Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Übung 2

Transkript

1 Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Übung 2 KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association

2 Quatsch, ist kein Vektor No, Nabla ist die erste Ableitung Laplace Operator 2

3 Nein, denn dann haetten wir ja Quellen Ja, das ist ja nur eine andere Schreibweise (siehe 1.) 3

4 Nein, es ist ja ein SKALARPRODUKT Nein, das waere ja Rot F, bzw. F 4

5 5

6 Definition Anderer Name Math. Schreibweise; besser F Erinnerung: 6

7 Vektor mal Skalar= Vektor Math. Schreibweise; besser F 7

8 Vorgriff: Wurde in der Vorlesung noch nicht behandelt. 1. Besser F 2. Definition 3. Beispiel: hier V= Coloumbpotential 4. Beispiel: hier V= Gravitationspotential 5. Math. Schreibweise von 2. 8

9 Beispiel eines geschlossenen Wegs 5 Definition: konserv. Feld Nein Definition: konserv. Feld 9

10 More 10

11 11

12 Superpositionen E = 1 4πε N i=1 q i r i 2 r i r i Betraege: a = e x 2 + e y 2 + e z = = = 7 E = 1 4πε 12 N i=1 q i r i 2 r i = e r i 4πε F = q E = e 2 Distanz ist der dominierende Faktor 4πε Cancel = e 4πε

13 13

14 F e = e E = konst = C 100 V m F = m a = kg a V m a = e E m = C kg s = 1 2 at2 t = 2s a = m s 2 (mit s = 1m) = 0.343μs v = a t m s 0.02c W 14 = 1 m 2 ev 2 = J; vgl. Definition ev= J

15 Siehe Aufgabe 3.a Bewegungsgleichung s = 15 a = e E m = 1.6 V C 100 m kg Zeit zwischen den Platten (ohne Feld): t = s v = 2m 100m s Test: Einsetzen von t=0.02s: s(0.02s) = 100 m s t 0 z o m s 2 t2 2m m = m s 2 = 0.02s m 1m (Hoehenbstand Flugbahn Platte) e - prallt gegen den Boden

16 E r = 1 4πε Q r = 1 4πε Q r 2 Integration von E funktioniert natürlich auch. Und Komponentenweise kann man das auch machen. 16

17 Siehe Aufgabenblatt 17

18 Satz von Gauss - Formeln Anmerkung/Achtung 0: Weg-, Flächen-, Volumenintegral Schreibweisen: Fläche: da oder da A x,y od. da od. ds A S sogar A da Volumen: dv oder dv oder dv od. dv V s2 s1 V x2 x1 x,y,z Wegintegral: ds oder dx oder dr oder dr r 2 r 1 r,φ,θ Grundsätzlich muss man sich einfach immer klar machen, WELCHES INTEGRAL genutzt wird Oft wird einfach Integralzeichen genutzt wenn 2faches oder 3faches besser wäre. Feinheiten: Weg: ds Flaeche:dS Geschlossene Wege oder Flächen: oder 18

19 Satz von Gauss Φ el = A EdA = divedv V Φ el = Q ε 0 = 1/ε 0 V ρdv Kugelschale = 4πr 2 dive = ρ/ε 0 Zylindermantel = 2πrL Potential: φ p = E ds p E = grad φ x, y, z = φ 19

20 Gauß - Fläche Der Symmetrie angepasst muss dann eine geeignete Gauss sche Fläche ausgewählt werden, so dass das elektrische Feld in jedem Punkt 1. senkrecht zur Fläche steht, (hier E senkrecht A) 2. sowie identischen Betrag besitzt. Aus Symmetriegründen muss das elektrische Feld E in beiden Halbräumen vom Betrag her gleich und antiparallel sein Faktor 2 Φ = A EdA = 2E z A = Satz von Gauss: Φ = Q ε 0 Mit Q = Aσ folgt E z = σ 2ε 0 Für σ > 0 ist die Richtung wie in der Abbildung für σ < 0 zeigt es in die Ebene 20

21 Hohlkugel Hohlkugel Kugelsymmetrisch REIN radiale Komponente E-Feld rein radial; senkrecht auf Kugeloberfläche E r da r Innenraum: r R Keine Ladung im Inneren, daher Q = 0 Φ = 0 Feld: EdA = 0 A E = 0 Potential φ = E dr φ = konst. 21

22 Hohlkugel Hohlkugel Kugelsymmetrisch REIN radiale Komponente E-Feld rein radial; senkrecht auf Kugeloberfläche E r da r Außenraum: r R Q = Φ = EdA = 4πr 2 E E = Q ε 0 A Kugelschale = 4πr 2 : Flächenelement da Feld (= Punktladung): 4πε 0 r 2 r Potential φ r = E dr r = Q 4πε 0 r E = φ r r 22

23 Kugelschale 23

24 Geladene Vollkugel mit Radius R und Ladung Ladung:Q = 4π 3 ρr3 ; Raumladungsdichte ρ = Außenraum; siehe Hohlkugel E = Innenraum: r R: 24 Eingeschlossene Ladung am Radius r: Q r r 0 Gauss: Φ r = 4πr 2 ρdr = 4π 3 ρr3 = Q r ε 0 E-Feld: E r = 1 3ε 0 ρrr = = 4π 3ε 0 ρr 3 = Potential Randbedingung: φ A Q 4πε 0 R 3 rr Integration von bis r (E dr): r Q 4πε 0 r EdA Q = 4π 3 ρr3 3Q 4πR 3 2 r ; φ r = Q 4πε 0 r = E r 4πr 2 = 0 (Wahl des Potential Nullpunkt): φ r = Edr = Edr Edr = Q R r R 4πε 0 R 3 r 2 2R 2 2

25 Nebenrechnung R Q 4πε 0 r 2 dr r φ r = Edr R r R = Edr Edr = Q 4πε 0 R 3 r dr Q 1 = 4πε 0 r Q 1 4πε 0 R 1 2R 3 r2 1 2R 3 R2 = Q 4πε 0 R R r R 1 2R 3 r r2 2R 2 r R = 25

26 Vollkugel 26

27 Unendlich langer Stab Symmetrie: Feldstärke E in einem Punkt P im Abstand r von der Stabachse RADIAL nach außen Fläche: Zylinderoberfläche Radius r und Länge L (Zylindermantel = 2πrL : Flächenelement da = ) Ladung/Laenge: λ = πr 2 ρ = Aρ; λ = Q L Fuer r R: integriert Gauss Φ = E da = E 2πrL = ρπr2 L ε o Q(r)! E = ρr 2ε o r = λr 2πε o R 2 r 27

28 Potential Fuer r R (E r): (Potentialwahl φ R = 0); E r R φ r = E(r )dr R r r λr 2πε o R 2 dr = λ = 4πε 0 R 2 R 2 r 2 28

29 Langer Stab r R Fuer r R Φ el = E = A EdA = E 2πr L = Q ε 0 = λ ε 0 L λ 2πε 0 r r Potential: (Potentialwahl φ R R r φ r = Edr = R r λ 2πε 0 r dr = = 0); E r λ 2πε 0 ln r R 29

30 30

31 Koaxialkabel r R 2 siehe vorhergehende Aufgabe r > R 2 EdA = 0 E = 0 φ = konst. da die Gesamtladung innerhalb des Zylinder mit Radius gleich Null ist - siehe Definition eines Koaxkabels: Die beiden Leiter moegen die entgegengesetzt gleichen Ladunsgdichten pro Laengeneinheit λ1 = λ2 haben.) 31

32 absurd Siehe auch vorhergehende Aufgabe Siehe auch vorhergehende Aufgabe; Kugel oder Coloumb Noch absurder 32

33 Quellenfreies Vektorfeld Was sagt der Satz von Gauß über den Fluss eines Vektorfelds B aus, wenn es überall quellenfrei ist? 33

34 Quellenfreies Vektorfeld Was sagt der Satz von Gauß über den Fluss eines Vektorfelds B aus, wenn es überall quellenfrei ist? Satz von Gauß: FdA = div F dv A V Die Quellenfreiheit von B bedeutet, dass div B = 0 Lösung: Es ist im ganzen Integrationsgebiet div B = 0. Daher ist nach dem Satz von Gauß 34 A BdA = div B dv = 0 Das bedeutet. Dass der Fluss von B durch jede beliebige geschlossene Fläche verschwindet. V

35 VON BLATT 1 35

36 b c = 2x x 0.5 = 36

37 Vektorprodukt und Winkel Vektorprodukt Vektor b c = 2x x 0.5 = x 0 0 ( 2x) 0.5 2x 2x 2 0 = 1 x 4x 2 Vektorprodukt erzeugt immer einen senkrechten Vektor 37

38 Skalarprodukt: a b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = a b cos α cos α = a b a b = a1 b1 + a2 b2 + a3 c3 a1 2 + a2 2 + a3 2 + b1 2 + b2 2 + b3 2 38

39 39

40 40

41 Spatprodukt 41

42 Spatprodukt Spatprodukt SKALAR a b c = x 2 1 x 0 0 2x 0.5 =1+x 2 2x x 0.5 = x x x ( 2x) 0 2x 0.5 = By the way mit c1=0 braeuchte man den ersten Term des Kreuzproduktes gar nicht rechnen. 42

43 43

44 Der Exkurs ist kein Ersatz für einen semesterlangen Kurs Eventuell helfen einige Beispiele den späteren Inhalt der Vorlesung besser zu verstehen. Div, Grad; Rot findet man auch in den Maxwellgleichungen EXKURS - FELDER Quelle fuer die meisten visuellen Beispiele: 44

45 Skalarfelder 45

46 Niveaulinien eines Skalarfelder 2D & 3D 46

47 Vektorfelder 47

48 Beispiele Vektorfelder 48

49 Beispiele Vektorfelder 49

50 Gradient Skalarfeld Vektorfeld Richtungsableitung eines Skalarfeldes: 50

51 51

52 Divergenz 52

53 Beispiele Divergenz 53

54 Beispiele Divergenz 54

55 Rotation 55

56 Beispiele Sehen Sie eine Rotation im umgangssprachlichen Sinne? 56

57 Beispiele Sehen Sie eine Rotation im umgangssprachlichen Sinne? 57

58 ZURUECK ZU DEN AUFGABEN 58

59 Grad f Skalarfeld Vektorfeld grad f = f = Skalarfeld Vektorfeld senkrecht auf den Aequipotentiallinien 59

60 Grad F Skalarfeld Vektorfeld Skalarfeld Vektorfeld senkrecht auf den Aequipotentiallinien 60