12 Flächen- und Volumenintegrale

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1 12.1 Integration über ebene Mengen Erweiterung des Flächeninhaltsbegriffes In einigen Spezialfällen haben wir ebenen Mengen (d.h. Teilmengen von R 2 ) bereits einen Flächeninhalt zugeordnet (siehe Abschnitt 9.1). Nun wollen wir für eine recht umfangreiche lasse von ebenen Mengen den egriff des Flächeninhalts definieren. Sei R 2 eine beschränkte Menge. Sei k eine natürliche Zahl. R 2 sei mit einem kartesischen oordinatensystem versehen und bezüglich dieses von einem Gitter achsenparalleler abgeschlossener Quadrate der Seitenlänge 2 k (so genannter k-quadrate) überdeckt. Der Flächeninhalt jedes k-quadrats ist 2 k 2 k = 2 2k. Sei s k () := s k () := Summe der Flächeninhalte aller k-quadrate, die ganz in enthalten sind, Summe der Flächeninhalte aller k-quadrate, die mindestens einen Punkt von enthalten. Da nach Voraussetzung beschränkt ist, gibt es zu jedem k nur endlich viele k-quadrate mit der entsprechenden Eigenschaft. Durch Vergrößern von k wird das Gitter verfeinert. Dabei gilt und daher eistieren die Grenzwerte s k () s k+1 () s k+1 () s k (), A () := lim s k () k A () := lim s k () k (Approimation von innen), (Approimation von außen). 285

2 Definition Die Menge R 2 heißt Riemann-meßbar, wenn sie beschränkt ist und A () = A () gilt. Dieser gemeinsame Wert heißt dann Flächeninhalt A () der Menge. (A für area, lat.: Fläche.) Ist N R 2 Riemann-meßbar und gilt A (N) = 0, so heißt N Nullmenge in R 2. Satz Für beschränkte Teilmengen und N von R 2 gilt: (i) ist genau dann Riemann-meßbar, wenn der Rand von eine Nullmenge in R 2 ist. (ii) Ist Riemann-meßbar und N Nullmenge in R 2, so gilt A () = A ( N) = A ( \ N). Satz Jede aus endlich vielen, stetig differenzierbaren urvenstücken und eventuell endlich vielen, weiteren Punkten bestehende Teilmenge von R 2 ist Nullmenge in R 2. Aus diesen Sätzen folgt: Folgerung Jede beschränkte Teilmenge von R 2, deren Rand aus endlich vielen, stetig differenzierbaren urvenstücken und eventuell endlich vielen weiteren Punkten besteht, ist Riemann-meßbar, besitzt also einen Flächeninhalt A (). Folgerung Das Hinzufügen oder Entfernen einer Nullmenge in R 2 läßt den Flächeninhalt einer Riemann-meßbaren Menge unverändert. eispiel Es sei ein abgeschlossenes Rechteck in der Ebene mit den Seitenlängen a > 0 und b > 0. N 1 sei die aus den vier Seitenlinien bestehende Menge und N 2 eine Diagonale. Dann sind N 1 und N 2 Nullmengen in R 2, und es gilt A ( \ N 1 ) = A ( \ N 2 ) = A () = ab. eispiel Es sei wie in eispiel und M := {(,y) : und y rationale Zahlen}. a N 2 b Dann gilt A (M) = 0 (denn jedes k-quadrat enthält auch Punkte mit mindestens einer irrationalen oordinate) und A (M) = ab > 0. Also ist M nicht Riemann-meßbar Der egriff des Flächenintegrals Es soll das Integral einer Funktion über eine beschränkte ebene Menge definiert werden. 286

3 12.1 Integration über ebene Mengen Wir erinnern an die Definition des Integrals b a f ()d mittels Riemann-Summen der Form S( f ) := m f (ξ i ) i, i=1 die zu einer Zerlegung Z = {a = 0, 1,..., m = b} des Intervalls [a,b gehören. Hierbei ist i := i i 1 die Länge des Teilintervalls [ i 1, i und ξ i [ i 1, i. Nun sei R 2 eine beschränkte Menge und f : R eine Funktion. Mittels glatten urvenstücken sei eine Zerlegung Z von in Teilmengen 1,..., m vorgenommen. Die Menge sei so beschaffen, daß jedes i Riemann-meßbar ist, und es sei i := A ( i ) der Flächeninhalt von i. Weiter sei (ξ i,η i ) i beliebig gewählt. Dann heißt m S( f,z) := f (ξ i,η i ) i (12.1.1) i=1 Riemann-Summe von f bezüglich der Zerlegung Z. Es sei δ(z) der maimale Durchmesser (d.h. das Supremum der Abstände zweier Punkte dieser Menge) der zu Z gehörigen Mengen 1,..., m. δ(z) ist ein Maß für die Feinheit der Zerlegung Z. Statt einer Zerlegung Z betrachten wir nun eine Folge von immer feineren Zerlegungen Z n von in Mengen (n) 1,...,(n) m n. Dabei soll immer feiner bedeuten, daß lim δ(z n ) = 0 n gilt. Wenn nun für jede solche Folge (Z n ) und jede Wahl der Punkte (ξ (n) i,η (n) i ) (n) i die zugehörige Folge der Riemann-Summen stets konvergiert, so hängt deren Grenzwert nur von f und ab und heißt Flächenintegral von f über, in Zeichen f db oder f (,y)db(,y) oder f (,y)d(,y). Das db deutet dabei darauf hin, daß wir über einen ereich integrieren. In urzform kann man die Definition so zusammenfassen: m n f db := lim f (ξ (n) i,η (n) i ) (n) δ(z n ) 0 i=1 Satz Ist R 2 Riemann-meßbar und f : R beschränkt und stetig, so eistiert das Flächenintegral f db. i i. 287

4 emerkung Aus (12.1.1) mit f = 1 folgt S( f,z) = m i = A (). Alle Riemann- Summen haben denselben Wert und daher ist db = A () der Flächeninhalt von. (12.1.2) erechnung von Flächenintegralen Wir beginnen mit zwei allgemeinen Rechenregeln. Satz Ist R 2 Riemann-meßbar, N R 2 Nullmenge in R 2 und f : N R beschränkt und stetig, so gilt (vgl. Satz ) f db = f db= f db. (12.1.3) N Satz Seien 1, 2 R 2 Riemann-meßbare Mengen, die höchstens eine Nullmenge gemeinsam haben. Weiter sei f : 1 2 R beschränkt und stetig. Dann gilt f db = db + db. (12.1.4) Wir definieren nun lassen von ebenen Mengen, für die das Flächenintegral leicht zu berechnen ist. Definition \N i=1 2 (i) Es seien u,v: [a,b R stetige Funktionen mit u() v() für alle [a,b. Dann heißt := {(,y) R 2 : a b, u() y v()} horizontaler Normalbereich oder Normalbereich bez. der -Achse. (ii) Es seien ϕ,ψ : [α,β R stetige Funktionen mit ϕ(y) ψ(y) für alle y [α, β. Dann heißt β a _ v u b := {(,y) R 2 : α y β, ϕ(y) ψ(y)} vertikaler Normalbereich oder Normalbereich bez. der y-achse. α ϕ ψ 288

5 12.1 Integration über ebene Mengen Satz (i) Ist R 2 ein Normalbereich bezüglich der -Achse und f : R eine stetige Funktion, so gilt b =a [ v() y=u() (,y)dy f db = f (,y)d(,y) = f d. (12.1.5) (ii) Ist R 2 ein Normalbereich bezüglich der y-achse und f : R eine stetige Funktion, so gilt β y=α [ ψ(y) =ϕ(y) f db = f (,y)d(,y) = f (,y)d dy. (12.1.6) Durch (12.1.5) wird das Flächenintegral auf ein zweifaches Integral zurückgeführt. Letzteres berechnet man von innen nach außen : Man integriert zuerst über y bei festgehaltenem, danach über. Entsprechendes gilt für (12.1.6). eispiel Die Graphen der Funktionen mit f 1 () = + 3, f 2 () = 0, und f 3 () = 2 D( f 1 ) = D( f 2 )[ 3, [, D( f 3 ) = [0, [ beranden einen beschränkten ereich der, y-ebene. Gesucht ist der Flächeninhalt A (). Lösung: Im ild ist der ereich dargestellt. Der Schnittpunkt von graph( f 1 ) und graph( f 2 ) ergibt sich aus + 3 = 2 zu (1,2). Zur erechnung von A () = db sind zwei y = + 3 Wege möglich Weg: von der -Achse her betrachten. Nach Satz gilt A () = db + db, 1 2 wobei 1 und 2 Normalbereiche bezüglich der -Achse sind. Daher gilt [ db = dy d = y y= +3 d y=0 = 3 y=0 = = + 3 d = 3 ( + 3) 3 =0 2 = 2 3 = 3 1 = 3 y 2 y = 2 289

6 und Somit ist A () = 4. [ db = =0 y=2 dy d = ( )d = = Weg: von der y-achse her betrachten. Dann ist selbst Normalbereich. Wegen y = + 3 = y 2 3, y 0 y = 2 = 1 4 y2, y 0, = y 2 3 = 1 4 y2 folgt 3 1 [ 2 14 y 2 2 A () = db = d dy = [ 1 4 y2 y 2 + 3dy = [ 1 4 y3 + 3y y=2 y=0 = 4. y=0 =y 2 3 y=0 Der zweite Weg ist hier kürzer und daher hier vorzuziehen. Wir betrachten noch einen Spezialfall von Satz Ein Rechteck = {(,y) R 2 : a b, α y β} ist sowohl Normalbereich bezüglich der -Achse als auch Normalbereich bezüglich der y- Achse. Für jede stetige Funktion f : R gilt daher die Vertauschungsformel b [ β β [ b f (,y)dy d = f d = f (,y)d(,y) = f (,y)d dy. =a y=α y=α y =a (12.1.7) Anwendungen Eine Riemann-meßbare Menge R 2 (Platte) sei mit Masse der Flächendichte ρ F belegt. a) Für die Masse m von gilt m = ρ F db = ρ F (,y)d(,y). (12.1.8) b) Statische Momente von : Denkt man sich die Masse m i des Teilbereichs i im Punkt (ξ i,η i ) konzentriert, dann ist m i η i (Masse mal Abstand von der-achse) 290

7 12.1 Integration über ebene Mengen das statische Moment dieser Punktmasse bez. der -Achse. Durch Summieren und Verfeinern der Zerlegung erhält man für den gesamten ereich : M := y ρ F (,y)d(,y) statisches Moment bez. der -Achse, M y := ρ F (,y)d(,y) statisches Moment bez. der y-achse. (12.1.9) c) Der Schwerpunkt (oder Massenmittelpunkt) von ist definiert als derjenige Punkt S = ( s,y s ), in dem die Gesamtmasse m dieselben statischen Momente hat wie der ereich. Aus m s = M y und my s = M folgt mit (12.1.9): S = ( s,y s ) mit s = 1 ρ F (,y)d(,y), y s = 1 y ρ F (,y)d(,y). ( ) m m Ist ρ F (,y) = ρ 0 (konstant) für alle (,y), dann ist m = ρ 0 ( ) ergibt sich der geometrische Schwerpunkt S von : S = ( s,ȳ s ) mit s = 1 d(,y), ȳ s = 1 A () A () d) Trägheitsmomente von : I = y 2 ρ F (,y)d(,y) I y = I 0 = I y = 2 ρ F (,y)d(,y) d = ρ 0 A (). Mit yd(,y). ( ) Trägheitsmoment bezüglich der -Achse, Trägheitsmoment bezüglich der y-achse, ( 2 + y 2 ) ρ F (,y)d(,y) polares Trägheitsmoment, y ρ F (,y)d(,y) Deviationsträgheitsmoment. Im Falle ρ F (,y) = 1 für alle (,y) heißen I,,I y, I 0 und I y Flächenmomente. eispiel Es sei das gleichschenklige Dreieck im ild. Gesucht ist das Flächenmoment I bezüglich der -Achse. Lösung: Zur erechnung von y I = y 2 d(,y) h deuten wir als Normalbereich bezüglich der y-achse mit der linken Randkurve = a h y a und der rechten Randkurve = a h y + a. a a 291

8 Hiermit gilt I = y 2 d(,y) = h y=0 [ a h y+a y 2 d dy = = h a y a h y=0 y 2 2 ( a )dy h y + a = ah Integration über räumliche Mengen Der egriff des Volumens Analog zu definieren wir die Parameterdarstellung eines Flächenstückes F R 3 als das ild einer stetigen Abbildung f : R 2 R 3. Die in für beschränkte ebene Mengen durchgeführten Überlegungen lassen sich nun sinngemäß auf beschränkte räumliche Mengen ( örper ) übertragen. Die folgende Tabelle deutet dies an. gegebene Menge Appro. durch führt zu speziell R 2 R 2 beschränkt Quadrate Riemann-Meßbarkeit Nullmenge in R 2 Flächeninh. A () A () = 0 R 3 R 3 beschränkt Würfel Riemann-Meßbarkeit Nullmenge in R 3 Volumen V () V () = 0 Es gelten zu den Sätzen , analoge Aussagen. Wir formulieren nur deren praktische onsequenzen: Jede beschränkte Teilmenge von R 3, deren Rand eine Nullmenge in R 3 ist [also z.. nur aus je endlich vielen Flächenstücken, urvenstücken oder Punkten besteht ist Riemann-meßbar, besitzt also ein Volumen V (). Das Hinzufügen oder Entfernen einer Nullmenge in R 3 läßt das Volumen einer Riemannmeßbaren Teilmenge von R 3 unverändert. eispiel Es sei ein abgeschlossener Quader mit den antenlängen a, b, c. Der Rand von besteht aus den 6 Seitenflächen, den 12 anten und den 8 Ecken. ezeichnet N den gesamten Rand von (oder Teile davon), so ist N eine Nullmenge in R 3, ist Riemann-meßbar, und es gilt V ( \ N) = V () = abc. emerkung Jede Seitenfläche von ist Nullmenge in R 3, aber nicht Nullmenge in R

9 12.2 Integration über räumliche Mengen Der egriff des Raumintegrals Es seien R 3 eine beschränkte Menge und f : R eine Funktion. Es soll das Integral von f über definiert werden. Mittels Flächenstücken sei in Teilmengen 1,..., m zerlegt. Jedes i sei Riemann-meßbar mit dem Volumen i := V ( i ). Weiter sei (ξ i,η i,ζ i ) i beliebig gewählt. Dann heißt Riemann-Summe von f. S( f,z) := m f (ξ i,η i,ζ i ) i (12.2.1) i=1 Statt einer Zerlegung von betrachten wir nun eine Folge von Zerlegungen, die immer feiner werden (vgl ), sowie die zugehörige Folge der Riemann-Summen. Wenn diese stets konvergiert, hängt der Grenzwert nur von f und ab und heißt Raumintegral von f über, in Zeichen f dv oder f (,y,z)dv(,y,z) oder Hier bezeichnet dv, daß es sich um ein Volumenintegral handelt. f (,y,z)d(,y,z). Satz Ist R 3 Riemann-meßbar und f : R beschränkt und stetig, so eistiert das Raumintegral f dv erechnung von Raumintegralen Die den Sätzen , entsprechenden Sätze sind: Satz Ist R 3 Riemann-meßbar, N R 3 Nullmenge in R 3 und f : N R beschränkt und stetig, so gilt f dv = N f dv = \N f dv. Satz Seien 1, 2 R 3 Riemann-meßbare Mengen, die höchstens eine R 3 -Nullmenge gemeinsam haben. Weiter sei f : 1 2 R beschränkt und stetig. Dann gilt f dv = f dv + f dv. 293

10 Grundlage für die erechnung von vielen Raumintegralen ist der folgende Satz. Dazu betrachten wir einen zylindrischen örper := {(,y,z) R 3 : (,y), g(,y) z h(,y)}, (12.2.2) wobei R 2 ein Normalbereich (bezüglich der -Achse oder der y-achse) ist und g,h: R stetige Funktionen sind. Satz Für einen zylindrischen örper mit (12.2.2) gilt [ h(,y) f dv = f (,y,z)dz db. (12.2.3) z=g(,y) Ist also ein Normalbereich bezüglich der -Achse, so gilt nach (12.2.3) und (12.1.7): f dv = = {(,y) R 2 : a b, u() y v()}, f (,y,z)d(,y,z) = b =a [ v() y=u() [ h(,y) z=g(,y) z y f (,y,z)dz dy d. (12.2.4) Im Spezialfall f = 1 gilt nach Definition des Raumintegrals dv = V () Volumen von. (12.2.5) Ist der durch (12.2.2) gegebene zylindrische örper, so gilt nach (12.2.3) V () = [h gdb = [h(,y) g(,y)d(,y). g h Anwendungen Eine Riemann-meßbare Menge R 3 sei mit Masse der (räumlichen) Dichte ρ belegt. In Analogie zum ebenen Fall erhält man die folgenden Formeln. a) Die Masse m von ist m = ρ(,y,z)d(,y,z). (12.2.6) 294

11 12.2 Integration über räumliche Mengen eispiel Im,y,z-Raum sei der von dem Rotationsparaboloid F 1 = {(,y,z): z = 3( 2 + y 2 )} und der ugel F 2 = {(,y,z): 2 + y 2 + z 2 = 4} berandete, oberhalb der,y-ebene gelegene örper. sei mit Masse der Dichte ρ(,y,z) = z belegt. Gesucht ist die Masse m von. Lösung: 1. Darstellung von : Die Schnittkurve C von F 1 und F 2 ergibt sich aus 2 + y 2 + 3( 2 + y 2 ) 2 = 4. Mit a := 2 + y 2 folgt a a 4 3 = 0 also a = 1 (beachte a 0). C ist also ein reis um die z-achse mit Radius 1 auf der Ebene z = 3. Somit gilt = {(,y,z) R 3 : (,y), 3( 2 + y 2 ) z 4 ( 2 + y 2 )} mit = {(,y) R 2 : 1 1, 1 2 y 1 2 }. 2. erechnung des Integrals: Mit (12.2.6) und (12.2.4) erhalten wir m = zdv = = 1 = 1 1 = 1 [ 1 2 y= 1 2 [ 4 ( 2 +y 2 ) zdz dy d z= 3( 2 +y 2 ) [ y= [4 (2 + y 2 ) 3( 2 + y 2 ) 2 dy d. Die weitere Auswertung der Integrale in kartesischen oordinaten ist recht mühevoll. Wir brechen die Rechnung hier ab. In 12.3 werden wir eine Methode behandeln, die schneller zum Ziele führt. b) Das statische Moment von bezüglich der,y-ebene ist M y := zρ(,y,z)d(,y,z). (12.2.7) Analog sind die statischen Momente bezüglich anderer Ebenen definiert. 295

12 c) Der Schwerpunkt (oder Massenmittelpunkt) S = ( s,y s,z s ) von ergibt sich wieder aus der edingung, daß die dort konzentrierte Gesamtmasse m dieselben statischen Momente habe wie. So ist zum eispiel mz s = M y. Insgesamt ergibt sich s = 1 ρ(,y,z)d(,y,z), m y s = 1 m y ρ(,y,z) d(,y,z), (12.2.8) z s = 1 m z ρ(,y,z)d(,y,z). Ist ρ(,y,z) = ρ 0 (konstant), dann ist m = ρ 0 dv = ρ 0 V (). Mit (12.2.8) erhält man den geometrischen Schwerpunkt S( s,ȳ s, z s ) von : s = 1 d(,y,z), ȳ s = 1 yd(,y,z), z s = 1 zd(,y,z). V () V () V () d) Man definiert das Trägheitsmoment (TM) von bezüglich einer Ebene, einer Geraden beziehungsweise eines Punktes durch die Formel I = r 2 ρ dv = r 2 (,y,z) ρ(,y,z)d(,y,z) (12.2.9) und folgende Tabelle: ezeichnung planares TM aiales TM polares TM von I bez., y-ebene bez. z-achse bez. Nullpunkt r 2 (,y,z) = z y y 2 + z 2 Es ist r also der Abstand eines variablen Punktes des örpers vom ezugsobjekt. Für das planare Trägheitsmoment bezüglich der,y-ebene schreibt man statt I auch I y ; entsprechend I z beziehungsweise I 0. Die Trägheitsmomente bezüglich anderer Ebenen, Geraden und Punkten sind analog definiert. eispiel Sei das von den Ebenen = 0, y = 0, z = 0 und +y+z 1 = 0 berandete Tetraeder. Die Dichte sei ρ(,y,z) = 1 (konstant). Gesucht ist das aiale Trägheitsmoment I z bezüglich der z-achse. Lösung: Man erhält man 1 [ 1 [ 1 y z I z = ( 2 + y 2 )d(,y,z) = ( 2 + y 2 )dz dy d y =0 y=0 1 [ 1 = ( 2 + y 2 )(1 y)dy =0 y=0 z=0 d = =

13 12.3 Integration mittels oordinatentransformation 12.3 Integration mittels oordinatentransformation Allgemeiner Fall Wir erläutern das Ziel des Abschnittes an einem eispiel. eispiel Gesucht ist das Flächenmoment I der Halbkreisfläche = {(,y) R 2 : 2 + y 2 a 2, y 0} bezüglich der -Achse. Mit der Deutung von als Normalbereich bezüglich der - Achse erhält man sofort [ a a 2 I = y 2 2 d(,y) = y 2 dy d = a = a = a 1 3 (a2 2 ) 3/2 d. Die erechnung des letzten Integrals ist allerdings recht aufwendig. y=0 ei der Transformation der kartesischen oordinaten,y in Polarkoordinaten r, ϕ gemäß y a T polar : (r,ϕ) (,y), = r cosϕ, y = r sinϕ entspricht der Menge die Menge = {(r,ϕ): 0 r a, 0 ϕ π} ϕ π und es gilt... d(r,ϕ) = a r=0 [ π... dϕ dr. ϕ=0 a r Zur erechnung von I auf diesem Wege benötigt man aber einen Zusammenhang zwischen... d(,y) und... d(r,ϕ). Hiermit wollen wir uns nun allgemein befassen. Wir beschreiben zuerst die in Frage kommenden Transformationen. Definition Seien C 0 und D 0 offene Teilmengen von R n. Eine Vektorfunktion T : C 0 D 0 heißt zulässige oordinatentransformation auf D 0, wenn gilt 297

14 1. T ist bijektiv, d.h., zu jedem D 0 eistiert genau ein u C 0 mit T (u) =. 2. T ist auf C 0 stetig (partiell) differenzierbar, und es gilt detj T (u) 0 für alle u C 0 u 2 2 u T C 0 D 0 u 1 1 emerkung Die Surjektivität, T [C 0 = D 0 von T bedeutet zusammen mit der Injektivität, daß jeder Punkt P von D 0 außer durch seine kartesischen oordinaten 1,..., n auch durch die zugehörigen Werte u 1,...,u n eindeutig beschrieben werden. Daher heißen auch u 1,...,u n oordinaten von P. Die zweite Eigenschaft wird im folgenden benötigt. Die Determinante detj T (u) der Jacobi- Matri von J T (u) heißt Jacobi-Determinante (oder Funktionaldeterminante) von T. Wir kommen nun zur Übertragung der Substitutionsformel (Satz ) b a f ()d = g 1 (b) g 1 (a) f (g(u))g (u)du auf Flächenintegrale (n = 2) und Raumintegrale (n = 3). Satz Sei D R n, n = 2 oder n = 3, Riemann-meßbar und f : D R beschränkt und stetig. Weiter sei T : C 0 D 0 eine zulässige oordinatentransformation auf D 0 und C C 0 so, daß T [C = D. Dann gilt D D f (,y)d(,y) = f (,y,z)d(,y,z) = emerkung Für C C f (T (u,v)) detj T (u,v) d(u,v) für n = 2, (12.3.1) f (T (u,v,w)) detj T (u,v,w) d(u,v,w) für n = 3. (u,v) T (u,v) = ((u,v),y(u,v)) (12.3.2) 298

15 12.3 Integration mittels oordinatentransformation bzw. (u,v,w) T (u,v,w) = ((u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) haben wir f (T (u,v)) = f ((u,v),y(u,v)) bzw. f (T (u,v,w)) = f ((u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) und detj T (u,v) = (,y) (u,v) := (u,v) u(u,v) y u (u,v) detj T (u,v,w) = (,y,z) (u,v,w) := (u,v,w) v (u,v) y v (u,v), u (u,v,w) v (u,v,w) w (u,v,w) y u (u,v,w) y v (u,v,w) y w (u,v,w) z u (u,v,w) z v (u,v,w) z w (u,v,w). Motivation von (12.3.1): Einer Zerlegung von C mittels oordinatenlinien u = u i und v = v i entspricht eine Zerlegung von D in Teilmengen D i. v y v i C i T b i D i a i u i u Man approimiert nun die Menge D i durch das von den Vektoren a i := u i ( u (u i,v i ) y u (u i,v i ) ) und b i := v i ( v (u i,v i ) y v (u i,v i ) mit u, v > 0 aufgespannte Parallelogramm. Für den Flächeninhalt D i von D i gilt dann D i a1 i a 2 i b 1 i b 2 i = u (u i,v i ) v (u i,v i ) y u (u i,v i ) y v (u i,v i ) u i v i. Mit dem üblichen Summations- und Verfeinerungsprozeß folgt hieraus die Formel (12.3.1). Im ild ist übrigens angedeutet, daß die oordinatenlinien u = u i bzw. v = v i in der,y- Ebene im allgemeinen nicht geradlinig (wie in der u,v-ebene) sind. Daher heißen u,v auch krummlinige oordinaten. emerkung Aufgrund der Sätze , gelten (12.3.1) und (12.3.2) auch, wenn C \C 0 und D \ D 0 Nullmengen im R 2 oder R 3 sind. ) 299

16 Ebene Polarkoordinaten Definition Seien C,D R 2. Eine Abbildung T polar : C D heißt (ebene) Polarkoordinatenfunktion, wenn T polar (r,ϕ) = (r cosϕ,r sinϕ) für (r,ϕ) C. Gilt T polar (r,ϕ) = (,y), dann heißen r und ϕ (ebene) Polarkoordinaten des Punktes (,y). emerkung Einem Paar (r,ϕ) C wird durch T polar also der Punkt (,y) D mit = r cosϕ, y = r sinϕ zugeordnet. Wir betrachten Dann gilt C 1 := {(r,ϕ) R 2 : r 0, 0 ϕ < 2π}. D 1 := T polar [C 1 = R 2, d.h., mittels T polar auf C 1 hätten wir eine eschreibung aller Punkte in R 2 durch Polarkoordinaten. Leider gilt aber T polar (0,ϕ) = (0,0) für jedes ϕ [0,2π[, d.h., der Nullpunkt der,y-ebene wird durch r,ϕ nicht eindeutig dargestellt. Außerdem ist die Menge C 1 nicht offen. Wir müssen also C 1 und damit D 1 einschränken, um eine zulässige oordinatentransformation zu erhalten. Daher setzen wir C 0 := {(r,ϕ) R 2 : r > 0, 0 < ϕ < 2π}, D 0 := R 2 \ N 0, wobei N 0 := {(,0) R 2 : 0}. ϕ 2π C 0 T polar y r ϕ D 0 r Im ild sollen die gestrichelten Linien andeuten, daß diese Teile des Randes nicht zu C 0 bzw. D 0 gehören. Jeder Punkt (,y) D 0 wird durch einen Punkt (r,ϕ) C 0 eindeutig dargestellt, d.h., T polar ist eine ijektion von C 0 auf D 0. Für die Jacobi-Determinante von T polar erhält man detj Tpolar (r,ϕ) = (,y) (r,ϕ) (r,ϕ) = r(r,ϕ) ϕ (r,ϕ) y r (r,ϕ) y ϕ (r,ϕ) = cosϕ sinϕ r sinϕ r cosϕ, 300

17 12.3 Integration mittels oordinatentransformation also detj Tpolar (r,ϕ) = r. (12.3.3) Die partiellen Ableitungen sind auf C 0 stetig, und nach (12.3.3) gilt detj Tpolar (r,ϕ) > 0 für alle (r,ϕ) C 0. Somit ist T polar : C 0 D 0 eine zulässige oordinatentransformation auf D 0. Die oordinatenlinien von T polar in der,y-ebene sind r = r 0 : reise um 0 mit dem Radius r 0, ϕ = ϕ 0 : Halbgeraden von 0 aus mit dem Winkel ϕ 0. Die Transformationsformel lautet für Polarkoordinaten eplizit D f (,y)d(,y) = C f (r cosϕ,r sinϕ)r d(r,ϕ), T polar [C = D. (12.3.4) emerkung Die Mengen C 1 \C 0 und D 1 \ D 0 sind R 2 -Nullmengen, so daß (12.3.4) nach emerkung für beliebige, Riemann-meßbare Menge D (und C) in R 2 gilt. eispiel Wir kommen auf eispiel zurück und verwenden die dort eingeführten ezeichnungen. Nun soll das Flächenmoment I der Halbkreisfläche mittels Polarkoordinaten berechnet werden. Lösung: Im Hinblick auf die Mengen C 0 und D 0 setzen wir C := {(r,ϕ) R 2 : 0 r a, 0 ϕ π}, ϕ π C T polar y a r Dann ist C \C 0 eine Nullmenge und es gilt T polar [C =. Daher gilt a C a I = y 2 d(,y) = (r sinϕ) 2 r d(r,ϕ) = = [ 1 r 3 r=0 2 ϕ 1 π 4 sin2ϕ dr = ϕ=0 a r=0 a r=0 [ r 3 π ϕ=0 a r 3 π 4 dr = π 8 a4. sin 2 ϕ dϕ dr 301

18 ugelkoordinaten Definition Seien C,D R 3. Eine Abbildung T ugel : C D heißt ugelkoordinatenfunktion oder räumliche Polarkoordinatenfunktion, wenn T ugel (r,ϑ,ϕ) = (r sinϑ cosϕ,r sinϑ sinϕ,r cosϑ) für (r,ϕ) C. Gilt T ugel (r,ϑ,ϕ) = (,y,z), dann heißen r, ϕ und ϑ ugelkoordinaten des Punktes (,y,z). emerkung Einem Paar (r,ϑ,ϕ) C wird durch T ugel also der Punkt (,y,z) D mit = r sinϑ cosϕ, y = r sinϑ sinϕ, z = r cosϑ (12.3.5) zugeordnet. Mit haben wir C 1 = {(r,ϑ,ϕ): r 0, 0 ϑ π, 0 ϕ < 2π} D 1 := T ugel [C 1 = R 3. Leider ist auch hier T ugel auf C 1 nicht eineindeutig und C 1 ist nicht offen. Somit haben wir C 1 und damit D 1 geeignet einzuschränken, um eine zulässige oordinatentransformation zu erhalten. Seien dazu C 0 := {(r,ϑ,ϕ) R 3 : r > 0, 0 < ϑ < π, 0 < ϕ < 2π}, D 0 := R 3 \ N 0, wobei N 0 := {(,y,z) R 3 : 0, y = 0}. z ϑ r y ϕ Dann ist T ugel : C 0 D 0 bijektiv. Weiter gilt detj Tugel (r,ϑ,ϕ) = sinϑ cosϕ r cosϑ cosϕ r sinϑ sinϕ sinϑ sinϕ r cosϑ sinϕ r sinϑ cosϕ cosϑ r sinϑ 0 = r2 sinϑ> 0 für (r,ϑ,ϕ) C 0. Damit ist T ugel : C 0 D 0 eine zulässige oordinatentransformation. emerkung N 0 ist die (von der z-achse berandete),z-halbebene mit 0. Eine beschränkte räumliche Menge schneidet diese Ausnahmemenge höchstens in einer Nullmenge von R 3. ei der erechnung von Raumintegralen können wir die Menge N 0 also ignorieren (Satz ). Die oordinatenflächen von T ugel im,y,z-raum sind 302

19 12.3 Integration mittels oordinatentransformation r = r 0 : ugeln um 0 mit dem Radius r 0, ϑ = ϑ 0 : egel mit der Spitze in 0, ϕ = ϕ 0 : Halbebenen mit der z-achse als Rand. Die Transformationsformel (12.3.2) lautet für ugelkoordinaten: D f (,y,z)d(,y,z) = C T ugel [C = D. f (r sinϑ cosϕ,r sinϑ sinϕ,r cosϑ)r 2 sinϑ d(r,ϑ,ϕ), (12.3.6) emerkung Die Mengen C 1 \C 0 und D 1 \D 0 sind R 3 -Nullmengen, so daß (12.3.6) nach emerkung für beliebige, Riemann-meßbare Menge D (und C) in R 3 gilt. Man wird (12.3.6) dann anwenden, wenn die Menge D (oder wenigstens Teile davon) von oordinatenflächen der Funktion T ugel berandet wird. eispiel Gesucht ist das aiale Trägheitsmoment der Halbkugel D = {(,y,z) R 3 : 2 + y 2 + z 2 a 2, z 0} z bezüglich der z-achse. Die Dichte sei ρ(,y,z) = 1 für alle (,y,z) D. ϑ Lösung: Nach (12.2.9) ist I z = ( 2 + y 2 )d(,y,z). a a D In ugelkoordinaten wird D beschrieben durch C = {(r,ϑ,ϕ) R 3 : 0 r a, 0 ϑ π 2, 0 ϕ 2π}. Somit gilt nach (12.3.6) I z = = = C π/2 [ 2π 0=0 π/2 ϑ=0 (r 2 sin 2 ϑ cos 2 ϕ+r 2 sin 2 ϑ sin 2 ϕ)r 2 sinϑ d(r,ϑ,ϕ) [ a r 4 sin 3 ϑ dr dϕ dϑ ϕ=0 r=0 [2π a5 5 sin3 ϑ dϑ. 303

20 eispiel Der egel bohrt aus dem ugelkörper 1 = {(,y,z): y 2 z 2 0} 2 = {(,y,z): 2 + y 2 + (z 1) 2 1} einen örper D aus. Gesucht ist der geometrische Schwerpunkt S von D. Lösung: S = ( s,ȳ s, z s ) ist nach (12.2.8) zu berechnen. Aus Symmetriegründen ist s = ȳ s = 0. Weiter gilt z s = 1 zd(,y,z) mit V (D) = d(,y,z). V (D) D D 1 ist eine oordinatenfläche von T ugel. Daher empfiehlt sich die Verwendung von ugelkoordinaten. Hingegen ist 2 eine ugelfläche mit dem Mittelpunkt (0,0,1), also keine oordinatenfläche von T ugel. eschreibung von 1 in ugelkoordinaten: Mit (12.3.5) haben wir 0 3(r sinϑ cosϕ) 2 + 3(r sinϑ sinϕ) 2 (r cosϑ) 2 = 3r 2 (sin 2 ϑ cos 2 ϑ), also Tugel 1 [ 1 = {(r,ϑ,ϕ) R 3 : 0 r <, 0 ϑ π/6, 0 ϕ 2π}. eschreibung von 2 in ugelkoordinaten: und damit 1 (r sinϑ cosϕ) 2 + (r sinϑ sinϕ) 2 + (r cosϑ 1) 2 = r 2 sin 2 ϑ + r 2 cos 2 ϑ + 2r cosϑ + 1 T 1 ugel [ 2 = {(r,ϑ,ϕ) R 3 : 0 r 2cosϑ, 0 ϑ π/2, 0 ϕ 2π}. Zusammengefaßt erhalten wir T ugel [C = D mit C := {(r,ϑ,ϕ) R 3 : 0 r 2cosϑ, 0 ϑ π 6, 0 ϕ 2π}. Für das Volumen V (D) von D erhalten wir V (D) = d(,y,z) = r 2 sinϑ d(r,ϑ,ϕ) = = D 2π C [ π/6 [ 2cosϑ ϕ=0 ϑ=0 2π [ π/6 ϕ=0 ϑ=0 r=0 r 2 sinϑ dr 8 3 cos3 ϑ sinϑ dϑ 1 2 dϕ dϑ dϕ = 7π 12. z D 304

21 12.3 Integration mittels oordinatentransformation Aus Symmetriegründen ist s = ȳ s = 0. Weiter gilt z s = 1 zd(,y,z) = 1 r cosϑ r 2 sinϑ d(r,ϑ,ϕ) V (D) V (D) D C = 12 2π [ π/6 [ 2cosϑ r 3 cosϑ sinϑ dr dϑ dϕ 7π ϕ=0 ϑ=0 r=0 = 12 2π [ π/6 4cos 5 ϑ sinϑ dϑ dϕ = 37 7π 28 = ϕ=0 ϑ= Zylinderkoordinaten Definition Seien C,D R 3. Eine Abbildung T Zylinder : C D heißt Zylinderkoordinatenfunktion, wenn T Zylinder (r,ϕ,z) = (r cosϕ,r sinϕ,z) für (r,ϕ,z) C. Gilt T Zylinder (r,ϕ,z) = (,y,z), dann heißen r, ϕ und z Zylinderkoordinaten des Punktes (,y,z). emerkung Einem Paar (r,ϕ,z) C wird durch T Zylinder also der Punkt (,y,z) D mit = r cosϕ, y = r sinϕ, z = z (12.3.7) zugeordnet. Mit gilt C 1 := {(r,ϕ,z) R 3 : r 0, 0 ϕ 2π} D 1 := T Zylinder [C 1 = R 3. Wie bei den Polarkoordinaten müssen wir C 1 und damit D 1 einschränken, um eine zulässige oordinatenfunktion zu erhalten. Mit C 0 := {(r,ϕ,z) R 3 : r > 0, 0 < ϕ < 2π, z R}, D 0 := T Zylinder [C 0 ist T Zylinder bijektiv von C 0 auf D 0. Weiter gilt cosϕ r sinϕ 0 detj TZylinder (r,ϕ,z) = sinϕ r cosϕ = r > 0 für (r,ϕ,z) C 0, so daß T Zylinder eine zulässige oordinatenfunktion auf D 0 ist. Die oordinatenflächen von T Zylinder im,y,z-raum sind z r y ϕ 305

22 r = r 0 : ϕ = ϕ 0 : z = z 0 : Zylinder um die z-achse, Halbebenen mit der z-achse als Rand, Ebenen parallel zur,y-ebene. Die Transformationsformel (12.3.2) lautet für Zylinderkoordinaten: D f (,y,z)d(,y,z) = C T Zylinder [C = D. f (r cosϕ,r sinϕ,z) r d(r,ϕ,z), (12.3.8) emerkung Die Mengen C 1 \C 0 und D 1 \D 0 sind R 3 -Nullmengen, so daß (12.3.8) nach emerkung für beliebige, Riemann-meßbare Menge D (und C) in R 3 gilt. Formel (12.3.8) eignet sich besonders zur Integration über aialsymmetrische räumliche Mengen (Rotationskörper bezüglich der z-achse). Für räumliche Mengen, welche aialsymmetrisch bezüglich einer anderen Achse sind, kann man eine entsprechende Drehung verwenden. eispiel Wir kommen auf eispiel zurück. Der dort beschriebene, mit Masse der Dichte ρ(, y, z) = z belegte örper ist ein Rotationskörper bezüglich der z- Achse. Die gesuchte Masse m = z d(,y,z) soll nun mittels Zylinderkoordinaten berechnet werden. eschreibung von F 1 = {(,yz): z 3( 2 + y 2 )} in Zylinderkoordinaten: und damit z 3(r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ) T 1 Zylinder [F 1 = {(r,ϕ,z) R 3 : r 0, 0 ϕ 2π, z 3r 2 }. eschreibung der Vollkugel F 2 = {(,y,z): 2 + y 2 + z 2 4} in Zylinderkoordinaten: und damit r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ + z 2 4 T 1 Zylinder [F 2 = {(r,ϕ,z) R 3 : 0 r 2, 0 ϕ 2π, z 2 4 r 2 }. 306

23 12.3 Integration mittels oordinatentransformation Hiermit ergibt sich, daß die Menge C := {(r,ϕ,z) R 3 : 0 r 1, 0 ϕ 2π, 3r 2 z 4 r 2 } durch T Zylinder auf abgebildet wird. (eachte den richtigen Durchschnitt!)Also gilt mit (12.3.8) [ 2π [ 1 4 r 2 m = zr d(r,ϕ,z) = ϕ=0 r=0 z= zr dz dr dϕ 3r2 C 2π [ 1 1 = 2 (4 r2 3r 4 )r dr dϕ = 5π 4 = ϕ=0 r=0 Im letzten eispiel ist F Zylinder in ugelkoordinaten die oordinatenfläche r = 2, so daß man auch an die Verwendung von ugelkoordinaten denken könnte. Hat man aber die Wahl zwischen diesen und Zylinderkoordinaten, so wird man in der Regel letztere wählen, da ihr Zusammenhang mit kartesischen oordinaten einfacher ist. Natürlich ist bei dieser Entscheidung auch der Integrand zu beachten. Wäre im eispiel etwa die Dichte ρ(,y,z) = 2 + y 2 + z 2, so würde man ugelkoordinaten wählen. eispiel Gegeben sei in der,z-ebene der Normalbereich bezüglich der z-achse = {(,z) R 2 : z 1 z z 2, g(z) h(z)}. z ei Rotation von um die z-achse entsteht ein Rotationskörper D. In Zylinderkoordinaten wird D beschrieben durch C = {(r,ϕ,z) R 3 : z 1 z z 2, 0 ϕ 2π, g(z) r h(z)}, z 2 z 1 g S h d.h., es ist T Zylinder [C = D. Für das Volumen V (D) gilt V (D) = d(,y,z) = D C r d(r,ϕ,z) = z2 z=z 1 [ h(z) r=g(z) s [ 2π r dϕ dr dz. ϕ=0 Nach Integration über ϕ gilt weiter z2 V (D) = 2π = 2π z=z 1 [ h(z) r dr r=g(z) d(,z) = 2πA () z2 dz = 2π z=z 1 1 A () [ h(z) d =g(z) d(,z). dz 307

24 Hierbei ist A () der Flächeninhalt von. Mit ( ) folgt schließlich die 2. Guldin- Regel V (D) = 2π s A (), also Volumen des Rotationskörpers D ist gleich dem Weg des geometrischen Schwerpunktes von mal Flächeninhalt von. 308