Übungsaufgabe z. Th. Coulombfeld

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1 Übungsaufgabe z. Th. Coulombfeld Aufgabe In einem zweidimensionalen Koordinatensystem sind die beiden gleich großen positiven Punktladungen und mit gegeben C Die Ladung befindet sich auf der negativen x-achse in der Entfernung a 8 cm vom Koordinatenursprung; die Ladung ist ebenfalls a 8 cm vom Koordinaten- ursprung entfernt, und zwar befindet sie sich auf der positiven x-achse. Auf der y-achse ist eine dritte positive Ladung, C so positioniert, dass die Stärke des elektrischen Feldes, das durch die drei Ladungen verursacht wird,im Punkt P (0 / 6) den Wert Null annimmt a) Fertigen Sie eine Skizze an. Zeichnen Sie zunächst in die Skizze die drei Punktladungen,, und die zugehörigen Feldstärkevektoren, E 2, E 3 im Punkt P (0 / 6) ein. Zeichnen Sie ebenfalls die Winkel und Strecken in die Skizze, die Sie zur Berechnung der folgenden Teilaufgabe b) benötigen. Zeichnen Sie die Ladungen und die Skizze, wenn sie die weiteren Teilaufgaben bearbeiten. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P 3 in dem sich die Ladung befindet. Runden Sie auf volle Zentimeter. c) Die Ladung wird aus dem Koordinatensystem entfernt durch eine Ladung ersetzt, die sich im Punkt auf der y- Achse befindet. P 4 (0 / 2) Wie groß ist die Ladung, wenn die Stärke des elektrischen Feldes, das nun von den drei Ladungen, und verursacht wird, wieder im Punkt P (0 /6) den Wert Null annimmt? d) Die Ladung wird wieder im Punkt P 3 in das Koordinatensystem eingefügt. Zusätzlich befindet sich im Koordinatenursprung die Ladung C, so dass nun insgesamt fünf Ladungen im Koordinatensystem existieren. Berechnen Sie den Betrag der Kraft, die auf die Ladung wirkt. Geben Sie die Richtung dieser Kraft an. e) Die Ladung wird nun vom Koordinatenursprung aus zum Punkt P (0/ 6) verschoben. ) Geben Sie den Betrag und die Richtubg der Kraft an, die im Punkt P (0 /6) auf die Ladung wirkt. 2) Welche Energie wird für die Verschiebung der Ladung vom Koordinatenursprung bis zum Punkt P (0 / 6) benötigt? Muß diese Energie dem System von außen zugeführt werden, oder wird diese Energie freigesetzt?

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3 L ö s u n g e n a) S k i z z e

4 b) Die Feldstärke im Punkt P (0 / 6) ist die vektorielle Summe der Feldstärke der einzelnen Ladungen, und in diesem Punkt. Folglich gilt: + E 2 + E 3 0 Da und von P (0/ 6) den selben Abstand d haben, gilt für die Beträge der Feldstärken: E 2. Für den Abstand d erhält man mit dem Satz des Pythagoras: d (6 cm) 2 + (8 cm) 2 00 cm 2 0 cm 0, m Die beiden Ladungen und sind gleich groß; es gilt also: :,2 Damit erhält man für den Betrag der beiden Feldstärken: E 2,2 4 π ε 0 d 2 Aus der Zeichnung entnimmt man: sin α Außerdem gilt: χ 2 α 73, C (0, m) Den Betrag der Feldstärke,2 + E 2 des Kosinussatzes bestimmen. 0,6 α 36,87 V m : E läßt sich z. B. mit Hilfe,2 2 + E E 2 cos χ mit E 2 : E folgt für den Betrag der Feldstärke,2,2 2 E 2 2 E 2 cos χ 2 E 2 ( cos χ) E 2 ( cos χ), V m 2 ( cos 73,74 ) 2584 Die Feldstärke E 3 der positiven Ladung muß im Punkt P (0/ 6) den gleichen Betrag haben wie die Feldstärke d.h.. E 3,2. Sie ist dieser jedoch entgegengerichtet;,2,2 4 π ε 0 r 3 3 r 3 4 π ε 0,2 r 3, C , m 8 cm

5 Fortsetzung von Aufgabe b Die Ladung ist 8 cm vom Punkt P (0 /6) entfernt. Weil sie positiv ist, und die Richtung ihres Feldes im Punkt nach unten weist, muß sie sich auf der y-achse oberhalb von P befinden. Die Ladung befindet sich also im Punkt P 3 (0/ 4). c) Die Ladung befindet sich der gleichen Entfernung d 4 8 cm vom Punkt P (0 / 6) entfernt wie zuvor die Ladung ; allerdings befindet sich auf der y-achse unterhalb von P (0 / 6). Wenn die Feldstärke in P wieder den Wert Null annehmen soll, muß das von verursachte Feld den gleichen Betrag und die gleiche Richtung haben wie zuvor das Feld der Ladung. Dies ist nur möglich, wenn den gleichen Betrag und das entgegengesetzte Vorzeichen von Die Ladung beträgt also:, C. hat. d) Die elektrischen Felder und der Ladungen und haben im Koordi- E 2 natenursprung den gleichen Betrag und die entgegengesetzte Richtung. (Begründung: C und d d 2 : d 8 cm) Die Feldstärken von und heben sich im Koordinatenursprung auf. Für die Kraft auf die positive Ladung sind also nur die beiden elektrischen Felder, der Ladungen und von Bedeutung. Diese Kraft ist nach unten gerichtet, weil die positive Ladung die Ladung abstößt und die negative Ladung die Ladung anzieht. Für den Betrag der Kraft gil also: F 3 + F 4 E 3 + E 4 Q 5 mit r 3,5 0,4 m und r 4,5 0,02 m folgt:,409 N Auf die Ladung, C (0,4 m) 2 + Q 3 4 π ε 0 r 2 3,5 + r 2 4,5, C C (0,02 m) 2 wirkt im Koordinatenursprung die Kraft Diese Kraft ist, N. n a c h u n t e n g e r i c h t e t.

6 e) ) F (0/6) ( + E 2 + E 3 + E 4 ) Nach Teilaufgabe a) gilt: + E 2 + E 3 0 Damit folgt für den Betrag der Kraft : F (0/6) F (0/6) E 4 Q 5 4 π ε 0 d 2 (0/6) Mit d (0/6) 8 cm folgt:, C C F (0/6) (0,08 m) 8, N 2 Weil negativ ist, wird von angezogen. Im Punkt P (0 / 6) wirkt auf die Ladung die Kraft n a c h u n t e n g e r i c h t e t e F (0/6) 8, N. e) 2) Berechnung des Gesamtpotentials ϕ ges,u im Koordinatenursprung U ϕ ges,p ϕ ges,u ϕ + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4 (Da das Potential eine skalare Größe ist werden die Einzelpotentiale algebraisch addiert.) ϕ ges,u Q 4 4 π ε 0 r,u r 2,U r 3,U r 4,U ϕ ges,u 5470 V Berechnung des Gesamtpotentials ϕ ges,p ϕ ges,p 4 π ε C 0, m C 0, m ϕ ges,p im Punkt P (0/ 6) r,p + r 2,P + r 3,P + r 4,P +, C 0,08 m C 0, m 360 V Für die zu verrichtende Arbeit gilt: W U,P ϕ ges,p ϕ ges,u 360 V ( 5470 V) C 2, J, C 0,08 m Um die Ladung vom Koordinatenursprung zum Punkt P (0/ 6) zu bringen, muß dem system die Energie W U,P 2, J zugeführt werden.