116 KAPITEL 15. INTEGRALSÄTZE

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1 116 APITEL 15. INTEGRALSÄTZE Aufgabe (Verschwinden des Integrales über eine partielle Ableitung) Es sei U R n offen, ϕ C 0 (U; R). Dann ist für j = 1,..., n U ϕ x j dλ n = 0. Wir erinnern an die Definition eines Vektorfeldes (Analysis II Definition ) und an den Begriff der Lebesgue-Zahl (Analysis I Beweis zu Satz ). Definition (Divergenz) Ist U R n offen und v : U R n ein C 1 -Vektorfeld, so bezeichnen wir div v(x) = als Divergenz des Vektorfeldes v. n i=1 v i (x) x i Satz (C -Teilung der Eins) Es sei R n kompakt, U j R n, j J eine offene Überdeckung von, dann gibt es eine der Überdeckung U j subordinierte C -Teilung der Eins. Beweis. Sei ε > 0 Lebesgue-Zahl der Überdeckung U j, j J (vgl. Beweis zu Satz ). Betrachte die Überdeckung mit den Trägern der Funktionen σ b, ε, 2 n b ε 2n Z n. (Nehme nur solche, die auch schneiden.) Dies ergibt eine abzählbare, der vorgegebenen Überdeckung subordinierte Überdeckung (Subordination kommt von der onstruktion mittels der Lebesgue-Zahl). Auf ergeben die Funktionen σ b, ε eine Teilung der Eins. 2 n Satz (Gauß 1 ) Es sei R n ein ompaktum mit glattem Rand, v : R n das äußere Einheitsnormalenfeld und U sei offen, F : U R n sei ein C 1 -Vektorfeld. Dann gilt div F(x) dλ n = F(x), v(x) ds. 1 Carl Friedrich Gauß ( ) war einer der bedeutendsten, vielleicht der bedeutendste Mathematiker der Geschichte. Seine frühe mathematische Begabung ist legendär. Es bewies nicht nur den Fundamentalsatz der Algebra und entdeckte vieles in der Geometrie.

2 15.1. SATZ VON GAUSS 117 Abbildung 15.2: Der Zehnmarkschein Beweis. Wir konstruieren zunächst eine Überdeckung von mit offenen Mengen, die folgende Eigenschaft besitzt: Jedes Element U dieser Überdeckung ist entweder in \ oder U kann als Produkt V (a, b) mit V R n 1 geschrieben werden und U ist Graph einer Abbildung g : V R. Die onstruktion einer solchen Überdeckung kann wie folgt angegeben werden: Zu jedem Punkt x gibt es eine Umgebung U, die als Produkt in der angegebenen Weise geschrieben werden kann. Daraus entsteht eine Überdeckung von. Da kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung U 1,..., U j mit den angegebenen Eigenschaften. Dann ist 1 = \ ( j i=1u i ) kompakt, es gibt eine offene Überdeckung von 1 mit offenen Mengen, die nicht schneiden (man nehme eine Überdeckung mit B ε -ugeln und ε < dist( 1, )). Sei U = U j, j J eine offene solche Überdeckung von. Sei {ϕ k } k N eine dieser Überdeckung subordinierte C -Teilung der Eins. Dann ist div F(x) dλ n = div ϕ j (x)f(x) dλ n = div(ϕ j (x)f(x)) dλ n. Ganz entsprechend erhalten wir für die rechte Seite F(x), v(x) ds = ϕ j (x)f(x), v(x) ds. Damit reicht es die entsprechende Gleichheit für festes j zu beweisen. Ist supp ϕ j in einem Element der Überdeckung enthalten, die schneidet, folgt die Behauptung, indem wir Satz auf die einzelnen omponenten von F anwenden und addieren. Ist supp ϕ j einem U mit U =, so verschwindet das entsprechende Integral auf der rechten Seite. Die linke Seite ist das Integral über (eine Summe von) Ableitungen von Funktionen mit kompakten Träger. Als solches ergibt es den Wert 0, vergleiche Aufgabe Sein Werk ist die Grundlage der Theorie der Modulformen, die Landvermessung wurde von ihm entscheidend geprägt und in der Physik ist ein Maß des Magnetismus nach ihm benannt. Sein bedeutendes wissenschaftliches Werk wurde durch den Zehnmarkschein geehrt.

3 118 APITEL 15. INTEGRALSÄTZE Beispiel (Anwendungen in der Physik) Der Satz von Gauß hat wichtige Anwendungen in der Physik: 1. Strömungen Hat man eine Strömung aus durch eine geschlossene Fläche, so muss darin die Quellstärke der Strömung durch die Fläche entsprechen. 2. Elektrodynamik Das elektrische Feld genügt der Maxwell-Gleichung 2 div E = ρ, wobei E für das elektrische Feld, ρ für die Ladungsdichte steht. Der Gaußsche Integralsatz besagt nun, dass ρ dλ = E(x), ν(x) ds ist, also die Ladungsdichte integriert über das Innere ergibt den Fluss durch die Oberfläche. 3. Magnetismus Das magnetische Feld ist quellenfrei (Elementarmagneten haben immer sowohl Nord- wie auch Südpol), dies wurde durch Maxwell so formuliert: div B = 0, wobei B hier für das magnetische Feld steht Pfaffsche Formen Im Folgenden sei M R n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n der lasse C l und W eine offene Teilmenge von M (insbesondere ist zugelassen, dass k = n, M R k offen und W R n offen ist). Für x W sei T x M der Tangentialraum an M, wie er in Definition definiert wurde. Definition (otangentialraum) Der duale Vektorraum (T x M) heißt otangentialraum. Wir schreiben dafür auch T xm. Die Elemente eines otangentialraumes T x(m) nennen wir otangentialvektoren. 2 James Clark Maxwell ( ) war ein bedeutender britischer Physiker. Nach ihm benannt sind die Grundgleichungen der Elektrodynamik, die das Verhalten elektrischer und magnetischer Felder, beschreiben.

4 15.2. PFAFFSCHE FORMEN 119 Definition (Pfaffsche Form) Es sei W M offen. Eine Abbildung ω : W x W T xm, welches jedem x einen otangentialvektor zuordnet mit ω(x) T xm, heißt Pfaffsche Form 3. Definition (stetig differenzierbar) Eine Funktion f : M R heißt stetig differenzierbar im Punkt x M, wenn es eine Umgebung W M von x gibt, so dass für jede arte (U, ψ U ) mit x ψ U (U) gilt: f ψ U : ψu 1 (W ) U R ist stetig differenzierbar. Lemma (artenunabhängigkeit) Die Bedingung aus der letzten Definition ist genau dann für jede arte erfüllt, wenn sie für eine arte (die den Punkt x enthält) gilt. Beweis. Sind (U, ψ U ), (V, ψ V ) zwei arten, deren artengebiete den Punkt x enthalten. Dann ist ψu 1 (W ) U und ψ 1 (W ) V und f ψ V ψ 1 V (W ) V = f ψ U ψ UV ψ 1 V (W ) V. Ist f ψ U differenzierbar (auf der entsprechenden Menge), so folgt es jetzt sofort für die Einschränkung von f ψ V auf ψv 1 (W ) V. Lemma (Pfaffsche Formen als Differential differenzierbarer Abbildungen) 1. Sei f : W R stetig differenzierbar, v T x0 M für ein x 0 W und γ 1,2 : ( ε, ε) W seien stetig differenzierbare urven mit γ i (0) = x 0 und γ i(0) = v für i = 1, 2. Dann ist stetig differenzierbar und es gilt f γ i : ( ε, ε) R (f γ 1 ) (0) = (f γ 2 ) (0). 3 Johann Friedrich Pfaff ( ) arbeitete vorwiegend über partielle Differentialgleichungen. In diesem ontext führte er auch die nach ihm benannten Differentialformen ein. Diese wurden später intensiv untersucht und spielen bis heute eine wichtige Rolle.

5 120 APITEL 15. INTEGRALSÄTZE 2. Seien x W und v T x M und γ x,v : ( ε, ε) M eine urve mit γ x,v (0) = x und γ x,v(0) = v, so definiert eine Pfaffsche Form. df : W x W df(x)(v) = (f γ) (0) T xm : x df(x) Beweis. 1. Als erstes zeigen wir die stetige Differenzierbarkeit der angegebenen Abbildungen. Sei zunächst γ = γ 1 oder γ = γ 2. Dazu sei x 0 Z R n eine offene Umgebung von x 0 und F : Z R n eine geradebiegender Diffeomorphismus mit F (x 0 ) = 0 und F (Z M) R k. OBdA ist W Z, ansonsten müssen die Umgebung W und die Zahl ε > 0 entsprechend verkleinert werden. Dann sind die ersten k omponenten von F, also mit einer Projektion Π : R n R k die Abbildung g = Π F, ein Homöomorphismus auf einer Umgebung Y M und ψ U : g(y ) W : ψ U = g 1 ist eine arte von M am Punkt x 0. Dann ist für j = 1, 2 f γ j = (f ψ U ) (ψ 1 U γ j ) stetig differenzierbar, denn die beiden Abbildungen f ψ U und ψu 1 γ sind beide stetig differenzierbar. Dann sind auch jeweils f F 1 und F γ stetig differenzierbar. Dann ist (f γ) (0) = D(f F 1 )(0)DF (x 0 )γ (0) = D(f F 1 )(0)DF (x 0 )v. Das Ergebnis ist daher für beide urven gleich. 2. Zu zeigen ist: Für jedes x W ist df(x) : T x M R eine lineare Abbildung. Seien dazu v 1, v 2 T x M und α 1,2 R. Wir betrachten urven γ i (t), i = 1, 2 auf M durch x mit γ i(0) = v i. Setze γ(t) = F 1 (α 1 F γ 1 (t) + α 2 F γ 2 (t)).

6 15.2. PFAFFSCHE FORMEN 121 Beachte F γ i (0) = 0 und daher kann man durch Verkleinern von ε erreichen, dass α 1 F γ 1 (t) + α 2 F γ 2 (t) für t ( ε, ε) in F (Z). γ ist differenzierbar und die Ableitung ist durch γ (0) = DF 1 (0)(α 1 DF (x)v 1 + α 2 DF (x)v 2 ) = α 1 v 1 + α 2 v 2 gegeben. Dann ist nach Definition von df(x) mit w = α 1 v 1 + α 2 v 2 df(x)(w) = (f γ) (0) = (f F 1 F γ) (0) = D(f F 1 )(0)(DF (x) γ (0)) = D(f F 1 )(0)(DF (x)(w)) = α 1 D(f F 1 )(0)DF (x)v 1 + α 2 D(f F 1 )(0)DF (x)v 2 = α 1 df(x)v 1 + α 2 df(x)v 2. Dies zeigt die Linearität von df(x). Definition (Totales Differential) df wird als totales Differential von f bezeichnet. Wir kommen nun dazu die Differentiale lokaler oordinaten zu betrachten. Dazu sei x 0 M ein Punkt auf einer Untermannigfaltigkeit des R n und (U, ψ U ) eine arte mit 0 U ψ(0) = x 0 im artengebiet dieser arte. Wir bezeichnen für 1 i k die Funktionen als oordinatenfunktionen im R k. k y i : R k R : y = y j e j y i Definition (lokale oordinatenfunktionen) Durch x i = y i ψ 1 U definieren wir lokale oordinatenfunktionen auf M im Punkt x 0. oordinatenfunktionen hängen von der Wahl der arte ab, beim Übergang von einer arte zu einer anderen werden sie entsprechend transformiert. oordinatenfunktionen erlauben uns die Pfaffschen Formen auf artengebieten auf einfachere Weise darzustellen.