Analysis IV. Gruppenübungen

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1 Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner TECHNISCHE UNIVESITÄT DAMSTADT ASS Analysis IV 3. Übung mit Lösungshinweisen (G ) Berechnung einiger Volumina Gruppenübungen (a) Berechnen Sie das Volumen λ 3 (M) des Ellipsoids M : {(x, y, z) 3 : (x/a) 2 + (y/b) 2 + (z/c) 2 }, wobei a, b, c >. Hinweis: Benutzen Sie das Prinzip von Cavalieri und Aufgabe G vom 2. Übungsblatt. (b) Berechnen Sie mit dem Prinzip von Cavalieri das Volumen des örpers M : Z, der durch Schneiden der ugel : {(x, y, z) 3 : x 2 + y 2 + z 2 } und des Zylinders Z : {(x, y, z) 3 : x 2 + y 2 } entsteht. 2 (a) Gegeben z ist M z {(x, y) 2 : (x/a) 2 + (y/b) 2 (z/c) 2 }. Also ist M z wenn z > c; M z {(, )} wenn z c; M z { ( (x, y) 2 : x ) 2 ( a + (z/c) 2 y ) 2 } b (z/c) 2 wenn z < c. Letzteres ist eine Ellipse, deren Flächeninhalt laut G vom 2. Übungsblatt, λ 2 (M z ) πa (z/c) 2 b (z/c) 2 πab( (z/c) 2 ) ist. Mit dem Prinzip von Cavalieri erhalten wir folglich λ 3 (M) λ 2 (M z ) dλ (z) πab( (z/c) 2 ) dλ (z) πab c c [ c,c] ] ( (z/c) 2 ) dz πab [z z3 c 3c 2 c πab (2c 2c/3) 4π 3 abc. (b) Gegeben z ist M z falls z > ; M z {(x, y) : x 2 + y 2 /2} (und somit λ 2 (M z ) π/2) falls z ; M z {(x, y) : x 2 + y 2 z 2 } (und somit λ 2 (M z ) π( z 2 ) ) falls < z. Folglich ist λ 3 (M) λ 2 (M z ) dλ (z) π/2 dz + π( z 2 ) dz + π( z 2 ) dz

2 π [ + 2π z z /3] π. π + 2π (2/3 ) (G 2) Volumen eines otationskörpers Es sei r : [, [ eine messbare Funktion. Uns interessiert das Volumen des otationskörpers M : {(x, y, z) 3 : x 2 + y 2 r(z)} h ([, [) mit h: 3, h(x, y, z) : r(z) x 2 + y 2. (a) Zeigen Sie, dass M B( 3 ). (b) Zeigen Sie, dass λ 3 (M) π r(z)2 dλ (z). (c) Berechnen Sie für α > das Volumen der Menge M : {(x, y, z) 3 : z und x 2 + y 2 z α }. (a) Die Funktion h ist aus messbaren Funktionen aufgebaut und somit messbar. Da [, [ B(), folgt M h ([, [) B( 3 ). (b) Für z ist M z {(x, y) 2 : (x, y, z) M} {(x, y) 2 : x 2 + y 2 r(z)} r(z) () die abgeschlossene reisscheibe in 2 mit Mittelpunkt und adius r(z). Das Prinzip von Cavalieri liefert λ 3 (M) λ 2 (M z ) dλ (z) λ 2 ( r(z) ()) dλ (z) πr(z) 2 dλ (z). Hierbei wurde die (aus der Schule bekannte) Formel λ 2 ( ()) π 2 für die reisfläche benutzt, die wir in Aufgabe G vom 2. Übungsblatt (bzw. als Spezialfall dieser Aufgabe) noch einmal verifiziert haben. (c) Analog zu Teil (b) erhalten wir λ 3 (M) π [, [ z 2α dλ (z) π z 2α dz. Für α 2 ist also n λ 3 (M) lim π z 2α dz n [ z 2α ] n lim π lim π n 2α n 2α n { 2α π falls α > ; 2α 2 falls α <. 2 Für α 2 schließlich ist λ 3(M) π dz. z (G 3) Volumen eines otationskörpers

3 (a) Sei f : [a, b] + messbar. Wir definieren in n+ den otationskörper f : {(x, t) n [a, b] : x f(t)}. Berechnen Sie das Volumen des örpers f in Abhängigkeit des Volumens c n der n-dimensionalen Einheitskugel mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips. (b) Berechnen Sie das Volumen des örpers, der entsteht, wenn die Funktion f : [ a, a] + durch f(t) t gegeben ist. Skizzieren Sie die Situation im Fall n 2. (a) Wir schneiden die Menge f in Scheiben entlang der t-achse: f,t : {x n : (x, t) f }. Dann gilt f,t { {x n : x f(t)}, t [a, b] sonst und mit dem Satz von Cavalieri erhält man λ n+ ( f ) b b λ n ( f,t )dt c n f(t) n dt. a a (b) Aus einer Skizze erkennt man, dass der 3-dimensionale örper f otation um die x 3 -Achse entsteht. Nach (a) gilt a a λ n+ ( f ) c n t n dt 2c n t n dt a 2c n n + an+. tatsächlich durch (G 4) echenaufgabe zu Flächenintegralen Berechne das Flächenintegral Es gilt S 2 x 2 y 2 ds S2 (x, y, z) S 2 x 2 y 2 ds S2 (x, y, z). π 2π π 2π (sin θ cos φ) 2 (sin θ sin φ) 2 sin θ dφ dθ sin }{{ 4 θ} sin θ ( cos 2 θ) 2 cos 2 φ sin 2 φ dφ dθ }{{} 4 sin2 (2φ) 8 ( cos(4φ)) π 8 2π ( 2 cos 2 θ + cos 4 θ) sin θ dθ π [ cos θ cos3 θ 2 5 cos5 θ π ( ) 5 3 π. ] π

4 (G 5) Gaußscher Integralsatz Satz (Gauß): Sei n kompakt mit glattem and, ν : n äusseres Normalenfeld. Ferner sei U, U n offen und F C (U, n ). Dann gilt divf (x)dλ n (x) F (x) ν(x)ds (x). Wir betrachten die Menge : {(x, y, z) 3 : x 2 + y 4 + z 6 } und das Vektorfeld F : 3 3, F (x, y, z) : (x 2 y 3, xz + xy 4, cos(xy)). (a) Zeige, dass ein ompaktum mit glattem and ist. (b) Berechne das Flächenintegral F (x, y, z), ν(x, y, z) ds (x, y, z), indem Du es als ein geeignetes Volumenintegral umschreibst; hierbei ist ν : 3 das äußere Normalenfeld von. Beachte, dass wir ν gar nicht explizit ausrechnen müssen! (a) Offensichtlich ist abgeschlossen und ist beschränkt, da x, y, z für alle (x, y, z). Also ist kompakt. Da U : 3 \ {(,, )} und U {(x, y, z) U : ψ(x, y, z) } mit ψ : U, ψ(x, y, z) : x 2 + y 4 + z 6 und grad ψ(x, y, z) (2x, 4y 3, 6z 5 ) (,, ) für alle (x, y, z) U, ist ein ompaktum mit glattem and. (b) Da div F (x, y, z) 2xy 3 + 4xy 3 6xy 3, erhalten wir mit dem Gaußschen Integralsatz F (x, y, z), ν(x, y, z) ds (x, y, z) div F (x, y, z) dλ 3 (x, y, z) 6 xy 3 dλ 3 (x, y, z) 4 x 2 4 x 2 4 x 2 6 x 2 y 4 6 x 2 y 4 6 xy 3 dz dy dx 2 xy 3 6 x 2 y 4 dy dx 4 x 2 [ 8 ] y 4 x 7 ( x2 y 4 ) 7/6 2 y 4 x 2 dx. (G 6) Divergenz als Flussdichte Es sei F : 3 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld und x 3. Für r > bezeichne r die abgeschlossene ugel vom adius r um x. Wir betrachten den sogenannten Fluss von F durch die Sphäre vom adius r um x (wobei ν : 3 jeweils das äußere Normalenfeld ist). Zeigen Sie mit dem Gaußschen Integralsatz, dass lim r div F (x ). r λ 3 ( r ) Hinweis: Schreiben Sie div F (x ) λ 3 ( r) r div F (x ) dλ 3 (x).

5 Nach dem Gaußschen Integralsatz ist div F (x) dλ 3 (x). r Daher divf (x ) λ 3 ( r ) div F (x) dλ 3 (x) div F (x ) dλ 3 (x) λ 3 ( r ) r λ 3 ( r ) r λ 3 ( r ) (div F (x) div F (x )) dλ 3 (x) r div F (x) div F (x ) dλ 3 (x) λ 3 ( r ) r sup{ div F (y) div F (x ) : y r } dλ 3 (x) λ 3 ( r ) r sup{ div F (y) div F (x ) : y r }. Sei ε >. Da div F stetig ist, gibt es ein δ > derart, dass div F (y) div F (x ) ε für alle y δ. Für alle < r δ gilt nach vorigen Abschätzungen dann div F (x ) λ 3 ( r ) ε. Somit ist lim r λ 3 ( r ) divf (x ) bewiesen.