2. Vektorräume 2.1. Vektoren im R n. Vektoren sind gerichtete Groen, die durch ihre Lange (Betrag, Norm) und Richtung gekennzeichnet sind.

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1 . Vektorräume.. Vektoren im R n. Vektoren sind gerichtete Groen, die durch ihre Lange (Betrag, Norm) und Richtung gekennzeichnet sind. Physikalische Beispiele fur Vektoren: Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, elektrische und magnetische Feldstarke. Zu je zwei Punkten P und Q des Raumes gibt es genau eine Parallelverschiebung (des Raumes), die P nach Q bringt (abbildet). Diese Verschiebung wird mit v = P Q bezeichnet bzw. der Vektor hat den Anfangspunkt P und den Endpunkt Q. Vektoren, die durch Parallelverschiebung ineinander uberfuhrt werden konnen, werden als gleich angesehen (freie Vektoren). Den zu v gleich langen, aber entgegengesetzt gerichteten Vektor bezeichnet man mit v. Als Nullvektor bezeichnet man den Vektor 0 = P P (nichts wird verschoben)... Vektoraddition. Fuhrt man zwei Parallelverschiebungen, erst a = P Q und dann b = QR aus, so ergibt sich wieder eine Parallelverschiebung, namlich c = P R. Wir nennen c die Summe von a und b und schreiben: c = a + b. Fur beliebige Vektoren a, b, c gelten die folgenden Rechenregeln: a + 0 = a a + ( a) = 0, a + b = b + a (Kommmutativgesetz) a + ( b + c) = ( a + b) + c (Assoziativgesetz) Die Dierenz von Vektoren wird erklart durch a b = a + ( b)..3. Skalares Vielfaches. Zu jeder reellen Zahl α 0 und einem Vektor a bezeichnet α a (das α-fache von a) den Vektor, der dieselbe Richtung hat wie a, aber die α-fache Lange. Im Fall α < 0 setzt man α a = ( α a). 65

2 66 Sonderfalle: 0 a = 0 und α 0 = 0. Rechenregeln: α(β a) = (αβ) a, α( a + b) = α a + β b, (α + β) a = α a + β b..4. Betrag. Die Lange eines Vektors a = P Q ist die Lange der Strecke P Q und nennt sie den Betrag des Vektors a. Man schreibt dafur a (oder auch a ). Rechenregeln: α a = α a, insbesondere a = a, a + b a + b (Dreiecksungleichung) Ein Vektor vom Betrag heit Einheitsvektor. Zu jedem vom Nullvektor verschiedenen Vektor a 0 gehort der Einheitsvektor in Richtung a : a a..5. Vektoren im Koordinatensystem. Wir legen im Raum ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprung O fest. Dadurch werden gleichzeitig drei ausgezeichnete Vektoren gegeben, n amlich die Einheitsvektoren e, e,..., e n in Richtung der positiven e, e bzw. e n Achse. Wir nennen ( e, e,..., e n ) eine kartesische Basis und bezeichnen das Koordinatensystem mit (O, e, e,..., e n ). Der Vektor OA heit Ortsvektor des Punktes A = (a, a,..., a n ); er ist eindeutig zerlegbar als Summe a = a e + a e a n e n.

3 . VEKTORRAUME 67 Abkurzend schreibt man bei festgelegtem Koordinatensystem: a a a =. a = a e + a e a n e n = OA mit A = (a, a,..., a n ). a n Man nennt a i e i die Komponente von a in e i -Richtung (i =,,... n) und die Zahlen a i R die Koordinaten des Vektors a. Die Lange des Vektors lat sich (im R 3 mit dem Satz des Phythagoras) berechnen zu: a = a + a a n..6. Skalarprodukt im R 3. Das Skalarprodukt a b der Vektoren a und b ist deniert durch { a a b := b cos ( a, b), falls a 0 und b 0, 0, falls a = 0 oder b = 0. Das Skalarprodukt, auch inneres Produkt genannt, ist eine Zahl (Skalar). Beispiel 8.9. Wegen e i = gilt fur einen beliebigen Vektor a = a e + a e + a 3 e 3 stets Damit erhalt man a e i = a cos ( a, e i ) = a i, i =,, 3. a = ( a e ) e + ( a e ) e + ( a e 3 ) e 3. Die Faktoren cos ( a, e i ) nennt man Richtungskosinus von a. Rechenregeln fur das Skalarprodukt: a b = b a (α a) b = a (α b) = α( a b) ( a + b) c = a c + b c a b = 0 a orthogonal zu b a = a a. (Kommutativgesetz), (fur α R), (Distributivgesetz), (Orthogonalitatstest),

4 68 Die Koordinatendarstellung a = 3 i= a i e i = a a a 3, b = 3 i= b i e i = bezuglich einer kartesischen Basis ( e, e, e 3 ) ermoglicht eine einfache Berechnung des Skalarprodukts und der Richtungscosinus: b b b 3 a b = a b + a b + a 3 b 3, a = a + a + a 3, cos ( a, b) = a b a = a b +a b +a 3 b 3 b a +a +a 3 b +b +b 3, falls a, b 0, insbesondere Richtungscosinus cos ( a, e i ) = 0 0 Basisvektoren 0,, a i a +a +a 3, i =,, 3, fur die.7. Skalarprodukt für Vektoren im R n. Im R n ist unklar, was der Winkel zwischen Vektoren sein soll, in diesem Fall deniert man in volliger Analogie zum Fall n = 3 deshalb: Definition 8.3. Das Skalarprodukt zweier Vektoren a = a e + a e a n e n und b = b e + b e b n e n ist deniert als a b = a b + a b +... a n b n und der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren ist cos ( a, a b b) := a b Folglich sind zwei Vektoren orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist. Sowohl im R 3 als auch im R n gilt deshalb die folgende orthogonale Zerlegung von Vektoren:

5 . VEKTORRAUME 69 Orthogonale Zerlegung von a langs b, falls b 0. mit den Komponenten in Richtung b und orthogonal zu b. a b a = a b + a b a b := = a a b b b a b b b Beispiel 8.0. Ein spurgebundenes Fahrzeug (Eisenbahn, Straenbahn, Transrapid,... ) ubt momentan eine Antriebskraft vom Betrag 4 aus und bewegt sich dabei auf Schienen, die in Richtung ( 4, 4, 3) verlegt sind. Zusatzlich wirkt auf das Fahrzeug die Windkraft ( 4 3, 5 4, 3). Wie gro ist die Gesamtkraft in Fahrtrichtung? Definition 8.4. Eine n n-matrix heit orthogonal, wenn gilt: A T A = E, (also A T = A ). Folgerung: Die Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) von A sind paarweise orthogonale Einheitsvektoren. Beispiel 8.. Die Matrizen ( A = ) und B = sind orthogonal. Wir weisen das fur B nach. Die Spaltenvektoren von B sind b =, b =, b3 =, b =.

6 70 Wie man leicht nachrechnet sind sie alle Einheitsvektoren: b = b = b 3 = b 4 = 4 ( ) =. Die paarweise Orthogonalitat wird nachgewiesen durch das Ausrechnen der Skalarprodukte: Folglich ist B = B T. b b = + ( ) b b 3 = + ( ) b b 4 = ( ) b b 3 = + b b 4 b3 b 4 + ( ) ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 0, = 0, + = 0, = 0, = 0, = 0. = ( ) + + ( ) ( ) + ( ) = ( ) + + ( ) +