Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008

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1 1 / 48 Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III

2 2 / 48 Wiederholung Potentialfelder, Stammfunktionen für Vektorwertige Abbildungen 1. Hauptsatz für Kurvenintegrale 2. Hauptsatz für Kurvenintegrale

3 Beispiel Berechnen Sie eine Stammfunktion für V 1 (x,y,z) V(x,y,z) = V 2 (x,y,z) := V 3 (x,y,z) auf dem Gebiet G = R 3! y 2 cosx 2ysinx + e 2z 2ye 2z 3 / 48

4 4 / 48 Beispiel Das Gebiet G = R 3 ist einfach zusammenhängend. Jacobimatrix von V ist: J V = J V = V 1 x V 2 x V 3 x V 1 y V 2 y V 3 y V 1 z V 2 z V 3 z y 2 sinx 2ycosx 0 2ycosx 2sinx 2e 2z 0 2e 2z 4ye 2z

5 5 / 48 Berechnung der Stammfunktion Es gibt eine Funktion f (x,y,z) mit f x f = = f y f z f x f y f z = 1. f x = y 2 cosx = f = y 2 sin x + c(y,z) y 2 cosx 2ysinx + e 2z 2ye 2z = V 2. f y = 2ysin x + c y (y,z) = 2ysinx + e 2z = c y (y,z) = e 2z = c(y,z) = ye 2z + d(z) 3. f z = ( y 2 sin x + ye 2z + d(z) ) z = 2ye2z + d (z) = 2ye 2z = d (z) = 0 = d(z) = d = const 4. f (x,y,z) = y 2 sin x + ye 2z + d

6 6 / 48 Flächen Integration auf Flächen

7 Flächen Wie stellt man formelmäßig eine Fläche im R 3 dar? Beispiel: Die Oberfläche einer Halbkugel mit Radius R Implizite Darstellung: x O = { y x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z 0} = z x { y f (x,y,z) = 0, z 0} z 7 / 48

8 8 / 48 Flächen Graph einer Funktion: O ist der Graph der Funktion z = f (x,y) = R 2 x 2 y 2 auf der Menge D = {(x,y) R 2 x 2 + y 2 R 2 } O = { (Explizite Darstellung) x y f (x,y) (x,y) D}

9 Flächen Parameterdarstellung: Den Torus kann man nicht explizit darstellen. Jedem Punkt (x, y) entsprechen zwei z-koordinaten. Parameterdarstellung der Halbkugel: O = { r cos ϕ r sin ϕ R 2 r 2 0 r R, 0 ϕ < 2π} 9 / 48

10 10 / 48 Bereiche Für die Integration müssen die Definitionsbereiche der Parameterdarstellungen von Flächen einigermaßen regulär sein. Definition: Eine Teilmenge D R 2 heißt ein regulärer Bereich, wenn gilt - D ist abgeschlossen. - Der Rand D besteht aus einer stückweise glatten geschlossenen Kurve ohne Doppelpunkte. - Das Innere D von D ist ein Gebiet. Für die Integration sind auch noch Bereiche der Form D \ N zulässig, wo D ein regulärer Bereich und N eine Nullmenge ist.

11 11 / 48 Bereiche x- und y-projizierbare Mengen mit stetig differenzierbaren Randfunktionen x(y) < x(y) bzw. y(x) < y(x) sind reguläre Bereiche.

12 Flächen Definition: Eine Teilmenge S R 3 heißt eine Fläche, wenn es einen regulären Bereich D R 2 und eine stetige Abbildung x : D R 3 gibt, so dass S = { x(u,v) (u,v) D} x(u, v) heißt eine Parameterdarstellung von S. Bezeichnungen: x(u,v) = x 1 (u,v) x 2 (u,v) x 3 (u,v) oder x(u, v) = x(u, v) y(u, v) z(u, v) 12 / 48

13 13 / 48 Glatte Flächen Definition: Eine Fläche S = { x(u,v) R 3 (u,v) D} heißt eine glatte Fläche wenn sie eine Parameterdarstellung x(u, v) auf einem regulären Bereich D mit den folgenden Eigenschaften besitzt: 1. Es gibt ein Gebiet G D, so dass x(u,v) auf G stetig partiell differenzierbar ist. 2. Für je zwei beliebige Punkte (u,v) (u,v ) aus D gilt x(u,v) x(u,v ). 3. Für die Vektoren x u (u,v) = x 1 u (u,v) x 2 u (u,v) x 3 u (u,v) und x v (u,v) = und alle (u,v) D gilt x u (u,v) x v (u,v) 0. x 1 v (u,v) x 2 v (u,v) x 3 v (u,v)

14 14 / 48 Glatte Flächen Erläuterungen: zu 1. x muss auch in einer Umgebung des Rands von D stetig partiell differenzierbar sein. zu 2. Zwischen den Punkten aus D und denen der Fläche besteht eine eineindeutige Beziehung. Eine Fläche, die sich selbst durchschneidet, ist damit ausgeschlossen.

15 15 / 48 Glatte Flächen zu 3. Für festes v heißt die Kurve u x(u,v) die Parameterlinie v = const Für festes u heißt die Kurve v x(u,v) die Parameterlinie u = const x u (u 0,v 0 ) bzw. x v (u 0,v 0 ) sind Tangentialvektoren an die Parameterlinien v = const bzw. u = const im Punkt x(u 0,v 0 ) S.

16 Glatte Flächen zu 3. Die Eigenschaft x u (u,v) x v (u,v) 0 besagt, dass die Tangentialvektoren in jedem Punkt linear unabhängig sind. Die von den beiden Tangentialvektoren aufgespannte Ebene mit der Parameterdarstellung v(λ,µ) = λ x u (u 0,v 0 ) + µ x v (u 0,v 0 ) ist die Tangentialebene an die Fläche im Punkt x(u 0,v 0 ) S. 16 / 48

17 Glatte Flächen Der Vektor x u (u,v) x v (u,v) ist orthogonal zu x u (u,v) und zu x v (u,v) und zwar so, dass die drei Vektoren ein Rechtssystem bilden. Der normierte Vektor n(u,v) = x u(u,v) x v (u,v) x u (u,v) x v (u,v) heißt Flächennormale im Punkt x(u, v) S. 17 / 48

18 Stückweise glatte Flächen Rand einer glatten Fläche S: S := { x(u,v) (u,v) D} Eine stückweise glatte Fläche S ist die Vereinigung endlich vieler glatter Flächenstücke S i, von denen je zwei längs einem oder mehrerer gemeinsamer Randstücke aneinanderstoßen, aber sonst keine anderen Punkte gemeinsam haben. Der Rand S wird aus allen Randstücken gebildet, die nur zu einem der glatten Flächenstücke gehören. Ist S = /0, so heißt S geschlossen. 18 / 48

19 19 / 48 Beispiele zu Flächen Graphen: für (x,y) D x x = x(x,y) = 1 0 h x x y h(x, y), x y = 0 1 h y, x x x y = h x h y 1

20 20 / 48 Drehflächen Eine glatte Kurve ohne Doppelpunkte x(t) t 0 z(t) mit t 0 t t 1 und x(t) > 0 in der x-z- Ebene wird um die z-achse gedreht. Bei einer Drehung um den Winkel ϕ, 0 ϕ < 2π ergibt sich der Punkt cos ϕ sin ϕ 0 x(t) x(t)cos ϕ x(t,ϕ) = sin ϕ cos ϕ 0 0 = x(t)sin ϕ z(t) z(t)

21 21 / 48 Drehflächen x(t,ϕ) = x(t)cos ϕ x(t)sin ϕ z(t) Die Parameterlinien t = const heißen Breitenkreise, die Parameterlinien ϕ = const heißen Meridiane.

22 22 / 48 Drehflächen x(t,ϕ) = x(t)cos ϕ x(t)sin ϕ z(t), x t (t,ϕ) = x(t)cos ϕ x(t)sin ϕ z(t) x ϕ (t,ϕ) = x(t)sin ϕ x(t)cos ϕ 0, x t x ϕ = xżcos ϕ xżsin ϕ xẋ Die Voraussetzung x(t) > 0 ist erforderlich, damit die Regularitätsbedingung x t x ϕ = x 2 (ẋ 2 + ż 2 ) > 0 erfüllt ist.

23 23 / 48 Drehflächen Bei einer vollen Umdrehung fallen die Meridiane ϕ = 0 und ϕ = 2π zusammen. Die gesamte Drehfläche ist in diesem Fall nur stückweise glatt. Man setzt sie z.b. aus den beiden glatten Flächenstücken mit 0 ϕ π und π ϕ 2π zusammen.

24 24 / 48 Der Kegelstumpf Mantelfläche des Kegelstumpfs: x(t) = t, z(t) = b(1 t a ) a 0 t a. x(t,ϕ) = t cos ϕ t sin ϕ b(1 t a ) x t x ϕ =, a 0 t a, 0 ϕ 2π xżcos ϕ xżsin ϕ xẋ = b a t cos ϕ b a t sin ϕ t

25 25 / 48 Der Zylinder Mantelfläche des Zylinderstumpfs: x = r, z 0 z z 1 x(t,ϕ) = r cos ϕ r sin ϕ z x t x ϕ =, z 0 z z 1, 0 ϕ 2π xżcos ϕ xżsin ϕ xẋ = r cos ϕ r sin ϕ 0

26 26 / 48 Die Sphäre Oberfläche der Kugel mit Radius r: x(ψ) = r sin ψ, z(ψ) = r cos ψ 0 ψ π x(ψ,ϕ) = r sin ψ cos ϕ r sin ψ sin ϕ r cos ψ, 0 ψ π, 0 ϕ 2π x t x ϕ = xżcos ϕ xżsin ϕ xẋ = r 2 sin 2 ψ cos ϕ r 2 sin 2 ψ sin ϕ r sin ψ cos ϕ = (r sin ψ) x(ψ,ϕ)

27 27 / 48 Die Sphäre Das Vektorprodukt x t x ϕ = (r sin ψ) x(ψ,ϕ) ist an den Stellen ψ = 0 (Nordpol) und ψ = π (Südpol) gleich dem Nullvektor. Da die beiden Punkte eine Nullmenge darstellen, stört das nicht.

28 28 / 48 Der Torus Die Ringfläche entsteht durch Drehung des Kreises x(ψ) = R + r sin ψ, z(ψ) = r cos ψ 0 ψ 2π mit festen inneren und äußeren Radien r und R. x(ψ,ϕ) = (R + r sin ψ)cos ϕ (R + r sin ψ)sin ϕ r cos ψ, 0 ψ 2π, 0 ϕ 2π Der Torus ist eine stückweise glatte Fläche mit leerem Rand.

29 29 / 48 Die Wendelfläche Die Wendelfläche entsteht durch Schraubung einer Geraden, die die Schraubachse senkrecht schneidet. x(r,ϕ) = r cos ϕ r sin ϕ aϕ, r 0 r r 1, ϕ 0 ϕ ϕ 1

30 Das Vektorprodukt Für die Darstellung von Flächenintegralen benötigen wir einige Eigenschaften des Vektorprodukts, die im ersten Semester hergeleitet wurden. Definition: Für zwei Vektoren a = (a 1,a 2,a 3 ) und b = (b 1,b 2,b 3 ) heißt a b := das Vektorprodukt von a und b a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 30 / 48

31 31 / 48 Rechenregeln (1) a a = 0 (2) (λ a) b = a (λ b) = λ( a b) (3) a und b sind genau dann linear abhängig, wenn a b = 0 (4) ( a + b) c a ( b + c) = a c + b c = a b + a c (5) a b = b a (6) Das Assoziativgesetz ist für das Vektorprodukt i.a. nicht erfüllt

32 32 / 48 Rechenregeln (7) a b ist orthogonal zu a und zu b (8) Sind a und b linear unabhängig, so bilden a, b und a b eine positiv orientierte Basis. (9) a b 2 = a 2 b 2 ( a b) 2 Für die Tangentialvektoren x u und x v einer Fläche heißen E := x u 2, F := x u x v und G := x v 2 die metrischen Fundamentalgrößen. Es ist daher x u x v = EG F 2

33 33 / 48 Geometrische Interpretation a und b seien linear unabhängig. a b = a b sin(α) = a b sin(α) a b ist die Fläche des durch a und b beschriebenen Parallelogramms.

34 34 / 48 Das Spatprodukt Für drei beliebige Vektoren a, b, c des R 3 heißt die reelle Zahl a ( b c) das Spatprodukt aus a, b und c Spat (oder Parallelepiped) Der Absolutbetrag a ( b c) ist das Volumen des Spats.

35 Der Flächeninhalt Wie berechnet man den Flächeninhalt einer glatten Fläche S = { x(u,v) (u,v) D}? Wir betrachten einen rechteckigen regulären Bereich D = {(u,v) a u b, c v d} Durch Zerlegungen der Intervalle [a, b] und [c, d] Z 1 : a = u 0 < u 1 <...u m = b Z 2 : c = v 0 < v 1 <...v n = d wird D in Teilrechtecke G ij = {(u,v) u i u u i+1, v j v v j+1 } unterteilt, denen die Flächenstücke S ij = { x(u,v) (u,v) G ij } entsprechen. 35 / 48

36 Der Flächeninhalt 36 / 48

37 37 / 48 Der Flächeninhalt Das Flächenstück S ij wird approximiert durch das entsprechende Teilstück der Tangentialfläche an S im Punkt x(u i,v j ) F ij = { v(s,t) = x + s x u + t x v ) 0 s u i+1 u i, 0 t v j+1 v j } wobei x, x u und x v jeweils an der Stelle (u i,v j ) ausgewertet werden:

38 38 / 48 Der Flächeninhalt Aus der Taylorentwicklung von x folgt, daß wegen x(u i + s,v j + t) v(s,t) = x(u i,v j ) + s x u (u i,v j ) + t x v (u i,v j ) die Fläche S ij für kleine Bereiche G ij gut durch F ij approximiert wird. Mit u i = u i+1 u i und v j = v j+1 v j ist F ij das von den Vektoren u i x u (u i,v j ) und v j x v (u i,v j ) aufgespannte Parallelogramm. Der Flächeninhalt von F ij ist daher gegeben durch F ij = ( u i x u (u i,v j )) ( v j x v (u i,v j )) = x u (u i,v j ) x v (u i,v j ) u i v j

39 39 / 48 Der Flächeninhalt Die Summe aller dieser Flächeninhalte ist ein Näherungswert für den Flächeninhalt von S, wobei die Näherung mit wachsender Feinheit der Zerlegung immer besser wird. Falls der Grenzwert existiert: lim x u (u i,v j ) x v (u i,v j ) u i v j = Z 1 0, Z 2 0 i,j x u (u,v) x v (u,v) d(u,v) stellt er den Flächeninhalt von S dar. D

40 Der Flächeninhalt Definition: Ist D R 2 ein regulärer Bereich und S = { x(u,v) (u,v) D} eine glatte Fläche, so existiert das Integral S ds := und heißt der Flächeninhalt von S. D x u (u,v) x v (u,v) d(u,v) 40 / 48

41 Der Flächeninhalt Anmerkungen 1. ds = x u (u,v) x v (u,v) d(u,v) nennen wir infinitesimales Flächenelement. 2. Mit den metrischen Fundamentalgrößen E := x u 2, F := x u x v und G := x v 2 lautet die Berechnungsformel für den Flächeninhalt ds := EG F 2 d(u,v) S D 3. Ist S eine stückweise glatte Fläche, die aus den glatten Flächenstücken S 1,S 2,...,S m zusammengesetzt ist, so definieren wir S ds := ds + ds ds S 1 S 2 S m 41 / 48

42 42 / 48 Beispiel: Oberfläche eines Graphen für (x,y) D x x = x(x,y) = 1 0 h x S x y h(x, y), x y = ds = D 0 1 h y, x x x y = 1 + h 2 x(x,y) + h 2 y(x,y)d(x,y) h x h y 1

43 Beispiel: Drehflächen Eine glatte Kurve ohne Doppelpunkte x(t) t 0 z(t) mit t 0 t t 1 und x(t) > 0 in der x-z- Ebene wird um die z-achse gedreht. 43 / 48

44 44 / 48 Beispiel: Drehflächen x(t,ϕ) = x(t)cos ϕ x(t)sin ϕ z(t), x t (t,ϕ) = x(t)cos ϕ x(t)sin ϕ z(t) x ϕ (t,ϕ) = x(t)sin ϕ x(t)cos ϕ 0, x t x ϕ = xżcos ϕ xżsin ϕ xẋ

45 45 / 48 Beispiel: Drehflächen Wegen x t x ϕ = x 2 (ẋ 2 + ż 2 ) = x ẋ 2 + ż 2 lautet die allgemeine Formel für den Flächeninhalt S ds = t1 ϕ1 t 0 ϕ 0 x(t) ẋ 2 (t) + ż 2 (t)dϕdt = t1 (ϕ 1 ϕ 0 ) x(t) ẋ 2 (t) + ż 2 (t)dt t 0 für 0 ϕ 0 < ϕ 1 2π.

46 46 / 48 Beispiel: Kugeloberfläche x(ψ,ϕ) = r sin ψ cos ϕ r sin ψ sin ϕ r cos ψ, 0 ψ π, 0 ϕ 2π

47 47 / 48 Beispiel: Kugeloberfläche x ψ x ϕ = wobei xżcos ϕ xżsin ϕ xẋ = r 2 sin 2 ψ cos ϕ r 2 sin 2 ψ sin ϕ r 2 sin ψ cos ψ = (r sin ψ) x(ψ,ϕ) (r sin ψ) x(ψ,ϕ) = r sin ψ x(ψ,ϕ) = r 2 sin ψ S ds = π 2π 0 0 π r 2 sin ψ dϕdψ = 2πr 2 sin ψ dψ = 4πr 2 0

48 48 / 48 Beispiel: Oberfläche eines Torus x(ψ,ϕ) = (R + r sin ψ)cos ϕ (R + r sin ψ)sin ϕ r cos ψ S, 0 ψ 2π, 0 ϕ 2π ds = 4π 2 rr