Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 3/4 Dr. K. Rothe Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Anleitung zu Blatt 7

2 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K. Rothe Aufgabe 5: Man verifiziere den Satz von Green für das Vektorfeld f(x, y) ( xy y, x + 4y ) T und das durch die Kurve x + 4y 4 eingeschlossene Gebiet E. Lösung: Die Ellipse E kann durch kartesische oder Polarkoordinaten beschrieben werden: ( ) ( ) x r cos ϕ r Φ(r, ϕ),, det JΦ(r, ϕ) r y r sin ϕ ϕ π E {(x, y) T IR x, (x/) y } (x/) Q { (r, ϕ) T IR r, ϕ π } mit Φ(Q) E, Bild 5: - Ellipse E Parametrisierung des Ellipsenrandes E durch: ( ) cos ϕ c(ϕ), ϕ π sin ϕ

3 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K. Rothe 3 f(x) dx f(x) dx π < f(c(ϕ)), ċ(ϕ) > dϕ E c π π ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ 4 cos ϕ + 4 sin ϕ ) ( sin ϕ, cos ϕ ) dϕ 4 cos ϕ sin ϕ + 4 sin ϕ + 4 cos ϕ + 4 cos ϕ sin ϕ dϕ π cos ϕ sin ϕ dϕ 4ϕ sin3 ϕ π 8π rot f(x) dx (x + 4y ) x ( xy y) y d(x, y) E E 4 + x d(x, y) π (4 + r cos ϕ)r dϕdr 8 E Integralsatz von Green: r dr π 8πr + 4r3 3 dϕ + 4 r dr π sin ϕ π 8π f(x)dx 8π cos ϕ dϕ rot f(x)dx E E

4 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K. Rothe 4 Aufgabe 6: Gegeben sei die Teilfläche eines parabolischen Zylinders N { (x, y, z) T IR 3 y x, z x }. a) Man zeichne N, b) parametrisiere N und c) berechne den Flächeninhalt von N. Lösung: a) Bild 6: parabolische Zylinderteilfläche N b) Die Fläche N kann als Funktionsgraph interpretiert werden, über dem Dreieck D : {(x, y) T IR x [, ], y [, x] } p : D IR 3 mit p(x, y) (x, y, x ) T. c) p x p y e e e 3 x x

5 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K. Rothe 5 N do do p(d) D y + (x) x p x p y d(x, y) dx + (x) dx x + (x) dydx x + (x) + + (x) dx + t dt ( t ) + t + arsinh t 5 + arsinh

6 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K. Rothe 6 Aufgabe 7: (Klausur WiSe 7/8) Gegeben seien der Körper und das Vektorfeld K { (x, y, z) T IR 3 x + y + z 9, x } a) Man skizziere K. f(x, y, z) ( y, x, z 3) T. b) Der Rand von K ist beschreibbar durch ein ebenes Flächenstücke S und ein nicht ebenes Flächenstück H. Man gebe jeweils Parametrisierungen für die beiden Randflächenstücke S und H an. c) Man berechne jeweils den Fluss von f durch die beiden Randflächenstücke S und H. d) Man berechne das Volumenintegral div f(x, y, z) d(x, y, z). E Lösung: a) Bild 7: Halbkugel K

7 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K. Rothe 7 b) Parametrisierung der Kreisseite S: p : [, 3] [, π] IR 3 mit p(r, ϕ) r cos ϕ r sin ϕ Parametrisierung der Halbkugelfläche H: [ π q :, 3π ] [ π, π ] IR 3 mit 3 cos ϕ cos ψ q(ϕ, ψ) 3 sin ϕ cos ψ 3 sin ψ c) Fluss durch S, mit der äußeren Normalen p r p ϕ e e e 3 cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ 3 π r cos ϕ r fdo, dϕdr S r 3 sin 3 ϕ r 3 π r cos ϕdϕdr Fluss durch H, mit der äußeren Normalen q ϕ q ψ e e e 3 3 sin ϕ cos ψ 3 cos ϕ cos ψ 3 cos ϕ sin ψ 3 sin ϕ sin ψ 3 cos ψ 9 cos ψ H f do 3π/ π/ π/ π/ 3π/ π/ π/ π/ 9 cos ψ 3 sin ϕ cos ψ 3 cos ϕ cos ψ 7 sin 3 ψ 43 cos ψ sin 4 ψdψdϕ 43π sin5 ψ 5, π/ π/ cos ϕ cos ψ sin ϕ cos ψ sin ψ 486π 5 d) Mit dem Gaußschen-Integralsatz erhält man: div f d(x, y, z) f do + f do 486π 5 E S H cos ϕ cos ψ sin ϕ cos ψ sin ψ dψdϕ

8 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K. Rothe 8 Alternativ: direkte Berechnung über Kugelkoordinaten: div f(x, y, z) d(x, y, z) K K 3 3z d(x, y, z) r 4 dr 3π/ π/ dϕ π/ π/ 3 3π/ π/ π/ π/ 3 cos ψ sin ψ dψ r5 5 3r sin ψ r cos ψ dψdϕdr 3 ϕ 3π/ π/ sin3 ψ π/ π/ 486π 5

9 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K. Rothe 9 Aufgabe 8: Gegeben seien das Geschwindigkeitsfeld u(x, y, z) (x 3, xz, xy) T einer Strömung sowie die Fläche x F y IR 3 x z + y 9 z x + y. a) Man zeichne die Fläche F. b) Man berechne auf F das Integral über alle Wirbelstärken rot u(x) do. F c) Man berechne die Zirkulation u(x) dx von u längs der Randkurve F von F und bestätige damit den Integralsatz von Stokes im IR 3. F Lösung: a) Bild 8 Rotationsparaboloid F b) Die Fläche F kann in folgender Weise durch p parametrisiert werden: p : K IR 3 mit p(u, v) (u, v, u + v ) T

10 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K. Rothe und K : {(u, v) T IR u + v 9 }. p u p v e e e 3 u v u v rot u(x, y, z) (x x, y, z ) T ( x, y, z) T F rot u(x) do K u v (u + v ), 4(u + v ) d(u, v) u v 3 π d(u, v) 4r r dϕ dr K 3 π 4r 3 dr dϕ πr 4 3 6π c) Die Randkurve F kann in folgender Weise durch c parametrisiert werden: c : [, π] IR 3 mit c(ϕ) (3 cos ϕ, 3 sin ϕ, 9) T. c (ϕ) ( 3 sin ϕ, 3 cos ϕ, ) T F u(x) dx π π 7 cos 3 ϕ 54 cos ϕ 9 sin ϕ cos ϕ, 3 sin ϕ 3 cos ϕ 8 sin ϕ cos 3 ϕ + 6 cos ϕ dϕ dϕ Satz von Stokes: π 6 cos ϕ dϕ 6 4 rot u(x) do 6π (ϕ + sin ϕ) u(x) dx π 6π F F

11 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K. Rothe Bemerkung: ( p u p ) c (ϕ) zeigt in Richtung des Rotationsparaboloiden z(x, y) x + y, denn (in Polarkoordinaten) v ( p u p ) c e e e 3 3 cos ϕ (ϕ) v cos ϕ sin ϕ 3 sin ϕ 3 cos ϕ 3 sin ϕ. 6

12 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K. Rothe Bild 5: Ellipse E Bild 6: parabolische Zylinderteilfläche N

13 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K. Rothe Bild 7: Halbkugel K Bild 8 Rotationsparaboloid F