Grundlagen und Praxis des Elektromagnetismus Nr
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- Hildegard Seidel
- vor 7 Jahren
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1 Reinhold-Würth-Hochschule Künzelsau Grundlagen und Praxis des Elektromagnetismus Nr Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Institut für schnelle mechatronische Systeme (ISM) Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 1
2 Mathematische Grundlagen Literaturempfehlungen: [1] Bourne; Kendall: Vektoranalysis; Teubner-Verlag [2] Bronstein; Semendjajew; Musiol; Mühlig: Tschenbuch der Mathematik; Verlag Harri Deutsch [3] Marsden; Tromba: Vector Calculus; Freemann and Company [4] Papula: Mathematik für Ingenieure; Vieweg-Verlag [5] Feynman; Leighton; Sands: The Lectures on Physics, Vol. II Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 2
3 Mathematische Grundlagen: Abhängigkeitsgraph Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 3
4 Mathematische Grundlagen: Inhaltsverzeichnis 1. Skalarfeld 2. Vektorfeld 3. Flächen 4. Integrale 5. Vektor - Rechenregeln Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 4
5 Mathematische Grundlagen: Inhaltsverzeichnis 1. Skalarfeld 2. Vektorfeld 3. Flächen 4. Integrale 5. Vektor - Rechenregeln Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 5
6 1. Skalarfeld Skalar / Skalarfeld: Ein Skalar eine mathematische Größe, die allein durch einen Zahlenwert bestimmt wird. Es wird angenommen, dass die zu betrachtende physikalische Größe eine skalare Funktion von mehreren Veränderlichen ist. Beispiele für Skalarfelder sind Temperatur, Dichte und Potenzial eines Körpers. Rosenbrock-Banana-Skalarfunktion Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 6
7 Mathematische Grundlagen: Inhaltsverzeichnis 1. Skalarfeld 2. Vektorfeld 3. Flächen 4. Integrale 5. Vektor - Rechenregeln Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 7
8 2. Vektorfeld Vektor / Vektorfeld: Ein Vektor ist eine mathematische, physikalische Größe, die durch einen Pfeil dargestellt wird und durch Angriffspunkt, Richtung und Betrag festgelegt werden kann. Vektoren können von mehreren Veränderlichen A=(x1, x2, x3, t) abhängig sein. Sind die Komponenten eines Vektors A Funktionen der drei Ortskoordinaten x1, x2, x3, so wird jedem Punkt des Raums eindeutig ein Vektor zugeordnet. Die Gesamtheit der Vektoren wird als Vektorfeld bezeichnet. Zur Veranschaulichung werden Feldlinienbilder (Feldbilder) verwendet. Feldlinien sind Kurven im Raum, die dadurch gekennzeichnet sind, dass sie in jedem Punkt des Raums tangential zu dem in diesem Punkt definierten Vektor des betrachteten Vektorfeldes verlaufen. Man erhält eine Feldlinie, wenn man von einem gegebenen Punkt des Raumes ein kleines Stück in Richtung des Feldstärkevektors voranschreitet, darauf hin erneut die Richtung des Feldstärkevektors bestimmt und anschließend daran wieder ein Stück weiterschreitet. Dieser Vorgang wiederholt sich. Feldlinien können sich aufgrund ihrer Definition nicht schneiden. Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 8
9 Mathematische Grundlagen: Inhaltsverzeichnis 1. Skalarfeld 2. Vektorfeld 3. Flächen 4. Integrale 5. Vektor - Rechenregeln Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 9
10 3. Flächen: offene, geschlossene Flächen Offene Fläche: Ein Fläche heißt offen, wenn zwei Punkte, die nicht auf der Fläche liegen, durch eine Kurve verbunden werden können. Geschlossene Fläche: Eine Fläche heißt geschlossen, wenn sie den Raum in zwei getrennte Räume (Bereiche) teilt. z geschlossene Fläche z offene Fläche y P 1 P 2 y x Beispiel: Fußball, Kugel, Kartoffel x Beispiel: Blatt Papier Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 10
11 3. Flächen: Orientierte Flächen Orientierte Flächen: Der Normalvektor n ist der Fläche im Sinne einer Rechtsgewindeschraube zugeordnet Daumen = Vektorrichtung verbleibende Finger = Umlauf der Flächenberandung Mit dieser Regel wird zwischen Außenseite und Innenseite unterschieden. Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 11
12 3. Flächen: Orientierte Flächen Flächengestaltungsmöglichkeiten: Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 12
13 3. Flächen: Orientierte Flächen Überführung einer offenen Fläche in eine geschlossene Fläche: Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 13
14 3. Flächen: Orientierte Flächen Zusammenfassung der Flächeneigenschaften: : Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 14
15 Mathematische Grundlagen: Inhaltsverzeichnis 1. Skalarfeld 2. Vektorfeld 3. Flächen 4. Integrale 5. Vektor - Rechenregeln Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 15
16 4. Flächen: Oberflächenintegral 1. Art Oberflächenintegral 1. Art: Das Oberflächenintegral 1. Art (1. Gattung) ist ein Integral über ein räumliches Flächenstück. Das Integral ist eine Funktion von drei Veränderlichen u = f(x,y,z), die in einem zusammenhängenden Gebiet definiert sein muss. Das Integral wird über eine allgemeingekrümmte Fläche genommen. Ist die Fläche S mit z=z(x,y) vorgegeben, dann gilt: wobei Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 16
17 4. Flächen: Oberflächenintegral 2. Art Oberflächenintegral 2. Art: Das Oberflächenintegral 2. Art ist das Integral über eine Projektion. Ein orientiertes Flächenstück S wird auf eine Koordinatenebene projiziert. Es entsteht die projizierte Fläche S_pr(x,y). Dieser Fläche kann ein Vorzeichen zugeordnet werden. Als Oberflächenintegral 2. Art wird eine Funktion von drei Veränderlichen f(x,y,z), die in einem zusammenhängendem Gebiet definiert ist, verstanden. Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 17
18 4. Integrale: Kurvenintegral 1. Art Kurvenintegral 1. Art: Numerische Berechnung Grenzübergang: folgt Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 18
19 4. Integrale: Kurvenintegral 1. Art Kurvenintegral 1. Art: Als Kurvenintegral 1. Art oder Integral über eine Bogenlänge wird das bestimmte Integral f(x,y) ist dabei eine skalare Funktion von zwei Veränderlichen und bildet damit den Integrationsweg K (Kurvenbogen). Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten. Das Bogenstück AB wird in n Teilbögen zerlegt. bezeichnet. Auswahl eines beliebigen Punktes im oder am Rand des Teilbogens. Die Teilbögen werden mit den Funktionswerten in den gewählten Punkten multipliziert. Addition aller so gewonnenen Produkte. Die Grenzwertbildung der Teilbögen führt zur Integraldarstellung. Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 19
20 4. Integrale: Kurvenintegral 1. Art im Vektorfeld Kurvenintegral im Vektorfeld: Das Kurven- oder Linienintegral einer Vektorfunktion wird über ein Bogenstück genommen. Das Bogenstück wird in Teilbögen zerlegt. Die Teilbögen werden durch die Vektoren angenähert. Es folgt die skalare Multiplikation der in den Punkten P ausgewählten funktionswerte mit Das Ergebnis ist ein Skalar. Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 20
21 4. Integrale: Kurvenintegral 1. Art im Vektorfeld Beispiel 1: Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 21
22 4. Integrale: Kurvenintegral 1. Art im Vektorfeld Beispiel 2: Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 22
23 4. Integrale: Kurvenintegral 1. Art im Vektorfeld Umlaufintegral eines Vektorfeldes: Fallen die beiden Punkte A und B zusammen, so wird das Linienintegral in ein Linienintegral über eine geschlossene Randkurve K oder auch Umlaufintegral überführt. W Das Ergebnis ist ein Skalar. Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 23
24 4. Integrale: Kurvenintegral 2. Art Kurvenintegral 2. Art: Als spezieller Fall des Kurvenintegrals 1. Art wird das Kurvenintegral 2. Art oder Integral über eine Projektion auf die x- oder y- Achse Der Pfad K liegt dabei in der z=0-ebene. Das Integral ist dabei die Fläche (Gartenzaun) unterhalb der Kurve. genannt. Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 24
25 4. Integrale: Einfachintegral Einfachintegral: Als Einfachintegral einer Funktion von einer Veränderlichen x wird der Ausdruck verstanden. Die Durchführung der Integration führt auf die Fläche, welche nach oben durch die Funktion, nach unten durch die Achse und links- und rechtsseitig durch die Integrationsgrenzen begrenzt wird. Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 25
26 4. Integrale: Doppelintegral Doppelintegral: Als Doppelintegral einer Funktion von zwei Veränderlichen über einem ebenen Flächenstück wird der Ausdruck verstanden. Die Berechnung des Doppelintegrals wird auf die nacheinanderfolgende Berechnung zweier Einfachintegrale zurückgeführt. Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 26
27 4. Integrale: Dreifachintegral Zusammenhang zwischen Rand- und der Flächenintegral: Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 27
28 4. Integrale: Dreifachintegral Dreifachintegral: Das Dreifachintegral ist eine Erweiterung des Integralbegriffs auf ein dreidimensionales Integrationsgebiet. Man spricht daher auch vom Volumenintegral mit dem Ausdruck Als Beispiel dient Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 28
29 Mathematische Grundlagen: Inhaltsverzeichnis 1. Skalarfeld 2. Vektorfeld 3. Flächen 4. Integrale 5. Vektor - Rechenregeln Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 29
30 5. Vektor - Rechenregeln Rechenregeln: Einheitsvektoren Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 30
31 5. Vektor - Rechenregeln Rechenregeln: Skalar- und Vektorprodukte Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 31
32 5. Vektor - Rechenregeln Rechenregeln: Differenzierung von Vektoren Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 32
33 5. Vektor Rechenregeln: Vektoroperator Gradient Definition : Gradient Grafische Deutung des Vektoroperators grad : Gegeben sei die skalare Ortsfunktion in kartesischen Koordinaten (x1,x2,x3) Der Vektor zeigt immer in Richtung des höchsten Anstiegs seiner skalaren Funktion. Das Ergebnis ist der Vektor grad. Beispiel: E = -grad Legende: E [V/m], elektrische Feldstärke [V], elektrisches Potenzial Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 33
34 5. Vektor - Rechenregeln : Vektoroperator Divergenz Definition: Divergenz Gegeben sei der Vektor B in kartesischen Koordinaten B(x1,x2,x3) Grafische Deutung des Vektoroperators div B: Ein Gebiet/Raum wird nach Quellen/Senken durchsucht. Das Ergebnis der Divergenzbildung ist das Skalar div B. Beispiel: Quellfreiheit des magnetischen Flusses div B = 0 Quellenbehaftung der statischen elektrischen Ladungsdichte div D = Legende: D [As/m²], Vektor Ladungssichte [As/m³], Skalar Raumladungsdichte div B > 0 div B = 0 (divergenzfrei) Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 34
35 5. Vektor - Rechenregeln : Vektoroperator Rotation Definition: Rotation Gegeben sei der Vektor B in kartesischen Koordinaten B(x1,x2,x3) Grafische Deutung des Vektoroperators rot B: Mit dem Operator der Rotation wird ein Vektorfeld bezügl. Wirbel untersucht. Beispiele für Wirbelfelder rot B 0 und rot v 0 sind Das Ergebnis der Rotationsbildung ist der Vektor rot B. Beispiel: rot H = J Legende: H [A/m], Vektor magnetische Feldstärke J [A/m²], Vektor Stromdichte Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 35
36 5. Vektor - Rechenregeln : Vektoroperator Rotation Beispiele für ein wirbelfreie Felder: rot E =0: elektrisches Feld einer rot v =0: Untersuchung einer idealen Punktladung mit zwei Integrationswegen. Rohrströmung ohne Rohrreibung Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 36
37 5. Vektor Rechenregeln: Nablaoperator Nablaoperator: Herkunft des Symbols Nabla Definition des Nablaoperators im kartesischen Koordinatensystem Hebräische Nabla-Harfe (Quelle: Internet) Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 37
38 5. Vektor Rechenregeln: Nablaoperator Vektor-Gradient in Nabla-Schreibweise im kartesischen Koordinatensystem: Vektor-Divergenzt in Nabla-Schreibweise im kartesischen Koordinatensystem: Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 38
39 5. Vektor Rechenregeln: Nablaoperator Vektor-Rotation in Nabla-Schreibweise im kartesischen Koordinatensystem: Zusammenfassung der Nablaoperatoranwendungen: Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 39
40 5. Vektor Rechenregeln: Fluss- Zirkulationsintegral Der Elektromagnetismus wird mit den beiden folgenden Integralen beschrieben: 1) Flussintegral 2) Zirkulationsintegral With just these two ideas - flux and circulation - we can describe all the laws of electricity and magnetism at once. You may not understand the significance of the laws right away, but they will give you some idea of the way the physics of electromagnetism will be ultimately described. Richard P. Feynman Physik Nobelpreisträger 1965 Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 40
41 5. Vektor Rechenregeln: Flussintegral 1) Flussintegral: Fluss = Vektornormalkomponente Fläche Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 41
42 5. Vektor Rechenregeln: Zirkulationsintegral 2) Zirkulationsintegral: Zirkulation = Vektortangentialkomponente Umfang Anwendung: Rechte-Hand-Regel Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 42
43 Reinhold-Würth-Hochschule Künzelsau Grundlagen und Praxis des Elektromagnetismus Nr Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Institut für schnelle mechatronische Systeme (ISM) Steinbeis Transferzentrum Magnetische Systeme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Seite 43
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