Vektoranalysis [MA2004]

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1 Technische Universität München WS 4/5 Zentrum Mathematik Blatt 5 Prof. Dr. Simone Warzel Michael Fauser Vektoranalysis [MA4] Tutoraufgaben Besprechung am 3..5 und 4..5 T 5. Elektrostatik Es seien N elektrische Punktladungen q,..., q N R im R 3 an den Positionen a,..., a N R 3 gegeben. Das von diesen Ladungen erzeugte elektrische Feld ist gegeben durch N q Ex := k x a k 4πε k= x a k x a k, wobei hier u der euklidische Betrag eines Vektors u R 3 ist. Die Konstante ε > heißt elektrische Feldkonstante. Es sei R 3 offen und beschränkt mit C -Rand. Zeigen Sie: Falls a j / für j {,..., N}, so gilt Gesamtladung in = q k = ε E, n ds, a k wobei n die äußere Normale an bezeichnet. Teilen Sie den Beweis in folgende Schritte auf: a Reduzieren Sie das Problem auf den Fall N =. x a b Beweisen Sie div x a = für x a. x a c Zeigen Sie E, n ds =, falls a /. d Im Fall a sei r > derart gewählt, dass B r a = {x R 3. x a r} gilt. Wenden Sie dann den Satz von Gauß auf \ B r a an, um ε E, n ds = q zu folgern. a Es ist N q ε E, n ds = ε k x a k k= 4πε x a k x a k, nx dsx. Ist die Behauptung schon für eine beliebige einzelne Ladung bewiesen, so folgt { q ε k x a k 4πε x a k x a k, nx qk falls a dsx = k sonst und damit ε E, n ds = q k. a k

2 b Es ergibt sich x a div x a x a = div x a 3 x a 3 3 x j a,j x a j= 4 x a x j a,j + 3j= 3 x j a,j = x a 3 x a + x a 3 c Falls a /, dann ist das Vektorfeld E auf einer offenen Menge U stetig differenzierbar. Da einen C -Rand besitzt, folgt mit dem Satz von Gauß und b E, n ds = divex dx = dx =. d Die Menge \ B r a besitzt einen C -Rand und es gilt \ B r a = B r a = R 3 \B r a. Das Vektorfeld E ist auf einer offenen Menge U \ B r a stetig differenzierbar. Mit dem Satz von Gauß und b folgt E, n ds + E, n ds = E, n ds = divexdx =. R 3 \B ra \B ra \B ra Hier ist zu beachten, dass nx für x R 3 \ B r a = B r a in das Innere von B r a zeigt, da es sich um die äußere Einheitsnormale an \B r a handelt. Somit gilt also nx = x a / x a für x R 3 \ B r a. Hieraus folgt ε E, n ds ε E, n ds B ra = q R 3 \B ra B ra q 4π x a x a x a, x a x a 4πr dsx = q. =. dsx Der letzte Schritt folgt wegen Vol B r a = Vol rs = 4πr. Der Fall r = wurde in der Vorlesung bewiesen und der allgemeine Fall folgt mit der Formel für das Transformationsverhalten des Oberlächenmaßes einer kompakten k-dimensionalen C -Untermannigfaltigkeit des R n : Vol k x + rm = r k Vol k M für x R n und r >. Kombination der Schritte a, c und d ergibt die Behauptung. T 5. Kurvenintegral t Es sei : /, / R 3 mit t =. t Das Vektorfeld u : R 3 R 3 sei definiert durch ux = x 3. Berechnen Sie ux, dx. x x 3 Es ist t =, also t t / ux, dx = t / / t, t t dt = 3t dt = [t t 3 ] / / = 3 / 4. t

3 T 5.3 Satz von Stokes Es sei v : R R sinx 3x, vx, x := x x 3. Berechnen Sie cose x vx, dτ, S wobei S durch τ im Gegenuhrzeigersinn orientiert ist. Die Voraussetzungen für den Satz von Stokes im R sind erfüllt, da B offen und beschränkt ist und der C -Rand B = S kompatibel zur äußeren Normalen orientiert ist. Es ist v x, x v x, x = 3x + x. Mit B = S und D-Polarkoordinaten gilt also v, dτ = v v dx = 3 x + x dx S B B π = 3 r 3 drdφ = 3 π. Hausaufgaben abzugeben bis zum 9..5, 4 Uhr, im Briefkasten H 5. Singularität Es sei n, R n eine beschränkte, offene Menge mit C -Rand, / und f : R n \ {} R n, fx := x x n. Die äußere Normale an sei mit n bezeichnet. Zeigen Sie, dass { Voln S n für f, n ds = für / gilt. Fall : / Da nach Voraussetzung auch / gilt, existiert eine offene Menge U R n mit U, auf der f stetig differenzierbar ist. Da einen C -Rand hat, kann der Satz von Gauß angewendet werden: f, n ds = div fx dx. Es muss also noch die Divergenz von f ausgerechnet werden. Für x ist div fx = j= xj j x n = = n x n n x n+ j= x j =. j= x n x j n x n x j x x n Damit ergibt sich für das obige Integral der Wert, was zu zeigen war. Fall : Es sei r > derart, dass B r. Die Menge \ B r besitzt einen C -Rand und es gilt

4 \ B r = B r = R n \ B r. Das Vektorfeld f ist auf einer offenen Menge U \ B r a stetig differenzierbar. Mit dem Satz von Gauß und dem Ergebnis für die Divergenz von f aus Fall folgt f, n ds + f, n ds = f, n ds = div fx dx =. R n \B r \B r \B r Hier ist zu beachten, dass nx für x R n \ B r = B r in das Innere von B r zeigt, da es sich um die äußere Einheitsnormale an \ B r handelt. Somit gilt also nx x/ x für x R n \ B r. Hieraus folgt f, n ds f, n ds R n \B r x B r x n, x dsx x = dsx = B r rn r n Vol n rs n = Vol n S n. H 5. Kurvenintegral und Flächenformel a Es sei : /, / R 3 t mit t = /4 t. 3/ Das Vektorfeld u : R 3 R 3 sei definiert durch ux = x 3. Berechnen Sie ux, dx. x x 3 b Sei R offen, beschränkt mit C -Rand und : [, ] R eine geschlossene C - Kurve mit den folgenden Eigenschaften: i. [, ] =, ii. :,, ist eine Karte von, iii. für alle t, gilt t t = nt, wobei n das äußere Normalenvektorfeld an bezeichnet. Beweisen Sie: a Mit t = t /4 t gilt / ux, dx = / t t t t dt = dx. 3/4 3t b Mit v : R R, vx = x, ergibt sich x /, t /4 t dt = / 3 4 dt = 3 4. t t t t dt = vt, t dt = vx, dx = v, dτ,

5 wobei die Orientierung τ von durch τt = t/ t gegeben ist. Damit gilt τ = n. Wegen der Voraussetzungen an und der stetigen Differenzierbarkeit von v auf ganz R sind alle Voraussetzungen für den Satz von Stokes erfüllt und es ergibt sich t t t t dt = v, dτ = v v dx = dx. Aktuelle Informationen und Materialien zur Vorlesung finden Sie auf der Vorlesungsseite