Aufgabe 1 - Strömungsfeld

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1 KLAUSUR Elektrische und magnetische Felder (2. Semester) Prof. Ronald Tetzlaff Dauer: 150 min. Aufgabe Punkte Hinweis: Tragen Sie die Ergebnisse, wenn nicht anders gefordert, als ausdruck, und bei Aufforderung als (Zahlenwert mit Maßeinheit) in die Ergebnisfelder ein. Maßstäbliche Darstellung bedeutet: 0 und ein weiterer Wert ( oder ausdruck) an jeder Achse. Aufgabe 1 - Strömungsfeld Gegeben sei ein Hohlzlinder mit radialem Strömungsfeld zwischen einer Innenelektrode A und einer Außenelektrode B. Der Zlinder hat die Länge L. Innerhalb des Zlinders gibt es zwei konzentrische Schichten mit den Leitfähigkeiten κ 1 und κ 2. Es liegt zwischen den beiden Kontakten eine konstante Spannung U AB = 1 V an. r 1 = 5 cm r 2 = 7 cm r i = 3 cm κ 2 κ 1 κ 1 = 10 S m L = 2 m κ 2 = 3 S m A B r i r 2 r 1 1.1) Zeichnen Sie eine Ersatzschaltung für die Anordnung. Querschnitt des Hohlzlinders 1.2) Berechnen Sie den Widerstand der Ersatzschaltung, indem Sie das durchströmte Material in geeignete Schichten zerlegen und die Schichtwiderstände summieren (integrieren). ausdruck ausdruck r (r i ; r 1 ) dr 1 = R 1 = = r (r 1 ; r 2 ) dr 2 = R 2 = = 1.3) Berechnen Sie den Betrag von J und den Betrag von E als Funktion des Abstandes vom Mittelpunkt. ausdruck r (r i ; r 1 ) J 1 = E 1 = r (r 1 ; r 2 ) J 2 = E 2 = ausdruck

2 Aufgabe 2 - Biot-Savartsches Gesetz Berechnen Sie für die gegebene Anordnung die magnetische Feldstärke H( r) im Punkt r = (0 0 0) T Hinweise: Biot-Savart-Gesetz Integral: ˆ H I = 4π d r ( r r ) r r 3 (C) r - Ortsvektor zum Leiterstück r - Ortsvektor zum Beobachtungspunkt ˆ du u = + k (c 2 + u 2 ) 3 2 c 2 (c 2 + u 2 ) 1 2 z x (0, 0, 0) Leiterstück 1 a I Leiterstück 3 x 2a Leiterstück 2 2.1) Berechnen Sie zunächst den Vektor der magnetischen Feldstärke H 1, H 2 und H 3 im Punkt r = (0 0 0) T, herrührend von den Leiterstücken 1, 2 bzw. 3. Geben Sie dazu auch die Zwischengrößen r, d r ( r r ) und den jeweiligen Bereich für den Parameter λ an. Leiterstück 1: r (λ) = d r ( r r ) = H1 (0, 0, 0) = Leiterstück 2: r (λ) = d r ( r r ) = H2 (0, 0, 0) = Leiterstück 3: r (λ) = d r ( r r ) = H3 (0, 0, 0) = 2.2) Wie groß ist die magnetische Gesamtfeldstärke H(0, 0, 0)? H(0, 0, 0) = e x + e + e z

3 Aufgabe 3 - Superpositionsprinzip, Coulombkraft Drei Punktladungen seien, wie in der nebenstehenden Abbildung gezeigt, fest positioniert. e: Q = 20 µc, a = 1 cm, z = 0 cm, ε 0 = 8, As Vm. Gegebene n: (0; a) Q Coulomb-Gesetz F 1 Q 1 Q 2 = 4πε 0 r 3 r Kraft von Q 1 auf Q 2 2Q (0; 0) x (0; a) Q 3.1) Berechnen Sie das Potential ϕ(x, ) und die elektrische Feldstärke E(x, ) (Normierung: ϕ( ) = 0). ausdruck ϕ(x, ) = E(x, ) = 3.2) Berechnen Sie nun die Kraft F auf eine Probeladung Q P = 15 nc im Punkt r = (a 0) T vektor F = 3.3) Skizzieren Sie das Potential ϕ(x = 1 cm, ) im Definitionsbereich [ 4 cm; 4 cm]. Beschriften Sie die vertikale Achse mit Zahlenwerten und der entsprechenden Einheit cm

4 Aufgabe 4 - Kugelkondensator Gegeben sei ein Kugelkondensator mit zwei konzentrischen Kugelelektroden. Der Zwischenraum sei mit zwei unterschiedlichen Dielektrika gefüllt (ε 1,ε 2 ); der Rest des Raumes habe die Permittivität ε = ε 0. Die Raumbereiche seien mit I-IV bezeichnet. r 2 Gegebene n: Q Gaußscher Satz Ed A = Q +Q r 1 r ε 0 U 01 U 12 H ε 2 ε 1 I II III IV 4.1) Bestimmen Sie mittels des Gaußschen Satzes den Betrag des elektrischen Feldes in den vier Raumbereichen und die beiden Spannungen U 01 und U 12. I E I (r) = - II E II (r) = U 01 = III E III (r) = U 12 = IV E IV (r) = - 4.2) Berechnen Sie die Gesamtkapazität des Kondensators. C =

5 Aufgabe 5 - Magnetkreis Gegeben sei der nebenstehende Magnetkreis. Gegebene e: w 1 = 200 w 2 = 120 cm l = 20 cm δ = 0, 2 cm A = 3 cm 2 µ r = 1000 µ 0 = 4π 10 7 H m δ l Gegebene n: Magnetischer Widerstand eines Teilstücks der Länge l: R l = l µ r µ 0 A i 1 w 1 l l w 2 i 2 A, µ r δ B L l Induktivität der Spule k: Gegeninduktivität von Spule k zu Spule j: 5.1) L k = w kφ kk I k M jk = w jφ jk I k Zeichnen Sie die Ersatzschaltung zum Magnetkreis. Kennzeichnen Sie insbesondere die Richtungen der magnetischen Flüsse und Spannungen. 5.2) Berechnen Sie die magnetischen Widerstände für Spule (1) und Spule (2). R m1 = = R m2 = = 5.3) Berechnen Sie Φ 12, d.h. den Fluss von Spule 2 im Zweig 1. Φ 12 = 5.4) Berechnen Sie die folgenden Induktivitäten: L 1 = = L 2 = = 5.5) Berechnen Sie die Gegeninduktivität: M 12 = M 21 = =