Übungen zu Integralsätzen Lösungen zu Übung 19

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1 9. Sei IR 3 der Einheitswürfel Übungen zu Integralsätzen Lösungen zu Übung 9 erifizieren Sie für : {(x, y, z) IR 3 : x, y, z.} den Gaußschen Divergenzsatz. Lösung: v(x, y, z) : (4xz, y, yz) erifizieren bedeutet, dass wir an diesem Beispiel überprüfen wollen, ob der Divergenzsatz von Gauß auch wirklich stimmt. In diesem Satz steckt die ormel, die wir hier mit v statt f aufschreiben: div v( x) d v( x) n d. Wir rechnen also jetzt die linke Seite und die rechte Seite dieser ormel getrennt aus und hoffen (natürlich sind wir sicher), dass beide Male dasselbe herauskommt. Dann haben wir die ormel nicht falsi-, sondern verifiziert. Berechnung der linken Seite: Als erstes berechnen wir die Divergenz der gegebenen unktion v(x, y, z) (v (x, y, z), v (x, y, z), v 3 (x, y, z) (4xz, y, yz) nach ormel (.) von Seite 6: div v(x, y, z) v x + v y + v 3 z 4z y + y Dann rechnen wir zunächst gemäß ormel (8.) von Seite 4 und dann weiter nach ormel (7.) von Seite 3:

2 div v( x) d [4z y + y] d (4z y) dz dy dx (z yz) dy dx ( y) dy dx ) (y y dx ( ) dx 3 Dieses war der linke Streich, doch der rechte kommt sogleich: Berechnung der rechten Seite: z Als läche haben wir hier die gesamte Obefläche des Einheitswürfels, wie wir ihn rechts gezeichnet haben. Bitte verfolgen Sie mit inger oder Bleistift die einzelnen lächen in der folgenden Aufteilung: D G C E B A y x DE G ABC ABE GDC BCDE A G Wir müssen jedes Integral einzel ausrechnen, denn wir müssen jedes Mal den Normalenvektor richtig dazunehmen. Es muss immer der nach außen gerichtete Normaleneinheitsvektor sein, wenn wir bitte den Satz von Gauß genau lesen. Betrachten wir die läche DE G. Es ist die vordere läche in der Ebene x. Die x-richtung zeigt ebenfalls nach vorne, also ist Damit folgt: n (,, ).

3 DE G Das geht jetzt munter so weiter. (4xz, y, yz) (,, ) d 4z 4z dy dz. ür die läche ABC ist x und n (,, ) und damit ABC (4xz, y, yz) (,, ) d ür die läche ABE ist y und n (,, ) und damit 4z dz 4 z dy dz. (4xz,, z) (,, ) d ABE dx dy ( x) dy dy. ür die läche OGDC ist y und n (,, ) und damit (4xz,, ) (,, ) d GDC ür die läche BCDE ist z und n (,, ) und damit dx dy. (4x, y, y) (,, ) d BCDE y dy y dx dy y dy. ür die läche A G ist z und n (,, ) und damit (, y, ) (,, ) d A G dx dy. Jetzt müssen wir zu7m Schluss alle Werte der sechs lächen aufsummieren: v( x) n d + + ( )

4 9. erifizieren Sie den Divergenzsatz von Gauß für folgende unktion: v(x, y, z) : (4x, y, z ) auf : {(x, y, z) IR 3 : x + y 4, z 3.} Lösung: Das ist nur eine ein klein wenig geänderte Aufgabe, wir können also einfach losrechnen. Berechnung der linken Seite: div v dx dy dz (4 4y + z) dx dy dz 4 x 3 84π. 4 x (4 4y + z) dz dy dx Berechnung der rechten Seite: Wir zerlegen das Oberflächenintegral in drei Anteile: Dabei sei die Grundfläche, die Oberfläche und 3 der Mantel des Zylinders. Zu : n e 3, v n v n d. Zu : n e 3, v n 9 v n d 9 d 36π. Zu 3 : Zur Bestimmung des Normalenvektors an die Mantelfläche berechnen wir zunächst den zweidimensionalen Normalenvektor n an den Grundkreis des Zylinders: grad (x + y ) (x, y) n (x, y). Damit lautet der Normalenvektor n im Punkt (x, y, z) des Zylindermantels n(x, y, z) (x, y, ) v n x y 3. Setze x : cos ϑ, y : sin ϑ d 3 dϑ dz 3 v nd 3 [( cos ϑ) ( sin ϑ) 3 ] dz dϑ 3 ϑ z Aufsummieren führt zum selben Ergebnis wie oben. (48 cos ϑ 48 sin 3 ϑ) dϑ 48π. 4

5 9.3 erifizieren Sie den Satz von Stokes für die unktion f(x, y, z) : ( x y, y z, y z). Dabei sei die obere Halbkugelfläche mit Radius R > um den Nullpunkt und n der nach außen gerichtete Normaleneinheitsvektor. Außen seien dabei alle Punkte des IR 3 mit z >, deren Abstand von (,, ) größer als R ist. [Hinweis: Die Berechnung des Oberflächenintegrals muss nicht zu Ende geführt werden.] Lösung: Die ormel im Satz von Stokes entnehmen wir dem Buch, ormel (.4) auf Seite 64: rot f(x, y, z) n d κ f(x, y, z) t ds. Wir sollen wieder verifizieren, also versuchen wir, beide Seiten dieser ormel zu berechnen und hoffentlich das gleiche Ergebnis zu erhalten. Berechnung der linken Seite: Wir wählen die Parameterdarstellung der Kugel wieder mal mit Polarkoordinaten. Sei also mit x (x, y, z) x R sin u cos v, y R sin u sin v, z R cos u u π, v π Dann ergibt sich f(x, y, z) ( x y, y z, y z) (R sin u cos v R sin u sin v, R sin u sin vr cos u, R sin u sin vr cos u) Gemäß ormel (9.4) berechnen wir zur Bestimmung des Normalenvektors x u und x v : x u (R cos u cos v, R cos u sin v, R sin u) x v ( R sin u sin v, R sin u cos v, ) Hieraus müssten wir jetzt den Normalenvektor gemäß n x u x v berechnen. Wenn wir aber diese ormeln alle zusammen betrachten, so erkennen wir, dass jetzt eine große Rechnerei einsetzen wird. Dabei werden wir sicher viele ereinfachungen 5

6 durch trigonometrische ormeln ausnutzen können, aber es ist doch recht langwierig und dadurch langweilig, vor allem deshalb, weil wir ja eine andere Möglichkeit kennen. Wir berechnen einfach die rechte Seite, was leichter geht. Berechnung der rechten Seite: Die Randkurve k ist ein Kreis in der (x, y)-ebene mit Radius R. Wir wählen als Parameter und erhalten x R cos t, y R sin t, z f(x, y, z) (R cos t R sin t, R sin t, R sin t ) Als Tangentenvektor erhalten wir Damit folgt t (R cos t R sin t,, ) ( d dt (R cos t), d ) (R sin t) ( R sin t, R cos t, ). dt κ f(x, y, z) t ds (R cos t R sin t,, ) ( R sin t, R cos t, ) dt ( R cos t sin t + R sin t) dt R sin t cos t dt + R sin t dt R sin t dt + R cos t dt R π t π ( cos ) + R dt R π sin t }{{}}{{} }{{} πr πr Hier haben wir trefflich das Additionstheorem für sin und cos eingesetzt: sin(α + β) sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) cos α cos β sin α sin β Daraus ergeben sie die ormeln, die man auch leicht in ormelsammlungen nachlesen kan sin(α) sin α cos α, sin α cos α. 6

7 9.4 Berechnen Sie unter geschickter Ausnutzung des Satzes von Stokes das Oberflächenintegral rot f(x, y, z) n d. Dabei sei f(x, y, z) : (3 y, x z, y z ) und das nach oben geöffnete Paraboloid : {(x, y, z) IR 3 : z x + y, beschränkt durch Z } und n sei der nach außen gerichtete Normaleneinheitsvektor. Lösung: Aus dem Satz von Stokes entnehmen wir die ormel rot f(x, y, z) n d κ f(x, y, z) t ds. Links steht ein Oberflächenintegral, rechts ein Kurvenintegral. Interessiert sind wir an dem Oberflächenintegral, was aber in der egel recht kompliziert auszurechnen ist. Zum Glück können wir uns das leichtere Kurvenintegral vornehmen. Dazu müssen wir uns jetzt Gedanken über die Orientierung und den Tangengtenvektor machen. z Laut Aufgabe ist die läche ein nach oben offenes Paraboloid, wie wir es rechts angedeutet haben. Stellen Sie sich eine Schüssel vor. ist die Schüsselaußenhaut. Nach oben wird die Schüssel begrenzt durch die Ebene z. Der obere Rand ist also ein Kreis. n estlegung der Umlaufrichtung: Jemand, der in Richtung n, also üße auf dem Randkreis, Kopf bei der Pfeilspitze, steht, muss in Richtung der Pfeile auf dem Kreisrand entlang laufen, damit die äußere Schüsselfläche zur linken liegt. Außen wird dabei durch die Richtung des Nornmalenvektors definiert. Dann ist k der Kreis mit Radius, also x + y 4. Wir wählen die Parametrisierung x cos ϕ, y sin ϕ, ϕ π. Aber Achtung. Wegen der Umlaufrichtung müssen wir beim Integral als untere Grenze π und als ob ere Grenze wählen, denn wir laufen ja von oben gesehen im Uhrzeigersinn um den Kreis herum. Jetzt können wir losrechnen: 7

8 κ f(x, y, z) t ds π π π 3( sin ϕ, cos ϕ, sin ϕ ) ( dx dϕ, dy dϕ, dz ) dϕ dϕ 3( sin ϕ, 4 cos ϕ, 8 sin ϕ) ( sin ϕ, cos ϕ, ) dϕ ( sin ϕ 8 cos ϕ) dϕ sin ϕ dϕ + dϕ + π + 8π + π 8 cos ϕ dϕ cos ϕ dϕ + 8 π dϕ + 8 cos ϕ dϕ Wie in der vorigen Aufgabe haben wir auch hier aus den Additionstheoremen und aus sin ϕ + cos ϕ folgende ormeln abgeleitet und benutzt: also sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ, sin ϕ cos ϕ, cos ϕ + cos ϕ. 8

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