Mathematischer Einführungskurs für die Physik
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- Lena Giese
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1 Siegfried Großmann Mathematischer Einführungskurs für die Physik 9., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 123 Figuren, über 110 Beispielen und 233 Selbsttests mit Lösungen STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER
2 Inhalt 1. Vektoren 1.1. Definition von Vektoren Skalare Vektoren Vorläufiges Bezugssysteme Komponenten Koordinatentransformationen Vektordefinition Tensoren Addition von Vektoren und Multiplikation mit Zahlen Addieren und Subtrahieren Übungen zum Selbsttest: Vektoraddition Multiplikation von Vektoren mit Zahlen Komponentendarstellung der Vektoren Einheitsvektoren Komponenten Umrechnung zwischen Komponenten- und Pfeildarstellung Rechenregeln in Komponentendarstellung Addition und Subtraktion Multiplikation mit Zahlen Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Vektoralgebra Das Innere Produkt von Vektoren Definition Eigenschaften des Inneren Produktes Beispiele zur übenden Erläuterung Algebraische Definition des Vektorraumes Übungen zum Selbsttest: Inneres Produkt Koordinatentransformationen Die Transformationsmatrix Beschreibung einer Koordinatendrehung Zuordnung von Drehungen und Matrizen Determinante der Drehmatrix Die Transformationsformeln für Vektoren Beispiele zu übenden Erläuterung Die Transformationsformeln für Tensoren Übungen zum Selbsttest: Koordinatentransformationen Matrizen Definitionen Multiplikation von Matrizen Inverse Matrizen Matrizen - Tensoren - Transformationen Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Matrizen 60
3 8 Inhalt 1.6. Determinanten Definition Eigenschaften von Determinanten Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Determinanten Eigenwerte, Eigenvektoren Ein physikalisches Alltagsproblem Eigenwerte: Definition und Berechnung Beispiele zur übenden Erläuterung Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren Übungen zum Selbsttest: Eigenwerte und -Vektoren Das Äußere Produkt von Vektoren Definition Eigenschaften des Äußeren Produktes Komponentendarstellung des Äußeren Produktes, Transformationsverhalten Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Äußeres Produkt " Mehrfache Vektorprodukte Grundregeln Spatprodukt dreier Vektoren Entwicklungssatz für 3-fache Vektorprodukte n-fache Produkte Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Mehrfachprodukte Komplexe Zahlen Imaginäre Einheit i Definitionen und Rechenregeln im Komplexen : Die Polardarstellung Beispiele zur übenden Erläuterung Die komplexe Zahlenebene Übungen zum Selbsttest: komplexe Zahlen Vektorfunktionen 2.1. Vektorwertige Funktionen Definition Parameterdarstellung von Raumkurven Ableitung vektorwertiger Funktionen Definition der Ableitung Beispiele zur übenden Erläuterung Rechenregeln für die Vektordifferentiation Übungen zum Selbsttest: Ableitung von Vektoren 109
4 Inhalt Raumkurven Bogenmaß und Tangenten-Einheitsvektor Die (Haupt-)Normale Die Binormale Frenetsche Formeln für das begleitende Dreibein Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Raumkurven Felder 3.1. Physikalische Felder Allgemeine Definition Skalare Felder Vektor-Felder Übungen zum Selbsttest: Darstellung von Feldern Partielle Ableitungen Definition der partiellen Ableitung Beispiele - Rechenregeln - Übungen Die Kettenregel Übungen zum Selbsttest: Partielle Ableitungen Gradient Richtungsableitung Definition des Gradienten Interpretation und Rechenregeln Beispiele zur übenden Erläuterung Taylorentwicklung fllr Felder Übungen zum Selbsttest: Der Gradient Divergenz Definition der Divergenz von Vektorfeldern Beispiele und Rechenregeln Interpretation als lokale Wirbelstärke Übungen zum Selbsttest: Die Divergenz Rotation Definition der Rotation von Vektorfeldern Interpretation als lokale Wirbelstärke Eigenschaften und Rechenregeln der Operation rot Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Die Rotation Der Vektor-DifferentialoperatorV* (Nabla) Formale Zusammenfassung der Vektor-Differentialoperatoren durch ^ Zusammenfassende Übersicht der Eigenschaften von V* Übungen zum Selbsttest: Der Nabla-Operator 148
5 10 Inhalt 4. Integration 4.1. Physikalische Motivation Das Integral über Funktionen Definition des (bestimmten) Riemann-Integrals Eigenschaften des bestimmten Integrals Übungen zum Selbsttest: Riemannsummen Das unbestimmte Integral Einfache Integraltabelle Übungen zum Selbsttest: Integrale Methoden zur Berechnung von Integralen Substitution Partielle Integration Übungen zum Selbsttest: Substitution, partielle Integration Integral-Funktionen Numerische Bestimmung von Integralen Uneigentliche Integrale Definition uneigentlicher Integrale mit unendlichen Grenzen Beispiele zur übenden Erläuterung Singuläre Integranden Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Uneigentliche Integrale Parameterintegrale Differentiation eines Parameterintegrals Integration von Parameterintegralen Uneigentliche Parameterintegrale Übungen zum Selbsttest: Parameterintegrale Die 5-Funktion Heuristische Motivation : Definition der 8-Funktion Darstellung durch glatte" Funktionen Praktischer Umgang Übungen zum Selbsttest: 8-Funktion Vektorintegration 5.1. (Gewöhnliches) Integral über Vektoren Definition Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Integral über Vektoren Kurvenintegrale Definition Verfahren zur Berechnung Beispiele zur übenden Erläuterung 194
6 Inhalt Kurvenintegrale über Gradientenfelder: Unabhängigkeit vom Weg Wirbelfreiheit als Kriterium Beispiel Kurvenintegrale mit anderem Vektorcharakter: Skalare Felder, Vektorprodukte Übungen zum Selbsttest: Kurvenintegrale Das Vektorpotential Flächenintegrale Definition Beschreibung von Flächen im Raum Kartesische Parameter Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Übungen zum Selbsttest: Krummlinige Koordinaten Flächenelemente Doppelintegrale Definition Iterierte Integrale Übungen zum Selbsttest: Doppel integrale Wechsel der Variablen Parametertransformation Die Funktionaldeterminante Die Transformation von Flächenelementen Übungen zum Selbsttest: Variablentransformation Berechnung von Flächenintegralen Zusammenfassung der Formeln Beispiele zur übenden Erläuterung Flächenintegrale in Parameterdarstellung Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Flächenintegrale Volumenintegrale Definition Dreifachintegrale Wechsel der Variablen Funktionaldeterminante Transformation von Volumenelementen Vektorielle Volumenintegrale Beispiele zur übenden Erläuterung Übungen zum Selbsttest: Volumenintegrale Integralsätze 6.1. Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Flächenintegralen Integraldarstellung von div Integraldarstellung von $ allgemein Der Gaußsche Satz Herleitung und Formulierung 250
7 12 Inhalt Beispiele und Erläuterungen Allgemeine Form des Gaußschen Satzes Der Gaußsche Satz in D Dimensionen Partielle Integration mittels Gaußschem Satz Methode Beispiele Der Greensche Satz Übungen zum Selbsttest: Gaußscher Satz Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Kurvenintegralen Kurvenintegral-Darstellung von rot Kurvenintegral-Darstellung von ^allgemein Der Stokessche Satz Herleitung und Formulierung Beispiele und Erläuterungen Allgemeine Form des Stokesschen Satzes Der Stokessche Satz in D Dimensionen Übungen zum Selbsttest: Stokesscher Satz Die Integralsätze in D = 4 Dimensionen Krummlinige Koordinaten 7.1. Lokale Koordinatensysteme Das Linienelement in krummlinigen Koordinaten Krummlinig-orthogonale Koordinaten Zylinder- und Kugelkoordinaten als Beispiele Übungen zum Selbsttest: Krummlinig-orthogonale Koordinaten Systeme : Differentialoperatoren in krummlinig-orthogonalen Koordinaten ' grad, div, rot, A allgemein Die Formeln in Zylinderkoordinaten Die Formeln in Kugelkoordinaten Übungen zum Selbsttest: Differentialoperationen in krummlinigen Koordinaten Gewöhnliche Differentialgleichungen 8.1. Physikalische Motivation Lösen von Differentialgleichungen Trennung der Variablen Verfahren Beispiele zur übenden Erläuterung Separable Differentialgleichungen 290
8 Inhalt Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung Homogene Gleichungen Gekoppelte homogene Differentialgleichungen (N Variable) Inhomogene Differentialgleichungen Geometrische Methoden Chaos Iterative Lösungsverfahren (Algorithmen) Euler-Cauchysches Polygonzugverfahren Integralgleichungsverfahren Praxis iterativer Verfahren Übungen zum Selbsttest; Differentialgleichungen Randwertprobleme 9.1. Die Rolle der Randbedingungen; Eindeutigkeitssatz Bestimmung eines wirbelfreien Feldes aus seinen Quellen und Randwerten Feld einer Ladungsverteilung im unendlichen Raum Feld einer Iadungsverteilung bei endlichem Rand; Greensche Funktionen Wirbel- und quellenfreie Vektorfelder Bestimmung eines quellenfreien (inkompressiblen) Feldes aus seinen Wirbeln Wirbelfeld im unendlichen Raum Wirbelfeld im endlichen Bereich Der (Helmholtzsche) Hauptsatz der Vektoranalysis Vektordifferentialgleichungen ' Elektromagnetische Felder : Statistische Felder Feldgetriebene Ströme in Leitern Elektromagnetische Wellen Elastische Körper Flüssigkeitsströmungen Reduktion der Vektorpotentialgleichung auf eine Amplitudengleichung Zusammenfassung in Darstellungssätzen 344 Anhang Lösungen der Übungen zum Selbsttest 346 Kleine Literaturauswahl 359 Sachverzeichnis 360
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