge, und f : R sei eine stetige Funktion. Dann existiert das Integral f (x,y,z)d(x,y,z), und es gilt a) falls z-projizierbar ist: f (x,y,z)d(x,y,z) = z z(x,y) z(x,y) f (x,y,z)dz d(x,y)

28 28 / 61 Projizierbare Mengen b) falls y-projizierbar ist: f (x,y,z)d(x,y,z) = c) falls x-projizierbar ist: y f (x,y,z)d(x,y,z) = x y(x,z) y(x,z) x(y,z) x(y,z) f (x,y,z)dy d(x,z) f (x,y,z)dx d(y,z)

29 29 / 61 Projizierbare Mengen f (x,y,z)d(x,y,z) = z z(x,y) z(x,y) f (x,y,z)dz d(x,y) Man beachte, dass die Integrale in Klammern eindimensional und die äußeren Integrale zweidimensional sind. Ist z.b. z-projizierbar und z y-projizierbar, so folgt f (x,y,z)d(x,y,z) = b a y(x) y(x) z(x,y) z(x,y) f (x,y,z)dz dy dx

30 30 / 61 Beispiel Man berechne xd(x,y,z) für = {(x,y,z) R 3 x 0,y 0,z 0, x a + y b + z } c 1 mit a,b,c > 0. beschreibt das nachstehend dargestellte Tetraeder.

31 31 / 61 Beispiel ist z-projizierbar mit z = { ( (x,y) R 2 x 0,y 0, x a + y b 1} z(x,y) = 0, z(x,y) = c 1 x a y ). b

32 32 / 61 Beispiel Die Menge z ist y-projizierbar, denn es ist z = {(x,y) R 2 x [0,a],0 y b(1 x } a )

33 33 / 61 Beispiel xd(x,y,z) = = z a 0 c(1 x a y b ) 0 b(1 a x ) 0 xdz d(x,y) c(1 x a y b ) xd(x,y,z) = 1 24 a2 bc 0 xdz dy dx

34 Volumen einer Menge Definition: Ist R 3 eine beschränkte Menge (d.h., ist Teilmenge eines Quaders im R 3 ), und ist die Funktion f (x,y,z) 1 integrierbar auf, so heißt messbar. Der Wert des Integrals µ() := d(x,y,z) heißt der dreidimensionale Inhalt oder das Maß von oder das Volumen von. 34 / 61

35 35 / 61 Beispiel esucht ist der dreidimensionale Inhalt (Volumen) von := { (x,y,z) R 3 0 x 1,0 y x, y 2 z x 2} µ() = = 1 0 d(x,y,z) = x x 0 [ x 2 + y 2] dy dx = x2 y 2 dz 1 0 dy dx (x x3 )dx }{{} 4 3 x 3 = 1 3 x4 1 0 = 1 3

36 36 / 61 Die Substitutionsregel Substitutionsregel für dreidimensionale Integrale f (x,y,z)d(x,y,z) Man substituiert x = x(u,v,w), y = y(u,v,w) und z = z(u,v,w). Dabei seien x,y und z stetige Funktionen, die auf einer Menge H R 3 stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzen und die Menge H eineindeutig auf die Menge abbilden. Für die Jacobische Funktionalmatrix (x,y,z) (u,v,w) = x u y u z u x v y v z v ( ) sei det (x,y,z) (u,v,w) 0 für alle (u,v,w) H. x w y w z w

37 37 / 61 Zylinderkoordinaten x = r cosϕ y = r ϕ z = t 0 ϕ 2π, r 0, < t < det ( ) (x,y,z) (r,ϕ,t) = det cosϕ r sinϕ 0 sinϕ r cosϕ = r cos 2 ϕ + r sin 2 ϕ = r

38 38 / 61 Kugelkoordinaten x = r sinϕ cosϑ y = r sinϕ sinϑ z = r cosϕ 0 ϕ π, 0 ϑ 2π, r 0

39 39 / 61 Kugelkoordinaten ( ) (x,y,z) det = det (r,ϕ,ϑ) sinϕ cosϑ r cosϕ cosϑ r sinϕ sinϑ sinϕ sinϑ r cosϕ sinϑ r sinϕ cosϑ cosϕ r sinϕ 0 = cosϕ(r 2 cosϕ cos 2 ϑ sinϕ + r 2 cosϕ sin 2 ϑ sinϕ) + r sinϕ(r sin 2 ϕ cos 2 ϑ + r sin 2 ϕ sin 2 ϑ) = r 2 cos 2 ϕ sinϕ(cos 2 ϑ + sin 2 ϑ) + r 2 sin 3 ϕ(cos 2 ϑ + sin 2 ϑ) = r 2 cos 2 ϕ sinϕ + r 2 sin 3 ϕ = r 2 sinϕ(cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = r 2 sinϕ

40 Beispiel für z ln(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 d(x,y,z) = { (x,y,z) R 3 1 x 2 + y 2 e 2, x 0, y 0, 0 z 4 } 40 / 61

41 41 / 61 Beispiel Führen wir Zylinderkoordinaten ein, d.h. x = r cosϕ,y = r sinϕ,z = t so entspricht der Menge die Menge H = {(r,ϕ,t) R 3 1 r e,0 ϕ π } 2,0 t 4 Dann folgt z ln(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 d(x,y,z) = H t ln(r2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ) r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ rd(r,ϕ,t)

42 42 / 61 Beispiel für e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) = { (x,y,z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1 }

43 43 / 61 Beispiel beschreibt im R 3 eine Kugel um 0 mit dem Radius 1. Unter Verwendung von Kugelkoordinaten x = r sinϕ cosϑ, y = r sinϕ sinϑ, z = r cosϕ entspricht der Menge Wegen H := { (r,ϕ,ϑ) R 3 0 r 1,0 ϕ π,0 ϑ 2π } x 2 + y 2 + z 2 = r 2 sin 2 ϕ cos 2 ϑ + r 2 sin 2 ϕ sin 2 ϑ + r 2 cos 2 ϕ = r 2 sin 2 ϕ(cos 2 ϑ + sin 2 ϑ) + r 2 cos 2 ϕ = r 2 erhalten wir e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) = H e (r2 ) 32 r 2 sinϕd(r,ϕ,ϑ)

44 Beispiel für z ln(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 d(x,y,z) = { (x,y,z) R 3 1 x 2 + y 2 e 2, x 0, y 0, 0 z 4 } 44 / 61

45 45 / 61 Beispiel Führen wir Zylinderkoordinaten ein, d.h. x = r cosϕ,y = r sinϕ,z = t so entspricht der Menge die Menge H = {(r,ϕ,t) R 3 1 r e,0 ϕ π } 2,0 t 4 Dann folgt z ln(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 d(x,y,z) = H t ln(r2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ) r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ rd(r,ϕ,t)

46 46 / 61 Beispiel für e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) = { (x,y,z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1 }

47 47 / 61 Beispiel beschreibt im R 3 eine Kugel um 0 mit dem Radius 1. Unter Verwendung von Kugelkoordinaten x = r sinϕ cosϑ, y = r sinϕ sinϑ, z = r cosϕ entspricht der Menge Wegen H := { (r,ϕ,ϑ) R 3 0 r 1,0 ϕ π,0 ϑ 2π } x 2 + y 2 + z 2 = r 2 sin 2 ϕ cos 2 ϑ + r 2 sin 2 ϕ sin 2 ϑ + r 2 cos 2 ϕ = r 2 sin 2 ϕ(cos 2 ϑ + sin 2 ϑ) + r 2 cos 2 ϕ = r 2 erhalten wir e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) = H e (r2 ) 32 r 2 sinϕd(r,ϕ,ϑ)

48 48 / 61 Beispiel für e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) = { (x,y,z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1 }

49 Beispiel beschreibt im R 3 eine Kugel um 0 mit dem Radius 1. Unter Verwendung von Kugelkoordinaten x = r sinϕ cosϑ, y = r sinϕ sinϑ, z = r cosϕ entspricht der Menge H := { (r,ϕ,ϑ) R 3 0 r 1,0 ϕ π,0 ϑ 2π } 49 / 61

50 50 / 61 Beispiel Wegen H := { (r,ϕ,ϑ) R 3 0 r 1,0 ϕ π,0 ϑ 2π } x 2 + y 2 + z 2 = r 2 sin 2 ϕ cos 2 ϑ + r 2 sin 2 ϕ sin 2 ϑ + r 2 cos 2 ϕ erhalten wir = r 2 sin 2 ϕ(cos 2 ϑ + sin 2 ϑ) + r 2 cos 2 ϕ = r 2 e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) = H e (r2 ) 32 r 2 sinϕd(r,ϕ,ϑ)

51 51 / 61 Beispiel = H e (x2 +y 2 +z 2 ) 32 d(x,y,z) e (r2 ) 32 r 2 sinϕd(r,ϕ,ϑ) = 4 π(e 1) 3

52 Masse eines Körpers R 3 sei eine messbare Menge ( Körper ). Dann berechnet sich das Volumen V von als V = d(x,y,z) Ist in eine Dichteverteilung ρ = ρ(x,y,z) gegeben, so wird M := als Masse von bezeichnet. Bei konstanter Dichte ρ ist M = ρ V. ρ(x,y,z)d(x,y,z) 52 / 61

53 53 / 61 Schwerpunkt eines Körpers Unter dem Schwerpunkt von bezüglich der Dichteverteilung ρ(x,y,z) versteht man einen Punkt (x s,y s,z s ) R 3 mit den Koordinaten x s = 1 M y s = M z s = M xρ(x,y,z)d(x,y,z) yρ(x,y,z)d(x,y,z) zρ(x,y,z)d(x,y,z)

54 54 / 61 Beispiel Schwerpunkt des Kugeloktanten := {(x,y,z) R 3 x 0,y 0,z 0,x 2 + y 2 + z 2 R 2} vom Radius R > 0 bezüglich der konstanten Dichteverteilung ρ.

55 55 / 61 Beispiel Kugelkoordinaten: x = r sinϕ cosϑ y = r sinϕ sinϑ z = r cosϕ 0 ϕ π 2 0 ϑ π 2 0 r R

56 56 / 61 Beispiel Masse M von : M = ρ d(x,y,z) = ρ π 2 0 R 0 M = ρπr3 6 π 2 0 r 2 sinϕ dϑ dr dϕ

57 57 / 61 Beispiel x-koordinate des Schwerpunkts xρ d(x,y,z) = ρ π 2 R π r sinϕ cosϑ r 2 sinϕ dϑ dr dϕ xρ d(x,y,z) = ρr4 π 16

58 58 / 61 Beispiel x s = 1 M xρ d(x,y,z) = 6 ρπr 3 ρr4 π 16 = 3 8 R y s = 3 8 R z s = 3 8 R

59 59 / 61 Trägheitsmomente Sei R 3 wieder eine messbare Menge mit einer Dichteverteilung ρ(x, y, z). Die Trägheitsmomente T x bezüglich der x-achse, T y bezüglich der y-achse und T z bezüglich der z-achse sind definiert als T x = T y = T z = (y 2 + z 2 )ρ(x,y,z)d(x,y,z) (x 2 + z 2 )ρ(x,y,z)d(x,y,z) (x 2 + y 2 )ρ(x,y,z)d(x,y,z)

60 60 / 61 Beispiel Trägheitsmoment T z bezüglich der z-achse einer Kugel := { (x,y,z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 R 2} vom Radius R > 0 mit konstanter Dichteverteilung ρ(x,y,z) = 1. Wir verwenden Kugelkoordinaten: x = r sinϕ cosϑ y = r sinϕ sinϑ 0 ϕ π,0 ϑ 2π,0 r R z = r cosϕ x 2 + y 2 = r 2 sin 2 ϕ cos 2 ϑ + r 2 sin 2 ϕ sin 2 ϑ = r 2 sin 2 ϕ

61 61 / 61 Beispiel x 2 + y 2 = r 2 sin 2 ϕ cos 2 ϑ + r 2 sin 2 ϕ sin 2 ϑ = r 2 sin 2 ϕ T z = = = (x 2 + y 2 )ρ(x,y,z)d(x,y,z) π (x 2 + y 2 )d(x,y,z) R π r 2 sin 2 ϕ r 2 sinϕ dϑ dr dϕ T z = 8 15 πr5