Grundlagen der Elektrotechnik 1 Übungsaufgaben

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1 Campus Duisburg Grundlagen der Elektrotechnik Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni Version Trotz sorgfältiger Durchsicht können diese Unterlagen noch Fehler enthalten. Bitte melden Sie diese bei: Markus Pell, Tel.-NA: 0,

2 Aufgabe : Gegeben sind die Vektoren a, b und c: a =, b = 0 und c = 0. a) Man weise das kommutative Gesetz: a + b = b + a, sowie das assoziative Gesetz: ( a + b)+ c = a +( c + b)=( a + c) + b analytisch und grafisch nach. b) Der skalare Faktor λ = ist gegeben. Man weise das distributive Gesetz: λ ( a + b)=λ a + λ b analytisch und grafisch nach. (Die Lösung der Aufgabe ist im Anhang gegeben.) Aufgabe : Gegeben sind die Vektoren a, b : a = 0, b = 0. a) Wie groß sind die Absolutbeträge der beiden Vektoren a und b? b) Man bestimme je einen Einheitsvektor in Richtung von a und b. c) Wie groß ist der Winkel zwischen a und b? d) Wie groß ist die Projektion von a auf b und von b auf a? Alle Rechenschritte in den Unteraufgaben a) bis d) sollen analytisch und grafisch durchgeführt werden. Aufgabe : Gegeben sind die Vektoren a, b und c: a = 0, b = und c = 0. Man weise nach, dass das Volumen des von den Vektoren a, b und c aufgespannten Spats durch die Beziehung V =( a b) c berechnet werden kann. (Die Lösung dieser Aufgabe ist im Anhang gegeben).

3 Aufgabe : Man gebe für die Beziehungen: R = l κ A und F = m a die zugeschnittenen Grössengleichungen an. Dabei soll der Widerstand R auf kω, der spezifische Leitwert κ auf m Ω mm,dielänge l auf, der Querschnitt A auf,diekraftf auf Newton (N), die Masse m auf Gramm (g) und die Beschleunigung a auf m bezogen werden. s Aufgabe 5: Die zwei Punktladungen Q = 0 9 As und Q = 0 9 As (Bild 5.) befinden sich im Abstand a = 0 im Vakuum (ε r =). P b c Q a Q Bild 5. Man bestimme die elektrische Feldstärke in dem Punkt P, der von der Ladung Q den Abstand b = 0 und von der Ladung Q den Abstand c = 50 besitzt.

4 Aufgabe 6: Bild r 000 r r Q Q r r 0 Q =0, 78 0 As r =5 Zwei Ladungen Q und Q befinden sich im Vakuum im Abstand von r vom Koordinatenursprung. Man bestimme für die Punkte -, die sich im Abstand r vom Koordinatenursprung befinden, die elektrische Gesamtfeldstärken E ges,µ auf grafischem Weg für die Fälle Q =+ Q ; Q =+ Q und Q =- Q ; Q =+ Q für µ =,..., ; Maßstab: =5 V m Aufgabe 7: y Bild m, Q 00 l m0 00 a Q 0 P (d, 0) d g P (d, l) P (x,y ) x Q =0 8 As d =mm l =0mm a =6mm ε r = m =g Im Koordinatenursprung befindet sich eine Punktladung Q 0 =+ Q. Im Punkt P (d, 0) befindet sich ein ungeladener Körper geringer Ausdehnung der Masse m; dieserkörper ist im Punkt P (d, l) an einem dielektrischen Faden der Länge l aufgehängt. Wird auf den Körper eine Ladung Q gebracht, so wird er um den Abstand a in den Punkt P (x,y ) ausgelenkt. Wie groß sind die Ladung Q und die Koordinaten (x,y )für den Fall a) d =0(Lösung allgemein und zahlenwertmäßig) Maßstab: =mm =0 N b) d = d (Lösung grafisch)

5 Aufgabe 8: Zwischen zwei parallelen Metallelektroden (Bild 8.) mit dem Abstand d = befindet sich ein Elektron. U -e 00 Bild 8. a) Wie groß ist die Kraft, die auf das Elektron ausgeübt wird, wenn an die Platten eine Spannung von 000 V gelegt wird? b) Wie groß muss die an die Elektroden angelegte Spannung sein, damit ein Körper geringer Ausdehnung mit der Masse m = mg, der die positive Ladung Q =9, As besitzt, im Raum schwebt (g =9, 8 m )? s Aufgabe 9: Im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems befindet sich eine Punktladung Q =-, 0 8 C. a) Unter Berücksichtigung der Radialsymmetrie bestimme man den Absolutbetrag der elektrischen Verschiebungsdichte im Vakuum (ε r = ) sowie der elektrischen Feldstärke im Aufpunkt P :(x =,y =7,z =9). b) Man bestimme die Spannung des Aufpunktes gegenüber dem unendlich fernen Punkt. c) Wie groß ist der Absolutbetrag der Kraft F, die auf die Probeladung Q =-,6 0 7 Causgeübt wird, wenn diese in den Aufpunkt P :(x =6,y =9,z = ) gebracht wird? Aufgabe 0: Gegeben ist eine aus zwei parallelen Metallplatten bestehende Elektrodenanordnung. Das zwischen den Metallplatten befindliche Dielektrikum ist Papier mit der Dielektrizitätszahl ε r =.DerAbstand der Platten voneinander ist d = mm und die anliegende Spannung beträgt U = 00 V. a) Wie groß ist der Absolutbetrag der im Dielektrikum herrschenden elektrischen Feldstärke E und der elektrischen Verschiebungsdichte D? b) Wie groß ist die auf einer Metallplatte gespeicherte Ladung, wenn die Fläche der Platte A =0,mm beträgt?

6 Aufgabe : Eine Elektrodenanornung aus zwei konzentrisch angeordneten Metallkugeln mit den Radien r i = und r a = 6,5 liegt an einer Spannung von 5 kv. Im Raum zwischen den Kugelelektroden befindet sich Vakuum. a) Man bestimme die auf den Elektroden jeweils gespeicherte Ladung. b) Man zeichne den Verlauf des Absolutbetrags der elektrischen Feldstärke als Funktion von r (r i r r a ). c) Wie groß ist die minimale und die maximale Feldstärke in der Elektrodenanordnung? Aufgabe : Gegeben ist eine Elektrodenanordnung aus zwei konzentrisch angeordneten Metallzylindern der Länge l und den Radien r i = 0,5 und r a =. Im Raum zwischen den Elektroden herrscht Vakuum. Die innere Elektrode befindet sich auf dem Potential ϕ i =0V,dieäussere auf dem Potential ϕ a = 00 V. a) Man bestimme den Absolutbetrag der elektrischen Feldstärke E(r), die zwischen den beiden Elektroden herrscht. b) Wo tritt das Maximum des Absolutbetrages der elektrischen Feldstärke auf und wie groß ist es? c) Man zeige, dass für das Maximum des Absolutbetrages der elektrischen Feldstärke in Abhängigkeit von r i notwendig ein Minimum existieren muss (Hinweis: Man stelle die elektrische Feldstärke als Funktion von r i grafisch dar). Für welchen Wert von r i wird E minimal? max Aufgabe : Gegeben ist eine Kugelladung mit dem Radius r 0. a) Es ist nachzuweisen, dass die Beziehung c Integrationsweg c gilt! E ds =0für den im Bild angegebenen b) Man skizziere einen Beweis, dass c E ds =0für jeden beliebigen geschlossenen Integrationsweg c gilt, der die Punktladung nicht berührt. E c Bild. r 0 5

7 Aufgabe : Gegeben ist die Anordnung nach Bild.. Auf den Platten des Kondesators befindet sich die konstante Ladung ±Q =0 C; unter dem Einfluss der auf die Platten wirkenden Kraft stellt sich ein Plattenabstand d = 8 ein. Die Plattenfläche beträgt: A =0. Wird dieselbe Anordnung in ein Ölbad (ε r =,75) gebracht, so ändert sich der Plattenabstand auf d = 0 (Bild.). Wie groß ist die Federkonstante λ in N m? ε 0 d d λ A +Q -Q ε 0 ε r Öl λ A +Q -Q Bild. Bild. Aufgabe 5: Man bestimme die Kapazität der in den Aufgaben und beschriebenen Elektrodenanordnungen (Kugelkondensator bzw. Zylinderkondensator) mit radial bzw. in Umlaufrichtung zweifach geschichtetem Dielektrikum ε r,ε r. Aufgabe 6: Gegeben ist ein homogenes zeitlich konstantes elektrisches Feld im Raum. a) Wie groß ist die Teilchengeschwindigkeit eines Elektrons, wenn es in diesem Feld im Vakuum eine Potentialdifferenz von V durchläuft? b) Es ist nachzuweisen, dass für die mittlere Driftgeschwindigkeit in einem stofferfülltem Raum die Beziehung v D = b E gilt. Dabei soll vorausgesetzt werden, dass die die Wärmebewegung der Stoffmoleküle charakterisierende mittlere Wärmegeschwindigkeit v W der Bedingung v W v D genügt. c) Wie groß ist die Beweglichkeit des Elektrons, wenn die freie Weglänge λ =7 0 6 des Elektrons und die mittlere Wärmegeschwindigkeit v W = 0 8 s gegeben sind. 6

8 Aufgabe 7: l Bild 7. ε r x ε r r r l l ε r =7 ε r = Q =0 As r = r = l =9 Gegeben ist ein zylindrischer Kondensator nach Bild 7.. Auf den Aussenelektroden befinde sich die Ladung + Q, auf der Innenelektrode - Q. a) Bestimmen sie die Längen l und l,sodass die Teilladungen auf den Elektroden in den Bereichen 0 x l und l x l + l gleich groß sind. b) Berechnen sie die Kapazität des Kondensators für die berechneten Werte von l und l. Aufgabe 8: Gegeben ist ein mit den Dielektrika ε r und ε r gefüllter Kugelkondensator nach Bild 8.. Auf der Innenelektrode befinde sich die Ladung + Q, auf der Aussenelektrode die Ladung - Q. Bild r 0 0 κ = r r + Q 0 ε r ε r κ = - Q Bereich Bereich a) Wie groß sind die Absolutbeträge der elektrischen Feldstärke und der elektrischen Erregung in den Gebieten: r r r ; ε r und r r r ; ε r? b) Wie groß muss r gewählt werden, damit die im Bereich gespeicherte elektrische Energie gleich der im Bereich gespeicherten elektrischen Energie ist? c) Wie groß ist r als Funktion von r für den Fall r =0 r ; ε r =0 ε r? 7

9 Aufgabe 9: In einem Kupferdraht mit dem Querschnitt A =,7mm Querschnitt fließt der Strom I =A.Die Dichte der Elektronen ist n =8, mm. Wie groß ist die Driftgeschwindigkeit v D der freien Elektronen im Leiter? Aufgabe 0: Gegeben ist ein leitender Körper mit quadratischem Querschnitt und der Leitfähigkeit κ. Anden Endflächen wird über unendlich gut leitende Kontaktflächen die Spannung U 0 angelegt. Wie groß ist der Strom I? x b l κ c b c b c b = c =5 l =0 κ =(Ωm) I U =0V Bild 0. Aufgabe : Ein Leitungsseil aus Kupferbesteht aus 5 einzelnen kreisrundendrähten mit je,89 mm Durchmesser. Die Leitfähigkeit des Materials beträgt κ Cu =56 Sm mm. a) Wie groß ist der Widerstand des Seils je km Leitungslänge? b) Das Leitungsseil wird mit einem starken Isolationsmaterial (Hartpapier: κ =0 Sm ) mm umgeben. Man berechne den Isolationswiderstand pro km Länge gegen den Aussenraum, wenn der Innenradius des Isolationsmaterials zu r i = 0,7 angenommen wird. Aufgabe : Der ohmsche Widerstand der Kupferwicklung eines Motors steigt von = 0,0 Ω (bei ϑ =0 C) auf den Wert R = 0,7 Ω. Welche mittlere Temperatur ϑ stellt sich in der Wicklung ein, wenn der Temperaturbeiwert des Leitmaterials für die angegebene Ausgangstemperatur α 0 =, 9 0 K beträgt? 8

10 Aufgabe : Eine Spule wird aus Kupferdraht von 600 m Länge und einem Durchmesser von, mm hergestellt. a) Wie groß ist der Widerstand des Drahtes? b) Mit welcher Drahtstärke muss die Spule gewickelt werden, wenn ein Aluminiumdraht verwendet wird und der Widerstand unverändert bleiben soll? c) Wie groß ist die Spannung an der Spule, wenn sie von einem Strom von 5 A durchflossen wird? κ Cu =56 Sm mm Aufgabe : ; κ Al =5 Sm mm Eine Spule ist mit 0, mm starken kreisrunden Kupferdraht bewickelt, der mit Seide besponnen ist. Die Betriebstemperatur sei zu 8 C angenommen und die zugehörige Leitfähigkeit ist mit κ Cu =56 Sm mm gegeben. a) Wie groß ist der ohmsche Widerstand einer Spule mit einem Innendurchmesser d i =,7 und einem Aussendurchmesser d a = 8,69, wenn die Wicklung der Spule aus 0 Lagen zu je 5 Windungen besteht? b) Um wieviel Grad steigt die Temperatur des Kupferdrahtes, wenn der Widerstand der Spule gegenüber dem Wert bei 8 CumΩsteigt(α Cu =, 9 0 K )? Bild. d a d i Aufgabe 5: Zwei parallele Drähte mit einem Abstand von 8 werden von Strömen von je 80 A durchflossen. a) Welche Größe und Richtung hat die Kraft je Meter Leitungslänge, die jeweils auf die einzelnen Leiter ausgeübt wird, wenn die beiden Ströme zueinander gleichen bzw. entgegengesetzten Richtungssinn haben? b) Wie groß ist die Kraft, wenn die beiden Leiter im Falle eines Kurzschlusses von einem Strom 60 ka durchflossen werden, und zueinander entgegengesetzten Richtungssinn haben? c) Wie lautet die zugeschnittene Größengleichung für den Absolutbetrag der Kraft je Längeneinheit? µ 0 =, Vs A 9

11 Aufgabe 6: Eine Leiterschleife nach Bild 6. mit den Abmessungen l = 50 mm, l = 00 mm, l = 60 mm und l = 80 mm wird in einem Magnetfeld der magnetischen Induktionsflussdichte B = Vs senkrecht zur Fläche der Leiterschleife gebracht. Welche Kraft F wird auf die Leiteranordnung ausgeübt, wenn die Schleife vom Strom I = 0, A durchflossen wird und die Eintauchtiefe a) l 5 =0mm b) l 6 =70mmbeträgt. Nach dem Einbringen der Schleife in das Feld wird sie nicht mehr bewegt. m l l l I l 5 l l I l l 6 l Bild 6. l Aufgabe 7: Es ist nachzuweisen, dass von einem Magnetfeld an einer bewegten Ladung keine Arbeit geleistet wird. Aufgabe 8: EinElektrondurchläuft, mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 0 7 m s ein homogenes Magnetfeld der Länge l = 0 mm und der magnetischen Induktionsflussdichte B =0 Vs (Bild 8.). m Es trifft anschließend auf einen Leuchtschirm S, der einen Abstand d = 00 mm vom Magnetfeld hat. (Ladung eines Elektrons: q =-,6 0 9 As, Ruhemasse des Elektrons: m =9, g) Um welche Strecke x wird das Elektron aus der Mittelachse ausgelenkt? l d S Bild 8. q, m v 0 x B 0

12 Aufgabe 9: In einem sehr langen, geraden Draht vom Radius r 0 = 0,6 fließt ein Strom I =80A. a) Man bestimme die magnetische Erregung H in Abhängigkeit vom Abstand r von der Mittellinie des Leiters (0 r ). b) Wie groß ist die magnetische Erregung in den Punkten mit den Abständen 0, 5r 0, r 0,r 0? c) Um den Leiter wird konzentrisch zur Leiterachse ein geschlossener Holzring des Querschnittes und der mittleren Ringlänge 0 angebracht. Wie groß ist der magnetische Fluß durch den Querschnitt des Ringes? Aufgabe 0: Zwei konzentrisch angeordnete Metallzylinder nach Bild 0. werden in entgegengesetzter Richtung von einem Strom I durchflossen. a) Man bestimme die magnetische Erregungin Abhängigkeit vom Abstand r und von der Mittellinie der Anordnung im Bereich 0 r r. b) Man zeichne den Verlauf des Absolutbetrages der magnetischen Erregung über dem Abstand r von der Mittellinie. Bild r 0000 r r 0000 r I I Aufgabe : Eine einlagige Rechteckspule mit 8 Windungen befindet sich in einem homogenen Magnetfeld der Induktionsflußdichte 0,05 kt. Sie ist drehbar um eine zum Feld senkrecht stehende Achse. Die Seitenlängen der Spule sind 5 (parallel zur Achse) und (senkrecht zur Achse). Die Spule wird von einem Strom von 0 ma durchflossen. a) Man berechne den Winkel α, den die Spulenebene mit dem Feld einschließt, wenn auf die Spule ein Drehmoment von 0,09 Nm ausgeübt wird. b) In welcher Lage erfährt die Spule das größte Drehmoment? c) Wann befindet sich die Spule im Gleichgewicht? Man zeige mit Hilfe der potentiellen Energie der Spule, in welchem Fall es sich um ein stabiles bzw. labiles Gleichgewicht handelt.

13 Aufgabe : Das Bild. zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Drehspulinstrumentes. Die Abmessungen der Drehspule betragen,5. Die Spule ist mit 0 Windungen aus Kupferdraht (κ Cu =56 Sm ) mm mit einem Durchmesser von 0, mm gewickelt. Wie groß muss die magnetische Induktionsflußdichte für einen Strom von 0 ma gewählt werden, wenn die Felder bei Endausschlag ein Richtmoment von 0 N erzeugen? B S N Bild.,5 Aufgabe : Eine Leiterschleife nach Bild. mit den Längen l = 0 mm, l = 50 mm, l = 5 mm und l = 0 mm wird mit der Geschwindigkeit v 0 in ein homogenes Magnetfeld der magnetischen Induktionsflußdichte B = T eingetaucht. Die Ebene der Leiterschleife steht stets senkrecht auf der Richtung der magnetischen Induktionsflußdichte. a) Man bestimme die in der Leiterschleife induzierte Spannung in Abhängigkeit von der Zeit t, wenn die Leiterschleife z. Z. t = 0 in das Feld eintritt. b) Man zeichne den Verlauf der induzierten Spannung als Funkton der Zeit. c) Wie groß ist die induzierte Stromstärke? l R l R =kω v 0 =0,m/s Bild. v 0 l l B x =0 l

14 Aufgabe : Eine Rechteckspule mit den Abmessungen hat 800 Windungen. Sie rotiert mit 600 Umdrehungen je Minute in einem homogenen Magnetfeld der Induktionsflußdichte 0, T um die im Bild. gezeichnete Achse. Wie groß ist der Scheitelwert der induzierten Spannung und mit welcher Frequenz ändert sie sich? B Bild. Aufgabe 5: Gegeben ist ein Magnetfeld der homogenen Induktionsflußdichte B = B 0 sin(ωt). Ein Leiter der Länge l =, der zu einem gleichseitigen Dreieck gebogen wurde, befindet sich in diesem Magnetfeld, sodass die Dreiecksfläche senkrecht zur Richtung der magnetischen Induktionsflußdichte liegt. a) Wie groß ist die in der Leiterschleife induzierte Spannung in Abhängigkeit von der Zeit? b) Man bestimme den in der geschlossenen Schleife induzierten Strom, wenn der Widerstand pro Längeneinheit der Leiterschleife R =0 Ω, die Frequenz f = 50 Hz und B 0 = T betragen. Aufgabe 6: Gegeben ist eine rechteckige Leiterschleife neben einem stromdurchflossenen Leiter im Vakuum (Bild 6.). In die Leiterschleife ist ein Messinstrument mit dem Innenwiderstand R i geschaltet. i = î cos(ωt) R R i R r 0 c a Bild 6. R R b ω = π 50 s î =A =Ω R =Ω R =Ω R =Ω R i = 0Ω a = b = c = r 0 =0,5 Man berechne die am Meßinstrument anliegende Spannung u(t).

15 Aufgabe 7: Gegeben ist eine quadratische Schleife, die sich um ein homogenes, zeitlich sich änderndes Magnetfeld der magnetischen Induktionsflussdichte B ( mit der zeitlichen Ableitung db dt = C =const) schließt (Bild 7a.). Drei der Kanten der Schleife haben den Widerstand,dievierte Kante hat den Widerstand R. Ausserhalb der Schleife ist kein Magnetfeld vorhanden. Die Kantenlänge ist a. R B Bild 7. a) Die Schleife wird aufgeschnitten und die Spannung wie folgt gemessen: u B u 00 B R u R B R R B R R Bild 7. Bild 7. Bild 7. Wie groß ist die jeweils gemessene Spannung? b) Die Schleife ist geschlossen und die Spannung wird wie folgt gemessen: u 00 B u B R 00 B B u R R Bild 7. Bild 7. Bild 7. Wie groß ist die jeweils gemessene Spannung?

16 Aufgabe 8: In der Position x = d, y = l in der Nähe eines von einem Strom der Stromstärke i(t) =îcos(ωt) durchflossenen unendlich langen Leiters befindet sich eine geschlossene, rechteckförmige Leiterschleife mit einem Gesamtwiderstand R (Bild 8.). y l i(t) d a x Bild 8. y l R 0 0 a i(t) i(t) =îcos(ωt) a z Berechnen Sie die in der Schleife induzierte Stomstärke i i (t) als Funktion der Zeit. Geben Sie die Bezugspfeilrichtung von i i (t) an. Hinweis: Der Radius des Leiters ist zu vernachlässigen. Aufgabe 9: Ein Eisenring (µ reisen = 00,µ 0 =π 0 7 Vs Am ) mit einem Querschnitt von und einer mittleren Länge von 60, der von einem Luftspalt der Breite,5 mm unterbrochen ist, ist mit einer Spule von 50 Windungen bewickelt. In der Spule fließt ein Strom von,5 A. a) Man bestimme die magnetische Erregung sowie die magnetische Induktionsflußdichte im Eisen und im Luftspalt längs der mittleren Linie des Ringes. b) Wie groß sind die entsprechenden magnetischen Flüsse? c) Mit Hilfe des magnetischen Widerstandes berechne man den magnetischen Fluß. 5

17 Aufgabe 0: Ein Ringkörper der mittleren Länge l m = 00 besteht aus geschichtetem hochlegierten Trafoblech, dessen Magnetisierungskennlinie durch die unten aufgeführten Daten gegeben ist. Der Ring ist gleichmäßig mit 000 Windungen bewickelt. In der Wicklung fließt ein Strom von 500 ma. I w δ Bild 0. a) Wie groß muß der Querschnitt des Ringes gewählt werden, damit der magnetische Fluß φ =5 0 Wb beträgt? b) Welchen Wert hat der magnetische Fluß, wenn der Ring mit dem unter a) berechneten z. B. quadartischen Querschnitt von einem Luftspalt von 0, mm Breite unterbrochen wird? (Streuung soll vernachlässigbar sein.) c) Man zeichne die gescherte Kennlinie des Eisenrings mit Luftspalt (µ 0 =π 0 7 Vs Am ). H / A 0,5,0,5,0,5,0,0 5,0 6,0 B/T 0,5 0,50 0,65 0,76 0,85 0,9,0,,7 H / A 7,0 8,0 9,0 0,0,0,0 6,0 8,0 0,0 B/T,,5,8,0,,7,0,, (Die Lösung dieser Aufgabe ist im Anhang gegeben) 6

18 Aufgabe : Bild. und. stellen einen Eisenkern mit konstantem Querschnitt von 00 mm. Auf dem Mittelschenkel des Kerns (Bild.) ist eine Spule mit w = 50 Windungen aufgebracht. a) Wie groß muß der in der Wicklung fließende Strom sein, damit im Mittelschenkel eine magnetische Induktionsflußdichte B = Vs erzeugt wird? m b) Welcher Strom wäre erforderlich, wenn die Spule anstatt auf dem Mittelschenkel auf dem Aussenschenkel (Bild.) aufgebracht wird und die magnetische Induktionsflußdichte in dem mit der Spule bewickeltem Schenkel B = Vs betragen soll? m Die Permeabilitätszahl des Materials kann im linearen Teil der Magnetisierungskurve ( B Vs m ) als µ r = 000 angenommen werden. (Hinweis: Man vernachlässige die in den Ecken auftretenden Kanteneffekte) 0 0 mm 85 mm Bild. Bild. 7

19 Aufgabe : Ein kreisförmiger Eisenkern besteht aus magnetisch verschiedene Materialien und einem Luftspalt. Eine Wicklung von w Windungen ist auf den Kern aufgebracht (Bild.). l I µ r δ II I I =0,5A w = 00 A = w µ r =0 µ r =5 µ r H =5 A l = l =5 l Bild. a) Man berechne die Länge des Luftspaltes, die magnetische Erregung und die magnetische Induktionsflussdichte auf der Mittellinie des Kerns und im Luftspaltbereich unter Vernachlässigung des Streufeldes, wenn der Betrag der magnetischen Erregung im Bereich I, wie angegeben, gleich H =5 A ist. b) Wie groß ist der magnetische Fluss durch den Querschnitt des Kerns und des Luftspaltes, falls die magnetische Erregung als konstant über dem Querschnitt des Kerns und gleich dem unter a) bestimmten Wert angenommen wird? Aufgabe : w = 00 r r a r i A r i =5 r a =0 µ r = 00 Bild. Gegeben ist ein Toroid (µ r = 00) mit quadratischem Querschnitt, der gleichmäßig mit 00 Windungen Draht bewickelt ist. Im Draht fließt der Gleichstrom I =A. a) Man berechne exakt die magnetische Erregung im Toroid als Funktion von r. b) Man berechne den Fluss durch den Querschnitt A des Toroids. c) Wie groß ist die Induktivität dieser Anordnung? 8

20 Aufgabe : Der Magnetkreis in Bild. besteht aus zwei gleich großen Eisenteilen mit der Permeabilität µ r, die mittels eines Dauermagneten in einem Abstand d (Luftspalt) voneinander angebracht sind. Alle Teile haben die gleiche quadratische Querschnittsfläche A = a. Die Entmagnetisierungskurve des Dauermagneten ist in dem Diagramm Bild. dargestellt. a) Bestimmen sie allgemein (ohne Zahlenwert) die magnetische Induktionsflussdichte B L im Luftspalt. b) Wie groß muss die Länge l für den optimalen Arbeitspunkt eingestellt werden? Dauermagnet r =5 d =0.05 A = a a = µ r = Vs µ 0 =π 0 A B m r d A l Bild. µ r B m Vs/ Bild. H m A/ 9

21 Aufgabe 5: l l I w I l w l = l =l = l A Bild 5. µ =const µ r Gegeben ist eine Magnetkreisanordnung nach Bild 5. mit gleichem Querschnitt A in allen Schenkeln. Kanten- und Streueffekte sollen vernachlässigt werden. a) Zeichnen sie das Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises und geben Sie dessen Kenngrößen an. Die Kenngrößen sind durch die im Bild angegebenen Größen auszudrücken. b) Ermitteln Sie die Beziehungen für die magnetischen Flüsse in den drei Schenkelbereichen. c) Wie groß muss I bei vorgegebenem Wert I gewählt werden, damit φ = φ ist? Aufgabe 6: Gegeben ist ein magnetischer Kreis nach Bild 6.. Alle Schenkel haben die Querschnittsfläche A und die Permeabilitätszahl µ r. Bestimmen sie die magnetische Erregung H δ im Luftspalt als Funktion von I und I unter der Annahme, dass der magnetische Fluss im Luftspalt ausserhalb der Querschnittsfläche vernachlässigbar ist. Für welchen Wert von I verschwindet der magnetische Fluss im Luftspalt? l l I l I w w δ l A Bild 6. µ =const µ r 0

22 Aufgabe 7: Man bestimme die Induktivität pro Längeneinheit der im folgendem Bild dargestellten Doppelleitung. Der Leiterabstand sei a. Die Leitungen haben jeweils den Radius r 0 und werden in entgegengesetzter Richtung von einem Strom I durchflossen I r 0 a Bild I Aufgabe 8: In einem Netzwerkknoten fließen die Ströme i,i und i zusammen. Es sei: i = î sin(ωt + ϕ ) i i = î sin(ωt + ϕ ) i Bild 8. i a) Man berechne den Strom i und stelle ihn in der Form i = î sin(ωt + ϕ )dar. b) Wie groß sind die Amplitude î und der Nullphasenwinkel ϕ ausgedrückt durch die Größen der Ströme i und i? c) Man berechene i, i und i für ω =8, Hz, ϕ =0,ϕ = π sowie î =A,î =A

23 Anhang: Lösung zur Aufgabe : x b a z a = b = 0 c = 0 x z ( b + c)+ a c 9 0 y y x z a +( b + c) x z ( a + c)+ b y y Lösung zur Aufgabe : V =( a b) c c x a b 8 9 z a = b = 0 c = y

24 Anhang: Lösung zur Aufgabe 0: θ = H E l E + H L δ, mitφ E =Φ L und A E = A L folgt: θ = H E l E + B E µ 0 δ und mit θ = H E0 l E (für B E = 0) folgt: H E0 = H E + H E0 H E = δ µ 0 l E B E, daraus folgt δ µ 0 l E B E und mit x = δ µ 0 l E B E und θ = H E0 l E folgt schließlich: θ l E H E = x,8 T,6 Θ µ 0 δ Magnetisierungskennlinie, B,,0 0,8 B E x gescherte Kennlinie 0,6 0, Scherungsgerade 0, 0 H E A Θ l E H