Wochenaufgaben: Teil 1

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1 Fachrichtung Mathematik Wochenaufgaben: Teil 1 Wiederholen Sie Kapitel 13 und Abschnitt (Fernstudenten: Teil 3, A1, A3, A5.1 bzw. Kapitel 12 und Abschnitt meines Skriptes). 1. Was ist eine gewöhnliche Differentialgleichung? 2. Wann nennt man eine Funktion Lösung einer Differentialgleichung? 3. Was sind Anfangs- und Randwertprobleme? 4. Wie löst man eine skalare Differentialgleichung erster Ordnung durch Trennung der Variablen? 5. Was ist eine lineare Differentialgleichung? 6. Was ist das Superpositionsprinzip und was besagt es für die Struktur der Lösungsmenge? 7. Wann sind n Vektoren linear unabhängig? 8. Wann sind n Funktionen f i : I X linear unabhängig? 9. Wann sind n Lösungen einer linearen Differentialgleichung linear unabhängig? 1. MINÖL 24.1 a) bis e) 2. MINÖL 24.7 g) bis j) 3. MINÖL I, II 4. MINÖL 25.4

2 Fachrichtung Mathematik Wochenaufgaben: Teil 2 Wiederholen Sie Abschnitt (Fernstudenten: Teil 3, A5.2 bzw. Abschnitt meines Skriptes). 1. Was ist eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung, wann heißt sie homogen, wann inhomogen? 2. Aus wieviel Funktionen besteht ein Fundamentalsystem von Lösungen? 3. Wann nennt man sie eine Differentialglieuchung mit konstanten Koeffizienten? 4. Wie erhält man das charakteristische Polynom? 5. Welche Information erhält man aus der Existenz einer einfachen reellen Lösung dieser Gleichung? 6. Welche Lösungen gehören zu einer reellen (bzw. nicht-reellen), m-fachen Nullstelle des charakteristischen Polynoms? 7. Wie lautet das Gleichungssystem und die explizite Integraldarstellung zur Bestimmung der Koeffizienten bei der Methode der Variation der Konstanten? 8. Für welche Störfunktionen können wir die Methode der Ansatzfunktionen verwenden? 9. Was kann uns dabei das Superpositionsprinzip helfen? 10. Was ist ein Resonanzfall und was ist dann zu beachten? 1. MINÖL 25.7 a bis g und j bis l 2. MINÖL 25.9 a, b 3. MINÖL b, d, f, g, h

3 Fachrichtung Mathematik Wochenaufgaben: Teil 3 Wiederholen Sie Abschnitt (Fernstudenten: Abschnitt meines Skriptes). 1. Was sind Randwertprobleme? Auf welche algebraischen Probleme führen sie und wie sehen da verschiedene Fälle der Lösbarkeit aus? 2. Was ist ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten? 3. Wie ist die Matrixexponentialfunktion definiert? Welche Eigenschaften hat sie mit der Exponentialfunktion gemeinsam, welche nicht? 4. Was ist der Zusammenhang zwischen Matrixexponentialfunktion zu Matrix A und Fundamentalmatrix zum Differentialgleichungssystem ẋ = Ax? 5. Wann existiert eine Basis aus Eigenvektoren einer Matrix? In welchen Fall hilft uns dies (wie?) bei der Bestimmung der Exponenentialmatrix? 6. Mit welchem Verfahren kann man (wie?) bei Kenntnis der Eigenwerte Exponenentialmatrix berechnen? 7. Wie bestimmt man bei Kenntnis einer Fundamentalmatrix die Lösung eines inhomogenen Differentialgleichungssystems? 1. MINÖL 25.1 b, f 2. MINÖL a, b 3. MINÖL 26.1 a bis d 4. MINÖL 26.2 a bis c (Gesucht ist Fundamentalmatrix [Exponentialmatrix]) 5. MINÖL 26.2 e, f (Gesucht ist Fundamentalmatrix [Exponentialmatrix] und Variation der Konstanten)

4 Fachrichtung Mathematik Wochenaufgaben: Teil 4 Wiederholen Sie die Abschnitte 9.2, 16.1 (Fernstudenten: Abschnitt 14.1, 14.3 meines Skriptes). 1. Was ist eine Kurve bzw. ihre Parametrisierung? Wann ist eine Kurve (stückweise) regulär? Was sind doppelpunktfreie bzw. geschlossene Kurven? 2. Wie ist die Länge einer Kurve definiert und wie berechnet man diese? Was ist die Bogenlänge? 3. Was ist ein Kurvenintegral (erster Art) von f längs einer Kurve C? Wie berechnet man das Integral? Ist es abhängig von der Parametrisierung der Kurve? Was sind typische Anwendungen? 4. Was ist ein orientiertes Kurvenstück und wie ist ein Kurvenintegral zweiter Art von f längs einer orientierten Kurve +C definiert? Wie wird dieses Integral berechnet? Was sind typische Anwendungen? 5. Was bedeutet die Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen zweiter Art? Wann liegt Wegunabhängigkeit vor? Wie kann dies zur Berechnung von Kurvenintegralen zweiter Art genutzt werden? 6. Was ist eine Stammfunktion eines Vektorfeldes? Für welche Vektorfelder existieren Stammfunktionen? Wie berechnet man Stammfunktionen und wie kann man sie zur Brechnung von Kurvenintegralen zweiter Art nutzen? 1. MINÖL 22.1 a b f g, 22.2 a bis d 2. MINÖL 22.3 a, d, e (Für die Schwerpunktkoordinaten sind die Kurvenintegrale erster Art über f 1 (x,y,z) = x, f 2 (x,y,z) = y, f 3 (x,y,z) = z zu berechnen) 3. MINÖL 22.6 a bis d, 22.7 a bis f ( totales Differential einer Funktion Φ entspricht Gradient einer Stammfunktion Φ )

5 Fachrichtung Mathematik Dresden, 2. November 2004 Wochenaufgaben: Teil 5 Wiederholen Sie die Abschnitte 16.2 (Fernstudenten: Abschnitt 14.4 meines Skriptes). 1. Was ist ein reguläres Flächenstück? Wie sieht eine Parameterdarstellung aus? 2. Wie ist Flächeninhalt eines Flächenstückes definiert? Wie steht er in Zusammenhang zum Flächeninhalt eines ebenen Parallelogramms? Wie geschieht die Ausdehnung des Flächeninhaltsbegriffes auf geeignete, nicht-reguläre Flächenstücke? 3. Was ist ein Oberfächenintegral erster Art und was sind häufige Anwedungen dieses Begriffes? Wie lautet das Flächenelement ds bei in Abhängigkeit von der Parametriserung? Welches Integrationsproblem ergibt sich? 4. Wie ist die Einheitsnormalenrichtung an ein parametrisiertes Flächenstück definiert? Was bilden die Vektoren ϕ u (u,v), ϕ v (u,v), n(u,v) in dieser Reihenfolge? 5. Was ist ein Oberfächenintegral zweiter Art und was sind häufige Anwendungen dieses Begriffes? Als welche Determinaten kann der Integrand im parametrisierten Integral geschrieben werden? Wie lautet das Flächenelement ds in Abhängigkeit von der Parametriserung? Welches Integrationsproblem ergibt sich? 1. MINÖL 22.8 a bis f; 22.9a 2. MINÖL a, b; 22.12a

6 Fachrichtung Mathematik Dresden, 2. November 2004 Wochenaufgaben: Teil 6 Wiederholen Sie Kapitel 17 (Fernstudenten: Kapitel 15 meines Skriptes). 1. Wie sind die Differentialoperatoren der Vektoranalysis definiert und wie berechnet man sie? 2. Auf welche Funktionen sind sie anwendbar und wann ist die sich ergebende Ableitungsfunktion skalar- bzw. vektorwertig? 3. Was ist eine Menge mit glattem Rand? Was ist eine kohärente Orientierung von Fläche und ihrem Rand? 4. Was sind Anwendungsgebiete der Gaußschen Integralsätze? 5. Was sind Anwendungsgebiete des Stokesschen Integralsatzes? 1. Ü2 19.2; 19.3; 2. Ü ; Ü2 23.1; 23.2; 23.3; 23.5; Ü a, d; 23.9; 23.10

7 Fachrichtung Mathematik Dresden, 2. November 2004 Wochenaufgaben: Teil 7 Wir haben nun im Prinzip den Stoff von Mathe 3 wiederholt. Denken Sie daran, sich ein A4-Blatt mit wesentlichen Formeln, Sätzen und Hinweisen für die Klausur zu erarbeiten. Damit Sie im Stoff bleiben, nun einige weitere Aufgaben zur ständigen Festigung des Stoffes. Verwendenen Sie dazu keine Unterlagen außer Ihrem A4-Blatt! (Einige Aufgaben könnten Sie früher schon mal bearbeitet haben, versuchen Sie trotzdem, die Aufgaben selbständig zu lösen.) 1. Integralrechnung: Ü a,b 2. Differentialgleichung 1. Ordnung: Ü g,i 3. Differentialgleichung höherer Ordnung: Ü a,b 4. Anfangswertaufgabe: Ü a 5. Randwertaufgabe: Ü aβ

8 Fachrichtung Mathematik Dresden, 2. November 2004 Wochenaufgaben: Teil 8 Denken Sie daran, sich ein A4-Blatt mit wesentlichen Formeln, Sätzen und Hinweisen für die Klausur zu erarbeiten. Hier nun einige weitere Aufgaben zur ständigen Festigung des Stoffes. Verwendenen Sie dazu keine Unterlagen außer Ihrem A4-Blatt! (Einige Aufgaben könnten Sie früher schon mal bearbeitet haben, versuchen Sie trotzdem, die Aufgaben selbständig zu lösen.) 1. Differentialgleichungssystem: Ü e 2. Kurvenintegral: Ü d 3. Oberflächenintegral: Ü i; a 4. Integralsätze: Ü2 23.1; 23.8 a; 23.9